人教版七年级数学下册期末解答题压轴题试卷及答案

人教版七年级数学下册期末解答题压轴题试卷及答案

一、解答题

1.如图，用两个面积为200c/〃2的小正方形拼成一个大的正方形.

(1)则大正方形的边长是一：

(2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为

4:3,且面积为360c7"?

2.已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度。和宽度〃(单位：米)的取

值范围分别是IOOWQGIO,64<Z?<75.若某球场的宽与长的比是1：1.5,面积为7350

平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由.

3.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

(2)若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

4.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长

方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别

发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗？张华能

用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

5.某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资

产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为

5：3.

(1)求原来正方形场地的周长；

(2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

二、解答题

6.已知，A8II0E,点C在48上方，连接8C、CD.

(1)如图1,求证：ZBCD+ZCDE=Z.ABCx

(2)如图2,过点C作8c交E。的延长线于点F,探究NA8c和NF之间的数量关

系；

(3)如图3,在(2)的条件下，/CFD的平分线交C。于点G,连接G8并延长至点，，

若BH平分/ABC,求/BGD-ZCGF的值.

H

cc

7.已知，AE//BD,NA=N。.

(1)如图1,求证：ABVCD；

(2)如图2,作N/ME的平分线交。。于点尸，点G为48上一点，连接AG,若/。柘的

平分线交线段AG于点〃，连接AC,SZACE=^BAC+Z13GM,过点H作％W_La/交

AG的延长线于点M,且3NE—5NAF〃=18。，求/石4/+NGM〃的度数.

图1

8.己知，4811CD,点E为射线FG上一点.

(1)如图1,若NE4F=25。，ZEDG=45°,则/4£。=.

(2)如图2,当点E在FG延长线上时，此时8与AE交于点H,则/AED、ZEAF.

NEDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

(3)如图3,当点£在FG延长线上时，0P平分/EDC,N4£。=32。，NP=30。，求NEKD

的度数.

9.如图，MN//G”,点A、8分别在直线MN、GH上,点。在宜线MMGH之间，若

ZNAO=ll60,NOBH=144。.

(1)ZAOB=—°；

(2)如图2,点C、D是4JAO、NG8O角平分线上的两点，且NC/M=35。，求NAC。的

度数；

（3）如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线以上的一点，若NM4£=

n^OAE,/HBF=n/OBF,且ZAAB=60。，求"的值.

图1

10.如图1,已知直线COII

A

D

B

图1

(1)若NDAP=40°,ZF3P=70°,则NAPB=

(2)猜想NDAP,ZFBP,N4P8之间有什么关系？并说明理由:

（3）利用（2）的结论解答：

①如图2,APlf8Pl分别平分NOAP,ZFBP,请你写出/P与NPi的数量关系，并说明理

由；

②如图3,AP2,8P2分别平分NCAP,ZEBP,若NAP8=B，求N4P28.（用含B的代数式

表示）

三、解答题

11.为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从

AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯8射线从3尸开始顺时针旋转至8Q便立即回

转，两灯不停交又照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即PQ"MN,且NE4M：NE4N=3:2.

（1）填空：ZBAN=；

（2）若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达3Q之前，A灯转

动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达4N之前.若射出的光束交于点C,过C

作NACO交PQ于点。，且448=126。，则在转动过程中，请探究N8AC与/BCZ）的数量

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

12.综合与探究（问题情境）

土老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

（1）如图1,EFIIMN,点48分别为直线£F、MN上的一点，点P为平行线间一点，请

直接写出N%F、NP8N和NAP8之间的数量关系；

（问题迁移）

（2）如图2,射线与射线ON交于点。，直线mlln,直线m分别交OM、ON于点

A、D,直线〃分别交OM、ON于点8、C,点P在射线0M上运动.

①当点P在八、B（不与4、8重合）两点之间运动时，设N40P=Na,N8CP=NB.则

ZCPD,Na,NB之间有何数量关系？请说明理由：

②若点P不在线段48上运动时（点P与点48、。三点都不重合），请你画出满足条件

的所有图形并直接写出/CPD,Na,N0之间的数量关系.

