人教版中学七7年级下册数学期末解答题复习题

人教版中学七7年级下册数学期末解答题复习题

一、解答题

1.（1）如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">"）

（3）如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

2.已知在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为L

（1）计算图①中正方形A8C。的面积与边长.

（2）利用图②中的正方形网格，作出面枳为8的正方形，并在此基础上建立适当的数

轴，在数轴上表示实数况和-血.

3.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分

米的长方形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要？（参考数

据：\[2«1.414>>/3»1.732)

4.学校要建一个面积是81•平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人

建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越

小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由.（Ti取3）

5.有一块面积为100cm2的正方形纸片.

（1）该正方形纸片的边长为cm（直接写出结果）；

（2）小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为90c”的长方形纸片，使它的长宽之比

为4：3.小丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗？

二、解答题

6.已知直线48〃CD,点P、Q分别在48、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每

秒12。的速度旋转至以便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3。旋转

至QD停止，此时射线P8也停止旋转.

（1）若射线08、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB与QC*的位置关系为

（2）若射线QC先转15秒，射线P8才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，

PB'//QC.

B-------R---4

（备用图）Q

B--------2---X

D_______________cD_______________C

（各用困）Q（各用国）Q

7.已知点C在射线04上.

（1）如图①，CD//OE,若/八。8=90。，ZOCD=120°,求N8OE的度数；

（2）在①中，将射线0£沿射线。8平移得OF（如图②），若N4O8=a,探究N08

与N80E的关系（用含a的代数式表示）

（3）在②中，过点。，作。8的垂线，与N0C。的平分线交于点P（如图③），若N80

=90。，探究N20B与NB0E的关系.

图①图②图③

8.如图，已知直线”〃2,点48在直线4上，点C、力在直线4上，点。在点。的右侧,

N4QC=80。,48c=（2〃）。,庞平分乙48cos平分/ADC,直线8旦DE交于点E.

（1）若〃=20时，则；

（2）试求出N8EO的度数（用含〃的代数式表示）；

（3）将线段8C向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出N8EO的度

数.（用含〃的代数式表示）

9.(1)(问题)如图1,若AB//CD,NAEP=40。，ZPFD=130°.求NEP厂的度数;

（2）（问题迁移）如图2,AA〃C。，点尸在A3的上方，问NPE4,4PFC,NEPF之间

有何数量关系？请说明理由；

（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知/样F=a,4E4的平分线和

NPFC的平分线交于点G,用含有。的式子表示NG的度数.

10.已知直线A8//CD,点P为直线A3、CO所确定的平面内的一点.

（1）如图1,直接写出ZAP。、4、NC之间的数量关系;

（2）如图2,写出乙4PC、44、NC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3,点E在射线阴上，过点E作所〃尸C,作/尸EG=/尸灯"点G在直线

CO上，作N6石G的平分线上“交FC于点若乙4夕。=30,2443=140,求/〃“/的

度数.

三、解答题

11.为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从

AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯6射线从3P开始顺时针旋转至3Q便立即回

转，两灯不停交又照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即PQ〃MN,月.NW〃：mV=3:2.

图1

（1）填空：4BAN=

（2）若灯4射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达3Q之前，A灯转

动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过。

作乙4CO交0Q于点。，且ZACQ=126。，则在转动过程中，请探究㈤。与N8C。的数量

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

12.如图1,点。在MN上，ZAOB=^,ZAOM=m°,Z()CQ=no,射线。4交2。于点C,已

知m,/?满足：|//»-20|+(//-70)2=0.

(2)如图2,。。平分/AON,C/平分NOCQ,宜线OQ、CF交于点、E,则

NOEF=°；

(3)若将4OA绕点。逆时针旋转a(0<a<90。)，其余条件都不变，在旋转过程中，

N0M的度数是否发生变化？请说明你的结论.

13.已知ABIICD,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之

间，ZAMP=ZPQN=a,PQ平分NMPN.

(1)如图①，求NMPQ的度数(用含a的式子表示)；

(2)如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分NPEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

(3)如图③，在(2)的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

的数量关系，并说明理由.

