初中数学七年级下册“平移性质探究的几何模型”深度学习导学案

初中数学七年级下册“平移性质探究的几何模型”深度学习导学案

一、课程定位与教材分析

（一）课程定位

本节内容隶属于“图形与几何”领域的图形变换模块，是在学生学习了相交线与平行线、平面直角坐标系之后，对图形全等变换的首次系统研究。平移作为最基本的全等变换之一，不仅是后续学习轴对称、旋转的基础，更是培养学生几何直观、空间观念和逻辑推理能力的关键载体。本节内容从生活中的平移现象抽象出数学概念，通过探究平移的性质建立几何模型，最终应用于复杂的几何图形分析与实际问题解决，体现了“数学来源于生活，又服务于生活”的基本理念。

（二）教材地位与知识衔接

本节内容在教材体系中承担着承上启下的作用。承上：平行线的判定与性质为本节中“对应点连线平行”的探究提供了理论支撑；平面直角坐标系为本节后续的“坐标表示平移”埋下伏笔。启下：平移性质是探究平行四边形判定与性质的基础，也是后续学习全等三角形、轴对称变换的重要参照。从核心素养培育的角度看，本节内容通过“观察—猜想—验证—归纳—应用”的完整认知过程，系统训练学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。

二、课标要求与核心素养解读

（一）《义务教育数学课程标准（2022年版）》对应要求

1.通过具体实例认识平移，探索平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。

2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。

3.运用平移的原理进行图案设计，并能运用平移的知识解决简单的实际问题。

（二）核心素养培育指向

【重要：几何直观】通过观察生活中的平移现象和动手操作，建立图形运动的表象，能够直观理解平移的本质特征。

【非常重要：空间观念】在头脑中想象图形平移前后的位置变化，能够根据平移的方向和距离确定图形运动后的位置，这是发展空间观念的核心环节。

【重要：推理能力】从具体实例中归纳概括出平移的普遍性质，并能运用性质进行简单的推理和计算，初步体验几何论证的逻辑性。

【基础：模型观念】将不规则图形转化为规则图形的过程，本质上是建立平移补形模型，为后续解决复杂面积、周长问题奠定基础。

三、学情分析与教学策略

（一）知识储备分析

学生在小学阶段已经初步感知了平移现象，能够识别生活中的平移，并能根据要求画出简单图形沿水平或竖直方向平移后的图形。但小学阶段的认知停留在直观操作层面，对平移的本质属性缺乏抽象概括。同时，学生已经学习了两直线平行的判定与性质，具备了探究“对应点连线平行”的理论基础。

（二）认知特点分析

七年级学生正处于从直观思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对动态的、可操作的数学内容兴趣浓厚，但抽象概括能力有待加强。面对复杂的图形，学生往往只关注整体而忽视关键要素，难以从运动变化中发现不变的几何关系。因此，教学设计必须提供充分的动手操作机会，让学生在“做数学”的过程中感悟数学本质。

（三）学习困难预测

【难点1】对“对应点”概念的理解易流于表面，难以深刻体会“图形上每一个点都按相同方向移动相同距离”这一本质。

【难点2】“对应点连线平行且相等”中的“平行”包含“在同一条直线上”的特殊情况，学生容易遗漏后者。

【难点3】在运用平移性质解决不规则图形周长、面积问题时，学生难以确定“平移对象”和“平移方式”，缺乏模型化思维。

四、教学目标设计

（一）知识与技能目标

1.理解平移的定义，明确平移的两要素——方向（距离）【基础】。

2.掌握平移的基本性质：平移前后的两个图形全等；对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等【非常重要】。

