人教版中学七年级数学下册期末解答题培优附答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题培优附答案

一、解答题

1.（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体就

盒，则这个正方体的棱长是.

（2）为了增加小区的绿化面枳，幸福公园准备修建一个面积125m2的草坪，草坪周闱用

篱笆围绕.现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建

成圆形的.如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；

（3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没

达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，

这样草坪的实际面积就减少了217rm2,请你根据此方案求出各小路的宽度（几取整数）.

2.教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角

三角形拼成一个面积为2的大正方形.由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的

方法（数轴的单位长度为1）.

（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为，图2中点A表示的数为；

（2）迁移应用：

请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正

方形.

①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图.

②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数一0.5以及-3+逐的点，并比较它

们的大小.

-3-2-101234

明3S4

3.动手试一试，如图1,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图

2的虚线4R8C将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCO.

（1）基础巩固：拼成的大正方形A8co的面积为,边长AO为：

（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点8与数轴上的-1重

合.以点8为圆心，8C边为半径画圆弧，交数轴于点E,则点E表示的数是：

（3）变式拓展：

①如图4,给定5x5的方格纸（每个小正方形边长为1）,你能从中剪出一个面积为13的

正方形吗？若能，请在图中画出示意图；

②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数.

图4备用图

4.已知在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为L

（1）订算图①中正方形A68的面积与边长.

（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数

轴，在数轴上表示实数厌和-应.

5.求下图4x4的方格中阴影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.已知，4811CD.点M在48上，点N在C。上.

(1)如图1中，NBME、/£、NE/V。的数量关系为：;(不需要证明)

如图2中，ZBMF.NF、NFN。的数量关系为：：(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分1FND,M8平分NFME,且2/E+NF=180。，求NFME的度

数；

(3)如图4中，ZBME=60°,EF平分/MEN,NP平分4END,且EQIINP,则/FEQ的大

小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出NQEQ的度数.

7.已知：直线4811CD,M,N分别在直线48,CD上，H为平面内一点，连HM,HN.

(1)如图1,延长H/V至G,N8MH和NGNO的角平分线相交于点E.求证：2/MEN-

ZMHN=180°；

(2)如图2,N8MH和N”N。的角平分线相交于点E.

①请直接写出NMEN与NMHN的数量关系：；

②作MP平分N4MH,A/QIIMP交ME的延长线于点Q,若NH=140。，求NENQ的度

数.(可直接运用①中的结论)

8.如图，已知直线A8//射线C。，NCEB=110°.2是射线所上一动点，过点u作

PQ//EC交射线CD于点Q,连接CP.作NPCF=NQC。，交直线4B于点尸，CG平分

NECF.

(1)若点、P,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=3()°,求NCPQ的度数.(不能使用“三角形的内角和是180。”直接解

题)

(2)在点尸的运动过程中，是否存在这样的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在，直

接写出NCPQ的度数；若不存在.请说明理由.

9.如图1,把一块含30。口勺直角三角板ABC的8c边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.

(1)根据图1填空：Z1=。，Z2=。：

(2)现把三角板绕8点逆时针旋转〃。.

①如图2,当〃=25。，且点C恰好落在。G边上时，求N1、/2的度数；

②当0。<〃<180。时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺(有四条边)某一边所

在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有〃的值和对应的那两条垂线：如果不存在，请

说明理由.

10•点4C,£在直线/上，点8不在直线/上，把线段A8沿直线/向右平移得到线段

CD.

图1备用图图2

(1)如图1，若点E在线段4c上，求证：ZB+ZD=ZfiFD：

(2)若点E不在线段AC上，试猜想并证明N8,ND,N8E。之间的等量关系；

(3)在(1)的条件下，如图2所示，过点、B作PB〃ED,在直线8P,E。之间有点M,使

得NA8E=N£8M,4CDEMEDM,同时点F使得NA8£=cNEBF,NCDE=nNEDF,其中

n>l,设N8MD=m,利用(1)中的结论求N8F。的度数(用含m,。的代数式表示).

