湖南大材料力学课件第12章 能量方法

12第十二章能量方法一、概述几何法：应力应变变形外力物理方程平衡方程几何方程（变形协调方程）1212能量法出发点：能量守恒与转换原理。弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W弹性体变形——储存变形能（应变能），U略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：外力功=变形能W=U由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法称为能量方法。12二、变形能的计算1.轴向拉伸与压缩PABLΔL静载：荷载：0P缓慢加力点B的位移：δB=ΔL0ΔL缓慢12变力做功：PABLΔL此处为线弹性材料。12对于线弹性材料，变形能为：——用外力功表示——用“内力”表示——用“变形”表示12ΔLΔlpPpO（1）弹性应变只与力或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。PΔLdwd(Δl)12（2）在杆长范围内N、A不是常数时，一般的，有：如图：ΔLΔlpPpd(Δl)dwW(ΔL)O12（3）单位体积的变形能称为比能：12（4）变形能不能叠加。从数学观点看：U不是P或者ΔL的线性函数，所以不能叠加。从力学观点看：例：P1LΔL1EAP2LΔL2EA12P=P1+P2LΔL=ΔL1+ΔL2EA12所以，变形能不能叠加。12——加载过程中P1在P2产生的位移上做的功——加载过程中P2在P1产生的位移上做的功12变形能不能叠加的力学本质：12一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。2.扭转变形能对于线弹性材料，变形能为：——用外力功表示——用“内力”表示——用“变形”表示φTOT1φ112M0L同样，对于一般情况，有：123.弯曲变形能12MθOθM（1）纯弯曲MMLθρ12对于线弹性材料，变形能为：——用外力功表示——用“变形”表示——用“内力”表示（2）横力弯曲M(x)dx总变形能=剪切变形能+弯曲变形能12一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：U

弯曲变形能

.12综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，一般地，有：U——广义力Δ——广义位移U可表成P的二次函数或Δ的二次函数，这也揭示了应变能不能叠加。12如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。4.变形能的普遍表达形式12MdxNTMNT12这就是用“内力”表示的变形能的普遍表达式（即：克拉贝依隆原理）。注意：式中M、T、N为所有外力P1、P2、P3……共同作用引起的内力。12如图，无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载P1、P2、P3……

设想采用比例加载：P1、P2、P3……缓慢的按相同的比例增加，弹性体始终保持平衡，而且各外力作用点的位移δ1、δ2、δ3也将按与外力相同的比例增加。P1P2P3δ1δ2δ3于是得到用“外力功”表示的变形能的普遍表达式：12注意：式中δ1、δ2、δ3为所有外力P1、P2、P3……共同作用引起的位移。例1求图示简支梁中点的挠度fC解：12PEIL/2L/212正号表示fC

的方向与外力P的指向相同。三、余能12定义：余功δΔlp*PpWCOdp*δ*W余功无物理意义12定义：余能对于线弹性材料，显然有：——数值相同，概念不同一般地，应变能总能表为位移的函数，余能总能表为荷载的函数。12四、卡氏定理1.卡氏第一定理（应变能法）当仅发生微小增量，其余位移无增量时：12另一方面，当仅发生增量时，将做功，从而导致应变能发生增量：（常力做功）12卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位移的偏导数，等于与此位移相应的外力。（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线性弹性。（2）“相应”的意义：为集中力，则为与之同方向的线位移。为集中力偶，则为与之同转向的角位移。与位置相同。12例2图示结构，AB杆与BC杆的横截面积均为A应力-应变关系为：试求AB杆和BC杆的轴力。解：节点B有两个未知位移：水平位移：δ1垂直位移：δ2计算应变能：CBAPL45°δ1δ2B’12也即，将应变能表为位移的函数：BAB’Dδ1C45°δ2δ1BB’DE12均匀变形：12由卡氏第一定理：12联立以上两式，求解可得：（拉伸）（压缩）12（拉）（压）（拉）（压）122.卡氏第二定理当仅有有增量，其余荷载不发生变化时：（即每个荷载是独立变化的。）另一方面，因为，余功的增量为：12——余能定理对于线弹性结构：12所以对于线弹性结构，有：——卡氏第二定理卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某一外力的偏导数，等于与此外力相应的位移。12（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。（2）“相应”的意义：为集中力，则为与之同方向的线位移。为集中力偶，则为与之同转向的角位移。与位置相同。（3）应变能应写成外力的函数。12卡氏第二定理的具体应用：（1）梁（2）桁架（

