人教版七年级数学上册绝对值化简及求值讲义

绝对值化简与求值专题突破

类型一：已知数在数轴位置，化简绝对值代数式

1.有理数。、b、c的位置如图所示,化简式子：\b\+\a-c\+\b-c\-\a-b\.

—••••

a0cb

【解答】解：由数轴可得：b>0,«-c<0,b-c>0,a-b<0,

故:\b\+\a-c\+\b-c\-\a-b\

=b+c-a+b-c-(b-a)

=b.

2.有理数。、。、c在数轴上的位置如图：

(1)判断正负,用“〉”或”填空：b-c<0,a+b<0,c-a>0.

(2)化简：\b-c\^+b\-\c-a\.

IIII

【解答】解：⑴由图可知，〃VO,b>0,c>0-%」-Qbc

所以，b-c<0,a+b<0)c-a>0;

故答案为：<,<,>；

(2)\b-c\+\a+b\-\c-a\

—(c-b)+(-a-b)-(c-a)

=c-b-a-b-c+a

=-2b.

3.“数形结合”是一种重要的数学方法.如在化简⑷时，当。在数轴上位于原点

的右侧时，同=〃；当〃在数轴上位于原点时，同=0；当。在数轴上位原点的

左侧时，⑷=-〃.试用这种方法解决下列问题.

(1)当〃=1.5,2.5时，㈤--耳=2

alb|

(2)请根据。、b、c三个数在数轴上的位置

①求告+A+存的值.

laiIblIcl

②化简:\a-b\-2|a+b|+|b+c|.••♦•

bc0a

【解答】解：(1)・・Z=L5,人=一2.5,

・・・。>0,bVO,

•|a|b_a_L=I+I=2,

a|bIa~b

故答案为：2;

(2)①由数轴上a,b,c的位置可得：\a\=a,\b\=-b,\c\=-cy

故原式=包上二

a-b-c

=1-1-1

=-1.

②由数轴上a,b的位置可得:a-b>0,a+bVO,b+c<Of

故原式=。-6+2(a+b)-(Z?+c)

=3a-c.

4.有理数仇c在数轴上的位置如图所示，试化简下式:\a-c\-\a-bWa\.

【解答】解：由图可知：c<a<O<b-ca0b

••a-c>0,a-Z?<0,24V0;

原式=a-c+a-b-2a=-b-c.

5.。、匕所表示的有理数如图所示，化简|。+例--加-2(b-a).

【解答】解：•・•从数轴可知：bVOV。，|例》同，

工〃-。>0,a+b<09b°

\a+b\-\a-b\-2(h-a)=-a-b-a+b-2b+2a=-2b.

类型二：已知范围(或分类讨论)化简求值

6.若x>0,y<0,求|工_)，+2|_b_彳_3|的值.

【解答】解：・・”>o,j<0,

.*.x->'+2>0,y-x-3<0,

：.\x-y+2\-\y-x-3\,

=x-y+2+y-x-3,

=-1.

7.当明力，c同号时，求以1Jb|c的值.

ab|cI

【解答】解：当a,b,c都为正数时，原式=旦+?+£=3;

abc

当“，b,c都为负数时，原式=-且-4-£=-3,

abc

所以-J」+c的值为3或一3.

ab|cI

8.已知。+力+c=(),其中。>(),cVO且⑷V|c|,请根据绝对值的意义化简:

(1)-M=1,1^L=-1;

aac

(2)请分析b的正负性，并求出北9+ki^+kM的值.

abc

【解答】解：⑴・・Z>0,CV0,

\a\=a,\ac\=-ac.

«Ia|a।|ac|-ac_j

aaacac

故答案为：1；-1.

(2)Va>0,cvO且|a|v|c|,

:・a<-c,即〃+cVO,

而a+/?+c=O,贝ljb=-(〃+c)>0,即Z?为正.

又b+c=-a,a+c=-b、a+b=-c,

・・.原式=_kL+_M+ld_=i+i+(-1)=i.

abc

9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是」；表示-3和2两点之间的

距离是5;一般地，数轴上表示数m和数〃的两点之间的距离等于心-川.

(2)如果|x+l|=3,那么x=2或-4;

(3)若|。一3|=2,|计2|=1,且数。、力在数轴上表示的数分别是点4、点,

则A、3两点间的最大距离是8,最小距离是2.

(4)若数轴上表示数。的点位于-4与2之叵，则|〃+4|+|〃-2|=6.

-5-4-3-2-1012345>

【解答】解：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4-1=3;表示-

3和2两点之间的距离是：2-(-3)=5,故答案为：3,5;

(2)|x+l|=3,

x+1=3或工+1=-3,

x=2或x=-4.

