人教版中学七年级数学下册期末解答题培优题含答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题培优题含答案

一、解答题

1.如图，用两个面积为200c/〃2的小正方形拼成一个大的正方形.

（1）则大正方形的边长是一：

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为

4:3,且面积为360c7"?

2.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸

板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长.

每个小正方形的边长均为1,

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间.

4.数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究.

（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2,面积为30,请求出该长方

形纸片的长和宽；

（2）小葵在长方形内画出边长为。，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条

边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50,阴影部分两个

长方形的周长之和为30,由此她判断大正方形的面积为100,间小葵的判断正确吗？请说

明理由.

5.求下图4x4的方格中阴影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.己知点C在射线04上.

(1)如图①，CD//0E,若/八。8=90。，Z060=120°,求N80E的度数：

(2)在①中，将射线0E沿射线08平移得0F(如图②)，若N408=a,探究N08

与N80E的关系(用含a的代数式表示)

(3)在②中，过点O作。8的垂线，与N0C。的平分线交于点P(如图③)，若NCP。，

=90°,探究NA9B与NBOE的关系.

7.己知，ABWCD,点E在C。上，点、G,F在48上，点〃在48,C。之间，连接FE,

EH,HG,ZAGH=Z.FED,FELHE,垂足为E.

(1)如图1,求证：HG工HE；

(2)如图2,GM平分NHG8,EM平分NHEO,GM,EM交于点M,求证：ZGHE=

(3)如图3,在(2)的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE：ZMGH=13i5,

求/HED的度数.

8.已知A8IICD,NA8E与NCDE的角分线相交于点F.

(1)如图1,若BM、0M分别是/48F和/CDF的角平分线，且N8£。=100。，求NM的

度数；

(2)如图2,若N48/V7=：N48F,NCDM=；NC0F,ZBED=a°,求NM的度数；

JJ

(3)若/A8M=，N4BF,NCDM=L/CDF,请直接写出NM与N8ED之间的数量关系

9.已知，如图：射线庄分别与直线48、C。相交于E、F两点,的角平分线与

直线A3相交于点M,射线P例交8于点N,设NP"M=a。，NEMF=优且

(a-35)2+|/7-a|=O.

(1)a=,P=；直线48与C。的位置关系是；

(2)如图，若点G是射线M4上任意一点，且AMGH=/PNF,试找出NFMN与NGHF

之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论.

(3)若将图中的射线PM绕着端点尸逆时针方向旋转(如图)分别与AB、C。相交于点

M和点M时，作的角平分线与射线后W相交于点Q,问在旋转的过程中

10.己知AM〃CN,点3为平面内一点，A8_L8C于反

(1)如图1,求证：ZA+ZC=90°；

(2)如图2,过点“作4D_LM4的延长线于点。，求证：ZABD=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、尸在0M上，连接跖、BF、CF,且8斤平分

/DBC,BE平分ZABD,若ZAFC=NBCF,NBFC=3NDBE,求NE8C的度数.

三、解答题

11.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC、

CD、做成折线48COE,如图1,且在折点8、C、。处均可自由转出.

(1)如图2,小明将折线调节成N8=50°,ZC=85°,ZD=35°,判断AB是否平行于

ED,并说明理由；

(2)如图3,若/C=NO=35。，调整线段人B、AC使得A3//CO求出此时DB的度数，

要求画出图形，并写出计算过程.

(3)若NC=85。，ZD=35°,ABHDE,请直接写出此时DB的度数.

12.问题情境

(1)如图1,已知AB//CD,NPBA=125°,/尸CO=155‘，求N8PC的度数.佩佩同学的

思路：过点、P作PN//AB,进而PN//CD,由平行线的性质来求N8尸C,求得N8PC

O*

问题迁移

(2)图2,图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两

边重合NAC8=90',。尸//CG,A8与b。相交于点E,有一动点尸在边4c上运动，连接

PE,PA,记NPED=Za,ZPAC=Zfi.

①如图2,当点尸在C,。两点之间运动时，请直接写出4PE与户之间的数量关

系；

②如图3,当点P在氏。两点之间运动时，4PE与Na,N夕之间有何数量关系？请判断

并说明理由.