三、解答题

11.［感知］如图①，AB//CD,/AEP=4(F,々77)=130°,求NEP产的度数.

G、

---------------------b

番用图

小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程.

解：（1）如图①，过点P作/W//A乩

/.Nl-ZA夕-40°（）,

/.AB//CD,

・•・PMH（平行于同一条直线的两直线平行），

「•（两直线平行，同旁内角互补），

ZPFD=130°,

Z2=180°-130°=50°,

4+/2=40。+50。=90。，BPZEPF=90°.

［探究汝口图②，AB//CDZAEP=5。。,NPFC=120°,求NEPb的度数：

［应用］（1）如图③，在［探究］的条件卜，NPE4的平分线和NP*t的平分线交十点G,则

NG的度数是?.

（2）已知直线a/e，点A,8在直线。上，点C,。在直线b上（点C在点。的左侧），

连接ADHC,若跖平分N4AC,力E平分NA/X?,且BEDE所在的直线交于点邑设

ZABC=a、ZADC=p（a训,请直接写出N8ED的度数（用含的式子表示）.

12.问题情境：如图1,ABWCD,ZPAB=130°,ZPCD=120°,求/4PC的度数.

小明的思路是:如图2,过P作PEIIA8,通过平行线性质来求NAPC.

（1）按小明的思路，易求得NAPC的度数为度：

（2）如图3,ADW8C,点P在射线OM上运动，当点F在A、8两点之间运动时，

ZADP=Na,ZBCP=Z.6.试判断/CPD.N%N6之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在八、8两点外侧运动时（点P与点4、B、。三点不重

合），请你直接写出NCPD、/6间的数最关系.

13.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

阅读理解：

如图1,已知点八是BC外一点，连接入B,AC,求NB/C+NB+NC的度数.

(1)阅读并补充下面推理过程

解：过点人作EDII8C,

•.N8=/EA8,/C~~

又•「ZE48+/84C+/DAC=180°

Z8+/BAC+NC=180°

解题反思：

从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将N8AC,NB,NC"凑〃在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

方法运用：

(2)如图2,已知4811ED,求NB+N8CD+ND的度数.(提示：过点C作CFIIA8)

深化拓展：

(3)如图3,已知4811CD,点C在点。的右侧，N4DC=70。，点8在点4的左侧，

^ABC=60°,8£平分NA8C,0E平分N40C,BE,。£所在的直线交于点已点E在AE与

8两条平行线之间，求N8E。的度数.

14.如图，两个形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，PA、PB与直线

M/V重合，且三角板以C,三角板PBD均可以绕点"逆时针旋转.

(1)①如图1,ZDPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“挛生三角

形〃，如图1,三角板8P。不动，三角板P4;从图示位置开始每秒10。逆时针旋转一周

(0°＜旋转＜360。)，问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“挛生三角形〃.

(2)如图3,若三角板P4c的边外从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3〉秒，同时三

角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速27秒，在两个三角板旋转过程

中，(PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为t秒，以

/CPD

下两个结论：①］湍为定值；②NBPN+NCPD为定值，请选择你认为对的结论加以证

图1图2图3

15.如图1,D是△ABC延长线上的一点，CE//AB.

(1)求证：ZACD=ZA+ZB：

(2)如图2,过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分NECD,FA平分/HAD,若

ZBAD=70°,求NF的度数.

(3)如图3,AH//BD,G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分NQGD交AH于R,QN

四、解答题

16.解读基础:

(1)图1形似燕尾，我们称之为"燕尾形"，请写出4、D8、NC、N0之间的关系，并

说明理由；

(2)图2形似8字，我们称之为"八字形"，请写出乙4、，B、NC、NO之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题

(3)①如图3,在AA■中，BD、8分别平分48。和N4CB,请直接写出ZA和/。

的关系;

②如图4,/人+//?+/0+/力+/£+/尸=.