13.已知射线〃射线CD,P为一动点，AE平分/巧小，CE平分NPCD,且AE与CE

相交于点£.（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）

图1图2图3

（1）在图1中，当点P运动到线段4c上时，ZAPC=180°.直接写出的度数；

（2）当点P运动到图2的位置时，猜想/4EC与Z4PC之间的关系，并加以说明；

（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若

不成立，请写出NAEC与N4PC之间的关系，并加以证明.

14.已知点A,B,。在一条直线上，以点。为端点在直线48的同一侧作射线OC,

OO,OE使/BOC=NEOD=60.

图①图②备用图

（1）如图①，若OD平分/BOC,求/AOE的度数；

（2）如图②，将/EO。绕点。按逆时针方向转动到某个位置时，使得。。所在射线处

N40C分成两个角.

①若NCa）:/8OD=l:2,求N4O£的度数；

②若NCOD:NBOD=1M"为正整数），直接用含〃的代数式表示4OE.

15.（感知）如图①，AB//CD,ZAEP=4（）,ZPFD=130°,求NEP厂的度数.小明想到了

以下方法：

.•.Nl=44稗=40"（两直线平行，内错角相等）

QAB//CD（已知），

s.PMUCD（平行于同一条直线的两直线平行），

..N2+NP尸。=180’（两直线平行,同旁内角互补）.

•・・NP尸。=130°（已知），

.♦.N2=180-130"=50、（等式的性质）.

.•.NI+N2=40+50=90（等式的性质）.

即/EP尸=90°（等量代换）.

（探究）如图②，AB//CD,ZAEP=50,ZPFC=120\求NEP厂的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，NP£4的平分线和NPPC的平分线交于点

G,则NG的度数是\

四、解答题

16.如图，在AAAC中，AO是高，A£是角平分线，Ztf=20°,ZC=60°.

（［）求NC4。、ZAEC和/£4。的度数.

（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当N8=30。，ZC=60\则

ZE4£>=。.

当"=50°,NC=60。时，则ZE4£>=°.

当N8=6（）c,NC=60°时，贝>.

当N〃=70。，NC=60°时，则ZE4£>=

（3）若DB和NC的度数改为用字母。和夕来表示，你能找到NE4O与。和夕之间的关系

吗？请直接写出你发现的结论.

17.在中，射线4G平分ZR4C交8c于点G,点。在8c边上运动（不与点G重

合），过点。作。石〃AC交48于点E.

（1）如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分NEDB.

①若N84C=10（V,ZC=30\则Z4">=；若N6=40‘，则；

②试探窕NA/7）与DB之间的数量关系？请说明理由；

（2）点。在线段8G上运动时，N8Z）£的角平分线所在直线与射线AG交于点F.试探究

幺"）与D"之间的数量关系，并说明理由.

18.操作示例：如图1,在4阳。中，4。为8c边上的中线，ZiAB。的面积记为Si,&ADC

的面积记为S2,则S1=S2.

解决问题：在图2中，点。、上分别是边A8、8c的中点，若△8。上的面积为2,则四边形

ADEC的面积为.

拓展延伸：

（1）如图3,在△48C中，点D在边8C上，且8D=2CD,2X48。的面枳记为5i,△ADC的

面积记为S2.则Si与S2之间的数量关系为.

（2）如图4,在△A8c中，点。、E分别在边48、AC上，连接8£、CD交于点。，且

B0=2E0,CO=DO,若△80C的面积为3,则四边形4D0E的面积为.

19.RtZkABC中，NC=90。，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令

ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且Na=50。，则N1+N2=°；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则/a、/I、/2之间的关系为：:

图1图2

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则Na、Nl、N2之间有何关系？

图3图4

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则Na、Z1>N2之间的关系为：.

