2026年（新高考）高考数学（一模）专项练习：不等式复数 含答案

/专题11不等式、复数题型01复数加减乘除运算1．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则.2．（2025·广东深圳·一模）若，则（

）A．0 B．1 C． D．23．（2025·宁夏银川·一模）（

）A． B． C． D．4．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（

）．A． B．C． D．5．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（

）A． B．1 C． D．6．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（

）A． B． C．1 D．27．（2025·福建泉州·一模）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．8．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（

）A． B．2 C．10 D．9．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（

）A． B． C． D．10．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（

）A． B． C．1 D．2题型02复数相等1．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（

）A． B．C． D．2．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．3．（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．4．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（

）A． B．1 C． D．45．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（

）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型03复数的几何意义1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（

）A． B． C． D．2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（

）A．1 B． C．3 D．54．（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为3C．若，则D．若，则5．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（

）A． B． C． D．6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2025·江西上饶·一模）已知，则（

）A． B． C． D．8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则z在复平面内对应的点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四10．（2025·江西·一模）若，则（

）A．5 B． C． D．11．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2025·广西·一模）已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B．1 C． D．13．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．14．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为.15．（2025·广东江门·一模）已知i是虚数单位，复数，则（）A． B． C． D．题型04不等式的综合应用1．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（

）A． B． C． D．2．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（

）．A． B． C． D．34．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为．5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能6．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为.7．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.8．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（

）A．若随机变量服从二项分布，且，则B．若，且，则的最大值为C．若随机变量服从正态分布，且，则D．若命题“”是假命题，则的取值范围为10．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为.题型05利用基本不等式求最值1．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．在上单调递增C．， D．2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为．4．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是.5．（2025·江西·一模）已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（

）A．的取值范围是 B．的取值范围是C． D．6．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．4 D．不存在8．（2025·江苏南通·一模）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．410．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（

）A． B． C． D．答案解析题型01复数加减乘除运算1．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则.【正确答案】/【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算即可.【详解】.故答案为.2．（2025·广东深圳·一模）若，则（

）A．0 B．1 C． D．2【正确答案】C【分析】根据求出，再根据公式求其模长.【详解】;;.故选：C.3．（2025·宁夏银川·一模）（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据条件，利用复数运算，即可求解.【详解】因为，故选：B.4．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（

）．A． B．C． D．【正确答案】ABD【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案.【详解】依题意得，复数，是方程的两个根，可得，解得，则，，所以，故选项A正确；，故选项B正确；，故选项C错误；，故选项D正确．故选：ABD．5．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（

）A． B．1 C． D．【正确答案】B【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解；【详解】由，可得：，所以复数的虚部为1.故选：B6．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（

）A． B． C．1 D．2【正确答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；【详解】因为，所以，解得.故选：B.7．（2025·福建泉州·一模）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据复数的模得到方程求出的值，即可求出，再根据复数代数形式的运算法则判断即可.【详解】因为，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，则，所以，.故选：D8．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（

）A． B．2 C．10 D．【正确答案】A【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】，所以.故选：A.9．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据复数的乘除法求出复数z，可得复数，由模长公式即可求得答案.【详解】由，得，所以.故选：D.10．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（

）A． B． C．1 D．2【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.【详解】，则.故选：B.题型02复数相等1．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】利用复数乘法法则计算出，根据复数相等得到答案.【详解】，故.故选：C2．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数.【详解】设复数，满足，所以，则.故选：B.3．（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由，代入，利用模长公式整理得z在复平面内对应点的轨迹方程．【详解】z在复平面内对应的点为，则，由，得，化简得.故选：A.4．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（

）A． B．1 C． D．4【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解.【详解】因为为实数，所以，解得，故选：C5．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（

）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【正确答案】BC【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C.【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误；又，故D错误；对于B：由，可得，故B正确；对于C：设，且，由，可得，则，若，则或；若，则，当，则，当，则，当，，则，综上，，故D正确.故选：BC.题型03复数的几何意义1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长.【详解】设，由，则，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，故复数所对应的点组成的图形的周长为.故选：D.2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正确答案】B【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.【详解】由可得，故复数z对应的点为，位于第二象限.故选：B3．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（

）A．1 B． C．3 D．5【正确答案】B【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案.【详解】由，则.故选：B.4．（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为3C．若，则D．若，则【正确答案】AB【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D.【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，设，则，因为，可得，故B正确；对于C，，取，显然，但，故C错误；对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误.故选：AB.5．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】结合复数的几何意义，即可求解．【详解】由，可知在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆环及内部，故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为故选：B6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】A【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解.【详解】因为，所以，所以对应的点的坐标是，位于第一象限.故选：A.7．（2025·江西上饶·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出.【详解】，其共轭复数.故选：A.8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正确答案】B【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，则，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.9．（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则z在复平面内对应的点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【正确答案】A【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求.【详解】由题意得，所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.10．（2025·江西·一模）若，则（

