2026年（新高考）高考数学（一模）专项练习：导数及其应用 含答案

/专题03导数及其应用题型01切线、单调性及最值问题1．（2025·天津武清·一模）已知曲线在点处的切线为.(1)当时，求直线的方程；(2)证明:与曲线有一个异于点P的交点且；(3)在（2）的条件下，令求k的取值范围.2．（2025·福建泉州·一模）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；(3)当时，，求的取值范围．+0-0+极大值极小值+0-0+极大值极小值3．（2025·山东泰安·一模）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2025·黑龙江·一模）设函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为增函数，求的取值范围.6．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．7．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（

）A． B． C． D．8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；(2)讨论的单调性.9．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．210．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数，(1)求函数的极值点和极值；(2)求解析式；(3)若在上单调递增，求实数的最大值；(4)求证：，.题型02恒成立存在问题1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2．（2025·江西·一模）已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为.

3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设是的两个极值点，①求证：；②求证.4．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是．5．（2025·山东淄博·一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)证明：时，；(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．6．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若有2个零点，则B．当时，是增函数C．当时，恒成立D．当时，若是的零点，则8．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.9．（2025·江西上饶·一模）已知函数．(1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值；(2)若是的极小值点，求的取值范围．10．（2025·浙江·一模）已知函数，其中.(1)若函数是偶函数，求；(2)当时，讨论函数在上的零点个数；(3)若，，求的取值范围.题型03证明不等式1．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（

）A． B．C．数列的前项和为 D．2．（2025·四川巴中·一模）已知函数(1)求函数的极值；(2)求证：当时，；(3)若，其中，讨论函数的零点个数．3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（）A． B．C．是的极小值点 D．4．（2025·江西南昌·一模）已知．(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；(2)若有极大值m，求证：5．（2025·北京延庆·一模）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)若，求的单调区间；(3)若，且，证明.6．（2025·乌鲁木齐·一模）已知.(1)求证：当时，；(2)设.（ⅰ）求证：数列为递减数列；（ⅱ）求证.7．（2025·福建厦门·一模）设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是增函数，求a的取值范围；(3)当时，设为的极小值点，证明：．8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，，证明：9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：(1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；(2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（注：e为自然对数的底数）10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．题型04双变量问题1．（2025·山东聊城·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，.(1)记的导数为，求的值，其中；(2)若，恒有，求a的取值范围.3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为(1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值;(2)讨论方程在上实数解的个数;(3)若，设函数，若，求的取值范围.题型05函数零点问题1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是.2．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值.(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.3．（2025·四川内江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上是增函数B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为C．若在上为减函数，则D．当时，若函数有且只有一个零点，则4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论：①，使得关于直线对称；②，使得存在最小值；③，在上单调递减；④，使得有三个零点；其中所有正确的结论的序号是.5．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有两个零点，求的取值范围．7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围;(2)若，求证：有且只有1个零点.题型06利用导数比较大小及构造解不等式1．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．2．（2025·黑龙江·一模）已知函数是偶函数，则（