3.能够根据要求作出简单平面图形平移后的图形，并能利用平移的性质进行简单的计算与推理【重要】。

（二）过程与方法目标

1.经历从生活中的平移现象抽象出数学概念的过程，体会数学抽象的方法。

2.经历“操作—观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，学习几何性质探究的一般路径。

3.经历运用平移性质解决不规则图形周长、面积问题的过程，感悟转化思想和模型思想【高频考点】。

（三）情感态度与价值观目标

1.感受图形的平移美，体会数学与生活的密切联系，激发学习兴趣。

2.在合作探究中培养团队协作意识和科学探究精神，体验发现的乐趣。

五、教学重点与难点

【重点】平移的基本性质及其探究过程。这是本节内容的核心价值所在，也是后续应用的基础。

【难点】理解“对应点连线平行且相等”中“平行”包含“共线”的情形；运用平移补形法解决实际问题。

【关键】引导学生从整体变化聚焦到对应点连线的位置关系与数量关系，实现从直观感知到量化分析的跃升。

六、教学准备

（一）教具准备

多媒体课件（包含生活平移现象视频、动态几何画板演示）、透明方格纸、三角形纸板、磁力贴片、小组探究任务单。

（二）学具准备

每小组一份：印有多个几何图形的探究卡、彩色水笔、直尺、量角器、可操作的小三角形纸片。

七、教学实施过程（核心环节）

（一）环节一：情境导入，唤醒经验——感知平移现象

【教学时长】约5分钟

【教学活动】

1.播放视频精选：高铁在笔直轨道上匀速行驶、商场自动扶梯上的行人、工厂传送带上的包裹、升旗仪式中国旗缓缓上升。视频播放结束后，屏幕定格四个画面。

2.教师设问引发思考：同学们，这些运动场景在我们的生活中随处可见。请仔细观察，这些物体的运动有什么共同特征？它们发生了怎样的变化？又有哪些没有改变？

3.学生观察后自由发言。预设学生回答：它们都是沿着直线移动的；移动前后形状和大小没变，只是位置变了；移动的方向是固定的。

4.教师顺势追问：你能用手势或肢体动作模仿一下这种运动吗？请几位同学上台展示。

5.在充分感知的基础上，师生共同归纳：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移由平移的方向和平移的距离两个要素决定【基础】。

【设计意图】从生活场景切入，激活学生已有经验，使抽象的数学概念有具体的现实背景支撑。肢体模仿的环节增加趣味性，同时让学生初步体会平移的本质是“整体沿直线运动”，为后续探究埋下伏笔。

（二）环节二：操作发现，抽象建模——探究平移性质

【教学时长】约20分钟

【探究活动1】动手操作，建立表象

1.任务布置：请各小组拿出准备好的透明方格纸和三角形纸板。在方格纸的下半部分画一个△ABC，然后将三角形纸板覆盖在△ABC上描出其轮廓。接着，将三角形纸板沿水平方向向右平移5格，在方格纸上描出平移后的三角形，记为△A'B'C'。