故答案为：2或-4;

(3)・・・|。一3|=2,内+2|=1,

，。=5或1,b=-1ngb=-3,

当。=5,8=-3时，则A、8两点间的最大距离是8,

当。=1,8=-1口寸，则A、B两点间的最小距离是2,

则A、3两点间的最大距离是8,最小距离是2;

故答案为：8,2;

(4)若数轴上表示数。的点位于-4与2之巨，

1。+4|+|。一2|=(。+4)+(2-a)=6.

故答案为：6.

类型三：分类讨论求最大(小)值

1().点A、3在数轴上分别表示有理数〃、b,A、。两点之间的距离表示为AB,

在数轴上A、3两点之间的距离

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是」数轴上表示1和-3的两点

之间的距离是4;

(2)数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为卜+2|;

(3)若x表示一个有理数，则卜-l|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；

若没有，请说明理由.

AB

—।---1-------1—>

a0b

【解答】解：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是|5-2|=3,数轴上表示

1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|=4;

(2)根据绝对值的定义有：数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x

-(-2)|=仅+2]或|一2-月=/2];

(3)根据绝对值的定义有：W-1I+W+3I可表示为点x到1与-3两点距离之

和，根据几何意义分析可知：

当一3M1时,|x-1|+|x+3|有最小值4.

11.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

二5…二4一4-2-1~6~1~2~3~4~r

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是二；表示-3和2两点之间的

距离是5;•般地,数轴上表示数〃i和数〃的两点之间的距离等于|，〃-川.如

果表示数。和-1的两点之间的距离是3,那么〃=-4或2.

(2)若数轴上表示数。的点位于-4与2之间，则|〃+4|+|〃-2|的值为6;

(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点羽使得lr+2|+|x-5|=7,这些点表

示的数的和是12.

(4)当〃=1时，|。+3|+|〃一1|+|〃一4|的值最小，最小值是7.

【解答】解：⑴H-4|=3,

|-3-2|=5,

-(-1)|=3,

所以，〃+1=3或。+1=-3,

解得。=-4或。=2;

(2)・・•表示数。的点位于-4与2之间，

6?+4>0,〃-2v0,

\a+4\+\ci-2|=(〃+4)+[-(a-2)]=a+4-a+2=6;

(3)使得|x+2|+|x-5|=7的整数点有一2,-1,0,1,2,3,4,5,

-2—1+0+1+2+3+4+5=12.

故这些点表示的数的和是12;

(4)0=1有最小值,最小值=|1+3|+|1-1|+|1-4|=4+0+3=7.

故答案为：3,5,-4或2;6;12;1;7.

类型四：材料探究

12.阅读下面材料：

在数轴上5与-2所对的两点之间的距离：|5-(-2)|=7;

在数轴上-2与3所对的两点之间的距离：|-2-3|=5;

在数轴上-8与-5所对的两点之间的距离：|(-8)-(-5)|=3

在数轴上点A、B分别表示数。、b,则A、B两点之间的距离AB=|a-〃=|。

~a\

回答卜列问题：

(1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是

数轴上表示数犬和3的两点之间的距离表示为卜-3|;

数轴上表示数工和-2的两点之间的距离表示为仅+2|;

(2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下,对式子k+2|+|x-3|进行探究：

①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数A-的点在-2与3之间移动时，k-

3|+仅+2］的值总是一个固定的值为：5.

②请你在草稿纸上画出数轴，要使卜-3|+仇+2|=7,数轴上表示点的数x=—

3或4.

AB

—।--------1----------------

a0b

【解答】解：(1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离=|-2-(-5)|

=3;

数轴上表示数A•和3的两点之间的距离=卜-3|;

数轴上表示数x和-2的两点之间的距离表示为卜+2|;

(2)①当一2人3时，|X+2|+|X-3|=X+2+3-A=5;

②当”>3口寸，工―3+x+2=7,

解得：x=4,

当xV—2时，3-x-x-2=7.

解得x=-3.

•\x=-3或x=4.

故答案为：(1)3;x-3|;x;-2;(2)5;一3或4.

13.阅读下面材料：点4B在数轴上分别表示有理数〃、b,4、B两点之间的

距离表示为依阳.当A、3两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图

1,\AB\=\OB\=\b\=\a-b\,当A、8两点都不在原点时,

OAB

ab0a

图1图2

B’9A

।

ba0b0a

图3图4

点A、5都在原点的右边,如图2,\AB\=\0B\-\OA\=\b\-\a\=b-a=\a-b\-

点A、3在原点的左边,