20.如果三角形的两个内侑。与夕满足2。+/7=90。，那么我们称这样的三角形是“准互余

三角形

图1图2

（1）如图1,在RhABC中，ZACB=90°,是AA/C的角平分线，求证：△A8O是

“准互余三角形〃；

（2）关于“准互余三角形〃，有下列说法：

①在△A3C中，若乙4=100。，N8=70。，ZC=10°,则是“准互余三角形”；

②若AABC是“准互余三角形“，ZC>90°,NA=60。，则/4=20。；

③“准互余三角形”一定是钝角三角形.

其中正确的结论是（填写所有正确说法的序号）；

（3）如图2,B,。为直线/上两点，点A在直线/外，且NABC=50。.若P是直线/上一

点，且△A8P是“准互余三角形”，请直接写出Z4尸8的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）无法裁出这样的长方形.

【分析】

（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

（2）设长方形长为cm,宽为cm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小

解析：（1）20；（2）无法裁出这样的长方形.

【分析】

（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解：

（2）设长方形长为4xcm,宽为3xcm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小即

可.

【详解】

解：（1）由题意得，大正方形的面积为200+200=4005）2,

「•边长为：x/400=20（vn;

（2）根据题意设长方形长为4xcm,宽为3xcm,

由题：4x-3x=360

则f=3（）

vx>0

/.x=>/30

・••长为4同

4回>20

•.无法裁出这样的长方形.

【点睛】

本题考查了算术平方根，根据题意列出算式（方程）是解决此题的关键.

2.符合，理由见解析

【分析】

根据宽与长的比是1：1.5,面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出

答案.

【详解】

解：符合，理由如下：

设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5bxb

解析：符合，理由见解析

【分析】

根据宽与长的比是L1.5,面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案.

【详解】

解：符合，理由如下：

设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5bxb=7350,

b=70,或b=・70（舍去），

即宽为70米，长为1.5x70=105米，

,/100<105<110,64<70<75,

「•符合国际标准球场的长宽标准.

【点睛】

本题考查算术平方根的意义，列出方程求出长和宽是得出正确答案的前提.

3.（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的止方形纸片的边长为acm

解析：（1）可以以正方形•边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为4000712的正方形纸片的边长为。011

a2=400

又，a>0

a=20

又•••要裁出的长方形面积为300cm2

一.若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为：3004-20=15（cm）

・•・可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

（2）,••长方形纸片的长宽之比为3：2

二.设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

/.6x2=300

x2=50

又二x>0

.'.x=5x/2

.••长方形纸片的长为15〃

乂（15可=450>202

即：15a>20

••・小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

4.不同意，理由见解圻.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则

3x*2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘

米，由于

解析：不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x・2x=300,

x2=50,解得x=5&，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20座米，由于15&>20,

所以用一块面枳为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方

厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.

试题解析：解：不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x(x>0)cm,则宽为2xcm,

依题意得：3x«2x=300,6x2=300,x2=5O,:x>0,x=闻=5&，..•长方形纸片的长为

15五cm,50>49,572>7,1572>21,即长方形纸片的K大于20cm,由正方形

纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,••.长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.

答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0

的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.

5.(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长;面积的算术平方根，周长二边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3am,则长为

解析：(1)原来正方形场地的周长为80m；(2)这些铁栅栏够用.

【分析】

(1)正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长x4,由此解答即可；

(2)长、宽的比为5：3,设这个长方形场地宽为3om,则长为5am,计算出长方形的长

与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用.

【详解】

解：(I)^/400=20(m),4x20=80(m),

答：原来正方形场地的周长为80m；

(2)设这个长方形场地宽为3am，则长为5am.

由题意有：3ox5a=300,

解得：。=±而，

3a表示长度,

/.a>0,

a=>/20,

「•这个长方形场地的周长为2(3a+5a)=16a=16而(m),

•••80=16x5=16xV25>16>/20,

这些铁栅栏够用.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的

周长.