13.问题情境：如图1,ABWCD,ZPAB=130Q,NPCD=120。，求N4PC的度数.

小明的思路是：如图2,过P作PEII4B,通过平行线性质来求NAPC.

（1）按小明的思路，易求得NAPC的度数为度；

（2）如图3,ADII8C,点P在射线OM上运动，当点P在48两点之间运动时，

ZADP=Na,Z8CP=Z6.试判断/CPD、/a、N6之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在4、8两点外侧运动时（点P与点4、8、。三点不重

合），请你直接写出NCPD、N*N6间的数量关系.

14.综合与探究（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

（1）如图1,EFIIM/V,点48分别为直线£F、MN上的一点，点P为平行线间一点，请

直接写出NPAF.ZPBN和NAPB之间的数吊关系；

（问题迁移）

（2）如图2,射线。M与射线ON交于点。，直线mll〃，直线m分别交OM、ON于点、

A、D,直线。分别交OM、O/V于点8、C,点P在射线0M上运动.

①当点P在4、B（不与4、8重合）两点之间运动时，设N40P=Na,ZBCP=Z（3.贝I」

ZCPD,Na,NB之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段八8上运动时（点P与点48、。三点都不重合），请你画出满足条件

的所有图形并直接写出NCP。，Za,之间的数量关系.

15.（感知）如图①.AB//CD,ZAEP=40.Z.PFD=130\求/用的的度数.小明想到了

以下方法:

图①图②

解：如图①，过点尸作必f/M/3,

.•.Nl=/4EP=40（两直线平行，内错角相等）

QAB//CD（己知），

PM//CD（平行于同一条直线的两宜线平行），

.•.N2+NP尸。=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

・.・NPF0=13O°（已知），

.•./2=180-1300=50'（等式的性质）.

.♦.Nl+N2=40+50=90（等式的性质）.

即NE/*=90°（等量代换）.

（探究）如图②，AB//CD,ZAEP=50,ZPFC=120\求NEP厂的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，NPE4的平分线和NPR?的平分线交于点

G,则NG的度数是\

四、解答题

16.在△/BC中，N847=90。，点。是BC上一点，将△48。沿AD翻折后得到△/£。，边

AE交BC于点F.

;所有与NC相等的

角：.

（2）若/C-Z8=50°,Z8AO=x°（OVx445）.

①求N8的度数；

②是否存在这样的x的值，使得中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存

在，请说明理由.

17.如图所示，已知射线C8//Q4,AB〃OC,NC=N。4B=100.点E、F在射线CB上，且

满足NR78=ZAO8,OE平分NCO/7

(1)求NEOB的度数；

(2)若平行移动AB,那么NOAC:NOW的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规

律.若不变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NOEC=NOBA?若存在，求出其度

18.操作示例：如图1,在AABC中，A。为8c边上的中线，△AB。的面积记为Si，△4DC

的面积记为S2.则51=52.

解决问题：在图2中，点。、E分别是边八8、8c的中点，若aBDE的面积为2,则四边形

ADEC的面积为.

拓展延伸：

(1)如图3,在4阳。中，点。在边8c上，且8。=28,△AB。的面积记为Si，△ADC的

面积记为S2.则Si与S2之间的数量关系为.

(2)如图4,在△4BC中，点D、£分别在边48、4?上，连接B£、8交于点O,且

BO=2EO,CO=DO,若ABOC的面积为3,则四边形4D0E的面积为.

19.如图，在&A8C中，乙48c与ZAC8的角平分线交于。点.

(1)若4=40。，则/9C=—。；

(2)若ZA=〃。，则N8X=°；

(3)若NA=〃。，48C与4cB的角平分线交于。点，/48O的平分线与44CO的工分

线交于点。I，•…；/O刈6^。的平分线与/。2016。£的平分线交于点037,则N°刈7=

A

20.如果三角形的两个内角a与"满足2a+/7=9O。，那么我们称这样的三角形是“准互余

三角形

图1图2

（1）如图1,在用..ABC中，ZACB=90°,B。是八3C的角平分线，求证：△A3。是

“准互余三角形〃；

（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：

①在中，若4=100。，N8=70。，ZC=10°,则A5C是“准互余三角形”；

②若‘ARC是“准互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,则N8=20。；

③“准互余三角形”一定是钝角三角形.

