人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题51 平行线的判定【九大题型】（原卷版+解析）

专题5.1平行线的判定【九大题型】

【人教版】

【题型।对顶角的识别及其性质】...............................................................1

【题型2平行、垂直】..........................................................................2

【题型3平行公理及其推论】...................................................................4

【题型4同位角相等，两直线平行】.............................................................5

【题型5内错角相等，两直线平行】.............................................................6

【题型6同旁内角互补，两直线平行】............................................................7

【题型7平行线的判定方法的综合运用】.........................................................8

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】.....................................................9

【题型9平行线判定的实际应用】..............................................................11

”7岁*三

【题型1对顶角的识别及其性质】

【例1】（2022•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）下列各图中，团1与团2是对顶角的是（）

【变式（2022•广东•揭西县阳旻华侨中学七年级期末）已知：如图，直线A3、CO相交于点。，OE平

分（MOC,^EOC=^COB.

OB

D

⑴图中的对顶角有对，它们是.

⑵图中互补的角有对，它们是.

⑶求团£0。的度数.

【变式1-2]（2021•山东・济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB,CO相交于点。，OEJZT）,。尸平

分LAUD、若ZAOD=50°.求，E0"的度数.

【变式1-3]（2022•辽宁•鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线48,C。相交于点。，0E平分，8。。，。户平

分“0£

（1）若乙4。。=76°,乙BOF=度.

（2）若48。尸=36。,乙40c的度数是多少?

【题型2平行、垂直】

[ft2]（2022•福建•厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线//上，点B,C在直线〃

上，A应〃，AG3Z/,AB=4,8c=3,则下列说法正确的是（）

A.点A到直线匕的距离等于4

B.点C到直线//的距离等于4

C.点C到A3的距离等于4

D.点B到AC的距禽等于3

【变式2-1］（2022•广西・钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（)

A.在同一平面内,a,b,c是直线，且a||b,b||c,Malic

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且a_Lb,bA.c,则a1c

C.在同一平面内,a,b,c是直线，且a||b,b1c,则allc

D.在同一平面内，a,b,c是直线，月.，。||46|忆则。1。

【变式2-2］（2022・吉林•公主岭方陶家中学七年级阶段练习）如图，因为ABJ.，，BC1I,B为垂足，所以

AB和BC重合，其理由是（）

A

C

----------------------7

B

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.垂直同一条直线的两条直线平行

D.垂线段最短

【变式2-3］（2022•江苏•九年级）如图，点A、点3是直线/上两点，44=10,点M在直线/外，M8=6,

MA=8,0AM3=9O。，若点。为直线/上一动点，连接MP,则线段MP的最小值是.

【知识点平行线的判定】

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）

【题型3平行公理及其推论】

【例3】（2022•江西上饶•七年级期中）同一平面内的四条直线若满足blc,cld,则下列式子成

立的是（）

A.a||dB.bldC.a1dD.b\\c

【变式3-1］（2022・河南深河•七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线。和〃，得到川协,

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条宜线平行

【变式3-2］（2022•湖北武汉•七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③〃，b,

c是同一平面内的三条直线，若。%，b//c,则a//c；④。，b,c是同一平面内的三条直线，若aLb,

blc,PWalc；其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3-3］（2022•四川•甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，ABWCD,如果21=42,那么Er与

4B平行吗？说说你的理由.解：因为41=42,

所以II.（）

又因为ABIICD,

所以ABIIEF.)

DC

【题型4同位角相等，两直线平行】

【例4】(2022•甘肃•陇南育才学校七年级期末)如图,AB1MN,垂足为B,CD1MN,垂足为D,N1=Z2.在

下面括号中填上理由.

因为AB1MN,CD1MN,

所以N/BM=NCDM=90。.

乂因为41=42(),

所以々ABM-zl=zCDM-Z2(),

^Z.EBM=Z.FDM.

所以EB||FO()

【变式4.1】(2022・湖北•新春县向桥乡白水中学七年级阶段练习)如图，过直线外一点画已知直线的平行

线的方法叫"推平行线”法，其依据是.

【变式4-2](2022•山东泰安•七年级期末)如图，ABLBC,41+々2=90。，乙2=匕3.请说明线段BE与

。产的位置关系？为什么？

【变式4-3］（2022•北京东城•七色级期末）如图，直线］与直线48,G）分别交于点E,F,乙1是它的补角的

3倍，zl-z2=90°.判断与CD的位置关系，并说明理由.