二、解答题

6.（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据

平行线的性质可得，由此即可得证；

（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质

解析：（1）证明见解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）过点。作先根据平行线的性质可得NA6C+N8C〃=180。，再根据平行公

理推论可得6〃。石，然后根据平行线的性质可得NCOE+N8b+N8CD=180。，由此即

可得证；

（2）过点C作CG〃AB,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+Z^CG=180°,ZF+ZBCG+ABCF=180°,从而可得NABC-NF=NBCF,再

根据垂直的定义可得N8C/=90。，由此即可得出结论；

（3）过点G作GM||A8,延长AG至点N,先根据平行线的性质可得NAB”=/MG月，

/MGN=4DFG,从而可得ZMGH-/MGN=ZABH—NDFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMG”-NMGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

/BGD-ZCGF=/MGH-/MGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点C作C/〃八8,

,\ZABC+ZBCF=180°,

CFPDE,

;"CDE+/DCF=180°,BPZCDE+ZBCF+^BCD=\iO0,

;"CDE+/BCF+/BCD=ZABC+NBCF,

ZBCD+NCDE=ZABC：

(2)如图，过点C作CG〃八A,

ZABC+NBCG=180。,

vAB\\DE,

：.CG\\DE,

ZF+ZFCG=180°,ZF+ZBCG+ZBCF=180°,

/.ZF+/BCG+ZBCF=/ABC+ZBCG,

；.ZABC-/F=/BCF,

•.・ChBC,

/.NBCF=90。,

/.ZABC-ZF=90°：

(3)如图，过点G作GM||A8,延长尸G至点N,

ZABH=ZMGH,

•••

「.GM||DE,

:.^MGN=ZDFG,

♦.•8〃平分ZA4C,FN平分NCFQ,

:.NABH=-ZABC,/DFG=-ZCFD,

22

由(2)可知，ZABC-ZCF£>=90°,

?.ZMGH-4MGN=/ABH-4DFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

_JNBGD=NMGH+4MGD

又,[ZCGF=2DGN=4MGN+NMGD'

/./BGD-Z.CGF=/MGH-ZMGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟栋掌握平行线的性

质是解题关键.

7.（1）见解析；⑵

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换区得，最后根据平行线的判定即

可得证；

（2）过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：（1）见解析；（2）72°

【分析】

（1）根据平行线的性质得出44+/8=180°,再根据等量代换可得N8+NO=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

（2）过点E作EP//CD,延长。C至Q,过点M作MN〃A8,根据平行线的性质及等量

代换可得出==再根据平角的含义得出NEW=NCAG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出々HF=NCFH/CFA=NEW:设

NFAR=a,NCFHS根据角的和差可得出N4EC-,结合已知条件

344瓦?-54/77=180。可求得"产〃=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

（1）证明：vAE//BD

.-.ZA+ZB=180°

\-ZA=ZD

ZB+ZD=180°

/.AB//CD；

（2）过点E作砂//CO,延长DC至a，过点M作MN//AB

VAB!/CD

ZQCA=ZCABf4BGM=/DFG,4CFH=4BHF,^CFA=FAG

Z4CE=ZBAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ZBAC+/BGM

NECQ=NBGM=NDFG

•.•NECQ+ECD=180°,4DFG+CFG=180°

4ECF=4CFG

AB//CD

/.ABHEP

NPEA=/EAB,ZPEC=NECF

•••ZAEC=APEC-/PEA

:.ZAEC=NECF-NEAB

乙ECF=ZAEC+ZEAB

••,4F平分

Z.EAF=ZFAB=-ZEAB

2

•；FH平分/CFG

4CFH=4HFG=-ZCFG

2

QCD//AB

：./BHF=4CFH,ZCFA=/FAB

设4FAB=a,4CFH=0

ZAFH=ZCFH-ZCFA=ZCFH-ZFAB

"AFH=B-a,乙BHF=々CFH=p

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAR+2ZAFH=ZAEC+2J3

NECF+2ZAFH=NE+2/BHF

/.ZAEC=2ZAFH

•.•3NAEC-5/4/77=180。

ZAFH=18°

♦;FH1HM

ZFHM=90°

4GHM=9伊一0

ZCFM+ZNMF=\80°

/HMB=4HMN=90°-p

•「ZE4F=ZE4B

/LEAF=ZCE4=4CFH-AAFH=/7-18°

ZE4F+ZGMH=/?-l8°+9()o-/?=72o

ZE4F+ZGM//=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

8.(1)70°；(2),证明见解析；(3)122°

【分析】

(1)过作，根据平行线的性质得到，，即可求得；

(2)过过作，根据平行线的性质得到，，即；

(3)设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线

解析：(1)70°；(2)NEAF=ZAED+NEDG,证明见解析；(3)122。

【分析】

(1)过E作EF//AB,根据平行线的性质得到㈤/=乙后/=25。，ZEAG=ZDEH=45°,

即可求得NAEQ;