(4)如图5,々AC与NBOC的角平分线相交于点F,NGQC与NC4尸的角平分线相交

于点E,已知N3=26。，NC=54。，求NF和NE的度数.

17.直线MN与直线PQ垂直相交于0,点八在射线OP上运动，点8在射线0M上运

动8不与点。重合，如图1,已知47、8C分别是N84P和NA8M角的平分线，

(1)点48在运动的过程中，NACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

(2)如图2,将△A8c沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则/48。=.

如图3,将△A8c沿直线A8折叠，若点C落在直线M/V上，则N480=

(3)如图4,延长至G,已知N8A。、NOWG的角平分线与NBOQ的角平分线及其反

3

向延长线交于£、F,则NEAF=.；在AAEF中，如果有一个角是另一个角的;倍，求/八8。

18.如图1,已知线段AB、CD相交于点0,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为

"8字形如图2,ZCAB和/BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相

交于M、N.试解答卜列问题：

(1)仔细观察，在图2中有一个以线段AC为边的“8字形〃；

(2)在图2中，若NB=96。，ZC=100°,求NP的度数；

(3)在图2中，若设NC=a,NB呻，ZCAP=|zCAB,ZCDP=|zCDB,试问NP与/C、

NB之间存在着怎样的数量关系(用a、0表示NP),并说明理由；

(4)如图3,则NA+ZB-ZC+ZD+ZE+ZF的度数为.

B.

BCB

图1图2

（1）如图1,在R/..ABC中，NAC8=90。，8。是，八笈。的角平分线，求证：△A8O是

“准互余三角形〃；

（2）关于"准互余三角形"，有下列说法：

①在ABC中，若4=100。，NB=70。,ZC=10°,则-A/C是“准互余三角形”；

②若&A4C是“准互余三角形〃，ZC>90°,ZA=60。，则N4=20。；

③“准互余三角形”一定是钝角三角形.

其中正确的结论是（填写所有正确说法的序号）；

（3）如图2,B,。为直线/上两点，点A在直线/外，且NA8C=50。.若尸是直线/上一

点，且△八3P是“准互余三角形”，请直接写出的度数.

20.（1）如图1所示，△A8C中，N4C8的角平分线CF与NE4C的角平分线4。的反向延

长线交于点F；

①若N8=90。则/F=；

②若N8=a,求/F的度数（用。表示）；

（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接AG,NAG8与NGA8的角平

分线交于点H,随着点G的运动，/F+/H的值是否变化？若变化，请说明理由：若不

变，请求出其值.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案

求出小路的宽度为

【分析】

（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；

（2）根据正方形的周

解析：（1）6.dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据

此方案求出小路的宽度为Bn

【分析】

（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可;

（2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案；

（3）根据图形的平移求解.

【详解】

解：（1）正方体有6个面且每个面都相等，

.••正方体的一个面的面积=2dm?.

止方形的棱长=&。m：

故答案为：>/2dm；

（2）甲方案：设正方形的边长为xm,则x2=121万

x=11&

」•正方形的周长为：4x=44^m

乙方案：设圆的半径rm为，则不/==121万

.­=11

「•圆的周长为：2乃r=22"m

/.446-22乃=22&7（2-6）

4》乃

•••2》正

2-6>0

.••正方形的周长比圆的周长大

故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；

（3）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym,则

(116-y)2=121乃-21〃

•*-11xfjr-y=10

汗取整数

y=\/3

答：根据此方案求出小路的宽度为6〃?；

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的定义，热练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关

键；

2.（1）;（2）①见解析；②见解析，

【分析】

（1）设正方形边长为a,根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，

则知结果；

（2）①根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；

②

解析：（1）V2,-V2：（2）①见解析：②见解析，-3+^<-0.5

【分析】

（1）设正方形边长为a,根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，则知结果；

（2）①根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；

②由题（1）的原理得出大正方形的边长为行，然后在数轴上以・3为圆心，以大正方形的

边长为半径画弧交数轴的右方与一点M,再把N点表示出来，即可比较它们的大小.