【题型5内错角相等，两直线平行】

【例5】（2022•山东・曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线OE上，A庞L4C于A,01与0C互

余，。月和8c平行吗？若平行，请说明理由.

【变式5-1］（2022•北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知乙1二75。，42=35。，Z3=40°,求证:

【变式5-2］（2022•福建•莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，C尸是△力8c外角々ACM的平分线,

乙1CB=4O°,Zi4=70°,求证:ABWCF.

A

【变式5-3］（2022•辽宁•阜新市第十中学七年级期中）如图，A13WDE,^CAB^BAD,试说明

ADWBC.

【题型6同旁内角互补，两直线平行】

【例6】（2022•河北衡水•七年级阶段练习）已知：z_A=/.C=120°,^AEF=/.CEF=60°,求证：ABWCD.

BA

F，七

DC

【变式6-1］（2022•西藏昂仁县中学七年级期中）如图，0CA/9=2O°,团8=70。，求证：AD\\BC.

【变式6-2］（2022•甘肃•平凉市第七中学七年级期中）如图，Z1=30°,^=60o,AB1AC.

A

（1）N04B+N8等于多少度？

（2）八D与AC平行吗？请说明理由.

【变式6-3］（2022•北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点七在/3C上，BD^AC,E/^AC,垂足分

别为。，F,点M,G在45上，GF交BD于点、H,0BMD+a4BC=18O°,01=02,求证：MD\GF.

A

下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据.

证明：0BZM4C,Ef^AC,

团团8QC=90°,0EFC=90°（①）.

WDC=^EFC（等量代换）.

配DUE/（同位角相等，两直线平行）.

002=@CZ?D（②）.

001=02（已知）.

m=^CBD（等量代换）.

回③—（内错角相等，两直线平行）.

00^WD+0ABC=18O°（已知），

团MDIIBC（④）.

^MDWGF（⑤）.

【题型7平行线的判定方法的综合运用】

【例7】（2022•广西贺州•七年级国末）如图，有下列条件：①，1=42；（2）Z34-Z4=180°；@Z5+Z6=

180°；④乙2=，3.其中，能判断直线allb的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式7-1］（2022•浙江台州•七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道42

是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不用判断两条直轨是否平行（）

铁轨

枕木

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【变式7・2】（2022•山西临汾•七年级期末）在下列图形中,已妇乙1=42,一定能推导出匕II%的是（）

【变式7-3】（2022・山东日照•七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DEIIBC的是（）

A.Z.1=Z.2B.Z.3=Z4C.z.5=Z.CD.乙B+乙BDE=180°

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】

【例8】（2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形48C。中，〃DC+乙4"=180°,

Z.ADF+Z.AFD=90",点、E、尸分另lj在OC、A8上，KBE.。尸分另lj平分IM8C、E3AOC,岁lj断/£、。尸是

否平行，并说明理由.

AB

【变式8-1］（2022•江苏•扬州市邪江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整:

已知：如图，点E在A3上,且CE平分IMCO,回1=团2.求证：ABWCD.

证明：田CE平分财C。（已知），

002=0（）.

（2101=02（已知）,

0（211=0（）.

^ABWCD（）.

【变式8-2］（2022•辽宁沈阳•七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整

如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F,>01=02.幽8尸的角平分线BE交直线DG于点E,⑦BFG

的角平分线R7交直线AC于点C.

求证:BE||CF.

证明：001=02（已知）

EL4/?F=01（对顶角相等）

团BFGF2（）

酶A3F=（等量代换）

团BE平分财8尸（已知）

^EBF=-（）

2---------------------------------------------------

团尸。平分田BrG（已知）

团匕CFB=-（）

2--------------------

00EBF=

gBEIICF（）

【变式8-3］（2022•内蒙古•扎赞特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在C。上，已知zB4G+匕/lGD=

180u,区4平分N8AG,"G平分4AGC.请说明AX||GP.的理由.

解：因为/BAG+LAGD=180°（已知），

Z.AGC+^AGD=180°（）,

所以的G=^AGC（）.

因为E4平分

所以N1=\z-BAG{）.

因为FG平分乙4GC,

所以△2=：,

得，1=42（等量代换），

所以（）.

