2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（理科）数学试卷 含答案

/2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（理科）数学试卷命题人内师大数学民一中老师孙婕，张为涛，审核张世斌注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、座位号填写在答题卡上2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。1．已知全集,集合,,则=()A.（i为虚数单位），则A.z的实部为2B.C.D.z对应的点位于第一象限3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．4.已知抛物线C与抛物线y²=4x,关于直线y=x对称，则抛物线5．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（

）A． B． C． D．6．如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有()A.GD⊥△SEF所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面 D.SG⊥△EFG所在平面 实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的时经过的时间约为小时C.0.5小时D.0.2小时8.随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，即,，则下列不正确的是（）A.B.C.D.9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（

）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间10.函数f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数，其图象如图所示，f(3)=0.设f'(x)是f(x)的导A.B.C.D.正方体的截面可能是什么形状的图形正确的是．①截面可以是三角形，等边三角形、等腰三角形、一般三角形，②截面三角形是锐角三角形;截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形;③截面可以是四边形，平行四边形、矩形、菱、正方形、梯形、等腰梯形;④截面可以是六边形;⑤截面可以是五边形;①②④①④⑤①②③④①②③④⑤12．判断推理正确的个数①已知向量、向量为非零向量，那么②已知向量、向量为非零向量，，。那么③已知向量、、满足条件，，那么为正三角形④在中，若，那么点在的垂心。四个结论正确选项的个数．A.1B.2C.3D.4填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数,(其中，)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为,与x轴在原点右侧的第一个交点为，求这个函数的解析式.____________14.函数最值的和为_____________15.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次____________16.选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择。调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜。用和分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，如果=m,求=__________三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.(本小题12分)记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．18.(本小题12分)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．19.(本小题12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．20.(本小题12分)如果点在运动过程中，总满足关系式(1)求点的轨迹C方程；(2)设O为坐标原点，直线是圆x²+y²=1的一条切线，且直线与点的轨迹C交于M,N两点，若平行四边形OMPN的顶点P恰好在点的轨迹C上，求平行四边形OMPN的面积.21.(本小题12分)已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.（一）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做第一题计分。22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．(1)写出的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．23.［选修4-5：不等式选讲］(10分）设，函数．(1)求不等式的解集；(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求答案123456789101112BBBCBDCDCDDD13.14.15.816.17．(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.18.（1）；（2）【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，则，，，则，解得，故；[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结．因为底面，且底面，所以．又因为，，所以平面．又平面，所以．从而．因为，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：几何法+三角形面积法如图，联结交于点N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因为M为的中点，则，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面的法向量为，则，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值为.[方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．联结，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角．易证四边形是边长为的正方形，联结，．，由等积法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值为．19.（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1），，，.（2）依题意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.20.21.【正确答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，由一次函数与对数函数的性质可得，当时，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.22.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【详解】（1）因为l：，所以，又因为，所以化简为，整理得l的直角坐标方程：（2）[方法一]：【最优解】参数方程联立l与C的方程，即