点，N4CB=90.

（1）将直角4月3c如图1位置摆放，如果40G=46,则NCE/=:

（2）将宜角以8C如图2位置摆放，N为AC上一点,/NEFt/CEF=18d，请写出

NNE/与NAOG之间的等量关系，并说明理由.

（3）将直角.八3c如图3位置摆放，若NGOC=140,延长4c交直线b于点Q,点P是

射线GF上一动点，探究NPOQ,NOPQ与NPQ尸的数量关系，请直接写出结论.

15.（感知）如图①，AB〃CD,NAEP=40、NPFD=13。°,求NEP/的度数.小明想到了

以下方法：

.♦./1=4£。=40'（两直线平行，内错角相等）

QAB//CD（已知），

/.PM//CD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.N2+NPF£>=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

•.•NP手£）=130°（已知），

/.Z2=180-I30°=50a（等式的性质）.

.•.Nl+N2=40+50=90（等式的性质）.

即NEP/=90'（等量代换）.

（探究）如图②，ABHCD,NAEP=5（）°,NP/C=120°,求NE尸产的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，/PE4的平分线和NPFC的平分线交于点

G,则NG的度数是

四、解答题

16.在AaBC中，N847=90。，点。是8c上一点，将△八8。沿4。翻折后得到△AE。，边

AE交.8C于点F.

AA

>------ORF工B----D\^FC

司（£厂（备用图）

⑴如图①，当4E_L8c时，写出图中所有与N8相等的角：；所有与NC相等的

角：.

（2）若NC-Z8=50°,Z8.4D=x0（0<x<45）.

①求N8的度数；

②是否存在这样的x的值，使得AOEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存

在，请说明理由.

17.解读基础：

（1）图1形似燕尾，我们称之为"燕尾形”，请写出乙4、D8、NC、/力之间的关系，并

说明理由；

（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出NA、DB、NC、NO之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题

（3）①如图3,在AA8C中，BD、CO分别平分N48。和46,请直接写出乙4和N。

的关系—;

②如图4,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=.

（4）如图5,4AC与/BDC的角平分线相交于点r，NGDC与NC4产的角平分线相交

于点E,已知々=26。，NC=54。，求N/和/石的度数.

A

18.如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中NONM=30。，ZOCD=

45°.

（1）将图①中的二角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E,

求NCEN的度数；

(2)将图①中的三角板OMN绕点0按逆时针方向旋转，使NBON=30。，如图③，MN

与CD相交于点E,求NCEN的度数；

(3)将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30。的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的

过程中，在第秒时，直线MN恰好与直线CD垂直.(直接写出结果)

19.如图，△A8c中，NA8c的角平分线与NACB的外角NAC。的平分线交于4.

(1)当N4为70。时，

/ZACD-Z.ABD=A

/./ACD-/ARD=°

84、C4是NABC的角平分线与NACB的外角NACD的平分线

AAiCD-AAiBD=-(AACD-AABD)

2

ZAi=°；

(2)/48C的角平分线与N4CD的角平分线交于4,/48C与4C。的平分线交于A3，

如此继续下去可得4、…、An,请写出NA与/4的数量关系；

(3)如图2,四边形A8C。中，NF为NA8c的角平分线及外角NOCE的平分线所在的直线

构成的角，若N4+NO=230度，则NF=.

(4)如图3,若£为8A延长线上一动点，连EC,NAEC与N4CE的角平分线交于Q,当£

滑动时有下面两个结论：①/Q+/4的值为定值；②NQ-N4的值为定值.其中有且只

有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

20.如果三角形的两个内角。与"满足"+夕=90。，那么我们称这样的三角形是“准互余

三角形

(1)如图1,在中，Z4CB=90°,是，A改7的角平分线，求证：/XAB。是

“准互余三角形〃；

(2)关于“准互余二角形”,有卜列说法:

①在「ABC中，若NA=100。，Z«=70°,ZC=10°,则..A3c是“准互余三角形〃；

②若-A4C是“准互余三角形"，NC>90。，NA=60。，则N4=20。；

③“准互余三角形〃一定是钝角三角形.