【题型9平行线判定的实际应用】

【例9】（2022•全国•七年级课时练习）如图，若将木条〃绕点。旋转后使其与木条〃平行，则旋转的最小

角度为（）

O150°

65°

b

A.65°B.85°C.95°D.115°

【变式9-1］（2022•河南•郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿A5进行折叠的方法

中，不一定能判断纸带两条边人互相平行的是（）

图1

A.如图1,展开后测得团1=团2B.如图2,展开后测得131=132且133=04

C.如图3,测得团1=团2D.在图4中，展开后测得团1+团2=180。

【变式9-2］（2022•全国•七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向

相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向右拐40。,第二次向右拐140。.

B.第一次向右拐40。，第二次向左拐40。.

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。.

D.第一次向右拐140。，第二次向左拐40。.

【变式9-3］（2022•江苏•南京外国语学校七年级期中）如图，n、b、c三根木棒钉在一起,41=70°,Z2=100°,

现将木棒〃、〃同时顺时针旋转一冏，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则

秒后木棒。，b平行.

2

1

专题5.1平行线的判定【九大题型】

【人教版】

型

题

1对顶角的识别及其性质】................................................................1

型

题

2平行、垂直】..........................................................................2

型

题

3平行公理及其推论】...................................................................20

型

题

4同位角相等，两直线平行】............................................................23

型

题

5内错角相等，两直线平行】............................................................25

型

题

6同旁内角互补，两直线平行】..........................................................27

型

题

平行线的判定方法的综合运用】........................................................

型

题730

型

题8角平分线与平行线的判定综合运用】....................................................33

9平行线判定的实际应用】...............................................................37

A箝干一更三

【题型1对顶角的识别及其性质】

[例I]（2022•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）下列各图中，皿与m2是对顶角的是（

【答案】C

【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可.

【详解】解：A、用1与箱的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意：

B、凯与（32的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此优项不符合题意；

C、回1与团2是对顶角，故此选项符合题意；

D、团1与国2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角

的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义,

正确判断.

【变式1-1](2022•广东•揭西县阳夏华侨中学七年级期末)已知：如图，直线A3、CD相

交于点。，OE平分MOG^EOC=^COB.

⑴图中的对顶角有对，它们是.

(2)图中互补的角有对，它们是.

⑶求回EOO的度数.

【答案】⑴两；财OC和BB。。，(3BOC和EA。。

(2)A；0AOC和团8OC,(MOC和MOD,WOD和MOD,OB。。和138OC,财。七和团BOE,^EOC

和团EO。，团EOC和团£08,^AOE^EOD

(3)140°

【分析】(1)根据对顶角的定义，判断即可；

(2)根据补角的定义进行判断即可；

(3)根据OE平分(M0C,得出团EOC=MOE,设(38OC=x,贝gEOC=0AOf=|x,列出关

于x的方程，解方程即可得出回B。。的度数，再求出团DCE的度数，即可得出结果.

(1)

解：图中的对顶角有：(MOC和姐O。，团80c和EL4OO.

故答案为：两；0Aoe和RBO。，(38OC和圆4。。.

(2)

图中互补的角有：和团BOC,西0C和财OO,团BOO和财O。，团80。和团80C,GL4OE

和团BOE,团EOC和mE。。，

团。£平分M0C,

^AOE^COE,

团财OE+08OE=18O°,

00COE+0BOE=18O°,

团团EOC和团£03互补，

^COE+^EOD=180\

0EL4O£+{3EOD=18OO,

配1A0E和回E0。互补.

故答案为：八；HAOC和姐OC,0AOC和3X0，田“。。和(3AO。，团“。。和团“OC,显4。£和

团BOE,^EOC^EOD,（3EOC和（3EO8,（MOE和团EOT）.

（3）

团OE平分财OC,

^EOC=^AOE,

设回BOC=x,则13EOC=0AOE=%,由平角定义得，

-^+-x+.r=180°,

解得：x=100w

00EOC=a4OE=1（180°-100°）=40°,

00DOE=100°+40°=140°,

答：（3EOD的度数为140。.

【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义,

根据题意求出团80C的度数，是解题的关键.

【变式1-2］（2021•山东•济南市钢城区实验学校期末）如图，直线A8,CO相交于点0,OE1CD,

。产平分NA。。，若2400=50°.求乙EOF的度数.

【答案】650

【分析】根据角平分线的定义可得跖。。=助"=挪0。=25。，根据垂线的性质可得

团石00=90。，再进行解答即可.