【详解】

解：设正方形边长为a,

a2=2,

**'a=±\/2»

故答案为：立，-V2;

（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：

②设拼成的大正方形的连长为b,

J.b2=5,

b=±x/5，

在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M,则M表示的

数为-3+逐，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，

…-戈.....

-3-2-VVO1234

「•比较大小:-3+石v-0.5.

【点睛】

本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方

根的意义及实数的大小比较是解题的关键.

3.（1）10,；（2）：（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面

积的算术平方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实

解析：（1）10,M；：2）Vio-l;（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（I）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大壬方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；

（3）以2x3的长方形的对角线为边长即可画出图形；

（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形.

【详解】

解：（1）,/图1中有10个小正方形，

」•面积为10，边长AD为疝J；

（2）BC=M，点B表示的数为-1,

BE=Vio，

・・•点E表示的数为JT5-1；

（3）①如图所示：

图4

正方形面积为13,

边长为历，

如图，点E表示面枳为im的正方形边长.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特

点画出正方形是解此题的关键.

4.（1）正方形的面积为10,正方形的边长为；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然

后根据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画

解析：（1）正方形A8C0的面积为10,正方形A8C。的边长为屈；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面枳减去4个直角三角形的面积即可求出正方形A8CO的面积，然后根

据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结

论.

【详解】

解：（1）正方形48CO的面积为4x4-4xgx3xl=10

则正方形ABCO的边长为国;

（2）如下图所示，正方形的面积为4x4—4xgx2x2=8,所以该正方形即为所求，如图建立

・•.正方形的边长为人

••・弧与数轴的左边交点为-应，右边交点为小，实数曲和-应在数轴上如图所示.

【点睛】

此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示

无理数是解题关键.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4x4-4xx2x2=8；

正方形的边

解析：8；2夜

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4X；X2X2=8；

正方形的边长=&=2拉.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数X的平方等于。，即X2=O,那么这个正数X

叫做。的算术平方根.记为6.

二、解答题

6.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND；(2)120°；

(3)不变，30°

【分析】

(1)过E作EHIIAB,易得EHIIABIICD,根据平行线的性质可求解；过F作

FHIIAB

解析：(1)匕BME=，MEN-乙END；，BMF=NMFN+NFND：(2)120°；(3)不变，

30°

【分析】

(1)过E作EHII48,易得EHII4811CD,根据平行线的性质可求解;过F作FHII48,易

得FHIIA8IICD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(ZB/V7E+ZEND)+ZBMF-Z.FND=1SO\

可求解NBMF=6Q°,进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EHII4B,如图1,

B

H——--^>E

C—---------D

A

图1

ZBME=Z.MEH,

,/ABWCD,

/.HEWCD,

ZEND=NHEN,

：.ZMEN=4MEH+/HEN=N8ME+NEND,

即/BME=NMEN-ZEND.

如图2,过F作FHWAB,

：.ZBMF=NMFK,

•「A8IICD,

...FHIICD,

ZFND=NKFN,

：.ZMFN=4MFK-ZKFN=Z.BMF-ZFND,

图2

故答案为/BME=Z.MEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得/BME=£MEN-ZEND；ZBMF=NMF/V+NFND.

NE平分NFND,MB平分NFME,

ZFME=NBME+ZBMF,ZFND=NFNE+NEND,

■：2ZMEN+NMFN=18(r,

」.2(Z8ME+/END)+zBMF-Z.FND=130°,

2Z8ME+2NEND+NBMF-ZFND=180°,

即2Z8MF+/FND+匕BMF-ZFND=180°,

解得/BMF=60°,

ZFME=24BMF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化,ZFEQ=309.