其中正确的结论是（填写所有正确说法的序号）；

（3）如图2,B,。为直线/上两点，点A在直线/外，且NA8C=50。.若P是直线/上一

点，且八43。是“准互余三角形”，请直接写出N4总的度数.

【参考答案】

一，解答题

1.（1）;（2）<；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的

解析：（1）V2;（2）<；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【详解】

解：（1）.•.小正方形的边长为1cm,

小正方形的面积为lcm\

两个小正方形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm,

x2=2,

x=V2

一.大正方形的边长为&cm；

（2）设圆的半径为r,

由题意得;r/=24，

r—ypl，

,=2夕=21立，

设正方形的边长为a

•「a’=2兀，

♦>-a=>/2^，

C[V=4a=44271,

,。_2乃&

"ClE"4后一2一〃

故答案为：v；

（3）解：不能裁剪出，理由如下：

正方形的面积为900cm2,

・••正方形的边长为30cm

■「长方形纸片的长和宽之比为5:4,

二.设长方形纸片的长为5x,宽为4工，

贝ij5.「4x=740,

整理得：*2=37,

（5x）2=25/=25x37=925>900,

（5x）2>3（）2,

了.5工>30,

•••长方形纸片的长大于正方形的边长，

・••不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考杳了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.（1）正方形的面积为10,正方形的边长为；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然

后根据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画

解析：（1）正方形48。的面积为10,正方形A8C。的边长为加；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形A8CO的面积，然后根

据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结

论.

【详解】

解：（1）正方形/WC7）的面积为4x4-4xgx3xl=：L0

则正方形人“。。的边长为国；

（2）如下图所示，正方形的面积为4x4—4xgx2x2=8,所以该正方形即为所求，如图建立

数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴「两点

・•.正方形的边长为人

••・弧与数轴的左边交点为-赤，右边交点为应，实数而和-应在数轴上如图所示.

【点睛】

此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示

无理数是解题关键.

3.（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求

出长方形的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出用的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出“，求出长方形

的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（1）正方形工料的边长为屈=6分米；

（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3。分米.

则4心3。=24,

解得：a=\/2»

・••长为4a工5.656<6,宽为3ax4.242<6.

「•满足要求.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问

题.

4.选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的

周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，

比较大小得到答

解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析

【分析】

根据正方形的面积公式、鼻术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据

圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案.

【详解】

解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下:

设建成正方形时的边长为X米，

由题意得：X2=81,

解得：x=±9,

,/x>0,

x=9,

「•正方形的周长为4x9=36,

设建成圆形时圆的半径为「米，

由题意得：a2=81.

解得：r=±旧，

,/r>0.

圆的周长=2〃xJ—»6727,

・「5<727<6»

­•.30<6后<36,

「•建成圆形草坪时所花的费用较少，

故选择建成圆形草坪的方案.

【点睛】

本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键.

5.（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算

解析：（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【分析】

（1）根据算术平方根的定义直接得出；

（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案.

【详解】

解：（1）根据算术平方根定义可得，该正方形纸片的边长为10cm；

故答案为：10;

（2）,「长方形纸片的长宽之比为4：3,

」•设长方形纸片的长为4xcm,则宽为3xcm,

则4x・3x=90,

12x2=90,

30

x72=—,

4

解得：x=典或x=-叵(负值不符合题意，舍去)，

22

长方形纸片的长为2而cm,

1.,5c廊V6,

10V2回，

・•・小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根.解题的关键是掌握算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫

这个数的算术平方根；0的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.

二、解答题

6.(1)PBZ_LQU；(2)当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时,

PB'IIQC'

【分析】

(1)求出旋转10秒时，ZBPB，和NCQU的度数，设PB'与QC咬于O,过。作

OEIIAB,根

解析:(1)P8UQU(2)当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC

【分析】

(1)求出旋转10秒时，N8P9和NCQC的度数，设P8,与QC交于O,过。作0EII4B,根

据平行线的性质求得/POE和/QOE的度数，进而得结论：

(2)分三种情况：①当0V区15时，②当15Vts30时，③当30V1V45时，根据平行

线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间.

