湖南大材料力学课件第10章 组合变形

材料力学组合变形第十章一、概述构件同时发生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。T4T3T1T2烟囱传动轴烟囱：自重引起轴向压缩，水平风力引起弯曲。传动轴：将皮带拉力向杆轴线简化，可知轴除了作用平面为垂直于杆轴线的力偶引起的扭转外，还有横向力引起的弯曲。T4T3T1T2T4T3T1T2m1P1P2m2范畴：小变形线弹性方法：叠加法先将荷载分解成符合基本变形外力条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形时的内力、应力、然后进行叠加，以确定组合变形情况下的危险截面，危险点以及危险点的应力状态，据此选择合适的强度理论进行强度计算。二、两相互垂直平面内的弯曲的组合在屏幕平面内绕z轴弯：Iz:对中性轴的惯性矩y:到中性轴的距离P平面弯曲yz中性轴yMzz荷载作用面在垂直于屏幕平面内绕y轴弯P中性轴荷载作用面yzyMyz1.外力分解(使每个力单独作用时，仅发生基本变形)

Py=Pcos

Pz=Psin

yLPxz

xPzPy2.分别计算各基本变形的内力、应力内力：x截面(上拉、下压)(后拉、前压)yLPxz

xPzPy可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向M=P(l

x)总弯矩Qy=Py=Pcos

Qz=Pz=Psin

组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。应力Mz:My:MzzyzyD1D2MyD1D23.叠加

由于两种基本变形横截面上只有正应力，于是“加”成了代数和。截面上任意点应力：对第一象限的任意C点(yc>0,zc>0)MyMzzyD1D2•C4.强度计算危险截面x=0危险点D1点最大拉应力，D2点最大压应力危险点应力状态单向应力状态(数值相等)强度条件：

max≤[

](D1是单向拉伸，D2是单向压缩)MyMzzyD1D2•C点D1(y1,z1)显然强度条件：5.中性轴(零应力线)

不失一般性，令第一象限的点的应力为零即可得到中性轴方程.y0,z0为中性轴上的点MzMyzyc(y,z)可见中性轴为一条过截面形心的直线，它与z轴的夹角

为：当Iz

Iy时，

即中性轴不再垂直于荷载作用面。MzMy

zy中性轴荷载作用或写成对任意横截面，做与中性轴平行的直线，与截面相切于点D1、D2，即为最大拉应力和最大压应力点。将这些点的坐标(y,z)代入应力公式，即可求得最大正应力。D1D2MzMy

zy中性轴荷载作用面6.变形Py引起的自由端的挠度Pz引起的自由端的挠度yzfyfz（↓）（←

）当Iz

Iy时，

即位移不再发生在荷载作用面。因而不属于平面弯曲。yzffyfz

xy面内y方向的力引起Mzxz面内z方向的力引起My合弯矩M=My+Mz仍在对称面内，于是总是可以用平面弯曲的公式来进行应力计算，不过此时中性轴已不是y轴或z轴。MzMyMyMzMzy对于Iz=Iy的截面(如圆形截面)如求a点应力M:合弯矩

I:对中性的惯性矩

d:a点到中性轴的矩离。

MyMzMzyda中性轴例10–1

图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求：(1)求梁上C点的应力；(2)求梁内最大拉应力和最大压应力。CCozqq=5kN/mP=2kN=3030P3myzy1m解：(1)外力分解(2)求C点所在截面弯矩(上拉，下压)(后拉，前压)zqPyx

1m3mCzPx

y(3)求

c查表：tzyh.Cb(4)求

Lmax,

Cmax在固定端有最大弯矩，因而

Lmax,

Cmax发生在该面上。(上拉，下压)(后拉，前压)显然，最大拉应力发生在固端截面上的A点。最大压应力发生在固端截面上的B点。tzybhAB三、拉伸(压缩)与弯曲组合P力作用在杆自由端形心处，作用线位于xy面内，与x轴夹角为

.

P力既非轴向力，也非横向力，所以变形不是基本变形。····LxyP1.外力分解Py=Psin

y为对称轴，引起平面弯曲Px=Pcos

引起轴向拉伸····lxPxPyyPx2.内力分析N=PxMz=Py(l

x)只有一个方向的弯矩，就用平面弯曲的弯矩符号规定。++PxPyPxNMzPyll3.应力及强度条件N对应的应力Mz对应的应力叠加：由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：中性轴(零应力线)发生平移。危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或单向压缩)，故：强度条件

max≤[]例10–2如图所示构架已知材料许用应力为3m1m30

CB[

]=160MPa。试为AB梁设计一工字形截面。P=45kNA解：①

AB梁受力分析由AB梁的平衡方程易求得NBC=120kN,XA=104kN，+

XAPYA30

NBC45kN·m104kNMzNYA=15kN，

②

作内力图显然危险截面为B截面左侧。危险点位于B截面最上缘。由强度条件：由于型钢的Wz,A无一定的函数关系，一个不等式不可能确定两个未知量，因此采用试算的方法来求解。试算：①