由(1)知：ZMEN=Z.BM£+ZEND,

'：EF平分NMEN,NP平分/END,

...NFEN=』NMEN=；QBME+,END),乙ENP=；4END,

「EQIINP,

：.NNEQ=NENP,

二NFEQ=NFEN-NNEQ=g(NBME+NEND)-gNEND=gNBME,

,/ZBME=60°,

「.ZF£Q=gx60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

7.(1)见解析；(2)①2NMEN+NMHN=360°；②20°

【分析】

(1)过点E作EPIIAB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻

补角和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即

解析：(1)见解析；(2)①2NMEN+NMHN=360。；②20。

【分析】

(1)过点E作EPII48交于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为

180%角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.

(2)①过点H作G川须，利用(1)中结论2NME/V-NMHN=180。，利用平行线的性

质、角平分线性质、邻补身和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等得出NAMH+

ZHNC=360°-(Z8MH+NHND),进而用等量代换得出2/MEN+NMHN=360°.

②过点H作HTWMP,由①的结论得2ZMEN+/MHN=360°,ZH=140°,ZMEN=

110°.利用平行线性质得/ENQ+NENH+NNH7=180。，由角平分线性质及邻补角可得

ZENQ+/ENH+140。-g(180°-ZBMH)=180°.继续使用等量代换可得/ENQ度数.

【详解】

解：(1)证明：过点E作EPIM8交M/■/于点Q.如答图1

.1EPWAB且ME平分NBMH,

ZMEQ=NBME=yZBMH.

：EPWAB,ABWCD,

EPWCD,又NE平分NGN。，

JQEN=NDNE=；/GND.（两直线平行，内错角柱等）

..NMEN=NMEQ+/QEN=；4GND=；QBMH+NGND）.

2ZMEN=2BMH+NGND.

..ZG/VD+NDNH=180°,ZDNH+/MHN=KMON=ZBMH.

ZDHN=ABMH-ZMHN.

ZGNO+NBMH-ZMHN=180°f

即2ZMEN-ZMHN=130°.

(2)①：过点H作G/IIA8.如答图2

答图2

由(1)可得NMEN=；(ZBMH+AHND),

由图可知/MHN=，MHl+NNHI,

,/G/llAB,

ZAMH=NMHI=1800-ZBMH,

,/G/llAB,ABWCD,

G/llCD.

ZHNC=ANHI=180°-ZHND.

/.ZAMH+/HNC=180°-Z8MH+1800-ZHND=360°-(ZBMH+zHND).

又:ZAMH+NHNC=Z.MHl+NNHI=NMHN,

ZBMH-]-AHND=360°-ZMHN.

即2/MEN+NMHN=360°.

故答案为：2NMEN+NMHN=360°.

②：由①的结论得2NMEN十乙MHN-360°,

ZH=ZMHN=140°,

2ZMEN=360°-140°=220°.

ZMEN=U0°.

过点H作HTIIMP.如答图2

,/MPIINQ,

：.HTWNQ.

J.NENQ+NENH+NAHT=180。(两直线平行,同旁内角互补).

Mp平分/AMH,

二NPMH=』NAMH=g(1800-ZBMH).

22

1/ZNHT=AMHN-ZMHT=140°-ZPMH.

NENQ+NENH+1400-g(1800-ZBMH)=180°.

1/ZENH=；NHND.

ZENQ+；NHNO+14。。-90。+亚BMH=13Q°.

NENQ+g(HND+NEMH)=130°.

ZE/VQ+g/MEN=130°.

/.ZENQ=130°-110°=20°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运

算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强.

8.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=ZGCF=20°

解析：(1)①35。；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及先平分线的定义，即可得到/ECG=NGCF=20。，再根据PQIICE,

即可得出/CPQ=ZECP=6C°；

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则NGCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)(I)-：ABWCD,

ZCE8+NFCQ=180°,

•「ZCfB=110°,

ZECQ=70°,

ZPCF=ZPCQ,CG平分NECF,

/.ZPCG=NPCF+ZFCG=；NQCF+yZFCE=；N£CQ=35°；

②•.28IICD,

：.ZQCG=ZEGC,

■：ZQCG+ZECG必ECQ=70。,

/.ZFGC+ZECG=70°,

又ZEGC-4ECG=30°,

ZEGC=50°,ZECG=20°.