【详解】

解：(1)如图1,当旋转时间30秒时，由已知得N8P&=lCTxl2=120。，ZCQC=

3°xl0=30°,

过。作OEIIAB,

,/ABWCD,

/.4811OEIICD,

NPO£=1800-NBPB'=60°,NQO£=N60(7=30°,

ZPOQ=90°,

J.P8」QC,

故答案为：P8」QO；

B

、、一

E-------------¥

____________2L-c

D(一用图)Q

(2)①当0VM15时,如图，则N8P8'=12t°,ZCQC*=45°+3t°,

V4811CD,PBr\\QC,

ZBPB'=Z.PEC=ACQC,

即12t=45+33

解得，t=5：

C1

B--------£_二A

✓✓/，/F

✓✓/

//✓z

D―二________■「

/丁明期Q

B1

②当15VH30时,如图，则NAP8'=12f・180°,/CQC=31+45°,

V4811CD,P6IIQC,

Z8P8'=NBEQ=NCQC,

即12t-180=45+33

解得，t=25；

9

③当30VH45时，如图,则N8P6=12t-360°,ZCQC=3t+45%

Cf

D~(一用图)

F\

\\

,/ABWCD,PB'WQC,

ZBPB'=NBEQ=NCQC,

即12f-360=45+36

解得，t=45；

综上，当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，P&llQC.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第(1)题关键是作平行线，第(2)题关键是分悄况讨

论，运用方程思想解决几何问题.

7.(1)1500；(2)ZOCD+ZBO'E'=360°-a；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求

得NBOE的度数；

(2)

解析：(1)150°；(2)NO8+N0。工，=3G0F；(3)ZAOD=^DO'C

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得N80E的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得NOC。、NB。方的数量关

系；

(3)由已知推出CPIIOB,得到N408+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

ZOCD=2Z.PCO=360°-2ZAOB,根据(2)ZOCD+Z8O'E'=3600-NAOB,进而推出

ZAOB=ABOE.

【详解】

解：(1)VCDIIOE,

：.ZAOE=N08=120°,

o>o

ZBO£=3600-ZAOE-Z.40B=360-90'-120=150°;

(2)ZOCD+ZBO'E'=36Qo-a.

证明：如图②，过。点作OFIIC。，

D

图②

CDIIOE,

OFIIOF,

Z4OF=1800-ZOCD,Z8OF=NrO,O=1800-ZBO'E',

：.Z40B=ZAOF+N8OF=1800-ZOCO+180。-/8O'E'=360°-(ZOCD+ZBOE)=a,

•••ZOCO+N8O'E'=360°-a；

(3)ZAOB=^BO'E'.

证明：.••NCPO'=90°,

PO'A.CP,

,/PO'±OB,

/.CPWOB,

...ZPCO+N408=180°,

/.2ZPCO=360°-2ZAOBt

TCP是/。8的平分线，

ZOCD=2APCO=3600-2ZAOB,

•••由(2)知，NOCO+NBO'E'=360°-a=360°-N408,

360*-2ZAOB+Z.8OE=35(T-NAOB,

/.ZAOB=ZBO'E'.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

8.(1)60°；(2)n°+40°；(3)n°+40°或n°-40°或220°-n°

【分析】

(1)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度

数；

(2)同(1)中方法求解

解析：(1)60°；(2)>+40°；(3)〃。+40°或〃°-40°或2205

【分析】

(1)过点E作EFII4B,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度数：

(2)同(1)中方法求解即可;

(3)分当点8在点4左侧和当点8在点八右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：（1）当。=20时，NA8C=40°,

