2026年（新高考）数学（二模）专项练习：函数概念与基本初等函数 含答案

/专题02函数概念与基本初等函数题型01函数的图象及其应用1．（2024·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．2．（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（

）A．函数不具有奇偶性B．C．函数的值域为D．函数的单调递增区间为3．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

4．（多选）（2025·湖北武汉·二模）已知且，则函数的图象可能是（

）A． B． C． D．5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是.6．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为.7．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是．题型02函数单调性及其应用1．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2025·广东深圳·二模）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（2025·天津南开·二模）已知，则（

）．4．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型03函数奇偶性等性质的综合应用1．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（

）A．0 B． C． D．2．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（

）A．3 B．1或3 C．2 D．1或23．（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（

）A． B． C． D．5（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（

）A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增6．（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为增函数 D．为减函数7．（多选）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为．题型04函数的零点与方程的根1．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（

）A．3 B． C．6 D．2．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．若，则在上恰有5个零点D．若，在区间有最大值，则题型05抽象函数问题1．（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．0 C．1 D．22．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（

）A．1 B． C．5 D．3．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（

）A．B． C． D．4．（2025·江苏·二模）已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（

）A． B． C． D．5．（多选）（2025·河北·二模）已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（

）A．为偶函数 B．C． D．6．（多选）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（

）A． B．，C．的图象关于点对称 D．为偶函数7．（多选）（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．C．为偶函数 D．的最大值为8．（2025·山东菏泽·二模）对于任意，，且，则（

）A． B．1 C．2025 D．40499．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则．题型06分段函数问题1．（2003·广东·高考真题试卷）若函数，当时函数值，则的取值范围是（

）A．； B．；C．； D．．2．（2025·四川·二模）存在狄利克雷函数，若，，则的所有值之和为（

）A．3 B．6 C．12 D．133．（2025·广西南宁·二模）已知函数，.若不等式的解集为，则（

）A． B．1 C． D．24．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是.5．（2025·广东深圳·二模）已知函数，若，则实数．6．（2025·安徽合肥·二模）已知函数的最小值为，则．专题02函数概念与基本初等函数题型01函数的图象及其应用1．（2024·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.【详解】，排除A.既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.在上单调递减，排除C.的图象符合题中图象，B正确.故选：B2．（2025·安徽安庆·二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（

）A．函数不具有奇偶性B．C．函数的值域为D．函数的单调递增区间为【正确答案】D【分析】根据条件和指数函数的性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误；由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误；由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确；故选：D.3．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【正确答案】ABD【分析】根据的定义域为，然后通过求导分析函数的单调性，再根据的不同取值情况来判断函数图象的大致形状.【详解】的定义域为，排除C；对求导可得，.当时，，.所以在上单调递增，且函数图象从右侧开始上升，B选项满足.当时，在上，，，所以，这表明函数在上单调递增，，A选项满足.当时，.令，对求导得，在上，，所以在上单调递增.又，当时，，所以存在，使得，即.当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，D选项满足.故选：ABD.4．（多选）（2025·湖北武汉·二模）已知且，则函数的图象可能是（

）A． B． C． D．【正确答案】BCD【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案.【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增，令，求导可得在上恒成立，则在上单调递增，所以，易知，使得，则，即，当时，，则函数在上单调递减；当时，，则函数在上单调递增，所以，由，则，当，即时，，故A错误，B可能正确；当，即时，令，求导可得，则函数在上单调递减.由，,则存在，使得，所以当时，此时符号不定，故CD可能正确.故选：BCD.5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是.【正确答案】【分析】利用可得的坐标.【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关，故定点的横坐标为，故纵坐标为，故.故答案为.6．（2025·山东·二模）若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为.【正确答案】或【分析】将题设条件转化为函数与函数的函数图象有交点，再利用导数工具研究函数的图象性质即可得解.【详解】若函数与的图象在第一象限内有公共点，则方程在上有解，即方程在上有解，显然不是方程的解，所以方程在上有解，则函数与函数的函数图象有交点，又，所以时，，时，，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，时；时，；时；所以或.故或.7．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是．【正确答案】【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解.【详解】，即，当，，，所以不是交点横坐标；当时，，即，令，则，所以的图象与有3个交点，即函数与的图象有3个交点，函数恒过点，当，即，，即，解得或，当，解得或，所以函数与相切时的最小值为或，由图象可知当（1）时，即；（2），即时函数与的图象有3个交点，综上：当时，的图象与有3个交点，故答案为.关键点点睛：本题的关键在于将式子变形，使得两个函数有其中一个图象是确定的，通过平移另一个图象来找到符合题意的条件.题型02函数单调性及其应用1．（2025·四川自贡·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据题意，可判断，，得解.【详解】，，，则，又，，.故选：C.2．（2025·广东深圳·二模）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由题意可得，，，结合函数的单调性可得，可比较大小.【详解】，，，又在上单调递增，，所以，所以，所以，所以.故选：B.3．（2025·天津南开·二模）已知，则（