其中正确的结论是（填写所有正确说法的序号）；

（3）如图2,B,C为直线/上两点，点A在直线/外，且NABC=50。.若尸是直线/上一

点，且是“准互余三角形”，请直接写出N4总的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）无法裁出这样的长方形.

【分析】

（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

（2）设长方形长为cm,宽为cm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小

解析：（1）20；（2）无法裁出这样的长方形.

【分析】

（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

（2）设长方形长为4xcm,宽为3xcm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小即

可.

【详解】

解：（1）由题意得，人正方形的面积为200+200=400（;加，

边长为：x/400=20cw；

（2）根据题意设长方形长为4xcm,宽为3xcm,

由题:4,v-3x=360

则Y=30

x>0

：.X=y/30

长为4同

,-4>/30>20

••无法裁出这样的长方形.

【点睛】

本题考查了算术平方根，根据题意列出算式（方程）是解决此题的关键.

2.正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边

长是厘米，根据题意得：

取正值，可得，

解析：正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x星米，则小长方形的长为2x厘米，即得正方形纸板的边长是2x

厘米，根据题意得：

2A-X=162,

x2=8i，

取正值x=9,可得2x=18,

・••答：正方形纸板的边长是18厘米.

【点评】

本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式.

3.（1）图中阴影部分的面积17,边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个

直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可

解析：（1）图中阴影部分的面积17,边长是Ji?；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形

的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长：

（2）根据而<风<在，可以估算出边长的值在哪两个整数之间.

【详解】

1'4

（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5x5———f4=17

则阴影正方形的边长为：后

答：图中阴影部分的面积17,边长是g

（2）,/V16<Vi7<>/25

所以4VJ万<5

「•边长的值在4与5之间；

【点睛】

本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的

面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算.

4.（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析

【分析】

（1）设长为3x,宽为2x,根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；

（2）根据长方形纸片的周长为50,阴影部分两个长方形的周长之和为30列方

程

解析：（1）长为3方，宽为26；（2）正确，理由见解析

【分析】

（1）设长为3x,宽为2x,根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；

（2）根据长方形纸片的周长为50,阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方

程组求出。即可得到大正方形的面积.

【详解】

解：（1）设长为3x,宽为2x,

则：3x*2x=30,

*a-x=x/5（负值舍去），

3x=36，2x=2石，

答：这个长方形纸片的长为3逐，宽为2石；

（2）正确.理由如下：

2[(a+Z?)+a]=50

根据题意得：

4Z?+2(«-p)=30

a=10

b=5

大正方形的面积为102=100.

【点睛】

本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元

方程转化为一元方程是解题的关键.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用止方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8；2&

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4X；X2X2=8；

正方形的边长=际=2拉.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为6.

二、解答题

6.(1)150°；(2)ZOCD+ZBO'E'=360°-a；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周珀的定义即可求

得NBOE的度数；

(2)

解析：(1)150°；(2)ZOCD+ZeOT=360°-a；(3)ZAOB=ABO'E1

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到N40E的度数，再根据直角、周角的定义即可求得N80E的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得NOC。、N80方的数量关

系；

(3)由已知推出CPU0B,得到/408+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

Z08=2/PCO=360°-2Z408,根据(2)/OCD+Z8。£'=360°-/AOB,进而推出

ZAOB=Z.BOE.

【详解】

解：(1)VCDIIOE,

ZAOE=N08=120°,

ZBO£=360°-ZAOE-A40B=360°-90°-120°=150°；

(2)ZOCD+Z8OF=36(Ta

证明：如图②，过。点作OFIICO,

/.OFIIOE,

Z八。*180°-NOCD,ZBOF-NE'O'O-1800-NBO'E',

ZAOB=Z.AOF+A8OF=1800-Z08+180°-/8O'E'=360°-(ZOCD+ZBO'E')=a,

/.ZOCD+Z8OT=3600-a；

(3)Z408=/BO'E'.