过E作EFWAB,则EFWCD,

：.Z8EF=/ABE,ZOEF=NCDE,

,/BE平分NABC,DE平分NADC,

二NBEF=NABE=20°,ZDEF=ZCD£=40°,

ZBED=N8EF+ND£F=60°：

（2）同（1）可知：

ZBEF=/ABE=n°,ZDEF"CD£=40°,

/.ZBED=NBEF+NDEF=〃°+40°；

（3）当点8在点2左侧时，由（2）可知：，BED=n°+40°；

当点8在点4右侧时，

如图所示，过点E作EFIIA8,

T8E平分NA8C,OE平分N4DC,ZABC=2n°f^ADC=80°,

ZABE=gNABC=n°,ZCDG=；ZADC=40°,

,/4811CDIIEF,

：.ZBEF=AABE=n°,ZCDG=ZDEF=40°,

/.ZB£D=ZBEF-NDEF=n0~40°；

••8E平分/ABC,OE平分N4DC,ZABC=2n\ZADC=80°,

：.ZABE=^ZABC=n°,NCDG=；NADC=40°,

,/ABWCDIIEF,

/.Z8EF=180°-ZABE=130°-n°,ZCDF=ZDEF=40°,

ZBED=ABEF+NDEF=180°-no+40o=220o-n°；

B

如图所示，过点E作EFIIA8,

,/BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=n°tZADC=70°,

：.ZABG=,ZABC=n°,ZCDE=yZADC=W,

V4811CDIIEF,

ZBEF=AABG=n°fZCDE=ZDEF=40°,

综上所述，ZBED的度数为"。+40。或“40。或220。-〃。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键.

9.(1)90°；(2)ZPFC=ZPEA+ZP；(3)ZG=a

【分析】

(1)根据平行线的性质与判定可求解；

(2)过P点作PNIIAB,则PNIICD,可得NFPN=ZPEA+ZFPE,进而可得/PF

解析：(1)90°；(2)，PFC=,PEA+NP；(3)ZG=^a

【分析】

(1)根据平行线的性质与判定H求解：

(2)过P点作PNIIAB,则PNIICD,可得/FPN=/PEA+Z.FPE,进而可得

ZPFC=ZPEA+Z.FPE,即可求解；

(3)令48与PF交点为。，连接EF,根据三角形的内角和定理可得NGEF+NGFE=

gNPEA+gNPFC+NOEF+NOFE,由(2)得NPEA=NPFC-a,由NOFE+NOEF=180°-

ZFOE=1800-ZPFC可求解.

【详解】

解：(1)如图1,过点P作PMIM8,

Z1=ZAEP.

乂/AEP=40°,

Z1=40°.

ABWCD,

PMIICD,

/.Z2+ZPFD=180°.

•「ZPFD=130°,

Z2=180°-130°=50<>.

J.Z1+Z2=400+50o=90°.

即NEPF=9Q°.

(2)ZPFC=ZPEA+NP.

理由:过P点作PA/IIAB,则PNWCD,

图2

/.ZPEA=,NPE,

,.1ZFPN=4NPE+NFPE,

ZFPN=NPEA+/FPE,

1.,PNWCD,

ZFPNMPFC,

：.ZPFC=ZPEA+NFPE,即/PFC=ZPEA+Z.P；

(3)令AB与PF交点、为0,连接EF,如图3.

G

'：ZGEF=jZPEA+NOEF,ZGFE=gZPFC+NOFE,

•••ZGEF+Z.GFE=gZPEA+^APFC+NOEF+Z.OFE,

•.•由(2)知NPFC=NPEA+NP,

/.ZPEA=NPFC-a,

,/ZOFE+Z.OfF=1800-ZFOE=1800-ZPFC,

/.ZGEF+NGFE=(ZPFC-a)+^ZPFC+1800-ZPFC=180°-ya,

ZG=180°-(NGEF+NGFE)=180°-180°+a=-Ja.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键.