【详解】解：（30尸平分0A。。，0Aoz）=50°,

团团/0。=团A。代:机AOO=25・，

（30硼CO,

WEOD=90°,

酿回EO。-回/•。。=90°-25°=65°.

【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的

关键.

【变式1-3］（2022•辽宁•鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB,C。相交于点0,0E平

分乙B0D,。/平分"0E.

F

B

E

/O\

A/7

(1)若N/10C=76°,乙BOF=度.

⑵若乙80F=36。，乙4OC的度数是多少？

【答案】⑴33

⑵0Aoe的度数是72。

【分析】(1)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出回E0尸和团E08的度数，再根据

角的和差即可得回40尸的度数；

(2)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用E18QE的等式表示姐OC,再根据角分线

的定义，列出等式即可求得结果.

(1)

,:Z.AOC=76°,

乙BOD=AAOC=76°,

v0E平分，BOD,

二乙BOE=乙DOE=38°,

•••乙COE+乙DOE=180°,

•••4COE=180°-4DOE=142°,

v。产平分4C0E,

乙EOF=乙COF=71°,

vZ-BOF+Z.BOE=乙EOF,

•••乙BOF=乙EOF-乙BOE

=71°-38°

=33°

故答案为：33：

(2)

设乙40C=x0,

:.Z.BOD—Z.AOC=x0,

•••0E平分乙BOD,

•••乙BOE=乙DOE-

2

•••乙COE+乙DOE=180°,

乙COE=180°-乙DOE=180°--x°,

2

•••OF平分“OE,

:.乙EOF=ZCOF=1（180°-1xo）°,

•••Z-BOF+乙BOE=乙EOF,乙BOF=36°

36°+!x0=1（180°-1x0）0,

•••x=72°.

【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个

角相等，哪些角相加得180度.

【题型2平行、垂直】

【例2】（2022•福建・厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点4在直线。上，点

B,C在直线/2上，人队/2,人。3。，AB=4,BC=3,则下列说法正确的是（）

A.点人到直线，2的距离等于4

B.点C到直线//的距离等于4

C.点。到A8的距离等于4

D.点8到人C的距离等于3

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答

案.

【详解】解：点八到直线/2的距离为八8的长，等于4,故A正确；

点C到直线。的距离为AC的长，大于4,故B错误；

点C到48的距离为8c的长，等于3,故C错误；

同理，点8到AC的距离乜不是3,故D错误，

故选：A

【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键.

【变式2-1］（2022•广西钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（

A.在同一平面内，a,b,c是直线,且all瓦可|c,则allc

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且a1b,b1c,则aJ.c

C.在同一平面内，a,匕，c是直线，且a||b,b_Lc,则a||c

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且,a||b,b||c则a1c

【答案】A

【分析】根据平行线的性质分析判断即可.

【详解】A.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,b||c,则Q||C,故选项正确，符合题意.

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且a1b,b1c,则。〃c,故选项错误，不符合题意.

C.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,blc,则a_Lc,故选项错误，不符合题意.

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且，。怙,加匕则0%,故选项错误，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键.

【变式2-2]（2022•吉林•公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为力812,8c12,

8为垂足，所以A8和8C重合，其理由是（）

A

C

----------------------7

B

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.垂直同一条直线的两条直线平行

D.垂线段最短

【答案】B

【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直〃，逐一分析，排除错误

答案即可.

【详解】解：A.点A、C可以确定一条直线，但不可以确定三点8、A、C都在直线/的垂线

上，故本选项错误；

B.直线84、8C都经过一个点8,且都垂直于直线/,故本选项正确；

C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；

D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义

和性质是解决本题的关键.

【变式2-3]（2022•江苏•九年级）如图，点A、点8是直线/上两点，A8=10,点M在直

线/外，MB=6,M4=8,加历8=90。，若点P为直线/上一动点，连接MP,则线段M尸的

最小值是一.

M

【分析】根据垂线段最短可知：当M&LAB时，M尸有最小值，利用三角形的面积可列式计

算求解的最小值.

【详解】解：当时，MP有最小值，

（M8=10,MB=6,M4=8,（MMB=90°,

M8・MP=AM・8M,

即10MP=6x8,

解得MP=4.8.

故答案为：4.8.

【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的2点位置是解题的关

【知识点平行线的判定】

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两

直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两

直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两

直线平行.）

【题型3平行公理及其推论】

【例3】（2022•江西上饶七年级期中）同一平面内的四条直线若满足。_1从blc,c_Ld,

则下列式子成立的是（）

A.a\\dB.b1dC.a1dD.b\\c

【答案】C

【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证Qllc,再结合cJ.d,可

证a1d.