ZECG=NGCF=20。，ZPCF=ZPCQ=(70°-40°)=15°,

VPQIICE,

：.ZCPQ=ZECP=NECQ-NPCQ=70o-15o=55°.

(2)52.5。或7.5。，

设NEGC=3x0,ZEFC=2x°f

GEB

A

HCQD

①当点G、F在点E的右恻时，

,/ABWCD,

ZQCG=NEGC=3x°.ZQCF=ZFFC=2x°.

则/GCF=ZQCG-ZQCF=3x°-2x0=x%

ZPCF=ZPCQ=3NFCQ=；NEFC=x0,

则N£CG=NGCF=NPCF=ZPCD=x°,

•••Z£8=70°,

4x=70°,解得x=17.5°,

ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点£的左侧时，反向延长C。到H,

ZEGC=3x°,ZEFC=2x°,

二NGCH=4EGC=3x°,NFCH=NEFC=2x°,

：.ZECG=NGCF=NGCH-Z.FCH=xQ,

ZCGF=180o-3x0,ZGCQ=70o+x0,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

/.ZFCQ=ZFCF+ZECQ=27.5°x2+70°=125%

ZPCQ=yZFCQ=62.5°,

/.ZCPQ=ZECP=62.5°-55O=7.5°,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相

等是解题的关键.

9.（1）120,90；（2）①N1=1205°,Z2=90°+n°；②见解析

【分析】

（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

（2）①根据邻补角的定义求出NABE,再根据两直线平行，同位角相

解析：（1）120,90：（2）（5）/1=120°-〃°,Z2=90o+no；②见解析

【分析】

（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

（2）①根据邻补角的定义求出N48E,再根据两直线平行，同位角相等可得N1=N4BE,

根据两直线平行，同旁内侑互补求出N8CG,然后根据周角等于360。计算即可得到N2；

②结合图形，分AB、8C、AC三条边与直尺垂直讨论求解.

【详解】

解：⑴Nl=1800-60o=120°,

Z2=90°；

故答案为：120,90：

(2)①如图2,

ZA8E=1800-60"=120",

DGWEF,

：.Z1=ZABE=120°-n°f

Z8CG=180°-ZC8F=180°-n\

•「ZACB+Z.8CG+N2=360°,

...Z2=360°-ZACB-Z.BCG

=360°-90°-(1805)

=90°+〃°；

②当/?=30。时,「NA8c=60。,

NA8F=300+60°=90°,

AB±DG(EF)；

当〃=90。时，

ZC=ZCBF=90°,

/.BC±DG(EF),AC1.DE(GF)；

当"二120。时，

/.AB±DE(GF).

【点睛】

本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性

质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

10.（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，NBED二ND-NB；当点E

在AC的延长线上时，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

【分析】

（1）如图1中，过点E作ETIIAB.利用平行

解析：（1）见解析：（2）当点£在6的延长线上时，/8ED=/D-N8；当点E在4：的

延长线上时，NBED=NBET-NDET=NB-ND；（3）‘"（"一"

2n

【分析】

（1）如图1中，过点E作ETIIAB.利用平行线的性质解决问题.

（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在4C的

延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可.

（3）利用（1）中结论，可得N8MD=N48M+NCOM,ZBFD=AABF+Z.CDF,由此解决问

题即可.

【详解】

解：（1）证明：如图1中，过点E作E7IMB.由平移可得ABIICD,

•「4811ET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

Z8=NBET,ZTED=Z.D,

：.ZBEDSBET+NDET=4B+ND.

(2)如图2-1中，当点E在C4的延长线上时，过点£作“IMB.

图2-1

,/ABWET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

Z8=ZBET,ZTfD=ZD,

...ZBED=NDET-NBET=ND-ZB.

如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点£作£加48.