证明：・・•/CPO'=90°,

/.PO'A-CP,

PO」O8,

CPWOB,

NPCO+Z408=180',

/.2ZPCO=360°-2ZAOB,

TCP是/oc。的平分线，

Z08=2/PCO=3600-2ZAOB,

,由(2)知，NOCO+NBOE=360°-a=360°・N4。8,

/.3600-2ZA08+N8O'E'=350°-NAOB,

ZAOB=ZBOE.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

7.(1)见解析；(2)见解析；(3)40°

【分析】

(1)根据平行线的性质和判定解答即可；

(2)过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可；

(3)过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可.

解析：（1）见解析；（2）见解析：（3）40。

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HPII2B,根据平行线的性质解答即可;

（3）过点H作HPIIA8,根据平行线的性质解答即可.

【详解】

证明：（1）,「4811CD,

ZAFE=AFED,

,/ZAGH=Z.FED,

；AFE=NAGH,

EFWGH,

：.ZFEH+NH=180°,

FE±HE,

ZFEH=90°,

：.Z/7=180°-ZFEH=90\

HGA.HE-,

（2）过点M作MQWAB,

图3

・「4811CD,

：.MQWCD,

过点H作HPWAB,

•「A8IICD,

：.HPWCD,

,/GM平分/HGB,

ZBGM=4HGM=^NBGH,

EM平分NHED,

ZHEM=ADEM=g/HED,

,/MQWAB,

ZBGM=NGMQ,

MQWCD,

/.ZQME=ZMED,

ZGME=Z.GMQ+ZQME=NBGM+Z.MED,

•「HPWAB,

•.NBGH=NGHP=2NBCM,

•/HPIICD,

/.ZPHE=AHED=2AMED,

ZGHE=NGHP+NPHE=2NBGM+2AMED=2(ZBGM+ZMED),

/.ZGHE=N2GME；

(3)过点乂作MailAB,过点H作HPIIA8,

ftlZKFE：ZMGH=13：5,设NKFE=13x,ZMGH=5x-

由(2)可知：ZBGH=2£MGH=10xf

•「ZAFE+Z.BFE=180°,

ZAFE=1800-lOx,

,/FK平分NAFE,

：.ZAFK=4KFE=；ZAFE,

即,(180-10x)=13x,

2

解得：x=5。，

Z8GH=10x=50°,

,.1HPllAB,HPWCD,

ZBGH=,GHP=50°,ZPHE=4HED,

NGHE=90°,

ZPHE=4GHE-ZGHP=900-50°=40°,

/.ZHE。=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线

是解题的关键.

8.(1)65°；(2)；(3)2nZM+ZBED=360°

【分析】

(1)首先作EGIIAB,FHIIAB,连结MF,利用立行线的性质可得

NABE+ZCDE=260°,再利用角平分线的定义得到/ABF+

360。a。

解析：(1)65°；(2)—(3)2nZM+ZBED=360°

6

【分析】

(1)首先作EGII48,FHIIAB,连结MF,利用平行线的性质可得NA8E+NCDE=260。，再

利用角平分线的定义得到NA8F+NCDF=130。，从而得到N8F。的度数，再根据角平分线的

定义和三角形外角的性质可求/M的度数；

(2)先由已知得到NA8£=6N48M,ZCDE=6ACDMt由(1)得NA8E+/CD£=360°-

ZBED,ZM=ZABM+NCDM,等量代换即可求解；

(3)由(2)的方法可得到的NM+/8£D=360。.

【详解】

解：(1)如图1,作EG//A8,FH//AB,连结

AB//CD,

.-.EG//AB//FH//CD,

:.ZABF=NBFH,4CDF=NDFH,ZABE+NBEG=180。,4GED+4CDE=1那，

ZABE+NBEG+ZGED+NCDE=360°,

/BED=/BEG+NDEG=,

ZABE+Z.CDE=260°,

*.NABE和NC。七的角平分线相交于E,

.-.ZABF+ZCDF=l3(r,

/BFD=/BFH+ADFH=13()°,

：BM、/W分别是NA所和NC8'的角平分线，

/MBF="/ABF,ZMDF=-4CDF,

22

;.5BF+4DF=65。,

ZBMD=130°-65°=65°；

(2)如图1,ZABM=-AABF,/CDM=>/CDF,

33

:.ZABF=3ZABM,/CDF=3/CDM，

ZABE与NC/汨两个角的角平分线相交于点F,

:.ZABE=6ZABM,NCDE=6/CDM,

6ZABM+6NCDM+ZB£7)=360°,

/BMD=AABM+NCDM,

6/BMDt/BED=360°,

f360。—a。

7.NBMD=-------------：

6

(3)由(2)结论可得，2nAABM+In^CDM+ZE=360°,NM=NA8W+NCDM,

贝lj2〃ZA/+Z£郎=360°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，

内错角相等，同旁内角互补的性质.