）．A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.【详解】由，，所以满足，故选：C.4．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得、，即可求解.【详解】，由，得，则，即；，所以.故选：D5．（2025·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】通过中间值1，和对数函数的单调性即可判断.【详解】，，，再结合的单调性可知：，即，所以，故选：D6．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用函数的单调性和奇偶性结合导数可得.【详解】，定义域为，，为奇函数，又，所以在上单调递增，所以即，即的取值范围是.故选：C7．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】令，利用复合函数的单调性可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】令，则函数的减区间为，增区间为，又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数，所以，，可得，解得，因此，实数的取值范围是.故选：A.8．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意，当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，当时，在单调递增，在单调递减，故在上单调递减，则，故选：C9．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定.【详解】由题可知，因为在区间上单调递增，所以，即，当时，有，即，不成立，当时，有，则成立，所以；又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以，所以或，又，所以，故选D.题型03函数奇偶性等性质的综合应用1．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（

）A．0 B． C． D．【正确答案】B【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.【详解】由题，可得，即，，，即因不恒为0，故.故选：B.2．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（

）A．3 B．1或3 C．2 D．1或2【正确答案】C【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，解得或.当时，，，故不合题意，舍去；当时，，，故符合题意.故选：C.3．（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】根据周期得出，再根据函数单调性得出函数值即可.【详解】，且在[0，1]上单调递减，因为，所以，故选:B.4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】先求出图象关于直线对称，再利用对数的运算性质和函数的单调性比较即可.【详解】因为定义在上的函数满足，所以即图象关于直线对称，所以，，又在上单调递增，所以.故选：A5（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（

）A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增【正确答案】C【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解.【详解】因为函数，定义域为，，所以是奇函数，因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减，故选：C.6．（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为增函数 D．为减函数【正确答案】B【分析】通过对函数进行相应的运算，结合奇偶性的定义判断奇偶性；对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性.【详解】对于A，首先求：已知，若为奇函数，则恒成立，即恒成立.因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误.对于B，接着求：已知，若为偶函数，则恒成立，即恒成立.因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.

对于C，D，对求导得.当时，，，所以，则为增函数.当时，令，即，则，，解得.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以选项C、D错误.

故选：B.7．（多选）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【正确答案】AC【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性.【详解】设，，，对于A项，易知定义域为R，且，所以为偶函数.根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确；对于B项，定义域为R，且，所以不是偶函数.故B错误；对于C项，定义域为，且.当时，在上单调递增.故C正确；对于D项，定义域为，且，所以为奇函数.故D错误.故选：AC.8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为．【正确答案】【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式．【详解】的定义域为，∵，∴函数是上的增函数，∵，∴函数是奇函数，∴由得，∴，∴不等式的解集为．故．题型04函数的零点与方程的根1．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（

）A．3 B． C．6 D．【正确答案】A【分析】将化为便可利用的单调性解决.【详解】因为，且，所以，即.因为是定义域为的单调递减函数，所以函数单调递减，又因，故，即.故选：A.2．（2025·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个零点，则的值为（