）A． B．C． D．3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案解析题型01切线、单调性及最值问题1．（2025·天津武清·一模）已知曲线在点处的切线为.(1)当时，求直线的方程；(2)证明:与曲线有一个异于点P的交点且；(3)在（2）的条件下，令求k的取值范围.【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）设，，利用零点存在定理证明存在使得即可；（3）易知，则计算可得.令，则命题即要研究有正根的充要条件.再对分类讨论，利用多次求导研究的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，而，所以.所以的方程是，即（2）由于，故的方程可化为.设，则直线的方程为.令，设，则对有，所以在上单调递增.记，则.由于，且，故一定存在，使得，即.而，故是与曲线的交点，且（3）对，设.则，令，则，令，.由于当时，的导数，故在上单调递增.若，则.所以对有，从而在上单调递增；所以对有，从而在上单调递增；所以对有，从而在上单调递增；所以对有，从而在上无零点.若，则.由于对有，故.从而存在使.结合在上单调递增，知对有，从而在上单调递减；所以对有，从而在上单调递减；所以对有，从而在上单调递减；所以，又由于对有，故对有，从而当时，有.结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点.综上，对，函数在上存在零点的充要条件是.最后，一方面因为，就有，所以在上存在零点，故；另一方面，对任意，取，则在上存在零点.记该零点为，取，则.所以这样的满足原条件，且.综上，的取值范围是.2．（2025·福建泉州·一模）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；(3)当时，，求的取值范围．【正确答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；（2）由条件转化为恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解；（3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围.【详解】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，又，所以曲线在点处的切线方程为．（2），由题意得，恒成立．令，则，且在单调递增，令，解得，所以当时，，故单调递减；当时，，故单调递增；所以，又，当且仅当，故．（3）解法一：因为，所以题意等价于当时，．即，整理，得，因为，所以，故题意等价于．设，的导函数，化简得，考察函数，其导函数为，当单调递减；当单调递增；故在时，取到最小值，即，即，所以，所以当单调递减；当单调递增；所以的最小值为，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情况1：当，即，此时在区间单调递增，故，即，符合题意；情况2：若，则，注意到，且，故对进一步讨论．①当时，即且由（2）分析知：当单调递减，故当，即单调递减，故恒有，不符合题意，舍去；②当时，注意到在区间单调递减，且，又，故在区间存在唯一的满足；同理在区间单调递增，且，故在区间存在唯一的满足；故可得+0-0+极大值极小值所以当，符合题意；故题意等价于，即．又因为，即，化简，得所以，整理得．注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函数，其导函数为，当单调递减；当单调递增；故在时，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情况（2）讨论范围为，所以也符合题意．综上①②本题所求的取值范围为．方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值，则必要地，即得到必要条件为；下证的充分性，即证：当时，．证明：由（2）可知当时，在单调递增，故的最小值为，符合题意；故只需要证明时，．由（2）分析知时，+0-0+极大值极小值其中．注意到，据此可得更精确的范围是；所以等价于证明，又因为，即，可得，只需证明，等价于证明，注意到，即，故若①当，此时显然成立；若②当，只要证明，此时，且所以，故得证．综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为．3．（2025·山东泰安·一模）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)或【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；（2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减；（3）由题意得有两个不同实根,令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围.【详解】（1）由题意的定义域为当时，，，，又，在处的切线方程为，即（2），，当，即时，，在上单调递减，当，即时，在上，，在上，在上单调递减，在上单调递增，综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增.（3）方程有两个不同实根，等价于方程有两个不同实根,设，则且，当时，时，时，，此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；当时，在上单调递增，当时，，存在使，在上，在上，在上单调递减，在上单调递增，，又，设，则，当时，单调递减，又，，又，在上和上各有一个零点，符合题意；当时，，在上，在上，在上单调递增，在上单调递增，，只有一个零点，不符合题意；当时，，，存在使得，在上单调递减，在上单调递增，，，又当时，单调递增，又，，在上存在一个零点又，时有两个零点，符合题意；综上，方程有两个不同实根时，或.关键点点睛：对于含参数的函数零点问题，1是对参数分类讨论，利用函数的单调性与零点存在性定理判断函数零点个数；2是参变分离，利用两个函数交点个数问题，数形结合求解.4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果.【详解】设切点坐标为，函数，所以，因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为故选：B5．（2025·黑龙江·一模）设函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为增函数，求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）法一：参变分离得到在上恒成立，构造函数求最值即可；法二：构造函数，通过分类讨论求最值即可求解；【详解】（1）当时，，所以，，，∴曲线在处的切线方程为，整理得，，∴曲线在处的切线方程为.（2），，是增函数，即在上恒成立，方法一：即在上恒成立，所以，设，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得极大值，也是最大值，∵，∴的取值范围是.方法二：即在上恒成立，所以，设，，则，，①若，则，在上单调递增，当趋近于0时，趋近于，即不恒成立，所以在上不单调递增，与题意不符，舍去.②若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，则当时，取得极小值，也是最小值，∴，解得，∴的取值范围是.6．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，所以，曲线在处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点，因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：D.7．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果.【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，且反比例函数的图象也关于直线对称，可知点关于直线对称，设，则，设，则，由题意可得：，解得或（舍去），可得，则，所以.故选：A.8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；(2)讨论的单调性.