9.(1)35,35,平行；(2)ZFMN+ZGHF=180°,证明见解析；(3)不变,

2

【分析】

（1）根据（a-35）2+|P-a|=0,即可计算a和B的值，再根据内错角相等可证

ABIICD：

解析：（1）35,35,平行；（2）ZFM/V+Z6HF=180°,证明见解析；（3）不变，2

【分析】

（1）根据（a-35）2+|6句=0,即可计算a和6的值，再根据内错角相等可证2811CD；

（2）先根据内错角相等记GHIIPN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+AGHF=180°,

（3）作NPEMi的平分线交MiQ的延长线于R,先根据同位角相等证ERIIFQ,得

ZFQM产NR,设NPER=NREB=x,ZPM#=NRMiB=y,得出NEPMi=2ZR,即可得

Z.FPN.

【详解】

解：（1）（a-35）2+|6-a|=0,

a=6=35.

...ZPFM=NMFN=35°,ZEMF=35°,

ZEMF=NMFN,

.•.4811CD；

（2）ZFMN+NGHF=180°；

理由：由（1）得八811CD,

ZMNF=4PME,

ZMGH=Z.MNF,

ZPME=NMGH,

：.GHWPN,

ZGHM=Z.FMN,

ZGHF+NGHM=180°,

：.ZFMN+AGHF=180°；

4FPN——

（3）的值不变，为t2,

理由：如图3中，作NPEMi的平分线交MiQ的延长线于R,

,/ABWCD,

ZPEMi=NPFN,

Y4PERqNPEM、,NPFQ=g/PFN,

/.ZPERMPFQ,

ERIIFQ,

,R

03

ZFQMi=NR,

设NPER=NREB=x,ZPM\R=Z.RM\B=y,

.[y=x+ZR

川ml有：[2y=2x+N£7M'

可得/EPMi=2ZR,

ZEPMi=2NFQMi，

NEPM]NFPN\

'ZFQM「NQ=2.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

10.（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；

（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；

（3）设NDBE=a,则NBFC=3

解析：（1）见解析：（2）见解析；（3）ZEBC=105°.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到NC=NBDA，然后结合AB18C'即可证明；

（2）过B作先说明=然后再说明BM/NC得到NCA"=NC,

最后运用等量代换解答即可；

（3）设/。8£=0,则NBFC=3a,根据角平分线的定义可得NA8D=NC=2a,

ZF8C=yZDBC=a+45°,根据三角形内角和可得NBFC+NFBC+ZBCF=180°,可得

ZAFC必BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得NZFC+ZA/CF=180°,代入即可算出a

的度数，进而完成解答.

【详解】

（1）证明：.「AM//CN,

：.NC=NBDA,

,/A3JL4C于A,

4=90。，

Z4+Z«DA=90°,

/.ZA+NC=90。；

(2)证明：过B作BH//DM,

BD1MA,

ZABD+ZABH=90°,

又丁ABIBC,

ZA8H+NCBH=90°,

ZABD=4CBH,

,/BH"DM,AM//CN

BH//NC,

4CBH=ZC,

ZABD=/C；

(3)设N08E=a,则38FC=3a,

8E平分/ABD,

ZABD-Z.C=2a,

AB±BC,8F平分ND8C,

ZDBC=Z.ABD+A48C=2a+90,即：ZFBC=^Z.DBC=a+4S°

又N8FC+NFBC+N8CF=180°,即：3a+a+45°+NBCF=180°

/.Z8CF=135°-4a,

/.ZAFC=i8CF=135°-4a,

又•「AM//CN,

ZAFC+4/VCF=180°,即：ZAFC+NBC/V+ZBCF=180°,

135。-4。+135。-4。+2a=180,解得a=15。，

/.ZABE=15\

/.ZEBC=NABE+Z.48c=150+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角

平分线的性质是解答本题的关键.