10.(1)ZA+ZC+ZAPC=360°；(2)见解析；(3)55°

【分析】

(1)首先过点P作PQHAB,则易得ABIIPQIICD,然后由两直线平行，同旁

内角互补，即可证得NA+ZC+ZAPC=360

解析：(1)N4+NC+N4PC=360°；(2)见解析；(3)55。

【分析】

(1)首先过点P作PQIIA8,则易得4811PQII8,然后由两直线平行，同旁内角互补，

即可证得/4+NC+Z4PC=360°：

(2)作PQIM8,易得4811PQII8,根据两直线平行，内错角相等，即可证得

ZAPC=Z.A+Z.C；

(3)由(2)知，4APC=4PAB-4PCD,先证N8EF=NPQ8=110°、ZPEG=^Z.FEG,

ZGEH^NBEG,根据nPEHMPEG-Z.GEH可得答案.

【详解】

解：(1)ZA+NC+ZAPC=360°

如图1所示，过点P作PQIIA8.

AB

ZA+NAPQ=180°,

..八8IICD,

PQIICD,

ZC+ZCPQ=180°,

,,ZA+Z.APQ+/C+ZCPQ=360°,即/A+ZC+ZAPC=360a；

(2)ZAPC=NA+NC,

如图2,作PQIIAB,

图2

Z八-NAPQ,

,「48IICD,

PQIICD,

ZC=ZCPQ,

ZAPC=ZAPQ-ZCPQ,

/.ZAPC=AA-Z.C；

(3)由(2)知，ZAPC=Z.PAB-Z.PCD,

ZAPC=30°,/%8=140',

ZPCD=110a,

,/ABWCD,

ZPQB=ZPCD=110°,

,/EFWBC,

：.ZBEF=NPQB=110。,

EFWBC,

：.ZBEF=4PQB=110°,

,/ZPEGUPEF,

/.ZPEG=；/FEG,

EH平分/BEG,

/.ZGEH=g々BEG,

/.ZPEH=/PEG-/GEH

/FEG-g/BEG

弓/BEF

=55".

【点睛】

此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,

注意掌握数形结合思想的应用.

三、解答题

11.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据NBAM+/BAN=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒，

解析：(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，Z3AC=2ZBCD

【分析】

(1)根据N8AM+N847=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到N8AN的度数；

(2)设八灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0V1V90时，根

据2t=1・(30+t),可得t=30；当90V1V150时，根据1・(30+f)+(2M80)=180,可得

(=110；

(3)设灯4射线转动时间为t秒，根据N8AC=2t-108°,N8CD=126°-/864=1-54°,即可得

出NBAC：Z88=2：1,据此可得N84c和NBCD关系不会变化.

【详解】

解：(1),/ZBAM+ABAN=180\ZBAMtZBAN=3：2,

2

/.Z84N=180°x—=72°,

5

故答案为:72；

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0VtV90时,如图1,

PQIIMN,

：.ZP8D=ZBDA,

,/ACWBD,

：.ZCAMMBDA,

ZC4M=NPBD

2t=l*(30+t),

解得f=30；

②当90Vf<150时，如图2,

•/PQIIMN,

：.ZP8D+N804=180°,

ACWBD,

...ZCAN"BDA

：.ZP8O+NCAN=180°

1*(30+t)+(2M80)=180,

解得t=110,

综上所述，当日30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)N847和N8C。关系不会变化.

理由：设灯4射线转动时间为t秒，

/.ZBAC=72°-(1800-2f)=2t-108%

又丁ZABC=108°-t,

Z8C4=180°-ZABC-4BAC=180°-t,而NACD=126°,

：.ZBCD=126°-Z86=126°-(180°-t)=t-54°,

ZBAC：N88=2：1,

即NB4C=2ZBCD,

ZBAC和NBCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

12.(1)见解析;(2)45；(3)不变，见解析;

【分析】

(1)由可求得m及n,从而可求得NMOC=NOCQ,则可得结论；

(2)易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NDON,NOCF的度数，也

解析：(1)见解析；(2)45；(3)不变，见解析；

【分析】

(1)由帆-20|+5-70)2=。可求得m及〃，从而可求得NMOC=NOCQ,则可得结论；

(2)易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NOO/V,/。。下的度数，也易得/。0£的

度数，由三角形外角的性质即可求得NOEF的度数；

(3)不变，分三种情况讨论即可.