先不考虑轴力N，仅考虑弯矩M设计截面查型钢表：22a

工字钢Wz=309(cm)3

A=42(cm)2②

校核22a工字钢能否满足弯矩和轴力同时存在时的强度条件。强度不够，选大一号：22bWz=325(cm)3

A=46.4(cm)2

可认为安全。

可取22b工字钢。四、偏心压缩外力特点：外力平行轴线，但与轴线不重合。oPA(yP,zP)zyx1.外力简化将P力向形心简化0mzPA(yP,zP)zyxmyPBPmymy=PzPmy=PyPPx于是得到一个与原力系静力等效的力系：与轴线重合的压力P和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力偶my,mz。轴向压力P

引起轴向压缩my

引起绕y轴转动的平面弯曲mz

引起绕z轴转动的平面弯曲偏心压缩是轴向压缩与两个互相正交平面内的弯曲的组合变形。当杆比较短而粗的时候，可按叠加原理求解。2.内力分析对任意横截面，显然有N=

PMy=my=PzP

(左拉，右压)Mz=mz=PyP(前拉，后压)

N，My

，Mz

不是x的函数，即任意横截面上的内力为常量。MZNzyMyxx3.应力计算由于N，My

，Mz单独作用时，引起的横截面上的应力均为正应力，因此，由叠加原理，N，My，Mz共同作用时引起的应力，应是单独作用时的应力的叠加。由于均为正应力，因此为代数和。对横截面上任意点：对第一象限的点E(y,z)MZNzE(y,z)yMyxx对矩形截面，很容易判断最大压应力发生在D1点，最大拉应力(如果有的话)发生在D2点，显然D1点应力绝对值将大于D2点应力的绝对值。MZNzyD1D2Myxx4.强度条件

max≤[]例10–3图示结构，求底截面上A，B，C，D四点的正应力，以及最大拉应力和最大压应力。b=0.4ma=0.2mABCDyzxP=100kN0.05m解：①

外力简化yP=0.05mzP=0.2mP=100kNmz=PyP

=1000.05=5kN

mmy=PzP

=1000.2=20kN

mb=0.4ma=0.2mABCDyzxP=100kN0.05m②

内力计算底截面上：My=my=20kN

m(前拉，后压)Mz=mz=5kN

m(左拉，右压)N=–P=–100kNb=0.4ma=0.2mABCDyzxPMyMz③

应力计算截面有关几何参数：A=ab=0.20.4=0.08m2b=0.4ma=0.2mABCDyzxb=0.4ma=0.2mABCDyzx（拉）b=0.4ma=0.2mABCDyzx（拉）b=0.4ma=0.2mABCDyzx（压）

Cmax=6.87MPa

Lmax=4.37MPab=0.4ma=0.2mABCDyzx（压）5.中性轴(零应力线)

不失一般性。我们令第一象限的点的应力为零。引入惯性半径：令中性轴方程：

显然中性轴为一条直线，作中性轴的平行线与截面相切D1，D2即为最大拉应力和最大压应力所在的点。(零应力线)D2D1yz中性轴o6.中性轴的特性①

中性轴为一条不过形心的直线，它将截面分成受拉，受压两个区.一一对应②

偏心力作用点一条零应力线yzA(yP,zP)(零应力线)中性轴受压区受拉区o③中性轴在y,z轴的截距分别为：(令z0=0)(令y0=0)ay与yP

符号相反

偏心力P的作用点与中性轴分居形心(坐标原点)的两侧。ayazyzA(yP,zP)中性轴(零应力线)oaz与zP符号相反④

只要足够小(绝对值)，中性轴将会在截面以外。由可知：偏心力的偏心距与中性轴的截距成反比。⑤截面核心：

在截面形心附近将存在这样一个区域：当偏心力作用在该区域以内时，中性轴将在截面以外，当偏心力在该区域的边界上时，中性轴将与截面相切，当偏心力作用在该区域以外时，中性轴与截面相割。这个区域称为截面核心。确定任意形状截面的截面核心边界的方法：1.建立坐标系：oyz,O——形心y,z——截面互相正交的主惯性轴求出Ozy2.以任意一根与截面相切的直线①为中性轴，则其对应的偏心力作用点1的坐标为其截矩为O1①

zy3.同样的方法将与截面相切的直线②,③,…看成中性轴，求出对应的偏心力作用点2，3，…O12345①②y③④⑤的坐标，连接1，2，3，…点所得到的封闭曲线即为截面核心的边界，该边界包围的黄色面积即为截面核心。例10–4求直径为d的圆形截面的截面核心。解：建立坐标如图所示。作一条与圆截面相切于A点的直线①，将直线①看成中性轴，则：zy①AoC于是1点的坐标为

由于圆关于圆心极对称，于是截面核心，也应为关于圆心极对称的截面，所以截面核为半径的圆截面。心为以o为圆心，zy①Ao1C五、扭转与弯曲仅讨论圆杆的扭转与弯曲组合变