浙江省浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一数学试题含答案

2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，且，则的虚部为（）A. B. C. D.3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A.12 B. C.24 D.4.设、、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知，在上单调递增，则取值范围为（）A. B.C. D.7.如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.8.如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第二象限D.若复数是方程的一个根，则10.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为11.在锐角中，所对边分别为，已知，则（）A.若，则B.C.D.非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.求值：__________.13.若，则的值为__________.14.正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数（1）若是纯虚数，求的值；（2）若复数满足，求的最大值.16.小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？17.在中，角的对边分别为，若，（1）求角的大小；（2）若为中点，，求边.18.已知函数（、为非零常数）（1）当时，为偶函数，求的值；（2）当时，求满足的的取值范围；（3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.19.如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）已知在仿射坐标系中，，.①若，求；②若，求；（2）在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围.2025学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，故.2.已知复数，且，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果.【详解】因为，所以，故的虚部为.3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A.12 B. C.24 D.【答案】D【解析】【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.【详解】由题意得，所以矩形的面积为，由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确.4.设、、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”；若，不妨取，，，则，但，所以“”“”.所以“”是“”的充分不必要条件.5.如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知的最小值为，然后在中求解即可【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，则的最小值为．在中，，，则．故选：D6.已知，在上单调递增，则取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简得出，由可得出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为，且，所以，因为在上单调递增，则，所以，解得.7.如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，利用平面向量的线性运算和基本定理可得出，再利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为，所以，设，则，解得，又因为，且、不共线，所以，这两个等式相加得，因为，，由基本不等式可得，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.8.如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】对的取值进行分类讨论，分析点的轨迹，可知函数的周期为，作出其图象，逐项判断即可.【详解】当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故函数的周期是.因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数是偶函数，故①正确.②由图象经分析可知函数的周期是，故②错误.③函数在区间上单调递减，故③正确.④函数在区间上单调递增，由函数的图象即可判断是真命题，故④正确.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第二象限D.若复数是方程的一个根，则【答案】BCD【解析】【分析】根据虚数单位的性质化简复数，即可判断A；进而可求模长，即可判断B；再根据复数的几何意义判断C；分析可知方程另一个根为，结合韦达定理运算求解.【详解】因为，故A错误；则，故B正确；且在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；若复数是方程的一个根，则另一个根为，则，可得，即，故D正确.10.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对；对于B选项，若，则，又因为，解得或，B错；对于C选项，，当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C对；对于D选项，若，则，则在上的投影向量为，D错.11.在锐角中，所对边分别为，已知，则（）A.若，则B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】选项A使用余弦定理可以计算出；选项B使用和差化积公式进行化简可以得到；选项C在B选项基础上使用正弦定理；选项D在B选项基础上使用三角函数进行转换为全部tanA的函数,最后再换元进行计算.【详解】选项A，由，根据正弦定理得：，由余弦定理得：，代入可得，，所以选项A正确；选项B，对用和差化积公式：，在中，，因此原式等价于：，，故，因此或（舍去），即，所以B选项正确；选项C，由，根据正弦定理，所以选项C错误；选项D，由得，因此，由为锐角三角形得：，因此.令，则，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，当时，，当时，，故，所以选项D正确.非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.求值：__________.【答案】【解析】【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】原式.13.若，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】.14.正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为______.【答案】或.【解析】【分析】根据题意可知外接球的半径为，取正方形的中心为，正方形的中心为，可知该几何体的外接球的球心在上，分类讨论球心在线段上或在的延长线上，结合正四棱台的结构特征列式求解.【详解】设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得.取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则，可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，.

设上、下底面正方形的边长分别为，，则，，解得，，故，.设，当在线段上时，则，由勾股定理得，解得，所以该正四棱台的体积为；当在的延长线上时，，由勾股定理得，解得，所以该正四棱台的体积为.综上所述：该正四棱台的体积为或.故答案为：或.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数（1）若是纯虚数，求的值；（2）若复数满足，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用纯虚数的概念直接求解；（2）要将复数的模转换为表达式，结合基本不等式运动求解.【小问1详解】是纯虚数得出得；【小问2详解】设，所以，即，，则，因为当且仅当取等，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.16.小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用棱柱、圆柱的表面积公式列式求解.（2）利用柱体体积公式列式求解.【小问1详解】依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积，因此所求面积为，所以需要平方米的玻璃.【小问2详解】由圆柱体距离鱼缸底部，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积，，所以需要立方米的水.17.在中，角的对边分别为，若，（1）求角的大小；（2）若为中点，，求边.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理对把边转换为三角函数，变形化简计算出角的三角函数值，计算角的大小；（2）利用向量加法的法则可知，再利用余弦定理，计算边a.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，在中，，所以，即，因为，所以，因为，所以；【小问2详解】因为，所以，又，所以,所以，又因为，所以.18.已知函数（、为非零常数）（1）当时，为偶函数，求的值；（2）当时，求满足的的取值范围；（3）当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可；（2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可；（3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围.【小问1详解】当时，，因为是偶函数，所以对任意，都有，即，化简得，即对任意的恒成立，故，所以.【小问2详解】当时，，由得，化简得，因为，所以，可得，解得.【小问3详解】当，时，.设，，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增，所以的最大值为，从而依题意可得对任意恒成立，将变形得，可得，所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，函数在区间单调递增，有最大值，函数（当且仅当取等号）有最小值，所以，即实数的取值范围是.19.如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.（1）已知在仿射坐标系中，，.①若，求；②若，求；（2）在仿射坐标系中，，