(2)过过E作EA7//A8,根据平行线的性质得到/"尸=180。-4必£〃，

^DG+ZAED=}SO°-MEH,即=NA££>+NEDG；

(3)设NE4/=x,则N期石=3x,通过三角形内角和得到NK/W=x-2。，由角平分线定义及

A8//CD得至1」3《=32。+2.4。，求出］的值再通过三角形内角和求NEKD.

【详解】

解：(1)过石作

-AB//CD,

:.EF//CD,

ZEAF=ZAEH=25°,ZEAG=ZDEH=45°,

ZAED=ZAEH+4DEH=70°,

故答案为：70°；

(2)NEAF=ZAED+NEDG.

理由如下:

过E作EW/A4B,

-AB//CD,

:.EMffCD,

：.^EAF+ZMEH=\S(T,ZEDG+ZAED+MEH=180°,

.•.Z£4F=18O0-ZJWEH,ZEDG+ZAED=-MEH,

:.ZEAF=^AED+NEDG；

图2

(3)VZE4P:ZE4P=1:2,

设NE4P=x,则/班E=3x,

•.­ZA£D-ZP=32°-3(r=2o,ZDKE=ZAKP,

又•.•4EDK+ZDKE+ZDEK=180°,ZKAP+乙KPA+ZAKP=180。，

;.NEDK=ZEAP-2?=x-h,

•;DP平分/EDC,

：.Z.CDE=2乙EDK=2M-4。，

AB//CD,

/FHC=/F.AF=/AFD+/F.DG,

即3*=32。+2'—4。，解得R=28。，

.•.NEDK=280-2°=26。，

NEKD=180O-260-320=122°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键.

9.(1)100；(2)乃°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过。作OP〃MN,由MN//OP//GH得NNAO+ZPOA=180°,

ZPOB+ZOBH=180°,即NNAO+ZAOB+ZOB

解析：(1)100；(2)75°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过O作OP〃"/V,由MN〃OP〃GH得NM40+NPO4=180。，

ZPOB+Z08H=880°,即NNAO+Z.AOB+Z08H=360。，即可求出NAOB；

(2)如图：分别延长AC、CD交GH于点、E、F,先根据角平分线求得NN4C=58。，再根据

平行线的性质得到NCE尸=58。：进一步求得NZ>8F=18。.NDFB=17。,然后根据二角形外

角的性质解答即可；

(3)设8F交MN于K,由NM4O=116°,得N/VMO=64°,故NMAE=/一x64,同理

n+\

ZOBH=144°,ZHBF=nAOBF,得NF8H=/一x144,从而NWC4=/刊汨=/一xl44。，乂

〃+ln+1

ZFKN=Z.F+ZFAK,得」-xl44=60+/-x64°,即可求

n+\77+1

【详解】

解：(1)如图：过。作OP〃M/V,

,/MN//GHI

：.MN//OP//GH

：.ZA/AO+NPOA=180°,ZP08+N08H=180°

ZNAO+Z.AOB+Z.08H=360°

丁ZNAO=116°,Z08H=144°

••・Z408=360°-116°-144°=100°；

（2）分别延长47、CD交GH于点、E、F,

,/AC平分ZM4O且ZAWO=116°,

ZA^C=58°,

又•••MN//GH,

/.ZCEF=58°；

,/NORH=144。，ZOBG=36°

1/BD平分NOBG,

NDBF=18。,

又ZCDB=35°,

NDFB=NCDB-/DBF=35-18=17°；

：.ZACD=ZDFB+ZAEF=170+58°=750；

(3)设F8交MN于K,

ZA^4E=—x64°

〃+l

,/NOB"=144。，

ZFBH=-x144°,ZBKA=ZFBH=-x144°,

n+\〃+l

17

在△弘K中，Z«K^=ZF/C4+ZF=—x640+60o,

〃+1

/.—xl44°=—x64°-60°,

n+\n+\

n=3.