【正确答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案；（2）求导，分、、、讨论，可得答案.【详解】（1），因为，，所以的图象在处的切线方程为，将代入得，解得；（2），当时，，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，，所以在上单调递增.当时，令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.当时，令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.9．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．2【正确答案】A【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令，再求导函数得出切线计算化简转化求解.【详解】不等式可化为，令，当时，，此时，直线恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，，此时．当时，亦恒过点，为使，对一切恒成立，需开口向下，且在点处与有公切线即可，故，此时．综上，的取值范围是，所以的可能取值为.故选：A.10．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数，(1)求函数的极值点和极值；(2)求解析式；(3)若在上单调递增，求实数的最大值；(4)求证：，.【正确答案】(1)极小值点0，极小值1，无极大值点和极大值；(2)(3)；(4)证明见解析【分析】（1）利用导数来求得函数的极值点和极值.（2）根据求得的解析式.（3）由的单调性列不等式，由此求得的最大值.（4）先证得，利用赋值法来求得正确答案.【详解】（1）因为，所以，故当时，，当时，，故函数在递减，在递增，所以函数有一个极小值点0，极小值，无极大值点和极大值；（2）由得，又，故所以（3）由得，因为在上单调递增，所以，即对恒成立故，所以实数的最大值为；（4）由（3）知：当，时，故在上单调递增，所以，即所以，即，①在①式中分别令，相加得题型02恒成立存在问题1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：，.(2)(3)【分析】（1）求出和即可求解，求出和即可求解，求出和即可求解；（2）证明存在足够小的使得，令，讨论的情况，并结合导数检验即可求解；（3）根据与递推式形式一致求出，求出即可求解.【详解】（1）（1）双曲函数关系式①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：，.证明如下（不需要写出）：因为，，所以；因为，，所以；，（2）因为，所以，所以，，当时，设，若，则存在足够小的使得矛盾，所以，因为，观察，令，，当且仅当时等号成立，所以在时单调递增，因为，所以对成立，即，所以满足题意，所以；（3）因为与递推式形式一致，所以假设，其中为待定参数，因为符合递推关系，所以，因为，所以，因为，得，令，方程变为，解得或，所以或，所以或，因为是偶函数，所以不妨设，所以，，所以2．（2025·江西·一模）已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为.【正确答案】【分析】法一：设为的图象上任意一点，通过点的旋转得到旋转后的坐标，构造函数，由其单调性求解即可；法二：求导，由讨论的单调性，结合旋转讨论；【详解】法1：设为的图象上任意一点，绕原点逆时针旋转后点的对应点为，设，与正半轴夹角为，可得：，化简可得：令，则，所以，令，要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象，则为单调函数，即恒成立，或恒成立.因为，又，故不恒成立，所以恒成立，当时，；当时，由，得，令，则，易得当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；当时，由，得，令，则，所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为，所以.综上所述，的取值范围为.法2：，当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象；

当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意；当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后，得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以.综上所述，的取值范围为.故答案为.3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设是的两个极值点，①求证：；②求证.【正确答案】(1)减区间为，增区间为；(2)①②证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）①分析得的两根为，且，再构造函数，利用导数得其单调性即可证明原不等式；②将左边不等式等价转化证明，再构造函数，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明.【详解】（1）时，，，因为，均在上单调递增，则在上单调递增，又，所以，，，，所以在单调递减，在单调递增．（2）①依题意的两根为，即的两根为．令，得，且，，则在单调递减，在单调递增，则．令，则，所以在单调递增，所以，所以，又，在单调递增．所以，即．②由，要证明，只需证，即证明，即证明即证明即证明，设，，则，则当时，，则在单调递减，则，则在上恒成立，从而左边得证．因为，，且，，则在和处的切线分别为和，令，得，再证明恒成立，设，则，令，解得，且时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增；则，则恒成立，再证明恒成立，设，，则在上单调递增，又因为且大于0时，，则恒成立，所以，从而右边得证．4．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是．【正确答案】【分析】对不等式进行变形可得，构造函数，利用导数研究的单调性，进而可求的取值范围.【详解】在上恒成立当时，即解得，此时.令则，①当时，．在上单调递增，恒成立，恒成立，；②时．在上单调递减，在上单调递增，解得与矛盾，舍去；综上所述，的取值范围为故答案为.5．（2025·山东淄博·一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)证明：时，；(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．【正确答案】(1)的增区间为，减区间为.(2)见解析(3)整数的最大值为．【分析】（1）直接利用导数判断的单调区间；（2）要证，即证，令，对求导，得到即可证明.（3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解．【详解】（1）函数的定义域是，，当时，；当时，．所以，的增区间为，减区间为.（2）要证时，，即证在恒成立，令，，，令，，当时，，，所以在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所，所以，综上，时，；（3）不等式等价于不等式，由可得：，设，，则，设，函数的定义域是，，设，则，令，则，时，，在上为增函数，时，，在上为减函数，∴在处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，，∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，故函数的增区间为，减区间为，所以，所以，即∴，，于是在上为减函数，故函数在上的最小值为，所以，所以整数的最大值为．6．