湖南大材料力学课件第6章 弯曲变形

材料力学弯曲变形第六章一、概述弯曲变形的描述梁

对称面

梁轴线变形变形特点：变形前为直线的梁轴线，变形后为曲线。这根曲线称为挠曲线。建立坐标系，o

xy为梁对称面，外力作用在对称面内。所以，挠曲线为o

xy面内的平面曲线。v=f(x)xoyP

*

cc

c

略去剪力的影响，则平面假设成立，发生弯曲变形时，各个横截面绕各自的中性轴转动一个角度，而中性轴本身也要发生位移。如上图所示：弯曲变形截面形心位移截面转角竖向位移y=v=f(x)水平位移

略去弯曲变形用两个量度量1.挠度v=f(x)2.转角

=v

符号：v向下为正向上为负

顺时针为正逆时针为负原来使用的弯曲变形的描述是：曲率——不直观，也不方便度量，所以：二、挠曲线近似微分方程及其积分1.挠曲线近似微分方程的推导高等数学：对曲线v=f(x)其曲率为：

小变形，挠曲线很平坦。与1相比可略去将(5-1)式代入上式得：符号处理k为非负量，的符号与坐标系有关

挠曲线近似微分方程xy2.积分法求梁的变形通常EIz为常数，挠曲线近似微分方程为：C1、C2为积分常数，可由梁上某些点的位移的已知条件来确定。例6

1

图示抗弯刚度为EIz的悬臂梁，在自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLxyEIzx解：①

写出弯矩方程坐标系如图所示②

对挠曲线近似微分方程进行积分求变形③

确定积分常数边界条件x=Lv=0x=Lv=0固定端不允许移动和转动(负号表示逆时针转动)工程上习惯用f来表示指定截面的挠度。(方向向下)例6

2

图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得两个支反力：显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：APBLCRAyxRBbaAC段CB段边界条件：支承条件

连续条件

光滑条件APBLCyxba利用边界条件解得：最大转度，显然在支座处从AB，

中间必经过0。（顺时针方向）（逆时针方向）（绝对值）最大挠度当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时简支梁无论P作用在何处用积分法求梁的变形关键点：①

分段列弯距方程②

寻找边界条件分段AB、BC、CD三段，六个积分常数边界条件PDABC边界条件：分段原则：集中力、集中力偶作用点，分布力的起、终点，梁的自然端点为分段点。边界条件：支承条件、连续条件、光滑条件。有多少积分常数就有且仅有多少个边界条件。ABC三、按叠加原理计算梁的挠度和转角积分法优点：得到挠度方程v(x)和转角方程(x)。因而可求出任意截面的挠度和转角。积分法缺点：繁、荷载复杂时分段多，因而积分常数多。叠加法成立前提，线弹性、小变形。某梁对应某种荷载情况的挠度为v1该梁对应另种荷载情况的挠度为v2当这两种荷载同时作用在梁上时挠度为v则同样地，=1+2若干类荷载所引起的变形(挠度或转角)

各单一荷载引起的变形之和。叠加原理：各类单一荷载引起的变形，可以查表得出，见附录IV。例6

3

图示悬臂梁EIz为常数，荷载情况如图所示，试求B截面的挠度和转角。解：先将作用在梁上的荷载分为分布荷载q和集中力P单独作用这两种情况。(如图1、2)ABLqPABLqLAPB(2)(1)然后由附录IV查得：均布荷载单独作用时集中力单独作用时应用叠加法LAPBABLqAPB挠度：3、8、48、5384转角：2、6、16、24ABqL/2L/2CL/2L/2C例6－4

求图示梁截面B的挠度解：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视为图(1)和图(2)两种情况的叠加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)ABCaLqEIzABcLq(1)图(2)CB段M=0，所以CB为直线(2)ABcLqa

2cf2cB

B

由叠加原理解法2dxaABxLqABxP=qdx距离A端为x的dx梁段上的荷载可视为集中力P对于悬臂梁和简支梁任何荷载都可用此法处理。其引起的挠度查附录IV为ABxP=qdx梁上同一点，同种变形，才能叠加。例6－5

求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCP解：我们分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCPLaABCP(a)(b)而图b即为简支梁在B端受载，可查表为了求AB梁某点的变形可考虑将外力P向B点简化，比较图a和图b，AB梁段中任意对应截面的弯矩均相同，即

，A点、B点的支承条件也相同，故两图的AB梁段上任一点的挠度和转角均相同。图(a)中BC梁段与图(c)的区别在于图(a)中BC段的B截面有转动，而图(c)中B截面无转动。为了求出图(a)所示梁C截面的挠度，我们可先视B截面无转动，叠加，即可得到图(a)中C截面的求出C截面的挠度挠度的影响并与，然后求出B截面的转动对C点挠度。LaABCPBCP(a)(c)LaABCPBCP

B

a

B(b)(c)例6－6

求图示梁的约束反力。ABCqll解：三个反力二个平衡方程所以是超静定问题ACqRBRARCACqRB四、梁的刚度校核，提高梁的刚度措施1.刚度条件对于梁的挠度，其容许值通常用许用的挠度与梁跨长的比值作为标准。对于转角，一般用容许转角[

]作为标准。即梁的刚度条件可写为：例6－7已知：q=10kN/m，L=3m，试设计截面。ABLqhb解：(1)按强度条件设计最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面强度条件：代入强度条件：(2)按刚度条件设计刚度条件为代入刚度条件可得

综合考虑强度和刚度条件，可取：2.提高梁的刚度的措施所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的最大挠度和转角。梁的最大挠度和转角，除与荷载大小有关外，还与Ln成正比，与EIz成反比。因此