湖南大材料力学课件第8章 应力状态分析

材料力学应力状态分析第八章一、应力状态的概念1.概念：构件上不同的点有不同的应力——应力为位置的函数。PPPAPA

构件上同一点不同的方向面上应力不尽相同

应力为方向面的函数。一点的各个方向面上的应力情况称为该点的应力状态。2.一点的应力状态的表示方法单元体法：围绕一点取微小的正六面体

材料单元体x面、y面、z面xyzdxdydz当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力为已知时，总可以用截面法求出任意方向面的应力，于是当材料单元体三个坐标平面的应力已确定时，就称该单元体的应力状态已确定。A

A横截面P

PABAB横截面外轮廓线横截面①

材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。②

材料单元体上任意方向面上的应力视作均匀分布。应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应力，求任意方向面上的应力。二、平面应力状态分析

解析法最一般的情况：九个应力分量六个独立（剪应力互等）。最常见的情况：有一对方向面上的应力为零，单元体上所有的应力在同一平面内，称为平面应力状态。平面应力状态分析已知：

x，

y，

x，

y求：任意斜截面的应力(面)

x

x

y

y

y

x

y

xyx

n

yx

n

y

y

x

x

t

dAdAcos

dAsin

并注意到

x与

y数值相等。(8-1)同理，利用，可得：(8-2)重申符号规定：

：拉应力为正，压应力为负。

：顺时针为正，反时针为负。

：从x轴正向逆时针转到截面外法线方向为正，反之为负。此处任意斜截面的意义，平行于Z轴的任意斜面，该面外法线方向n

与x轴夹角为

，称为面。例81如图所示单元体，求指定截面上的正应力和剪应力。60

80MPa20MPa40MPa解：建立坐标系如图所示，由题示条件知：60

80MPa20MPa40MPayx30

80MPa20MPa40MPa41.9MPa67.3MPayx①

的极限(1)(2)令整理可得：即可找到两个互相垂直的极值平面。一个面上为极大值，另一个面上为极小值。

由(2)式可得出两个相差的极限平面，即：正应力取极值的面上剪应力恒为0。定义：剪应力为零的平面称为主平面。主平面上的应力称主应力。以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体。②

当有可以证明，一点处必定存在主单元体，因而有三个互相垂直的主应力，分别记为

1、

2、

3，且规定按代数大小顺序排列。即：

1

2

3

1

2

3主单元体③

同样方法可求得剪应力的极值。可解出两个相差的极值平面，一个面上为极大值，另一个面上为极小值。(8-2)代入(8-2)式，可得：例82图示悬臂梁上A点的应力状态如图所示。①

求单元体上指定截面上的应力；②

求A点主平面和主应力(用主单元体表示)。A30

yx

=70MPa

=50MPa解：①

求指定截面应力30

yx

=70MPa

=50MPa60

建立坐标系如图示②求主应力96MPa70MPa50MPa26MPa27.5

方法一：62.5

=96MPa70MPa50MPa26MPa27.5

角度确定了，大靠大，小靠小。62.5

方法二：三、平面应力状态分析的图解法

应力圆1.应力圆方程(1)(2)整理可得：(3)圆心坐标横坐标为平均应力半径为最大剪应力

x

x

y

应力圆的意义：一点的应力状态可用应力圆来表示；任意斜截面上的正应力和剪应力为-坐标系中的一个定点，所有这些点的轨迹为一个圆(应力圆)，应力圆圆周上的任意一点的纵横坐标代表单元体上某一斜截面上的应力。即：单元体斜截面应力圆圆周上的点。在-坐标系中，(3)式的轨迹为一个圆，称为应力圆或莫尔圆。2.应力圆画法画法1：利用圆心坐标和半径画应力圆圆心半径

画法2：先选定比例尺，单元体上x平面上的应为半径画一圆，这个圆是该单元坐标单元体上y平面上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy、纵坐标Dx、Dy与

轴的交点C为圆心,或体所对应的应力圆。,纵坐标为

x；点的横坐标;连接力对应-坐标系中的Dx点，Dx点的横yx

x

x

y

y

n

oCDx(

x,

x)Dy(

y,

y)KF证明：C点为圆心

oCKDx(

x,

x)

xFDy(

y,

y)

为半径

y3.利用应力圆求单元体上任意斜截面上的应力单元体上的面与应力圆周上的点一一对应。单元体上

面对应应力圆上的D

点。

oCMKD

Dx(

x,

x)

xFDy(

y,

y)D

点的确定方法：从应力圆的Dx点依照单元体上

角相同的转向量取圆弧其所对应的圆心角yx

x

x

y

y

n

，使D

点的横坐标D

点的纵坐标证明：

oCMKD

Dx(

x,

x)

xFDy(

y,

y)证毕。

oCMKD

Dx(

x,

x)

xFDy(

y,

y)例83如图所示单元体中已知

x=40MPa，

x=–30MPa，

y=60MPa，

y=30MPa，试用应力圆求=45，=90+两截面上的应力。40MPa30MPa60MPayx解：①

作应力圆选取比例尺

1cm=20MPa定出Dx(40，

30)Dy(60，30)连接DxDy交横轴于C点C(10，0)，以C为圆心为半径画应力圆。建立

坐标系DxDyCo(40,-30)(-60,30)②

求

面上的应力

面从x截面沿逆时针方向转45

，所以在应力圆中从Dx开始逆时针沿着圆周转圆心角2=90,得到点D

。量得：D

的纵坐标2=90DxDyD

MCo(40,-30)(-60,30)D

的横坐标③

求

面上的应力D

与D

在一条直径上，同样方法可量得2=90DxDyD

MCoN(40,-30)(-60,30)D

40MPa60MPa20MPa50MPa50MPa应力圆直观地反映了一点处应力状态的特征，可以利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征。应力圆圆周上的点与单元体斜截面的对应关系，可用口诀来记忆：点面对应，注意基点转向相同，转角两倍①

应力圆与

轴的交点D1、D2为正应力的极值点，一个为极大值，一个为极小值D1、D2点剪应力为零。这两点在一条直径上，对应单元体上互相正交的两个面——主平面。

oCBMKD

D1Dx(

x,

x)

xFDyD2A(

y,

y)2

②A、B两点为剪应力的极值点。一个为极大值，一个为极小值。极值平面互相正交。

oCBKD1Dx(

x,

x)

xFDyD2A(

y,

y)剪应力取极值的平面上，正应力一般不为0。单元体上正应力取极值的面与剪应力取极值的面相隔45

oCBKD1Dx(

x,

x)

xFDyD2A(

y,

y)G例84几种特殊应力状态的应力圆45

单向拉伸

ABDxDyC

0

DxDy单向压缩

0–0

max=

0

DxDy纯剪切

0D1D2

0

045

min=

0

0

两向均拉

0

0

0

0

两向均压

0

0

0四、空间应力状态的研究1.空间应力状态的概念

1

2

3九个应力分量六个独立主单元体2.应力状态分类单向应力状态

三个主应力中只有一个不为零二向应力状态

三个主应力中只有二个不为零三向应力状态

三个主应力均不为零

x

x

y

y二向应力状态

x

y

x二向应力状态3.三向应力状态的应力圆五、广义胡克定律

实验结果胡克定律

1

3

2

2

3

1

2

3

3++

1“1”方向应变

2

1广义胡克定律：同理，可求出