2026届新高考数学考前冲刺最后一课分类与整合思想

2026届新高考数学考前冲刺最后一课分类与整合思想1．分类与整合思想的含义分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．2．分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．3．分类方法与原则(1)简化分类讨论的策略：

分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略．①消去参数；②整体换元；③变更主元；④考虑反面；⑤整体变形；⑥数形结合；⑦缩小范围等．(2)分类讨论遵循的原则是：①不重不漏，科学地划分；②标准要统一，层次要分明，分清主次，不越级讨论；③能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论．4．解题时把好“四关”(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”．5．高考以解答题的方式考查分类与整合思想，主要是函数导数解答题、数列题和解析几何解答题等．应用一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论●核心知识1．有许多核心的数学概念是分类的，由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等．2．在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．3．有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式时，两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．●方法技巧比较对数式的大小，结合的是对数函数的单调性，此时要注意对数函数y＝logax的底数a的取值范围对单调性的影响．比较对数式和实数的大小，可考虑分段法或构造函数法来进行求解．A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪{0}C．[1，＋∞)∪{0} D．(1，＋∞)∪{0}【答案】

(1)B

(2)2或－2(2)①若a≤1，则当x＞1时，f(x)＝x－2a＋1，在(1，＋∞)上单调递增，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，有最小值为f(a)＝－a2＋3，若f(x)存在最小值－1，则－a2＋3≤1－2a＋1且－a2＋3＝－1，解得a＝－2；②若a＞1，则1＜x＜a时，f(x)＝－x＋1；x≥a时，f(x)＝x－2a＋1.当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，且f(x)在(－∞，1]上单调递减，求得f(1)＝4－2a，f(a)＝1－a.若最小值为f(1)，则4－2a＝－1，且4－2a≤1－a，无解；若最小值为f(a)，则1－a＝－1，且4－2a＞1－a，得a＝2.综上所述，实数a的值为2或－2.应用二由图形位置或形状引起的分类讨论●核心知识1．一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．2．圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．3．相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．●典例研析2．(1)(多选)(2023·吉林通化梅河口市第五中学校考一模)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，则(

)(2)(2025·海东市四模)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2AB＝4，E，F分别是棱PB，PC上的动点，则AE＋EF的最小值是________.应用三由变量或参数引起的分类讨论●核心知识含有参数的分类讨论问题主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．4．(2025·包头二模)已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2＋6，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数f(x)在(0，＋∞)有最小值4，求a的值．【解析】

(1)当a＝1时，f(x)＝xex－(x＋1)2＋6，f′(x)＝(x＋1)ex－2(x＋1)，f′(0)＝－1，f(0)＝5，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋5.(2)f′(x)＝(x＋1)(aex－2)(x＞0)，①当a≤0时，aex－2＜0，因为x＋1＞