【详解】解：Va1h,hLc.

0a||c,

配1d,

团aJLd,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一

条直线的两条直线平行.

【变式3-1］（2022•河南溪河•七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线

。和瓦得到。1山，理由是（）

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一-平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

【分析】三条直线A8、小人位于同一平面内，且直线。与直线8都垂直于48,即可根据在

同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出a\\b.

【详解】0直线AB、a、〃位于同一平面内，且

加怙（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

故答案为B.

【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同

时垂直于一条直线是本题的关键.

【变式3・2】（2022・湖北武汉•七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是

钝角；③a，h,c是司一平面内的三条直线，若a//b,b//c,则a//c；@a,b,c

是同一平面内的三条直线，若"1〃，入1c,则ale；其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论

可判断③，根据垂直定义得出由1=回2=90。，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断

④.

【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；

②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；

③。，b,c是同一平面内的三条直线，若（以，b//c,则"c,故③正确;

④。，b,c是同一平面内的三条直线，如图

团8，b1c,

001=90°,02=90°,

001=02

加回c,故④不正确：

田真命题只有1个.

故选A.

【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大G，掌握平行线的性质与判定，锐角

定义是解题关键.

【变式3-3］（2022•四川•甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图,ABWCD,如果N1=N2,

那么E"与AB平行吗？说说你的理由.解：因为=£2,

所以II.（）

又因为A8IICD,

所以A8II".（）

【答案】。。||£入内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行

【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解.

【详解】解：因为21=/2,

所以。。||£立（内错角相等，两直线平行）

又因为A8IICD,

所以48IIE凡（平行于同一直线的两条直线平行）

【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【题型4同位角相等，两直线平行】

【例4】（2022•甘肃・陇南育才学校七年级期末）如图，AB1.MN,垂足为B,CDLMN,

垂足为D,△1=乙2.在下面括号中填上理由.

因为AB1MN,CD1MN,

所以=ACDM=90°.

又因为乙1=42（）,

所以心力BM-Z1=ZCDM-Z2（）,

即匕=

所以E例尸。（）

【答案】已知等量减等量，差相等同位角相等，两直线平行

【分析】根据垂线的定义，得出乙1BM=NCDM=90。，再根据角的等量关系，得出=

乙FDM，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出EBI尸D,最后根据解题过程的理由填写

即可.

【详解】因为481MN,CD1MN,

所以44BM=NCOM=90。.

又因为乙1=N2（已知），

所以乙1BM-41=/CDM-N2（等量减等量，差相等），

即NEBM=4FOM.

所以EBI尸0（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定

理.

【变式4-1］（2022・湖北•靳春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画

已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是.

【答案】同位角相等，两直线平行

【分析】作图时保持团1=回2,根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线.

【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线〃法，其依据是：同位角

相等，两直线平行.

故答案为：同位角相等，两直线平行.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的

判定和性质.

【变式4-2]（2022•山东泰安•七年级期末）如图，ABIBC,Z14-Z2=90°,乙2=43.请

说明线段与。尸的位置关系？为什么？

【答案】BEWDF,见解析

【分析】由已知推出团3+回4=90°,利用K1+△2=90°,42=43,得到团1=04,即可得到结论

BEWDF.

【详解】解：BEWF,

胤4B1BC,

能LA3C=90°,

003+04=90°,

0Z1+Z2=90°,Z2=43,

001=04,

^BE\\DF.

【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键.

【变式4-3]（2022•北京东城•七年级期末）如图,直线，与直线CD分别交于点E,F,Z1

是它的补角的3倍，Z1-Z2=9O°.判断AB与CO的位置关系，并说明理由.

【答案】G）；理由见解析

【分析】先根据补角的定义求出41的度数，然后求出（3CFE和132的度数，最后根据平行线

的判定进行解答即可.

【详解】解：AB||CD：理由如下：

团41是它的补角的3倍，

团设/I=a,则的补角为支，

4-1«=180°,

解得：a=135",

0Z1=135°,

0ZCFF=180°-Z1=45°,

0Z1-z2=90°,

团42=zl-90°=45°,

0Z2=Z.CFE=45°,

13ABIICD.

【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求=LCFE=45°,

是解题的关键.