2.学生动手操作，教师巡视指导，重点关注学生是否理解“整体移动”的含义，个别学生可能出现只移动了顶点的情况，及时纠正。

【探究活动2】观察比较，提出猜想

3.教师引导观察：请同学们仔细观察你们画出的两个三角形，以及图中产生的各种线段和角。△ABC和△A'B'C'的形状、大小有什么关系？这是为什么？

4.学生观察发现：两个三角形能够完全重合，所以它们全等。教师板书：性质1：平移前后的两个图形全等。

5.教师引导深入：我们看这两个三角形，点A移动到了点A'，我们说点A和点A'是一组对应点。你还能找出其他的对应点吗？请把它们都标出来。

6.提出问题串驱动深度思考：

（1）请你用直尺测量每组对应点所连线段的长度，比如AA'、BB'、CC'，你发现了什么？（测量结果：AA'=BB'=CC'）

（2）再用量角器测量这些线段与水平方向的夹角，或者观察它们在方格纸上的位置关系，你发现了什么？（它们互相平行，且与平移方向相同）

（3）再看对应线段AB与A'B'、BC与B'C'、AC与A'C'，它们之间在位置和数量上有什么关系？（AB∥A'B'，且AB=A'B'；其他组同理）

（4）对应角之间呢？（∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'）

7.小组内交流讨论，汇总猜想。教师巡视倾听，鼓励学生大胆表达。

【探究活动3】变换验证，确认性质

8.教师质疑：刚才我们只是研究了水平向右平移的情况，如果沿着其他方向平移，这些结论还成立吗？请各小组按照以下方案继续验证：

第一组：将三角形沿斜向上45°方向平移3格；

第二组：将三角形沿竖直向下方向平移4格；

第三组：将三角形向左水平平移5格。

9.各小组根据分配的任务再次操作、测量、记录。

10.小组代表汇报验证结果：无论沿什么方向平移，刚才发现的规律都成立。

11.教师结合几何画板动态演示，展示不同形状的图形（四边形、圆、不规则图形）沿不同方向平移的过程，引导学生关注任意一组对应点连线，强化“任意性”和“不变性”。

【归纳建模】

师生共同总结并板书平移的性质【非常重要】：

（1）平移不改变图形的形状和大小，平移前后的两个图形全等。

（2）平移后，各组对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

（3）平移后，各组对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

（4）平移后，对应角相等。

教师强调：性质（2）是最本质的，它反映了平移运动的特征；性质（3）（4）可以由性质（2）结合全等推导出来，但作为基本性质一并记忆便于应用。

【设计意图】本环节遵循“特殊到一般、具体到抽象”的认知规律，通过三次递进的操作活动，让学生在动手实践中自主发现规律，并通过变换方向和图形进行验证，最后用严谨的数学语言归纳概括。这不仅是知识的习得过程，更是科学探究方法的熏陶过程。动态几何画板的运用突破了“任意性”这一理解难点。

（三）环节三：即时反馈，夯实基础——性质辨析与简单应用

【教学时长】约8分钟

【基础训练1】概念辨析

1.判断下列说法是否正确：

（1）平移前后，图形的对应线段一定平行。（）【预设学生会忽略“或在同一直线上”的情形，教师引导分析共线特例】

（2）平移前后，连接任意两对对应点的两条线段长度相等。（）【引导学生理解：每组对应点连线都相等，但任意两组对应点连线不一定直接相等】

2.针对（1），教师用几何画板展示一个三角形水平移动，其中一条边恰好落在同一条直线上的情形，帮助学生理解“平行或共线”的准确含义。

【基础训练2】找对应元素

3.呈现图形：如图，△DEF是由△ABC经过平移得到的，点A的对应点是点D。

（1）请指出点B、点C的对应点；

（2）线段AC的对应线段是哪一条？

（3）∠ABC的对应角是哪个角？

（4）连接AD、BE、CF，这三条线段有怎样的位置和数量关系？

4.学生独立思考后口答，教师点评，强化“对应”的确定方法。

【基础训练3】平移作图

5.任务：如图，将△ABC向右平移6格，再向上平移2格，画出平移后的△A'B'C'。

6.学生独立完成，一名学生在白板上演示。教师引导归纳平移作图的关键步骤：

（1）找关键点（顶点）；

（2）按方向和距离确定关键点的对应点；

（3）顺次连接对应点。

【设计意图】通过三个层次的基础训练，及时巩固对性质的理解，纠正可能存在的认知偏差，同时规范平移作图的步骤方法，为后续复杂应用打好基础。

（四）环节四：模型构建，深度探究——平移性质的综合应用

【教学时长】约25分钟

【探究活动4】模型一：平移求周长——化零为整

1.问题情境呈现【热点：中考高频题型】：某公园计划在长方形草坪中间修一条如图所示的弯曲小路（小路宽度忽略不计），已知长方形草坪的长为a，宽为b，请你用含a、b的式子表示出图中所有小路的总长度。

2.小组合作探究：教师给每组提供印有图形的探究卡，学生分组讨论。

3.小组汇报展示：

小组1：我们发现小路是由很多条水平线段和竖直线段组成的，只要把这些线段分别平移到长方形的边上，就可以看出，所有水平方向的小路长度之和等于长方形的长，所有竖直方向的小路长度之和等于长方形的宽，所以小路总长度为a+b。

小组2：我们补充一点，这里用到的思想是“化零为整”，把分散的线段通过平移集中起来。

4.教师板书建模：平移补形法（求折线长度）——将不规则折线中的线段分别平移到边界，转化为规则图形的边长问题。

5.变式训练【重要】：如图，在长为a、宽为b的长方形草坪中，有一条平行四边形的小路（小路宽度为c），求剩余草坪的周长。

学生尝试独立解决，教师巡视指导，提示：将小路的两侧边界分别平移，将不规则图形转化为规则图形。

【探究活动5】模型二：平移求面积——化不规则为规则

6.问题情境呈现【热点：中考压轴题常见模型】：如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米得到右边线，求剩余草地的面积。