/.ETWCDIIAB,

Z8=ZBET,ZTFD=ZD,

ZBED=ZBET-乙DET=Z.B-ZD.

(3)如图，设/ABE=Z.EBM=x,ZCDF=ZEDM=y,

图2

,「4811CD,

：.ZBMD=ZA8M+NCDM,

m=2x+2y,

x+y=ym,

1/ZBFD=Z.ABF+Z.CDF,ZABE=n/EBF,ZCDE=nZEDF.

Zl-1〃-1H-lz\1"?(〃一1)

ZBFD=----x+-----y=------(x+y)=-----x—m=-------.

nn"n'n22〃

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是

学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

11.［感知］见解析；［探究］70。；［应用］(1)35；(2)或

【分析】

［感知］过点P作PMIIAB,根据平行线的性质得到N1=ZAEP,

Z2+ZPFD=180°,求出N2的度数，结合N1可得结果；

解析：［感知］见解析：［探知70。：［应用］(1)35：(2)区中或与巴

【分析】

［感知］过点P作PMIM8,根据平行线的性质得到N1=ZAEP,Z2+ZPFD=180°,求出N2

的度数，结合/I可得结果；

［探究］过点P作PMIM8,根据48118,PMWCD,进而根据平行线的性质即可求NEPF的

度数；

［应用］(1)如图③所示，在［探究］的条件下，根据NP&的平分线和NPFC的平分线交于

点G,可得NG的度数；

(2)画出图形，分点八在点8左侧和点4在点B右侧，两种情况，分别求解.

【详解】

解：［感知］如图①，过点P作PMII48,

.•.Nl=N4£P=40。(两直线平行,内错角相等)

•「A8IICD,

二.PMIICD(平行于同一条直线的两直线平行)，

/.Z2+ZPFD=180°(两直线平行,同旁内角互补)，

ZPFD=130°(已知),

Z2=180°-130°=50°,

Z1+Z2=40°+50°=90°,BPzEPF=90°；

［探究］如图②，过点P作PMII48,

图②

ZMPE=ZAEP=50°,

,/ABWCD,

「.PMIICD,

ZPFC=ZMPF=120°,

：.ZEPF=NMPF-Z.MPE=120o-50o=70°；

［应用］（1）如图③所示，

EG是NPEA的平分线，FG是NPFC的平分线,

过点G作GMIM8,

AZMGES4EG=25。（两直线平行，内错角相等）

V4611CD（已知），

AGMWCD（平行于同一条直线的两直线平行），

・..NGFC=NMGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

ZG=NMGF-NMG£=60e-25o=35°.

故答案为：35.

（2）当点4在点8左侧时，

如图,故点£作EFIIA8,则EFIICD,

ZABE=Z.BEF,ZCD£=ZDEF,

•••BE平分ZABC,DE平分/ADC,内C=a、公DC=p,

11

ZABE=Z.BEF=-a,ZCDE=ZDEF=-off,

22

a+B

ZBEDS3EF+NDEF=———；

2

当点4在点8右侧时，

如图，故点E作EFIM8,贝ijEFIICO,

/.ZDEF=4CDE,ZABG=Z.BEF,

.•的平分ZA8C,OE'F分/ADC,^ABC=a,ZADC=0,

ZDEF=ACDE=-/3,ZA8G=NBEF=-a,

22

p-a

ZBEDSDEF-4BEF=--：

2

E

b

综上：N8ED的度数为小或勺■.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的定义，解决本题的关键是

熟练运用平行线的性质.

12.(1)110°；(2)NCPD=Na+N见解析；(3)当P在BA延长线时，

ZCPD=Zp-Za；当P在AB延长线上时，ZCPD=Za-Zp

【分析】

(1)过P作PEIIAB,通过平行线性质求NA

解析：(1)110°；(2)NCPD=Na+N8,见解析；(3)当P在B八延长线时，

ZCPD=Z0-Za：当P在48延长线上时，ZCPD=Za-Z6

【分析】

(1)过P作PEII48,通过平行线性质求NAPC即可；

(2)过P作PEIIA。交CD于£,推出4011PEWBC,根据平行线的性质得出Na=/OPF,

46=4CPE,即可得出答案；

(3)画出图形，根据平行线的性质得出Na=NOPE,Z5=zCPE,即可得出答案.