三、解答题

11.（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50°

或130。或60。或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIAB,根据NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得C

解析：（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。或130。或

60。或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIA8,根据NB=50。,ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIED,进而可以判断

AB平行于ED；

（2）根据题意作4811CD,即可N8=NC=35"；

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出N8的度数.

【详解】

解：（1）48平行于ED,理由如下：

如图2,过点C作CFIIAB,

/.Z8CF=Z8=50°,

ZBCD=85°,

：.ZFCD=85°-50°=35°,

・「Z0=35°,

ZFCD=Z0,

/.CFIIED,

1/CFIIAB,

（2）如图，即为所求作的图形.

■：AB\\CD,

ZABC=Z.C=35°,

•••NB的度数为:35°；

图4

A'BWCD,

/.ZABC+AC=180°,

「•/8的度数为：145°；

」.N8的度数为：35。或145。：

(3)如图2,过点C作CFIIAB,

:48IIDE,

CFIIDE,

：.ZFCD=Z0=35°,

,/Z8385°,

Z8CF=850・35°=50°,

/.Z8=NBCF=50\

答：N8的度数为50。.

如图5,过C作CFIIA8,则A8IICFIICD,

如图6,•/ZC=85°,Z0=35°,

c

图6

ZCFD=1800-85o-350=60o,

ABWDE,

：.Z8=ZCFD=6Q\

如图7,同理得：/B=35°+85°=120°,

综上所述，N8的度数为50。或130。或60。或120。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

12.(1)80；(2)①；②

【分析】

(1)过点P作PGIIAB,则PGIICD,由平行线的性质可得NBPC的度数；

(2)①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得NAPE与Na,N0之

间的数量关系；

解析：(1)80；(2)①ZAP£=Na+N〃；②=〃—Na

【分析】

(1)过点P作PGIIA8,则PGIICD,由平行线的性质可得N8PC的度数;

(2)①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得/4PE与Na,/6之间的数量关

系；

②过P作PQIIW,依据平行线的性质可得N6=NQM,Za=ZQPf,即可得到

ZAPE=NAPQ-乙EPQ=N0-Za.

【详解】

解：(1)过点P作PGII48,则PGIICD,

由平行线的性质可得/B+Z8PG=180°,ZC+ZCPG=180°,

又ZPBA=125°,ZPCD=155°,

/.Z8PC=360°-125°-155°=80°,

故答案为：80；

(2)①如图2,

过点P作FD的平行线PQ,

贝ljDFIlPQIIAC,

：.Za=ZEPQ,Z6=ZAPQ,

：.ZAPE=NEPQ+NAPQ=Na+Z6,

/APE与/a,/6之间的数量关系为NAPE=/a+/6：

图2

②如图3,NAPE与Na,N6之间的数量关系为NAP£=N6-Ns理由:

过P作PQIIDF,

DFIlCG,

PQIICG,

Z0=ZQPA,Za=ZQPE,

ZAPE=4APQ-N£PQ=N0-Za.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得

出结论.

13.(1)110°；(2)ZCPD=Za+ZP，见解析；(3)当P在BA延长线时，

ZCPD=Zp-za；当P在AB延长线上时，ZCPD=Za-Z0

【分析】

(1)过P作PEIIAB,通过平行线性质求NA

解析：(1)110°；(2)NCPD=/a+/6,见解析；(3)当P在84延长线时，

ZCPD=Z6-Na；当P在48延长线上时，ZCPD=Za-Z6

【分析】

(1)过P作PEIA8,通过平行线性质求NAPC即可；

(2)过P作PEIIAO交CD于E,推出ADWPEWBC,根据平行线的性质得出/a=ZDPE,

48=/CPE,即可得出答案；

(3)画出图形，根据平行线的性质得出Na=NOPE,z5=zCPE,即可得出答案.

【详解】

解：(1)过点P作PEII48.

,/4811CD,

：.PEII4811CD,

Z4+ZAPE=180°,ZC+ZCP£=180°,

,/Z%8=130°,ZPCD=120\

ZAPE=50°,ZCPE=6Q°,

：.ZAPC=4APE+Z.CPE=110°.