【题型5内错角相等，两直线平行】

【例5】（2022•山东•曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线OE上，4砥4。

于A,团1与团C互余，。石和8C平行吗？若平行，请说明理由.

【答案】平行，理由见解析

【分析】由垂直定义可得（3BAU90。，根据平角定义得团1+[3BAC+0CAE=18O。，即可得出

回1+回C4E=90。，由必1与团C互余，根据余角的性质即可得出13cAE=（3C,根据平行线的判定定

理即可得出结论.

【详解】解：平行，理由如下：

回回8AC=90°,

团团1+团8AC+I3CAE=18O°,

001+0CAE=9O°,

团团1与团C互余，BP01+0C=9O\

00CA£=0C,

0DEHBC.

【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【变式5-1]（2022•北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知乙1=75°,Z2=35°,

Z.3=40°,求证：a\\b.

【答案】见解析

【分析】先根据三角形内龟和性质，求得乙4=75。，再根据41=75。，即可得到乙1=44,

进而判定。怙.

【详解】证明：如下图：

•••z4=z3+Z2=75°,

又•••=75°,

•0•Z.1—Z.4♦

all6.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质，解题时注意：内错角相等，

两直线平行.

【变式5-2]（2022•福建•莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，d•是。外角）CM

的平分线,乙4cB=40。，△4=70°,求证：ABWCF.

【答案】证明见解析

【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得乙ACE的度数，即可得乙4=41CE,进而可

证明结论.

【详解】证明:团乙408=40。，

团44cM=180。-400=140。，

/了是△48C夕卜角N4CM的平分线,

团乙4。/乙4cM=70。，

2

团4力二70。，

团44=乙力。尸=70。，

^ABWCF.

【点睛】本题主要考告用平分线的定义、二角形外角的性质和平行线的判定，证得乙/1=〃CF

是解题的关键.

【变式5-3]（2022•辽宁•阜新市第十中学七年级期中）如图,4和。£,[31=财。8,因。48=扣期。,

试说明ADWBC.

BEC

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质得团84＞团1，等量代换得财CB/8AC,根据乙£48=348/.。可

得蜘CB/Q4C,即可得.

3羊解】证明：EL4BIIOE,

酿B4CW1,

001=[MCB,

团财C8M38AC,

^/.CAB=-Z-BAD,

2

0（MCB=0DAC,

^ADWBC.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质.

【题型6同旁内角互补，两直线平行】

【例6】（2022•河北衡水•七年级阶段练习）已知：NA=2。=120。，Z.AEF=Z.CEF=60%

求证：ABWCD.

BA

DC

【答案】见解析

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证

明结论.

【详解】证明：•••Z-A=/.C=120°,Z-AEF=(CEF=60°,

•••4A+LAEF=180°,乙。+乙CEF=180°,

AB||EF,CD||EF,

AAB||CD.

【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定.

【变式6・1】(2022•西藏昂仁县中学七年级期中)如图,0C4D=2O%田8=70°,AB^AC,

【答案】见解析

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可.

【详解】解：

00BAC=9O°,

0[3CAD=2OO,0B=7O\

a05+0/?4D=7Oo+9Oo+2Oo=18Oo,

(MDHBC.

【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键.

【变式6-2](2022•甘肃•平凉市第七中学七年级期中)如图，Z1=30°,=60°,AB1AC.

(1)4ZZ48+2B等于多少度？

(2)八〃与区。平行吗？请说明理由.

【答案】(1)0DAB+0B=18O°

(2)AD||BCi理由见解析

【分析】(1)由已知可求得回。48:120。，从而可求得用/MB+m8=180。；

(2)根据同旁内角互补两直线平行可得力。IIBC.

(1)

解：IMAtMC,

005/1C=90°.

又3131=30°,

皿8Ao=120°,

（305=60%

回回ZM8+（38=180°.

（2）

解：AD||BC.理由如下：

00DAB+0B=18O°,

团ADIIBC.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行.

【变式6-3]（2022•北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在上，BD^AC,

EI^IAC,垂足分别为。，F,点M,G在A8上，GF交BD于点、H,0BMD+[MBC=180\01

=02,求证：MDIIGF.

下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据.

证明：0BZM4C,

^BDC=90°,0EFC=90°（@）.

^BDC=^EFC（等最代换）.

团BDIIEF（同位角相等，两直线平行）.

002=0CBD（②）.

