2026届新高考数学考前冲刺最后一课等差数列与等比数列

2026届新高考数学考前冲刺最后一课等差数列与等比数列1．从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明．2．从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题．A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】

C2．(2023·新课标全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝

－5，S6＝21S2，则S8＝(

)A．120

B．85

C．－85

D．－120【答案】C3．(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(

)A．－20 B．－18C．16 D．18【答案】C4．(2025·新课标全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(

)A．－20 B．－15C．－10 D．－5【答案】B【解析】由等差数列的性质得：S3＝3a2＝6，所以a2＝2，因为S5＝5a3＝－5.所以a3＝－1.所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a1＝5，所以S6＝6a1＋15d＝6×5－15×3＝－15.5．(多选)(2025·新课标全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3＝7，a3＝1，则(

)C．S5＝8 D．an＋Sn＝8【答案】AD6．(2024·新课标全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝_________.【答案】957．(2025·新课标全国Ⅰ卷)若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________.【答案】±2【解析】设等比数列{an}的公比为q，前四项的和S4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝4，第五项到第八项的和：S8－S4＝a5(1＋q＋q2＋q3)＝a1q4(1＋q＋q2＋q3)＝68－4＝64，所以q4＝16；故q＝±2.其中所有正确结论的序号是________.【答案】

①③④考点一●核心知识等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.等差、等比数列的基本运算●方法技巧等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．A．2 B．4C．8 D．16(4)(2025·葫芦岛二模)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2＋n＋2n－1(n∈N*)，则a1＋b1＋d＋q的值是(

)A．4 B．6C．7 D．8【答案】(1)D

(2)A

(3)B

(4)C(4)由等差数列的求和公式，可设前n项和为Un＝an2＋bn，由公比不为1的等比数列的求和公式，可设前n项和为Vn＝cqn－c，由数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2＋n＋2n－1，可得Un＝n2＋n，Vn＝2n－1，可得a1＝2，d＝2，b1＝1，q＝2，则a1＋b1＋d＋q＝2＋1＋2＋2＝7.故选C.●跟踪训练1．(2025·鞍山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a1＝12，S5－S2＝3，则a5＝(

)A．5 B．6C．7 D．8【答案】A【解析】等差数列{an}中，由a4－a1＝3d＝12，则d＝4，又a5＋a4＋a3＝S5－S2＝3，即3a4＝3，解得a4＝1，所以a5＝a4＋d＝5.故选A．2．(2025·保定模拟)记Sn是正项数列{an}的前n项和，已知log2an＝1＋log2an＋1，S4＝15，n∈N*，则S7＝(

)【答案】

C考点二●核心知识1．等差数列的常用性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．等差数列、等比数列的性质(6)等差数列的函数性质①等差数列与一次函数的关系an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．2．等比数列常用的性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．●方法技巧等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．(2)(2025·丰泽区校级模拟)在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(

)A．36 B．±6C．－6 D．6(3)(2025·河北模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a8＋a13＝－120，5S7－7S5＝70，若Sk＝Sk＋1，则k＝(

)A．27 B．28C．54 D．55(4)(多选)(2025·孝感模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn.(

)A．若Sn＝n2－1，则{an}是等差数列B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50【答案】

(1)C

(2)D

(3)A

(4)BC(3)等差数列{an}中，a3＋a8＋a13＝3a8＝－120，则a8＝－40，因为5S7－7S5＝70，所以5×(7a1＋21d)－7(5a1＋10d)＝70，则d＝2，－40＝a8＝a1＋7d＝a1＋14，所以a1＝－54，an＝－54＋2(n－1)＝2n－56，a28＝0，若Sk＝Sk＋1，ak＋1＝0，则k＝27.故选A．●跟踪训练3．(2025·青州市校级模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a13＝1，则S16＝(

)A．4 B．8C．16 D．32【答案】B4．(2025·兴庆区校级三模)在等比数列{an}中，an＋2是an和an＋1的等差中项，则{an}的公比为(

)【答案】

C【答案】

36考点三●方法技巧等差数列、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算更加简便．(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解有关数列的最值问题．(3)等差数列、等比数列与不等式交汇的问题常构造函数，根据函数的性质解不等式．等差数列、等比数列的综合问题提醒：等差数列、等比数列多与数学文化、不等式等知识创新交汇命题，解决此类问题时要注意构造思想、转化思想的运用．(2)(2025·宜宾三模)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝15，且a1，a3，a4成等比数列，则a6＝________.●跟踪训练6．(2025·信阳二模)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a4＝b4＝4，则(

)A．b3b5≥a3a5 B．b3＋b5≥a3＋a5C．b3b5≤a3a5 D．b3＋b5≤a3＋a5【答案】A7．(2025·湖北模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，S2＝3，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且满足T1＝a2，T2＝a6，则T6的值为(

)A．42 B．62C．63 D．126【答案】D【解析】等差数列{an}中，由S1＝1，S2＝3得a1＝1，a2＝2，故an＝1＋(n－1)(a2－a1)＝n，等比数列{bn}中，由T1＝a2，T2＝a6，得b1＝2，b2＝T2－T1＝a6－2＝6－2＝4，所以公比q＝2，故bn＝2×2n－1＝2n，故T6＝2＋4＋8＋16＋32＋64＝126.故选D．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·保山校级二模)等差数列{an}的前n项和Sn，S5＝25，a5＝9，则S8的值为(

)A．40 B．52C．56 D．64【答案】D2．(2025·贵州模拟)已知a是正项等比数列8，b，2，…的第5项，则logab＝(

)A．－4 B．－3C．－2 D．－1【答案】C【答案】

A4．(2025·银川三模)已知等差数列{an}，若an＋an＋1＝6n＋1，则a1＝(

)A．1 B．－1C．2 D．－2【答案】C【解析】方法一：因为an＋an＋1＝6n＋1，所以an＋1＋an＋2＝6n＋7，两式相减可得an＋2－an＝6，所以{an}的公差d＝3，可得an＝a1＋3(n－1)，则an＋1＝a1＋3n，所以an＋an＋1＝6n＋2a1－3，结合题意得2a1－3＝1，解得a1＝2.方法三：当n＝1时，a1＋a2＝7；当n＝2时，a2＋a3＝13.两式相减可得a3－a1＝6，所以{an}的公差d＝3，可得a2＝a1＋3，代入a1＋a2＝7，解得a1＝2.故选C.【答案】

C【答案】

C7．(2