经检验：〃=3是原方程的根，且符合题意.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进

行求解是解答本题的关键.

10.（1）110°；（2）猜想：ZAPB=ZDAP+ZFBP,理由见解析；（3）

①NP=2ZPl,理由见解析；②NAP2B=.

【分析】

（1）过P作PMIICD,根据两直线平行，内错角相等可得NAPM二

解析：（1）110°；（2）猜想：NAPBMDAP+NFBP,理由见解析；（3）0ZP=2ZPi,

理由见解析；②N">28=180。-g.

【分析】

（。过P作PMIICD,根据两直线平行，内错角相等可得NAPM=/mP,再根据平行公理

求出COIIEF然后根据两直线平行，内错角相等可得NA4P8NF8P,最后根据

ZAPM+NMPB"DAP+NFBP等最代换即可得证；

（2）结论：ZAPB=ZDAP+ZFBP.

（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得

，APB=4DAP+4FBP,Z4P2B=ZCAP2+^EBP2,然后根据角平分线的定义和平角等于180。

列式整理即可得解.

【详解】

（1）证明：过P作PMIICD,

A

（1）题图

AZAPM=ADAP.（两直线平行，内错角相等），

VCDIIEF（已知），

APMWCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

...NMPB=NFBP.（两直线平行，内错角相等），

ZAPM+ZMPB=ZDAP+乙FBP.（等式性质）即/APB=ADAP+Z.FBP=400+70o=110°.

（2）结论：ZAPB=ADAP+ZFBP.

理由：见（1）中证明.

（3）①结论：ZP=2ZPi;

理由：由(2)可知：4P=匕DAP+4FBP,ZPi=ZD4P1+ZFBPlf

■：ZDAP=2^DAPy,4FBP=2NFBPi,

ZP=2ZPi.

②由①得/APB=N£MP+/FBP,ZAPZB=NCAP2+AEBP2,

•：APi.8P2分别平分/CAP、ZEBP,

/C4P2=；NCAP,NEBPz=；NEBP,

ZAP2B=^CAP+^Z.EBP,

=7(180°-ZDAP)+7(180°-ZFBP),

=180°-；(ZDAP+NFBP),

=180°-；N4P8,

=180°-；6.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，

难点在于过拐点作平行线.

三、解答题

11.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，NBAU2NBCD

【分析】

(1)根据NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒，

解析：(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据N8AM+N8NN=180°,ZBAM：ZBAN=3t2,即可得到/84/V的度数；

(2)设八灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0<tV90时，根

据2f=1・(30+f),可得t=30；当90VtV150时，根据1・(30+f)+(2M80)=180,可得

r=no；

(3)设灯4射线转动时间为t秒,根据N8AC=2t-108°,ZBCD=126°-ZBC4=f-54°,即可得

出N847：ZBCD=2：1,据此可得N84C和NBC。关系不会变化.

【详解】

解：(1)•/ZBAM+Z.BAN=130°,ZBAM：ZBAN=3：2,

2

/.ZMA/=180°x-=72%

故答案为：72；

(2)设八灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0VtV90时,如图1,

QCBP

,/PQIIMN,

ZPBD-Z.BDAf

,/ACWBD,

ZCAMMBDA,

：.ZCAMMPBD

2t=l・(30+t),

解得t=30；

②当90VtV150时，如图2,

•「PQIIMN,

：./PRD+/

1/ACWBD,

ZCAA/=ZBDA

ZP8D+NCAN=180°

1・(30+f)+(2M80)=180,

解得t=110,

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)/84C和/8CD关系不会变化.