故答案为1100；

(2)ZCPD=Za+Z6,

ADWPEWBC,

Za=ZDPE,Z6=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+NCPE=Z.a+Z6；

(3)当P在8八延长线时，ZCPD=Z6-Za,

理由是：如图4,过P作PEII4。交CD于E,

ADWBC,

：.ADWPEWBC,

Za=ZDPE.N6=NCPE,

ZCPD=ZCPE-Z.DPE=Z6-Za；

当P在48延长线时,ZCPD=Za-Z6,

理由是：如图5,过P作PEII八。交CD于E,

ADWBC,

：.ADWPEWBC,

/.Za=ZDPE,Z6=/CPE,

ZCPD=ZDPE-4CPE=Za-Z6.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学牛.的推理能力，题目是一道比较典型

的题目，分类讨论是解题的关键.

14.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①，见解析；②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性

质得NPAF+NAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF十NP8N十NAP8=360"；(2)①々CPD=Na+,见解析；

②乙CPD=乙口一乙a或乙CPD=乙。一乙B

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFWMN得到PCIIMN,根据平行线的性质得NPAF

+/APC=180°,ZPBN+NCPB=180°,即有NPAF+zP8N+NAPB=360°；

(2)①过P作PEII4。交ON于E,根据平行线的性质，可得到NEPD=Na,

4CPE=40,于是NC尸O=Na+/6；

②分两种情况：当P在0B之间时；当P在04的延长线上时，仿照①的方法即可解答.

【详解】

解：(1)N%F+NP8N+/AP8=360°,理由如下：

作PCIIEF,如图1,

图1

PCWEF,EFWMN,

：.PCWMN,

ZPAF+^APC=180°,ZPBN+NCPB=180°,

ZP4F+ZAPC+Z.P8N+NCPB=360°f

ZPAF+ZP8/V+NAPB=360°；

(2)①4CPD=/a+4,

理由如下：如答图，过P作PEII4。交ON于邑

1,,4011BC,

/.PEIIBC,

/EPD=/a,4CPE=4p,

NCPD=/a+“

,/ADWBC,

：.PEWBC,

ZEPD=Na,ZCPE=邛,

ZCPD=Z«-Z/?；

当P在OA的延长线上时，4CPD=N0—4a,理由如下：

如备用图2,过P作PEIIAD交ON于£,

,/ADWBC,

：.PEWBC,

Z.EPD=乙a,4CPE=Z/7,

乙CPD=4p-4a；

综上所述.NCPD.Na,NB之间的数量关系是NC。。=N£-Na或NCP。=Na-NA.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.难点

是分类讨论作平行辅助线.

15.［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②,根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件卜.，根据/PEA的平分线和/PFC的平分线交于点G,

可得NG的度数.

【详解】

解：［探知如图②，过点P作PMIIAB,

图②

/.ZMPE=ZAEP=50°（两直线平行，内错角相等）

VABHCD（已知）,

APMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.NPFC=NMPF=120。（两直线平行,内错角相等）.

ZEPF=ZMPF-MPE=120,50°=70°（等式的性质）.

答：NEPF的度数为70。；

［应用］如图③所示，

EG是/PEA的平分线，PG是/PFC的平分线，

/.ZAEG=gNAEP=25°,NGCF=；NPFC=60°,

图③

过点G作GMIIAB,

ZMGE=ZAEG=25。（两直线平行，内错角相等）

,/ABHCD（已知）,

AGMIICD（平行于同一关直线的两直线平行），

/.ZGFC=ZMGF=60°（两宜线平行，内错角相等）.

ZG=ZMGF-MGE=60°-25°=35>>.

答：NG的度数是35。.

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

四、解答题

16.（l）ZE、ZCAF；ZCDE、ZBAF；（2）①20°；@30

【分析】

（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与NB相等的角；由等角代换即可得

与NC相等的角；

（2）①由三角形内角和定理可得，

解析：⑴NE、ZCAF；NCDE、ZBAF；（2）①20°；②30

【分析】

（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与NB相等的角；由等角代换即可得与NC相等

的角；

（2）①由三角形内角和定理可得N8+NC=90。，再由NON8二50。根据角的和差计算即

可得NC的度数，进而得ZB的度数.

