2025年数学试卷汇编（真题模拟题）专题2函数与导数 含答案

/专题2函数与导数考点2025年考情命题趋势2024新高考I卷1.函数的奇偶性、单调性、极值、零点，导数的切线、不等式应用等，是历年高考反复考查的核心，2025年也延续这一特点，说明这些基础且关键的知识，始终是命题“主战场”，备考需深度掌握.2.函数性质常与导数工具结合（如用导数研究奇偶函数的单调性、极值），指对数运算也会嵌入函数问题，未来命题会更强调“知识网络”的综合运用，单纯孤立考点的题目会减少.函数的图象2024全国甲卷；2022全国甲卷；2022全国乙卷比较函数值的大小关系2025全国一卷；2023全国甲卷；2022新高考全国I卷；2022全国甲卷函数奇偶性的定义与判断2023新课标I卷；2021全国乙卷；2021新高考全国II卷由奇偶性求参数2023全国甲卷；2023全国乙卷；2023新课标II卷；2022全国乙卷；2021新高考全国I卷函数奇偶性的应用2025全国一卷；2025全国二卷；2022新高考全国I卷；2021全国甲卷；2021全国甲卷函数的周期性2022新高考全国II卷；2021新高考全国II卷函数的对称性2024新高考全国I卷；2024新课标II卷；2023全国乙卷；2022全国乙卷指对数的运算2024全国甲卷函数的零点2024新高考全国I卷；2024全国甲卷；2024新课标II卷；2023新课标I卷求在曲线上一点处的切线方程2024全国甲卷；2023全国甲卷；2022新高考全国I卷；2022新高考全国II卷；2021全国甲卷利用导数研究函数的单调性2023新课标II卷；2023全国乙卷；2022新高考全国I卷；2022全国甲卷；2021新高考全国II卷；2021全国乙卷利用导数研究函数的极值2025全国二卷；2024新高考全国I卷；2024新课标II卷；2023全国乙卷；2023新课标I卷；2023新课标II卷；2022全国乙卷；2021全国乙卷利用导数研究函数的零点2025全国二卷；2024新课标II卷；2024全国甲卷；2023全国乙卷；2022全国甲卷；2022全国乙卷；2021全国甲卷；2021新高考全国II卷；2021全国甲卷利用导数研究不等式恒成立问题2025全国一卷；2024全国甲卷；2024新课标I卷；2023全国甲卷考点01求函数值1．【2025届·山东菏泽·二模校考】已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是()A. B.C. D.考点02函数的图象2．【2025届·合肥一六八中学·三模】函数的图象大致为()A. B.C. D.考点03比较函数值的大小关系3．【2025年全国一卷高考真题试卷】已知，则x，y，z的大小关系不可能是()A. B. C. D.考点04函数奇偶性的定义与判断4．【2025届·安徽·一模联考】下列函数中，是奇函数的是()A. B.C. D.考点05：由奇偶性求参数5．【2025届·广西河池·二模联考】设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是()A. B.C.或 D.考点06函数奇偶性的应用6．【2025年全国一卷高考真题试卷】设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则()A. B. C. D.7．【2025年全国二卷高考真题试卷】（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则()A. B.当时，C.当且仅当 D.是的极大值点考点07：函数的周期性8．【2025届·江西赣州·二模】已知函数是定义在R上且周期为2的奇函数，则()A. B.0 C.2 D.5考点08：函数的对称性9．【2025届·安徽马鞍山·三模】若函数的图象关于对称，且，则实数()A. B. C. D.考点09：指对数的运算10．【2025届·安徽六安·三模校考】（多选）若，，则下列判断正确的是()A. B. C. D.考点10：函数的零点11.【2025届·浙江·三模】已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.12．【2025届·山西晋城·二模】已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______.13．【2025届·浙江·三模】已知函数（且），若有且只有两个不等根，则a的取值范围是________.考点11：求在曲线上一点处的切线方程14．【2025届·安徽六安·三模校考】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：，.考点12：利用导数研究函数的单调性15．【2025届·安徽马鞍山·一模】（多选）已知函数，则()A． B．是偶函数C．的一个周期为 D．在区间单调递增考点13：利用导数研究函数的极值【2025年全国二卷高考真题试卷】若是函数的极值点，则_________.17．【2025年全国二卷高考真题试卷】已知函数，其中.（1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）设，分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数.证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论.考点14：利用导数研究函数的零点18．【2025届·河北·二模】（多选）已知函数，则()A.的极小值为-2B.有两个零点C.存在a使得关于x的方程有三个不同的实根D.的解集为19．【2025年全国二卷高考真题试卷】已知函数，其中.（1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）设，分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数.证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论.考点15：利用导数研究不等式恒成立问题20．【2025年全国一卷高考真题试卷】（1）求函数在区间的最大值；（2）给定和，证明：存在，使得；（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值.