理由：设灯八射线转动时间为t秒，

QBDP

ZBAC=72°-(1800-2r)=2t-108°,

又•「ZABC=108°-t,

Z8c4=180°-NABC-/.BXC=180°-t,而/ACD=126°,

：.ZaCD=1260-ZBCA=126°-(1800-t)=t-54°,

/.ZBAC：ZBCD=2：1,

即NBAC=2ZBCD,

/.Z8AC和/BCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要考查J'平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等：两直线平行，同旁内角互补.

12.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①，见解析；②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性

质得NPAF+ZAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF+NP8N+N4P8=360°；(2)®ZCPD=Za+Z/?,见解析；

②乙CPD=乙0—乙a或乙CPD=—乙0

【分析】

(1)作PGIEF,如图1,由PCIIEF,EFWMN得到PCIIMN,根据平行线的性质得/%F

+ZAPC=180°,ZP8A/+NCPB=130°,即有N勿F+NPBN+NAPB=360°；

(2)①过P作PEIM。交0/V于E,根据平行线的性质，可得到N£PD=Na,

NC尸石=//，于是NCPO=Na+N£；

②分两种情况：当P在0B之间时；当P在。4的延长线上时，仿照①的方法即可解答.

【详解】

解：(1)N%F+NPBA/+NaP8=360°,理由如下：

作PCIIEF,如图1,

图1

PCIIEF,EFWMN.

PCIIMN,

：.ZgF+NAPC=180°,ZPBN+NCPB=180°,

：.ZPAF4-ZAPC+Z.PBN+NCPB=360°f

ZPAF+ZPBN+zAPB=360°；

(2)①NCTO=Na+4?,

m

n

M，

A

图2

理由如下：如答图，过P作PEII月。交ON于E,

,/ADW8C,

/.PEWBC,

；./EPD=/a,/CPE=",

：./CPD=Na+N0

②当P在。8之间时，ZCPD=Z«-Z/7,理由如下:

如备用图1,过P作PEIIAD交ON于E,

40IIBC,

/.PEIIBC,

NEPD=Na,ZCPE=//,

ZCPD=Za-Z/?；

当P在0A的延长线上时，ZCPD=Z^-Za,理由如下:

如备用图2,过P作PEIIA。交ON于£,

•••ADWBC,

/.PEWBC,

/EPD=Na,/CPE=4,

ZCPD=Z/7-Za；

综上所述，ZCPD,Za,/B之间的数量关系是NC9=N4—Na或NCPD=Na-N/.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.难点

是分类讨论作平行辅助线.

13.(1)；(2),证明见解析；(3),证明见解析.

【分析】

(1)过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平

行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；

解析：(1)90°；(2)ZAPC=2ZAEC,证明见解析；(3)Z4PC+2ZAEC=360°,证

明见解析.

【分析】

(1)过点E作EF//AB,先根据平行线的性质、平行公理推论可得

ZAEF=/BAE/CEF=NDCE,从而可得NAEC=/BAE+ZDCE,再根据平行线的性质可

得N批6+NP8=18(T,然后根据角平分线的定义可得

/BAE=1NPAB,ZDCE=gNPCD,最后根据角的和差即可得；

22

(2)过点、E作EF//AB,过点乍先根据(1)可得

ZAEC=N84E+NOCE=g(NPA4+NPCO),再根据(1)同样的方法可得

ZAPC=/PAB+NPCD,由此即可得出结论；

(3)过点E作EF//AB,过点。作PQ//AB,先根据(1)可得N218+NPCD=2ZAEC,

再根据平行线的性质、平行公理推论可得乙针。=180。-NPA8.NCPQ=180。-NPC。，然

后根据角的和差、等量代换即可得出结论.

