2026届高考数学第一轮专题复习：2年高考1年模拟：空间向量及其应用 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练空间向量及其应用1.已知向量OA=(0，1，2)，OB=(-1，0，1)，OC=(2，1，λ)，若O，A，B，C共面，则OC在OB上的投影向量的模为()A.22 B.2C.255 D2.(2025·南通模拟)若{a，b，c}和{a+b，b-c，m}都为基底，则m不可以为()A.a B.c C.a+c D.a-c3.(2025·贵州模拟)已知点A，B，C，D分别位于四面体的四个侧面内，点O是空间任意一点，则“OD=12OA+13OB+16OC”是“A，B，A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，α的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A.(1，-1，1) B.1，3，C.1，−3，32 D5.(2025·榆林模拟)如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，AD=c，且M，G分别是BC，CD的中点，则MG+AG等于()A.-12a+12b+c B.a+12C.-12a+b+c D.-12a+126.如图，二面角α-l-β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=2，则CD=()A.23 B.22C.14 D.47.(2025·杭州模拟)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，M是DB上靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，DP·(EF+MF)=0，则|DP|的最大值是()A.1 B.5C.2 D.38.[多选]如图，已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则()A.存在点P，使得|AP|+|PM|=4B.存在唯一点P，使得AP⊥PMC.当AM⊥BP时，点P的轨迹长度为2D.当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P-ABM的外接球体积为9π9.已知直线l的方向向量是m=(1，a+2b，a-1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n=(2，3，3).若l⊥α，则a+b=.

10.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=13AD，AG=2GA1，AC1与平面EFG交于点11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，O为BC的中点，M是棱B1C1上一动点，过O作ON⊥AM于点N，则线段MN长度的最小值为.

12.已知a=(1，-3，2)，b=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).(1)求|2a+b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b?(O为原点)13.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F分别是PC，AD的中点.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.14.(2024·泉州二模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是边长为2的菱形，PA=2，∠DAB=60°，点E，F，G分别为线段CD，PD，PB的中点.(1)证明：EG∥平面PAD；(2)求平面AFG与平面PBC夹角的余弦值；(3)设直线PC与平面AFG的交点为Q，求四边形AFQG的面积.

（解析）精练（四十九）空间向量及其应用1.已知向量OA=(0，1，2)，OB=(-1，0，1)，OC=(2，1，λ)，若O，A，B，C共面，则OC在OB上的投影向量的模为()A.22 B.2C.255 D解析：选B因为O，A，B，C共面，则存在实数x，y，使得OC=xOA+yOB，即(2，1，λ)=(-y，x，2x+y)，于是x=1，y=-2，λ=2x+y=0，OC=(2，1，0)，所以OC在OB上的投影向量的模为|OB·OC|OB2.(2025·南通模拟)若{a，b，c}和{a+b，b-c，m}都为基底，则m不可以为()A.a B.c C.a+c D.a-c解析：选C若{a+b，b-c，m}不是一个基底，则可设m=λ(a+b)+μ(b-c)=λa+(λ+μ)b-μc(λ，μ∈R).对于A，若m=a，则λ=1，∴{a+b，b-c，m}为基底，A错误；对于B，若m=c，则λ=0，λ+μ=0，−μ=1，方程组无解，∴{a+b，b-c，m解得λ=1，μ=−1，∴{a+b，b-c，m}不是一个基底，C正确；对于D，若m=a-c，则λ=1，λ+μ=0，−μ=−1，方程组无解，∴{3.(2025·贵州模拟)已知点A，B，C，D分别位于四面体的四个侧面内，点O是空间任意一点，则“OD=12OA+13OB+16OC”是“A，B，A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A充分性：因为OD=12OA+13OB+16OC，且12+13+16=1，由空间向量共面定理可知，A，B，C，D四点共面，所以充分性成立.必要性：若A，B，C，D四点共面，OD=a·OA+b·OB+c·OC，则a+b+c=1，其中a=12，b=13，c=16只是其中的一种情况，a，b，c也可以是其他和为1的取值，所以必要性不成立.综上所述，“OD=12OA4.已知平面α内有一个点A(2，-1，2)，α的一个法向量为n=(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A.(1，-1，1) B.1，3，C.1，−3，32 D解析：选B对于选项A，PA=(1，0，1)，PA·n=5，所以PA与n不垂直，排除A；同理可排除C、D；对于选项B，有PA=1，−4，12，所以PA·n5.(2025·榆林模拟)如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，AD=c，且M，G分别是BC，CD的中点，则MG+AG等于()A.-12a+12b+c B.a+12C.-12a+b+c D.-12a+12解析：选A因为AB=a，AC=b，AD=c，所以AM=12(a+b)，AG=12(b+c)，所以MG=AG-AM=12(b+c)-12(a+b)=12(c-a)，所以MG+AG=12(c-a)+12(b+c)=-16.如图，二面角α-l-β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=2，则CD=()A.23 B.22C.14 D.4解析：选C由二面角的平面角的定义知<BD，AC>=135°，所以BD·AC=|BD||AC|cos<BD，AC>=2×2×cos135°=-2，由AC⊥l，BD⊥l，得AC·BA=0，BD·BA=0，又因为DC=DB+BA+AC，所以|DC|2=(DB+BA+AC)2=DB2+BA2+AC2+2DB·BA+2DB·AC+2BA·AC=(2)2+22+22-2BD·AC=10-2×(-2)=14，所以|DC|=147.(2025·杭州模拟)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，M是DB上靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，DP·(EF+MF)=0，则|DP|的最大值是()A.1 B.5C.2 D.3解析：选D如图，建立空间直角坐标系，设P(x，y，z)，则D(0，0，0)，E1，0，1F12，0，1，M所以EF=−1MF=−1则EF+MF=−3因为DP·(EF+MF)=0，又DP=(x，y，z)，所以-34x-34y+32z=0，即z所以|DP|2=x2+y2+z2=x2+y2+x+y22，又0≤x≤1，0≤y≤1，所以x2+y2+x+y22≤1+1+1+122=3，当且仅当8.[多选]如图，已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则()A.存在点P，使得|AP|+|PM|=4B.存在唯一点P，使得AP⊥PMC.当AM⊥BP时，点P的轨迹长度为2D.当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P-ABM的外接球体积为9π解析：选BCD以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.A(2，0，0)，M(0，2，1)，设P点坐标为(x，y，2)(0≤x≤2，0≤y≤2)，AP=(x-2，y，2)，PM=(-x，2-y，-1).为求|AP|+|PM|的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为A1，则A1点坐标为(2，0，4)，∴|AP|+|PM|≥|A1M|=(0−2)2+(2−0)2+(1−4)2=17>4，故A错误；由AP⊥PM可得AP·PM=0⇒x2-2x+y2-2y+2=0⇒(x-1)2+(y-1)2=0⇒x=y=1，故B正确；当AM⊥BP，即AM·BP=0时，由点P坐标为(x，y，2)，得-2(x-2)+2(y-2)+2=0⇒y=x-1，点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即轨迹长度为2，故C正确；当P为底面EFGH的中心时，由B选项知AP⊥PM，易得AB⊥BM，∴三棱锥P-ABM的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为12|AM|=329.已知直线l的方向向量是m=(1，a+2b，a-1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n=(2，3，3).若l⊥α，则a+b=.