【详解】

(1)M-20|之0,(H-70)2>0,且加一20|+(〃-7())2=0

|加-20=0,(〃_70)2=0

m=20,n=70

/.ZMOC=900-ZAOM=7Q°

ZMOC=ZOCQ=70°

：.MNWPQ

(2)VZAON=130°~^AOM=16Q°

又「0。平分ZAON,CT平分NOCQ

/DON=gZAON=80°,/OCk=：NOCQ=35°

ZMOE=ZDON=8(F

：.ZCOE=ZMOE-ZMOC=10°

/.ZOEF=NOCF+NCOF=350+10°=45°

故答案为：45.

(3)不变，理由如下：

如图，当00<a<20°时，

...CF平分/OCQ

ZOCF=Z.QCF

设NOCF=NQCF=x

则/OCQ=2x

,/MNWPQ

ZMOC=Z.OCQ=2x

,/ZAON=360°-90°-(180°-2x)=90°+2x,。。平分NAON

/.ZDO/V=45°+x

■：ZMOENDON=450+x

ZCOE=ZMOE-Z.MOC=45°+x-2x=45°-x

ZOFF=ZCOE+NOCF=45°-x+x=45°

D

B

当a=20。时，0。与。8共线，则NOCQ=90°,由CF平分NOCQ知，ZOEF=45

当20°<a<90°时，如图

,/CF平分/OCQ

ZOCF=NQCF

设/OCF=ZQCF=x

则NOCQ=2x

MNWPQ

ZNOC=1300-ZOCQ=180°-2x

•••ZAON=90°+(180°-2x)=270°-2x,0。平分N40/V

/.ZAOE=135°~x

：.ZCOE=90°~AAOE=9Q°-(135°-x)=x-45°

/.ZOEF=Z.OCF-Z.COE=x-(x-45°)=45°

综.上所述，/EOF的度数不变.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，角的和差关系，注意分类讨论，

引入适当的量便于运算简便.

13.(1)2a；(2)EF_LPQ,见解析；(3)NNEF=NAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

(2)根据已知条件可得2NEPQ+2NPEF=

解析：(1)2a；(2)EF_LPQ,见解析；(3)ZNEF=yZAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

(2)根据己知条件可得2ZEPQ+2ZPEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系；

(3)结合(2)和已知条件可得NQNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得NQNE=g

(180°-ZNQE)=y(180。-3a),可得NNEF=1800-NQEF-NNQE-NQNE,进而可

得结论.

【详解】

解：(1)如图①，过点P作PRIIAB,

图①

ABHCD,

ABIICDIIPR,

/.ZAMP=ZMPR=a,NPQN=/RPQ=a,

/.ZMPQ=ZMPR+ZRPQ=2a；

(2)如图②，EF_LPQ,理由如下：

图⑵

,.1PQ平分NMPN.

ZMPQ=ZNPQ=2a,

,/QEIIPN,

/.ZEQP=NNPQ=2a,

ZEPQ=NEQP=2a,

EF平分NPEQ,

ZPEQ=2NPEF=2ZQEF,

ZEPQ+ZEQP+ZPEQ=180°,

/.2ZEPQ+2/PEF=180°,

1.ZEPQ+ZPEF=90°,

ZPFE=180°-90°=90°,

/.EF_LPQ；

(3)如图③，ZNEF=^ZAMP,理由如下:

ZQEF=90°-2a,

,/zPQN=a,

ZNQE=ZPQN+NEQP=3a,

唯平分nPNQ,

/.ZPNE=ZQNE,

QEIIPN,

ZQEN=ZPNE,

ZQNE=NQEN,

丁ZNQE=3a,

/.ZQNE=j(180°-ZNQE)=j(180°-3a),

ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-(90°-2a)-3a-(180°-3a)

3

=180°-90°+2a-3a-90c+-a

2

小

=yZAMP.