）A．1 B． C． D．【正确答案】A【分析】由题意可说明0为的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得，根据导数的正负判断函数的单调性，说明，进而说明的最小值为，从而可得，结合对数的运算，求得答案．【详解】由题意知函数有且只有1个零点，而，故0即为的唯一零点，因为，且，故，所以有唯一解，令，则，对于任意，都有，故在R上单调递增，则时，，时，，故函数在时单调递减，在时单调递增，故；若，当时，，，则，因此当且时，，此时在内有零点，则至少有两个零点，与题意不符；故，则的最小值为，因为由题意知0为的唯一零点，故，即，则，即值为1.故选：A3．（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围.【详解】令，则方程可转化为.对进行因式分解可得，则，.所以或.当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且.当时，，对其求导，.令，即，解得（）.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得极小值，也是最小值，.对于：当时，，即，，解得，有个根.因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根.结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根.的取值范围为.故选：B.4．（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案．【详解】因为当时，，所以，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，所以，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，作出函数的图象，如图所示：由此可得，当时，令，解得或，所以，又因为，所以，所以；由题意可得，，是方程，即的三个根，所以，即，所以，即，所以．故选：．关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题.5．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知定义在上的函数，当时，，且，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．若，则在上恰有5个零点D．若，在区间有最大值，则【正确答案】ACD【分析】利用恒等式赋值思想，可得到分段函数，通过赋值可判断AB，通过作出分段函数图象可判断C，通过分析定义在的二次型函数取到最大值，可得到参数范围来判断D.【详解】对于A，由题意可知：当时，有，故A正确；对于B，当时，有，又因为，所以有，故B错误；对于C，当时，，当时，由于，，，，，所以,()作出分段函数和函数的图象如下：由于，直线经过点，而函数不经过点，则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确；对于D，根据当时，由于，要满足对，在区间有最大值，则只需要在上存大最大值，即满足或，解得或，综上可得：，故D正确；故选：ACD.方法点睛：通过对恒等式赋值，可转化到定义域内的函数解析式求值；通过函数值的伸缩关系作出分段函数图象来判断函数的零点.题型05抽象函数1．（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2【正确答案】D【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案.【详解】令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，令，则，可得，可得是以4为周期的周期函数，则.故选：D.2．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（

）A．1 B． C．5 D．【正确答案】D【分析】分析函数的周期性，利用函数的周期性求的值.【详解】由题意可得：，用代替可得：，两式相加得.所以，所以函数是以6为周期的周期函数.所以.又，所以.所以.所以.故选：D3．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（

）A．B． C． D．【正确答案】B【分析】根据函数奇偶性可求得是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正确，结合周期性计算可得，即C错误，易知可得D错误.【详解】依题意可知，；所以，即，因此，即，所以可得，即是以4为周期的周期函数，对于A，由分析可知，即A错误；对于B，由，可知；显然，所以，所以，即B正确；对于C，易知，可得C错误；对于D，显然，即D错误.故选：B4．（2025·江苏·二模）已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】由奇函数的性质得出，然后在等式中，分别令、，可得出的值，的值，由此可得的值.【详解】因为是奇函数，则，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故选：D.5．（多选）（2025·河北·二模）已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（

）A．为偶函数 B．C． D．【正确答案】ACD【分析】由及复合函数的导数求法、奇偶性定义判断A；由题设有，得，令求参数得判断B；利用奇偶性、对称性判断C、D.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，则，即，故A正确；因为是奇函数，所以，即，所以，则，令，所以，所以，即的图象关于直线对称，则，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD6．（多选）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（

）A． B．，C．的图象关于点对称 D．为偶函数【正确答案】ACD【分析】A选项，令得，令得；D选项，令得，令得，故，的一个周期为1，，所以，故为偶函数，D正确；BC选项，令，结合函数周期，得到，令得，所以，故，故B错误，C正确.【详解】A选项，中，令，又，故，解得，中，令得，故，A正确；D选项，中，令得，即，，中，令得，即，因为，所以，故，故的一个周期为1，故，所以，故为偶函数，D正确；B选项，中，令得，由于，，故，由于的一个周期为1，，所以，解得，中，令得，又，故，，所以，故，故不存在，，B错误；由上可知，，故的图象关于点对称，C正确.故选：ACD7．（多选）（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．C．为偶函数 D．的最大值为【正确答案】BCD【分析】令，可判断A选项，令可得出，再令，可求出的值，可判断B选项；利用偶函数的定义可判断C选项；令，可得出，求出的最大值，可判断D选项.【详解】对于A选项，令，则，解得，A错；对于B选项，令，则，即，所以，令，，可得，即，即，故，B对；对于C选项，因为，同理有，所以，若，设，令，则，再令，则，所以函数的零点关于y轴对称；若，则，令有，故函数为偶函数，C对；对于D选项，令，则，所以，可得，故函数的最大值为，D对.故选：BCD.8．（2025·山东菏泽·二模）对于任意，，且，则（

）A． B．1 C．2025 D．4049【正确答案】D【分析】利用数列递推思想，结合裂项法和累加法来求出即可.【详解】由，当时，可得，赋值可得：，利用累加法可得：，代入可得：，故选：D.9．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且