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.【正确答案】【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可.【详解】由题意，，当时，，，所以；当时，，，所以，等号仅当时成立，所以.所以对，即，即.令，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，因此.故7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若有2个零点，则B．当时，是增函数C．当时，恒成立D．当时，若是的零点，则【正确答案】ABD【分析】方程的根的问题，通过变形转化为直线与函数图象交点问题；对于函数的单调性问题，通过求一阶导数，再对求导研究单调性，进而确定的单调性.【详解】显然，由，得，所以直线与函数的图象有2个交点，又，所以当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极小值.又时，；当时，；当时，，在同一直角坐标系中作出的图象以及直线，由图可见，当且仅当时，直线与的图象有两个公共点，故A正确；当时，，对求导得.再对求导得.令，即，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得最小值，，即恒成立，所以是增函数，选项B正确.当时，，，所以不恒成立，选项C错误.当时，，，.因为是增函数，且，所以由零点存在定理可知，的零点满足，选项D正确.故选：ABD.8．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.【正确答案】5【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，所以，即令且，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，在单调递增，且，则时，，函数在单调递减，时，，函数在单调递增，因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需.故5，9．（2025·江西上饶·一模）已知函数．(1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值；(2)若是的极小值点，求的取值范围．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果；（2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大于零，据此可求得取值.【详解】（1）已知，根据求导公式，，，可得，因为曲线在处的切线的斜率为，所以，解得；（2）由（1）可得，令则，若是的极小值点，则，则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0，这意味着在处的导数，把代入得，解得；当时，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，则在上单调递增，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点；当时，此时，令，则，此时，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，则在上单调递增，当时，，单调递减；当时，；所以是的极小值点；当时，令，即，设，则，整理得，由一元二次方程求根公式，因为，所以，，存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减，此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点；综上的取值范围是.10．（2025·浙江·一模）已知函数，其中.(1)若函数是偶函数，求；(2)当时，讨论函数在上的零点个数；(3)若，，求的取值范围.【正确答案】(1)(2)两个零点(3)【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出；（2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点.（3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以.即，解得.（2）当时，.，，令，则.当时，，当时，，单调递增，又，，所以存在，使得.，，单调递减，，，单调递增，而，，，所以在上存在一个零点.综上，函数在有两个零点.（3）当时，；当时，，则.（ⅰ）当时，，，成立；（ⅱ）当时，若，则，单调递增，所以；若，则，，成立；（ⅲ）当时，若，则成立；只要考虑，此时令，则，递增，，，所以存在，使得，若，则，递减；若，则，递增.所以，解得.此时，所以，从而.综上，.题型03证明不等式1．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（

）A． B．C．数列的前项和为 D．【正确答案】ABD【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D.【详解】设直线，联立，得，则由，即，解得（负值舍去），故A正确；可得，，所以，故B正确；因为，则，故C错误；因为，，所以，设，则，可得在上单调递增，则时，，又，则，故D正确.故选：ABD2．（2025·四川巴中·一模）已知函数(1)求函数的极值；(2)求证：当时，；(3)若，其中，讨论函数的零点个数．【正确答案】(1)，无极大值(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的极值；不等式等价于，，令，，利用导数证明即可；讨论的零点个数问题，先对x分类讨论去绝对值，易得在上总有唯一的零点；当时，对求导，再对t分类讨论，结合导数知识及零点存在性定理判断即可．【详解】（1），令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，无极大值．（2）证明：原不等式等价于：，，即，，令，，下证：，则，设，则，等号当且仅当时成立，所以在上单调递增，，等号当且仅当时成立，所以在上单调递减，，即原不等式成立．（3）等价于的零点个数问题：①当时，，显然在上单调递增，又，，所以在上总有唯一的零点；②当时，，则，Ⅰ若，则在上恒成立，在上单调递增，，在上无零点；Ⅱ若，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，令，得若，则在上无零点；若，则在上有唯一零点；若，则，又，又由知，得，得，由零点存在性定理可知，在，上各有一个零点．综上所述：当时，有一个零点：当时，有两个零点；当时，有三个零点．3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（）A． B．C．是的极小值点 D．【正确答案】ACD【分析】对函数求导，为研究导函数的正负，构造函数，通过对其求导，分段讨论研究函数的单调性，进而研究函数的极值点，判断各个选项即可.【详解】，定义域为，则，.因为，所以，而，所以，故选项A正确；令，则.①考虑的情况：当时，；当时，；则函数在上单调递增，在上单调递减.又，，当且时，，则存在，使得，当时，，此时，则，故；当时，，此时，则，故.②考虑的情况：当时，，，且等号不能同时取得，则，此时.结合①可知，在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，可知，故选项B错误；③考虑的情况：当时，；当时，；则函数在上单调递增，在上单调递减，，，当且时，，则存在，使得，当时，，此时，则，此时；当时，，此时，则，此时；④考虑的情况：当时，，，且等号不能同时取得，则，此时；结合③可知，在上单调递减，在上单调递增，综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极大值，在处取得极小值，可知，即是的极小值点，故选项C正确；⑤考虑的情况：可知函数在上单调递增，在上单调递减，同①可知，存在，使得，当时，，此时；当时，，此时；综合可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可知.