ZNEF=；NAMP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

14.(1)136°；(2)NAOG+NNEF=90。，理由见解析；(3)当点P在GF上

时，ZOPQ=1400-ZPOQ+ZPQF；当点P在线段GF的延长线上时，140。-

ZPOQ=ZOPQ+NPQF.

解析：(1)136°；(2)ZAOG+ANEF=90°,理由见解析；(3)当点P在GF上时，

NOPQ=1400-NPOQ+ZPQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°-ZPOQ=

ZOPQ+ZPQF.

【分析】

(1)如图1,作CPIIa,则CPIIallb,根据平行线的性质可得NA9G=/ACP,

ZBCP+NCEF=180°,然后利用/ACP+/8cp=90°即可求得答案；

(2)如图2,作CPIIa,则CPIIallb,根据平行线的性质可得/AOG=NACP,

Z8CP+/CEF=180°,然后结合已知条件可得N8cp=NNEF,然后利用NACP+Z.8cp=90。

即可得到结论；

(3)分两种情况，如图3,当点P在GF_L时，过点，作PNIIOG,贝4NPIIOGII£F,根据

平行线的性质可推出NOPQ=NGOP+NPQF,进一步可得结论；如图4,当点P在线段GF

的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可.

【详解】

解：(1)如图1,作CPWa,

,/a!Ih,

CPIIallb,

ZAOG=ZACP,NBCP+NCEF=180°,

ZBCP=180°-ZCEF,

ZACP+ABCP=90°,

/.Z406+180°-ZCEF=90°,

,/ZAOG=46°,

ZCEF=136°,

故答案为136°；

(2)ZAOG+NNEF=90°.

理由如下：如图2,作CPWa,

则CPWallb,

ZAOG=Z.ACP,NBCP+NCEF=180°,

而/NEF+4C£F=180°,

Z8cp=NNEF,

Z4CP+Z8cp=90",

NAOG+NNEF=90°；

(3)如图3,当点P在GF上时，过点P作PNIIOG,

/VPIIOGIIEF,

/.ZGOP=NOPN,ZPQF=NNPQ,

：.ZOPQ=NGOP+ZPQF,

ZOPQ=140。-ZPOa+NPQF；

如图4,当点P在线段GF的延长线上时，过点P作P/VIOG,

A

a

：.NPIIOGWEF,

ZGOP=NOPN,ZPQf=ZNPQ,

,/ZOPN=£OPQ+NQPN.

：.ZGOP=NOPQ+NPQF,

1400-ZPOQ=NOPQ+/PQF.

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、

灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.

15.［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②,根据ABIICD,ZAEP=50%ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探窕］的条件下，根据NPEA的平分线和NPFC的平分线交于点G,

可得NG的度数.

【详解】

解：［探究］如图②，过点P作PMIIAB,

图②

/.ZMPE=ZAEP=50°（两直线平行，内错角相等）

,/ABHCD（已知）,

/.PMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.NPFC=NMPF=120°（两直线平行,内错角相等）.

/.ZEPF=ZMPF-MPE=120<50<>=700（等式的性侦）.

答：NEPF的度数为70。；

［应用］如图③所示，

EG是NPEA的平分线，PG是NPFC的平分线,

/.ZAEG=；NAEP=25°,ZGCF=yZPFC=60°,

图③

过点G作GMIIAB,

ZMGE=ZAEG=25。（两直线平行,内错角相等）

VABIICD（已知）,

「.GMIICD（平行干同一条直线的两百线平行）.

NGFC=NMGF=60。（两直线平行,内错角相等）.

ZG=ZMGF-MGE=60o-25°=35°.

答：NG的度数是35。.

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

四、解答题

16.（l）NE、ZCAF：NCDE、ZBAF；（2）①20。；@30

【分析】

（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与NB相等的角；由等角代换即可得

与NC相等的角；

（2）①由三角形内角和定理可得，

解析：⑴NE、ZCAF；NCDE、ZBAF；（2）①20°；030

［分析］

（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与NB相等的角；由等角代换即可得与/C