解析：由题意知m∥n，∴12=a+2b3=a−13，解得a=∴a+b=2.答案：210.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=13AD，AG=2GA1，AC1与平面EFG交于点解析：由题图知，设AM=λAC1(0<λ<1)，由已知AC1=AB+AD+AA1=2AE+3AF+32AG，所以AM=2λAE+3λAF+3λ2AG，因为M，E，F，G答案：211.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，O为BC的中点，M是棱B1C1上一动点，过O作ON⊥AM于点N，则线段MN长度的最小值为.

解析：因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，O为BC的中点，取B1C1的中点Q，连接OQ，OA，OM，如图，以O为原点，OC，OA，OQ所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B1(-1，0，3)，C1(1，0，3)，因为M是棱B1C1上一动点，设M(a，0，3)，且a∈[-1，1]，所以OM·OA=(a，0，3)·(0，3，0)=0，则OA⊥OM.因为ON⊥AM，所以Rt△OMN∽Rt△AMO，所以MNMO=MOMA，即MN=MO2MA=a2+3a2+(3)2+(3)2=a2+3a2又函数y=t-3t在t∈[6，7]上单调递增，所以当t=6时，t−3tmin即线段MN长度的最小值为62答案：612.已知a=(1，-3，2)，b=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).(1)求|2a+b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b?(O为原点)解：(1)2a+b=(2，-6，4)+(-2，1，1)=(0，-5，5)，故|2a+b|=02+(−5)(2)令AE=tAB(t∈R)，所以OE=OA+AE=OA+tAB=(-3，-1，4)+t(1，-1，-2)=(-3+t，-1-t，4-2t)，若OE⊥b，则OE·b=0，所以-2(-3+t)-1-t+4-2t=0，解得t=95.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为−13.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E，F分别是PC，AD的中点.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.解：(1)证明：如图，取PB的中点M，连接AM，ME，因为E是PC的中点，所以ME∥BC，ME=12BC因为F是AD的中点，所以AF=12AD，因为四边形ABCD是正方形，所以AD=BC，AD∥BC所以ME∥AF，ME=AF，所以四边形AFEM为平行四边形，所以AM∥EF，因为AM⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，F(0，1，0)，所以BE=(-1，1，1)，BF=(-2，1，0)，PD=(0，2，-2)，设平面BEF的法向量为n=(x，y，z)，则n令x=1，则n=(1，2，-1)，设PD∩平面BEF=H，设PH=λPD=λ(0，2，-2)，(0<λ<1)，因为P(0，0，2)，所以H(0，2λ，2-2λ)，则BH=(-2，2λ，2-2λ)，由BH·n=(-2，2λ，2-2λ)·(1，2，-1)=-2+4λ+2λ-2=0，解得λ=23即H为PD的三等分点PH=连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线.14.(2024·泉州二模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是边长为2的菱形，PA=2，∠DAB=60°，点E，F，G分别为线段CD，PD，PB的中点.(1)证明：EG∥平面PAD；(2)求平面AFG与平面PBC夹角的余弦值；(3)设直线PC与平面AFG的交点为Q，求四边形AFQG的面积.解：(1)证明