由题可知，，.令，，则，可得，，可得，由可得，则，则，即，.又，则，，，可得，即，则，即，即，可得.又，，函数在上单调递减，所以，即，可得，故选项D正确.故选：ACD.4．（2025·江西南昌·一模）已知．(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；(2)若有极大值m，求证：【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求，令，通过求导判断函数的单调性求解最小值，结合题意列不等式即可求解；（2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，由，则，，判断的单调性，可得，通过求导即可证明.【详解】（1）函数的定义域为，可得，令，所以，因为时，，所以单调递减，时，，所以单调递增，所以，因为在定义域上单调递增，所以恒成立，所以，即；（2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，此时，且时，时，所以，则，，其中，因为时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以为的极大值点，则，且，设，则，所以在单调递增，所以，即.5．（2025·北京延庆·一模）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)若，求的单调区间；(3)若，且，证明.【正确答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为，(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间；（3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证.【详解】（1）由，所以所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即（2）由，定义域为，令得或因为，所以.所以，列表：00递减递增递减所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（3）因为，又，，所以是方程的两个根.依题意，有，所以，即，所以，令，则，令，则因为，所以，所以在上是增函数，所以，所以在为减函数，所以，即.6．（2025·乌鲁木齐·一模）已知.(1)求证：当时，；(2)设.（ⅰ）求证：数列为递减数列；（ⅱ）求证.【正确答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式；（2）（ⅰ），令，，构造函数并求导，即可求解函数的单调性，从而得到数列的单调性，即可得证.（ⅱ）由题意结合，得，利用（1）可得，从而有，结合放缩法可得，又由（ⅰ）知，，即可证得结果.【详解】（1）由得，令，则当时，，所以函数在上单调递增，又∵，∴，∴在上单调递增，∵，∴.（2）（i）由题意可得：，令，，即.令，，∵，∴在上单调递减，∵，∴，∴，，∴为递减数列；（ⅱ）由（i）可知，，∵，∴，由（1）可知，当时，，即，当时，，∴,∴.又，∴.7．（2025·福建厦门·一模）设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是增函数，求a的取值范围；(3)当时，设为的极小值点，证明：．【正确答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．(2)(3)证明见解析【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间；（2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围；（3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证.【详解】（1）当时，，，因当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因，设，，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故时，取得极小值，（ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意；（ⅱ）当时，，因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，所以存在两个零点，即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意；（ⅲ）当时，若，因为的零点为，且，则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，所以，解得，此时，当时；当时，则所以综上a的取值范围为.（3）当时，，，设为的零点，则，因为，所以，当时，，，故，在单调递增，当时，，，所以，在单调递减，当时，，，所以，在单调递增，所以，且，即，所以，设，则，在上单调递增，所以，且，故得．8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，，证明：【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性.（2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解.【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，，令，当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减；当，即时，函数有两个零点：，，当x变化时，，的变化情况如下表所示：x-0+0-单调递减单调递增单调递减综上，当时，在内单调递增，在和上单调递减；当时，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，则，是方程的两个根，由韦达定理，得，，所以，，令，，则，当时，，则在区间上单调递减，从而，故9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：(1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；(2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（注：e为自然对数的底数）【正确答案】(1)；证明见解析(2)存在，【分析】（1）当时，恒成立，；当时，可化为，令，，利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即可求出的范围；得出以，将代入整理，即可证明不等式成立；（2）先由题意得到；由推出，结合（1）的结果，可求出；对于，当或时，于显然恒成立；当时，推出以，同（1）构造函数，求出；从而可求出结果.【详解】（1）当时，显然恒成立，；当时，可化为，令，，则，令，，则在上恒成立，因此在上单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上单调递减，又由洛必达法则可得：，所以恒成立，因此，为使对任意恒成立，只需；综上，；所以，因为，所以，则，所以得证；（2）存在，使得：有，,证明如下：由题意，为使恒成立，必有；(i)由得，所以，则，因为，由（1）知对任意恒成立，为使都成立，只需，解得；(ii)对于，当或时，于显然恒成立；当时，，由得，所以，令，则，，所以，同（1）令，，则，令，，则在上恒成立，因此在上单调递增，所以，因此在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当，；因此，为使恒成立，只需，解得；由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，.10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；（2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论；（3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论.