）A．5 B． C． D．【正确答案】A【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合复数模的性质求解即可.【详解】因为，，所以结合复数模的性质得，故A正确.故选：A.11．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案.【详解】由，则，可得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B12．（2025·广西·一模）已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B．1 C． D．【正确答案】B【分析】根据复数的除法先计算出，得虚部为.【详解】由，则复数的虚部为1.故选：B.13．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解.【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，所以所以向量对应的复数为.故选：D.14．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为.【正确答案】【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得.【详解】由可得复数在复平面内对应点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，所以，所以离心率为.故15．（2025·广东江门·一模）已知i是虚数单位，复数，则（）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据复数的乘法与除法化简复数成代数形式，利用共轭复数定义即得.【详解】由，则.故选：D.题型04不等式的综合应用1．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D.【详解】因为，对于A：取，所以，A选项错误；对于B：取，所以，B选项错误；对于C：取，所以，C选项错误；对于D，，当且仅当取等号，所以，因为，所以，当且仅当取等号，所以，所以，D选项正确.故选：D.2．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【正确答案】BCD【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C.【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误；对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，所以，故B正确；对于C，因为，，又因为，所以，而，即，，所以，故C正确；对于D，设，即，则，解得，所以，又，则，且，所以，所以，故D正确；故选：BCD3．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（

）．A． B． C． D．3【正确答案】D【分析】利用奇函数的性质求出的解析式，再按的不同取值分类讨论在上的单调性即可求解.【详解】因为定义在上的函数为奇函数，且当时，，所以当时，，，当时，，令，即，因为，当且仅当时等号成立，所以，若，则函数在上单调递增，又，所以，即恒成立，故满足题意，排除选项A；若，则，函数在上不单调，图象如图所示，又，即，可理解为函数的图象在函数的图象下方，所以由图象可得，即，令，则，，.故选：D4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为．【正确答案】【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【详解】法一：因为，所以．设，（不妨设），，依题意有，，，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为．法二：因为，所以．对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，根据双曲线的性质可得，所以，所以，整理可得．所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为．故答案为.5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能【正确答案】B【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，则，解得，，当且仅当时，取到等号，而，所以.故选：B6．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为.【正确答案】/0.25【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值.【详解】，当且仅当时取等号，所以k的最大值为.故答案为.7．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.【正确答案】5【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，所以，即令且，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，在单调递增，且，则时，，函数在单调递减，时，，函数在单调递增，因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需.故5，8．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为正实数,满足，所以，则：，当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B．9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（

）A．若随机变量服从二项分布，且，则B．若，且，则的最大值为C．若随机变量服从正态分布，且，则D．若命题“”是假命题，则的取值范围为【正确答案】BC【分析】利用二项分布的期望、方差公式和期望的性质判断A，利用基本不等式判断B，根据正太密度曲线的性质判断C，根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围判断D.【详解】选项A，由期望的性质可知，解得，因为随机变量服从二项分布，所以，解得，所以，A说法错误；选项B：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，B说法正确；选项C：因为随机变量服从正态分布，且，所以，所以，C说法正确；选项D：若命题“”是假命题，则，当时，解得，当时，恒成立，满足题意；当时，不恒成立，不满足题意；当则，解得，综上的取值范围为，D说法错误；故选：BC10．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为.【正确答案】【分析】由函数解析式可知为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调性，利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得的取值范围可求得结果.【详解】根据函数解析式可知函数的定义域为，且满足，故得为偶函数，当时，可得，当且仅当，即时，等号成立，由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在单调递增，且在时，取得最小值：；由对称性可得，又；再由偶函数性质可知其图象如下图所示：因函数的图象与有两个交点，由图象可知或；因此的最小值为3.故3.题型05利用基本不等式求最值1．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．在上单调递增C．， D．【正确答案】ACD【分析】对A，根据偶函数的定义判断；对B，通过导数可判断；对C，由基本不等式判断；对D，直接计算可判断.【详解】对A，由题知定义域为，所以，是偶函数，故选项A正确.对B，函数的导数，所以当时，当时，所以单调递减区间为，单调递增区间为.又，所以函数在单调递增，由复合函数的单调性，可知在上单调递减，故选项B错误.对C，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故选项C正确.对D，，，则，故选项D正确.故选：ACD.2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解.【详解】已知，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.3．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为．【正确答案】【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得，正数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为.4．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是.【正确答案】16【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由正数满足，得，则，当且仅当，即取等号，所以的最小值是16.故165．（2025·江西·一模）已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（

）A．的取值范围是 B．的取值范围是C． D．【正确答案】AC【分析】由题意可得，是方程的两个