7.引导学生分析：小路左、右边界是两条平行曲线，宽度处处为1米。

8.小组合作探究：如何求剩余草地的面积？能否用平移的方法将问题简化？

9.学生思维碰撞：

生1：总面积是ab，减去小路面积。但小路是不规则图形，面积不好求。

生2：我们可以把左边的小块草地向右平移1米，与右边的大块草地拼在一起。

生3：对！将左边草地整体向右平移1米，正好与右边草地拼接成一个新的长方形，新长方形的长是(a-1)米，宽是b米，所以剩余草地面积为b(a-1)。

10.教师用几何画板动态演示“草地平移拼接”的过程，验证结论。

11.师生共同归纳模型：【非常重要】平移求面积模型——当图形中存在等宽弯曲空白区域时，可将两侧实心部分通过平移拼合，转化为规则图形进行计算。本质是“割补法”中的“平移补形”。

12.拓展延伸【高频考点】：若小路不是一条，而是纵横交错的两条（如图，水平方向一条宽为a的小路，竖直方向一条宽为b的小路），剩余部分的面积又该如何计算？

学生尝试用平移法思考：将四块草地分别平移，拼合成一个长方形，长为(原长-竖直路宽)，宽为(原宽-水平路宽)。

【探究活动6】模型三：平移构造规则图形——解决几何最值问题

13.问题情境（选讲，供学有余力学生探究）：如图，A、B两个村庄在一条河的两侧，现要在河上建一座桥CD，桥必须与河岸垂直。问桥建在何处，才能使从A到B的路径A→C→D→B最短？

14.引导学生分析：桥长CD是固定的（等于河宽），问题转化为确定C、D的位置，使AC+DB最短。

15.启发：能否通过平移变换，将AC和DB“接”在一起？

16.师生共同探究：将点A向下平移河宽的距离到A'，连接A'B，与河岸的交点即为D点，再确定C点。

17.几何画板演示验证，并解释原理：利用平移将折线路径转化为直线路径，依据是“两点之间线段最短”。

18.模型提炼：平移在最短路径问题中的应用——“造桥选址”模型。

【设计意图】本环节是整节课的高潮，通过三个层层递进的几何模型探究，让学生深刻体会平移不仅是图形变换的方式，更是解决问题的重要策略。从“化零为整”求周长，到“平移补形”求面积，再到“平移构造”求最短路径，每一个模型都承载着重要的数学思想方法（整体思想、转化思想、建模思想）。这些模型在中考中属于高频考点和热点，通过本节课的系统建构，为学生后续解决复杂问题提供了有力的工具。

（五）环节五：盘点收获，内化提升——课堂总结与反思

【教学时长】约5分钟

1.学生畅谈收获：请同学们闭上眼睛回想一下，这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？有什么特别深刻的体会？

2.小组内交流后，全班分享：

生1：我掌握了平移的三条基本性质，知道了平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。

生2：我学会了用平移的方法求不规则图形的周长和面积，特别是把分散的线段或图形拼在一起，特别巧妙。

生3：我印象最深的是“造桥选址”问题，没想到平移还能解决最短路径问题。

生4：我体会到数学中“转化”思想的重要性，把不会的转化成会的，把不规则的转化成规则的。

3.教师总结提升：今天我们不仅复习了平移的定义，更重要的是深入探究了平移的性质，并基于这些性质建构了三个重要的几何模型——平移求周长模型、平移求面积模型、平移构造模型。这些模型的核心都是利用平移过程中图形“全等不变、位置改变”的特性，将复杂问题简化。希望同学们在今后的学习中，不仅记住模型，更要理解模型背后的思想，做到举一反三、灵活运用。

八、板书设计

初中数学七年级下册“平移性质探究的几何模型”深度学习导学案

一、平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

决定要素：方向、距离

二、平移的性质【非常重要