【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则，所以，解得或（舍去），所以；（2）设，当时，单调递减，，所以，由（1）可知，则有，所以不等式恒立．（3）因为，所以要证，只需证：，根据（2）可知，那么，，所以.题型04双变量问题1．（2025·山东聊城·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性.（2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解.【详解】（1）的定义域为.求导可得.令，其判别式.当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增.当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，.因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增.当时，，则，，且，此时在和上，，，单调递增；在上，，，单调递减.综上所得，当时，在上单调递增.当时，在和上单调递增；在上，单调递减.（2）因为有两个不同的极值点，所以且，解得.由韦达定理可知，，代入上式可得：.已知，即，可得，即.令，对求导得.因为，所以，在上单调递增.又，所以的解集为，即实数的取值范围是.2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，.(1)记的导数为，求的值，其中；(2)若，恒有，求a的取值范围.【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）求出函数的导数，再代入并结合对数运算求值.（2）由（1）求出函数的最小值，再求出最大值，利用恒成立列式求解.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，所以.（2）由（1）知，，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，由，得，函数的图象是开口向下的抛物线，当时，，由，恒有，得，因此，解得，所以a的取值范围是.3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为(1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值;(2)讨论方程在上实数解的个数;(3)若，设函数，若，求的取值范围.【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出，设与有公共点，解由及组成的方程组求出可得答案；（2）由，两边同取对数得令，利用导数判断出其单调性，分、、讨论方程在上实数解的个数可得的答案；（3）由得，设，则，利用导数判断出在上的单调性可得答案.【详解】（1）关于对称的函数为，，设与有公共点，由对称性可知，在上，，，，解得，得；（2）由（1）知，，由，两边同取对数，，即令，，函数在上单调递增，在上单调递减.当，方程在上实数解的个数为1个.当，，方程在上实数解的个数为2个.当，方程在上实数解的个数为1个；（3），定义域为，求导得，又，，整理得，由基本不等式得，，，设，则，易知，在单调递增，，的取值范围为题型05函数零点问题1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是.【正确答案】.【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案.【详解】当时，则，令，求导可得，令，解得，可得下表：单调递增极大值单调递减由函数的极大值为，则存在唯一零点，所以函数与函数在上有且仅有一个交点；当时，，令，求导可得，显然上，则函数在上单调递减，当时，，当时，，由，则函数在上存在唯一零点，所以函数与函数在上有且仅有一个交点；由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点，当时，，令，令，整理可得，当方程有两个相等的实数解时，，解得，此时，符合题意，当方程在有一个实数根时，可得，解得，综上可得.故答案为.2．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值.(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.【详解】（1）由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，.（2）由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.3．（2025·四川内江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上是增函数B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为C．若在上为减函数，则D．当时，若函数有且只有一个零点，则【正确答案】BD【分析】利用导数研究函数的单调性判断A；导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断B；问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围判断C；问题化为有唯一解，应用导数研究右侧的单调性和值域判断D.【详解】对于A，为增函数，时趋向负无穷，时趋向正无穷，所以存在使，故上在上为减函数，错；对于B，由题设，则，且，所以在处的切线方程为，切线与轴的交点坐标为，与轴交点坐标为，所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，对；对于C，因为函数在上为减函数，则在上恒成立，即，令，则，易知时，时，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，错；对于D，函数有且只有一个零点，即有唯一解，则，令且，则，令，显然在上为增函数，，则，使得，易知时，时，则在为减函数，在为增函数，则，当时，，所以有且只有一个解时，，即，对.故选：BD4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论：①，使得关于直线对称；②，使得存在最小值；③，在上单调递减；④，使得有三个零点；其中所有正确的结论的序号是.【正确答案】①③④【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③，【详解】取，得，因为，所以，使得关于直线对称；故①对；由，所以，若，当时，令，则，令，则，所以在单调递减，所以，所以在单调递减，当时，令，则，所以在单调递减，所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对，如图

若，则当函数与直线的图象相切时，设切点横坐标为，此时，则，得到方程组，化简得，易得，则此时有两个零点，图象见下图，AI

当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，AI

故④对，故①③④5．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利