答案与解析1．答案：D解析：当时，因为，故，，由累加法可得，故，故AB错误，由，所以故，所以C错误，D正确，故选：D2．答案：A解析：由已知，定义域为，且，所以函数为偶函数，故图象关于y轴对称，又，排除B，D选项;当时，，排除C，故A正确.故选：A.3．答案：B解析：解法一：令，得，，，此时；令，得，，，此时；令，得，，，此时.故选B.解法二：设，则，，，在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，由图可知x，y，z的关系不可能为，故选B.4．答案：C解析：A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确；D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.故选：C.5．答案：C解析：由于是偶函数，根据偶函数的定义，.因此，不等式可以转化为.函数在上单调递增，在上单调递减，所以，解得或.故选：C.6．答案：A解析：由题知，对一切成立，于是.故选：A7．答案：ABD解析：对A，因为定义在R上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，，故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD.8．答案：B解析：因为函数是定义在R上且周期为2的奇函数，则，又因为，所以，，故，即.故选：B.9．答案：A解析：函数有意义，则，由的图象关于点对称，得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内，则，即，此时，，，因此函数的图象关于点对称，符合题意，所以.故选：A10.答案：ACD解析：因为，，所以，故A正确；由可得（，等号不成立），故B错误；由可得（，等号不成立），故C正确；因为，故D正确.故选：ACD11．答案：C解析：因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与函数的图象只有一个交点.函数恒过定点，，同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.时，，其导函数，当直线与函数在处相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.时，，其导函数，当直线与函数在处相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.综上，要使函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是.故选：C.12．答案：解析：令，得．又，则．令，因为函数在区间上有且仅有4个零点，所以的图像与直线在上有且仅有4个交点，如下图所示：由图可知，解得，即的取值范围是．故13．答案：解析：由题意得等价于方程有两个不等根，即函数与图象有两个不同交点，又与互为反函数，则两函数图象关于对称，则与图象的交点都分布在直线上，故问题等价于与有两个不同交点，即，，有两根，即函数图象与直线有两个交点.设，则，则，得;，得，则在上单调递增，在上单调递减，，又，时，，时，，且时，时，可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点，需满足，即.故答案为:.14．答案：（1）（2）证明见解析.解析：（1）函数，求导得，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，求导得，函数在上单调递减，恒成立，即，因此，设，求导得，函数在上单调递增，则，则，即，所以，即.15．答案：AB解析：，A选项正确.函数的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，B选项正确.，所以C选选项错误.当时，，，，令，整理得，设，则在区间上单调递减，所以D选项错误.故选：AB16．答案：解析：，因为是函数的极值点，所以，即，则，经检验，满足题意，所以，所以.17．答案：（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii），证明见解析解析：（1）因为，，所以.当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以是在上唯一的极值点，是极大值点.因为，，所以，，所以是在上唯一的零点.（2）（i）因为，所以.因为，所以，，所以，即在区间单调递减.（ii）由（i）得，在上单调递减，所以，即，又，所以，因为是的零点，所以，所以，又，，且在上单调递减，所以.18．答案：AC解析：函数的定义域为，，由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；当时，，当时，，当时，有三个不同实根，C正确；当时，，此时，D不正确．故选：AC．19．答案：（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii），证明见解析解析：（1）因为，，所以.当时，令，解得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以是在上唯一的极值点，是极大值点.因为，，所以，，所以是在上唯一的零点.（2）（i）因为，所以.因为，所以，，所以，即在区间单调递减.（ii）由（i）得，在上单调递减，所以，即，又，所以，因为是的零点，所以，所以，又，，且在上单调递减，所以.20．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：（1）解法一：因为，所以.令，得，又，所以或，所以或，所以x，，的关系如表所示：x00大于00小于0单调递增极大值单调递减因为，所以函数在区间的最大值为.解法二：因为，所以.，易得当时，，令，得，令，得.所以x，，的关系如表所示：x00大于00小于0单调递增极大值单调递减因为，所以函数在区间的最大值为.解法三：由题得，由，得，故x，，的关系如表所示：x00大于00小于0单调递增极大值单调递减因为，所以函数在区间的最大值为.（2）解法一：因为余弦函数的周期为，所以不妨设，当时，，则，此时存在，使得；当时，，作出余弦函数的大致图象（如图所示），所以，只需要取，即可得到.综上可得，给定和，存在使得.