【详解】

解：(1)如图，过点E作EF//AB,

：.ZAEF=ZBAE,

QAB//CD,

..EF//CD,

：.ZCEF=ZDCE,

ZAEC=ZAEF+NCEF=NBAE+NDCE,

又Q/W//CD,且点P运动到线段AC上，

NPAB+NPCO=180°,

••,A£平分C£平分NPC。，

:./BAE=-/PAB,ZDCE=-4PCD,

22

/./AEC=-ZPAB+-/PCD=-(NPA8+NPCD)=90°:

222

(2)猜想ZAPC=2ZAEC,证明如下：

如图，过点、E作EF//AB,过点P作PQ//A8,

由(1)已得：么EC=ZBAE+/DCE=工(NPAB+/PCD),

2

同理可得：ZAPC=NPAB+NPCD,

/.Z4PC=2ZAEC；

(3)ZAPC+2ZA£C=360°,证明如下：

由(1)已得：NAEC=NBAE+NDCE=1/PAB+NPCD),

2

即NPAB+NPCD=2ZAEC,

PQ//AB,

：.AAPQ+ZPAB=180°,即ZAPQ=1800-4PAB,

QAB//CD,

PQ//CD,

NCPQ+NPCD=180°,即NCPQ=180O-NPCD,

ZAPC=ZLAPQ+Z.CPQ,

=180°-NPAB+1800-/PCD,

=360°-(Z^4«+ZPCD),

=360°-2ZAEC,

即ZAPC+2ZAEC=360°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的

性质是解题关键.

14.(1)；(2)①；②.

【分析】

(1)依据角平分线的定义可求得，再依据角的和差依次可求得和，根据邻补角

的性质可求得结论；

(2)①根据角相等和角的和差可得NEOC二NBOD,再根据比例关系可得，最

解析：(1)ZAOE=90°；(2)①ZAOE=80。：②ZAOE=(120-竺当。.

〃+1

【分析】

(1)依据角平分线的定义可求得NCOQ=30。，再依据角的和差依次可求得NEOC和

N80E,根据邻补角的性质可求得结论；

(2)①根据角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根据比例关系可得/8OO,最后依

据角的和差和邻补角的性质可求得结论；

②根据角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根据比例关系可得N88,最后依据角的

和差和邻补角的性质可求得结论.

【详解】

解：(1)•:0。平分N20C,NBOC=NEOD=60°,

：.NCOD=L/BOC=30。,

2

/.ZEOC=ZEOD-ZCOD=30°,

ZBOE=ZEOC+ZLBOC=90°,

ZAOE=180°-ZfiOE=90°：

(2)①•「4BOC=/EOD,

：.ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

ZEOC=ZBOD,

,/ZBOC=60°,NCOD:NBOD=1:2,

2

ZSOD=60ox-=40°,

/.NEOC=/BOD=4(r,

/./BOE=/EOC+NBOC=100。,

ZAOE=180°-/BOE=80°；

②NBOC=NEOD,

/.ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

/.ZEOC=ZBOD,

1/ZBOC=60°,ZCOD:ZBOD=\:n,

：.ZBOD=60°x—=(—)°,

n+\〃+l

ZEOC=ZBO£>=(—)°,

〃+l

/BOE=ZEOC+NBOC=(—+60)°.

n+\

ZAOE=180°-ZBOE=(120--)°.

〃+1

【点睛】

本题考查邻补角的计算，侑的和差，角平分线的有关计算.能正确识图，利用角的和差求

得相应角的度数是解题关犍.

15.［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件卜，根据/PEA的平分线和/PFC的平分线交于点G,

可得NG的度数.

【详解】

解：［探究］如图②，过点P作PMIIAB,

女......M

图②

.,.NMPE=NAEP=50。（两直线平行，内错角相等）

VABHCD（已知）,

APMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.NPFC=NMPF=12O°（两直线平行,内错角相等）.

ZEPF=ZMPF-MPE=120,50o=70o（等式的性质）.

答：NEPF的度数为70。；

［应用］如图③所示,

图③

过点G作GMIIAB,

ZMGE=ZAEG=25。（两直线平行，内错角相等）

ABIICD（已知），

/.GMIICD（平行于同一%直线的两直线平行），

/.ZGFC=ZMGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

/.ZG=ZMGF-MGE=600-25o=35o.

答：NG的度数是35\

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

四、解答题

16.(1)30。,70°,20°；(2)15°,5°,0°,5°；(3)当时，；当时，.

【分析】

(1)先利用三角形内用和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分