团回1=团2（已知）.

固1=0CBD（等量代换）.

团③—（内错角相等，两直线平行）.

团团8MQ+囱A8C=180°（已知），

^MD\\BC（④）.

^MDWGF（⑤）.

【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；G距8C；同旁内角互补，两直线平行;

平行于同一直线的两直线平行.

【分析】根据垂直定义得出138Z）C=[3EFC,根据平行线的判定推出8D0EF,根据平行线的

性质得出回C8O=132,求配回。8。=团1,根据平行线的判定得出GR3BC,GR3M。即可.

【详解】证明：OBOtMC,

雕1BQC=9O。，团EFC=90。（垂直的定义）.

图3BDC=I3EFC（等量代换）.

团以鬼£尸（同位角相等，两直线平行）.

跑2FCBD（两直线平行，同位角相等）.

001=02（已知）.

幽1=ECBD（等量代换）.

ElG/n3BC（内错角相等，两直线平行）.

^BMD+^ABC=13Q°（已知），

回MQ08C（同旁内角互补，两直线平行）.

团MD0G/（平行于同一直线的两直线平行）.

故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GE8C；同旁内角互补，两直线平行;

平行于同一直线的两直线平行.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

【题型7平行线的判定方法的综合运用】

[例7]（2022•广西贺州•七年级期末）如图,有下列条件:①41=42；②/3+匕4=180°；

③Z.5+乙6=180。；④/2=乙3.其中，能判断直线。怙的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.依

据平行线的判定方法即可得出结论.

【详解】解：①由自1=团2,可得。怙;

②由回3+回4=180°,可得川仍；

③由团5+团6=180°,03+06=180°,可得跖=用3,即可得到。||〃；

④由132=123,不能得到。|山：

故能判断直线。怙的有3个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键.

【变式7-1］（2022•浙江台州•七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，

如图，已经知道42是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不熊判断两条直轨是否平行（）

枕木

A.Z.1B.43C.Z.4D.Z.5

【答案】A

【分析】因为团2是直角，只要找出与吃互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据

平行线的判定定理判定即可得到正确答案.

【详解】因为国2是直角，回4和团2是同位角，如果度量出44=90°,

根据“同位角相等，两百线平行”，就可以判断两条直轨平行,

团5•和团2是内错角，如果度量出45=90",

根据“内错角相等，两直线平行〃，就可以判断两条直轨平行,

团3和团2是同旁内角，如果度量出43二90°,

根据“同旁内角互补，两直线平行〃，就可以判断两条直轨平行,

所以答案为：A.

【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关健是熟练的掌握平行线的判定定理.

【变式7・2】（2022•山西临汾•七年级期末）在下列图形中，已知乙1=42,一定能推导出％II12

【答案】D

【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解.

【详解】解：A.如图,

2

Vzl=Z2,zl+Z3=180°,

•••Z2+Z3=180°,

•••不能推导出，iII%，不符合题意;

•••zl=z2,zl+z3=180°,

:.Z.24-Z.3=180°,

二不能推导出11|“2,不符合题意;

C.如图，

vZ.1=Z2,41+43=130°,

•••Z24-Z3=180°,

二不能推导出。口2,不符合题意;

D.如图，

z2=z3.

•••一定能推导出hII%，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两

直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点.

【变式7-3］（2022•山东日照•七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DEII8c的

是（）

A.41=42B.43=44C.45=LCD.乙B+乙BDE=180°

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.

【详解】因为Z1=，2,

所以DEIIBC,

故A不符合题意；

因为乙3=44,

不能判断DEII8C,

故B符合题意；

因为45=£C,

所以DEIIBC,

故C不符合题意；

因为48+NBDE=180°,

所以DEIIBC,

故D不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】

【例8・2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ARC。中+

乙ABC=180°,Z.ADF+Z.4FD=90。，点E、产分别在QC、A8上，且BE、。户分别平分财BC、

团AQC,判断4氏。尸是否平行，并说明理由.

【答案】平行，理由见解析

【分析】先根据角平分线的定义可得，力BE==；，AOC,从而可得2/WF•十

Z.ABE=90°,再结合4/1。/+/力/。=90。可得乙48£=44?。，然后根据平行线的判定即

可得.

【详解】解:BE||OF,理由如下：

•••BE,。尸分别平分44BC,24DC,

•••/-ABE=^ABC,/-ADF=^Z-ADC,

•••乙ADC