②根据翻折的性质和三隹形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出/FDE、

ZDFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可.

【详解】

（1）由翻折的性质可得：ZE=ZB,

1/ZBAC=90°,AE±BC,

ZDFE=90°,

1800-ZBAC=1800-ZDFE=90°,

即：ZB+ZC=ZE+ZFDE=90°.

/.ZC=ZFDE,

/.ACIIDE,

NCAF=NE,

NCAF=NE=NB

故与NB相等的角有NCAF和NE；

,/ZBAC=90°,AE_LBC,

...ZBAF+ZCAF=90°,ZCFA=180°-(ZCAF+zC)=90°

ZBAF+zCAF=ZCAF-FZC=90°

ZBAF=ZC

XACIIDE,

/.ZC=ZCDE,

A故与NC相等的角有NCDE、ZBAF；

(2)①「N6AC=90。

/.ZB+ZC=90°

又ZC-Z5=50°,

NC=70。，NB=20。；

②•••ZBAD=x°,ZB=20°则ZADB=\(/)°-x°,ZAO/=20°+x°,

由翻折可知：ZADE=ZADB=\60°-x°,ZE=Z£?=20°,

...Z/DE=140°-2x°/ZDFE=20°+2x°,

当NFDE=NDFE时;140。-23>=20。+2了。，解得：x°=30°；

当NFDE=NE时，140。-*。=20。，解得：x°=60°(因为0Vx“5,故舍去)；

当NDFE=NE时，20。+2.广二20。，解得：工。=0(因为0Vx“5,故舍去)；

综上所述，存在这样的x的值，使得4DEF中有两个角相等.且x=30.

【点睛】

本题考查图形的翻折、三侑形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、

等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识.

17.(1)40°；(2)的值不变，比值为；(3)ZOEC=ZOBA=60°.

【分析】

(1)根据OB平分NAOF,0E平分NCOF,即可得出

ZEOB=ZEOF+ZFOB=ZCOA,从而得出答案;

(2

解析：(1)40。；(2)NOBUNOFC的值不变，比值为(3)NOEC=NOBA=60。.

【分析】

(1)根据OB平分NAOF：OE平分NCOF,即可得出NEOB=NEOF+NFOB=g/COA,从而

得出答案；

(2)根据平行线的性质，即可得出NOBC=NBOA,ZOFC=ZFOA,再根据

ZFOA=ZFOB+ZAOB=2ZAOB,即可得出NOBC：ZOFC的值为1：2.

(3)设NAOB-x,根据两直线平行，内错角相等表示出/CBO-NAOB-x,再根据三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出NOEC,然后利用三角形的内角和等于

180。列式表示出NOBA,然后列出方程求解即可.

【详解】

(1)CBIIOA

ZC+ZCOA=180°

,/ZC=100°

ZCOA=180°-ZC=80°

,/ZFOB=ZAOB,OE平分NCOF

/.ZFOB+ZEOF=g(ZAOF+ZCOF)=^ZCOA=40°;

ZEOB=40°;

(2)ZOBC：NOFC的值不发生变化

,/CBIIOA

ZOBC=ZBOA,ZOFC=ZFOA

,/ZFOB=ZAOB

ZFOA=2ZBOA

ZOFC=2NOBC

ZOBC：ZOFC=1：2

(3)当平行移动AB至NOBA=60。时,ZOEC=ZOBA.

设/AOB=x,

,/CBIIAO,

ZCBO=ZAOB=x,

1,,CBIIOA,ABIIOC,

/.ZOAB+ZABC=180°,ZC+ZABC=180°

ZOAB=ZC=100*.

ZOEC=ZCBO+ZEOB=x+40°,

ZOBA=1800-ZOAB-ZAOB=180°-100°-x=80<>-x,

x+40°=80°-x,

/.x=20°,

/.ZOEC=Z0BA=80o-20°=60°.

【点睛】

本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图

理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

18.解决问题：6；拓展延伸：(1)S1=2S2(2)10.5

【解析】

试题分析：解决问题：连接AE,根据操作示例得到ADE二BDE,

SAABE=SAAEC,从而得到结论;

拓展延伸：