【详解】

解：(1)过点P作PfIIAB,

,/4811CD,

：.PEWABWCD,

：.ZA+ZAPE=18Q°,ZC+ZCPf=180°,

,/Z%8=130°,ZPCD=120\

ZAPE=50°,ZCPE=6Q°,

ZAPC=NAPE+ACPE=110°.

故答案为110°:

(2)ZCPD=Za+Z6,

理由是：如图3,过P作咱IAD交C。于E,

B

ADWBC,

4DIIPEW8C,

Za=zDPE,z6=NCPE,

ZCPD=ZDPE+Z.CPE=Z.a+Z.6；

(3)当P在84延长线时，NCPD=/6-/a,

理由是：如图4,过P作PEIIA。交CD于E,

：.AD\\PEWBC,

Za=ZDPE,Z6=ZCPE,

ZCPD=ZCPF-ZDPEM0-Za：

当P在八8延长线时，NCPD=/cr-/6,

TADIIBC,

：.ADWPEWBC,

Za=ZDPE,Z6=NCPE,

ZCPD=ZDPE-ZCPE=za-Z6.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考杳学生的推理能力，题目是一道比较典型

的题目，分类讨论是解题的关键.

13.(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过C作CFIIAB根据平行线的性质得到/D=ZFCD,ZB=ZBCF,然后根据

已知条件即可得到结论；

解析:(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过C作CFWAB根据平行线的性质得到/D=ZFCD,ZB=Z8CF,然后根据已知条件即

可得到结论；

(3)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度数.

【详解】

解：(1)过点4作EDWBC,

ZB=ZEAB,ZC=ZDCA,

又ZEAB+A84C+NDAC=130°,

：.Z8+NBAC+ZC=180°.

故答案为：ZDAC；

(2)过C作CFIIAB.

图2

••,4811DE,

CFIIDE,

ND=ZFCD,

,/CFIIABt

Z8=NBCF,

ZBCF+N8CD+NDCF=360°,

/.Z8+N8CD+ZD=360°；

（3）如图3,过点E作EFIIAB,

'：ABWCD,

/.ABWCDIIEF,

•••ZABE=乙DEF,NCDf=ZDCF,

'：BEABC,OE平分NADC,NA8c=60°,NAOC=7。。，

ZABE=^Z.ABC=30\NCOE=gN4OC=35°,

ZBED=A8EF+NO£F=30°+35°=65°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行

推算.

14.（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解

析.

【分析】

（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种

情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和

解析：（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s：（2）①正确，②错

误，证明见解析.

【分析】

（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：N。尸。=180。-/。24-/。。8,从而可得答

案；②当BD//PC时,有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差

求解旋转角，可得旋转时同；当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行

线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//OP时，有两种情况，画出

符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当

AC7/8。时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得

旋转时间；当AC7/8P时的旋转时间与N/8O相同：

（2）分两种情况讨论：当夕。在MN上方时，当P7）在MN下方时，①分别用含/的代数

式表示/CPD，/BPN,从而可得/今CP鉴D的值；②分别月含/的代数式表示

Z.BPN

4CPD/BPN,得到N8/W+NCF。是一个含/的代数式，从而可得答案.

【详解】

解：（1）①•「ZDPC=130°-4CPA-乙DPB,ZCPA=60°,ZDPB=30°,

ZDPC=130-30-60=90°,

故答案为90；

②如图1-1,当8。IIPC时，

c

图1-1

PCWBD,Z08P=90°,

ZCPN=Z.D8P=90°,

,/ZC%=60°,

/.ZAPN=30°t

转速为107秒，

・•・旋转