n根杆）12（3）轴（4）一般地12例3图示简支梁，求中点C的挠度。解：PEIl/2l/212正号表示fC

的方向与P的指向一致。12例4图示悬臂梁，求B截面的转角

。lPEI在

B截面加一与“相应”的假想外力M’解：因为在B截面没有与相应的外力，所以要进行处理。12xPEIM’（顺时针）12（1）负号表示的转向与M’的转向相反。（2）要求某点的“位移”，则必须在该点有与之相应的“力”，若没有，则必须在该处加上假想的附加“力”，求导后再令其为零。注意：12例5图示悬臂梁，求C截面的挠度fC。P=P2EIl/2l/2P=P1BACxy解：12（向下）12例6图示结构，求A、B两点的相对位移。PEI2aaPDCBAx1x2x3解：1212五、虚功原理1.虚位移虚位移——约束所允许的微小位移。12（1）与结构上的荷载完全无关的原因导致的位移（如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。（2）微小，并且符合约束条件。注意：122.虚功原理

对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的功，等于弹性体内力在相应的虚位移上所做的功。前者称为外力虚功，后者称为内力虚功。即：

弹性体平衡12

另一方面，如果弹性体上的外力和内力在各自的虚位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：

弹性体平衡综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理：

弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功，即：

弹性体平衡12必要条件的简单证明，即证：

弹性体平衡以梁为例：（1）设图所示梁发生虚位移，可得：12（2）设想：将处于平衡状态的梁分成无数个长度为dx的微段，考察其中任一微段，如图所示：（刚体虚位移）MdxC·q(x)NNM变形前C·变形后（虚变形）12小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。质点虚功原理：处于平衡状态下的力系在刚体虚位移上的虚功之和等于0。小微段上的虚功仅为力系在虚变形上做的功。所有微段上的虚功之和即为总的虚功。123.单位力法（1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。“相应”：线位移——集中力角位移——集中力偶。对应的单位力系统ABaa1求图示结构B点沿a-a方向的线位移ABaa12（2）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力系统的虚位移。显然满足：①原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。②微小且符合约束条件。（3）运用虚功原理：12其中为单位力系统对应的内力。注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。12对于线性结构：——莫尔积分法12桁架轴梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响上式中为实际荷载引起的内力；是个大于1的系数，是剪应力实际上不均匀并与截面形状有关的修正系数。12例7求图示结构C点的竖直位移。aqEIaABCDEAaEIx3x2x11111x3x2x1q（1）建立单位力系统如图。解：（2）建立坐标系如图。荷载系统与单位力系统坐标系要一致。12（3）求内力。荷载系统：x3x2x1qx3x2x1111112单位力系统：单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。12（4）利用单位力法求C点的竖直位移。符号为正表明的指向与单位力的指向相同。12lAEIBxABx1解：（1）建立单位力系统和坐标系：例8求图示结构A截面的转角

。无论实际结构中A点有无与相应的外力，都必须建立单位力系统。（2）求内力：12（3）求：前的负号表示的转向与单位力的转向相反。12六、计算莫尔积分的图乘法梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为：12图乘法：将积分图形相乘。出发点：直杆在单位力作用下的内力图必定是直线段或者折线段。的计算转化为考察任一梁段AB，其上由荷载引起的弯矩可为任意图形，而由单位力引起的弯矩为斜直线。OxyABOxyAB12建立坐标系：以与x轴的交点O为坐标原点，设与x轴的夹角为。OxyABOxyAB·dxxxCl12OxyABOxyAB·dxxxCl——阴影部分面积阴影部分面积对

y

轴之矩————图对

y

轴之静矩图上对应

xC

的值——图的面积————图形心的横坐标——图上对应的值，简记为12例9求图示悬臂梁在自由端的挠度。BA1BlAEIF解：（1）建立单位力系统：（2）作荷载系统和单位力系统的弯矩图：l·l·（3）计算、

、：“正号”表明的指向与单位力的指向相同。12例10求图示外伸梁

A截面的转角。FAEIBCal解：（1）建立单位力系统：1（2）作、图：···12（3）图乘求：···①

与引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。②

与

在基线同一侧时，为正，在基线异侧时，为负。12例11求图示简支梁

C

点的挠度和

A

点的转角。FEIl/2l/2ABC1（2）作、图：解：（1）建立求的单位力系统：·l/2l/212（3）求：·l/2l/2121FEIl/2l/2ABC（4）建立求的单位力系统并作相应的

图：l/2l/2l/3l/3l/3图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。12例12求图示悬臂梁

C

点的挠度。1解：（1）建立单位力系统：（2）作、图：l/2FEIFl/2ABC将

图分成易于确定面积和形心位置的三个面积。12将三个面积分别与图乘，然后相加：1212图乘法注意要点：（1）直杆方能图乘。（2）和图绘制原则为或同时画在受拉边，或同时画在受压边。（3）图必须为一条直线，为折线时应分段。（4）尽量将图绘成面积及形心位置已知的图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。（5）

与在基线同