湖工院材料力学讲义

第一章绪论§1.1材料力学的任务材料力学的任务：研究构件在载荷作用下产生变形和破坏的规律，并为构件的合理设计提供必要的理论基础和计算方法。构件的承载能力的三个方面：1、强度（构件在外力作用下抵抗破坏的能力）；2、刚度（构件抵抗变形的能力）；3、稳定性（指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力）。材料力学的任务也可叙述为：在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既安全又经济的构件，提供必要的理论基础和计算方法。可解决构件的承载能力和经济节约的矛盾。§1.2变形固体的基本假设为了便于理论分析，将材料简化为一个理想的模型。因此，对变形固体作以下基本假设：1、连续性假设认为固体的整个体积内都毫无空隙地充满着物质。2、均匀性假设认为固体内各点处的力学性质是相同的。3、各向同性假设认为固体沿各个方向的力学性质相同。§1.3外力及其分类按外力作用的方式分为表面力和体积力，表面力又分为集中力和分布力。按载荷随时间变化情况静载荷和动载荷，动载荷又分为交变载荷和冲击载荷。§1.4内力、截面法和应力的概念一、内力内力：杆件由于外力作用而引起杆件内各部分之间相互作用力的改变量。二、截面法假想地用一截面将构件截开以显示内力，并根据静力平衡条件求内力的方法。截面法的三个步骤：1.截开；2.代替；3、平衡。三、应力内力在截面上的集度。单位：Pa、MPa、GPa§1.5变形与应变平均应变线应变剪应变§1.6杆件变形的基本形式杆件：长度远大于横向尺寸的构件。直杆曲杆等直杆1、拉伸或压缩2、剪切3、扭转4、弯曲这四种基本变形将在后续的章节中加以讨论。还有一些杆件同时发生几种基本变形，这种情况称为组合变形。在讨论了四种基本变形的强度及刚度计算之后，将讨论组合变形。第二章拉伸、压缩和剪切§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例一、实例二、受力特点：外力的合力作用线与杆件轴线重合。变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。§2.2轴向拉伸或压缩时橫截面上的内力和应力一、内力FN作用线与杆件轴线重合，称为轴力。截面法求轴力：例如，用截面法求轴向拉杆的内力：由平衡条件及材料的均匀性假设可知，截面上必存在连续分布的力，其合力为FN，由∑F=0得FN=F设正法根据求得的轴力的符号，就可判断出轴力为正还是为负。轴力图:取与杆轴线平行的直线为横坐标轴，以表示横截面的位置；取与杆轴线垂直的直线为纵坐标轴，以表示对应截面的轴力。正的轴力画上侧；负的轴力画下侧。二、应力平面假设：例题2个§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料在拉伸时的力学性能先介绍一下拉伸试件：一、碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。这类钢材在工程上使用较广，在拉伸试验中表现出的力学性能也最为典型。1、弹性阶段在拉伸的初始阶段，应力σ与应变ε成正比，即材料服从于虎克定律：σ=Eε。直线的斜率tgα=σ/ε=E，即材料的弹性模量。σp是材料比例极限(例如:Q235A钢的σp≈200MPa)σe是材料弹性极限。2、屈服阶段当应力达到b点的相应值时，不再增加，仅在很小范围内波动，而应变却急剧增加。这种现象称为材料的屈服或流动。它说明材料暂时失去了抵抗变形的能力，好像材料在流动。屈服阶段内的最低应力值称为屈服极限，用σs表示。如Q235A钢的σs=235MPa。3、强化阶段屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形，就必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。强化阶段中的最高点e对应的应力，是材料所能承受的最大应力，称为强度极限σb。例如Q235A钢的σb≈400MPa。4、局部变形阶段当应力达到σb后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小。由于试件在颈缩部分横截面面积迅速减小，使试件继续伸长所需的拉力也相应减小，由原始横截面面积算出的应力σ=P/A也随之下降。降到f点，试样被拉断。5、延伸率和断面收缩率σs和σb是衡量低碳钢强度的主要指标。伸长率和断面收缩率是衡量材料塑性性能的两个塑性指标伸长率δ=断面收缩率ψ=例如Q235A钢的δ＝20%～30%，ψ≈60%。把σ≥5%的材料称为塑性材料，如钢材、铜和铝等；把σ＜5%的材料称为脆性材料，如铸铁、砖石等。6、卸载定理及冷作硬化把试件拉伸到超过屈服极限的某点d，再慢慢卸载，应力和应变按直线规律变化。再次加载时，应力和应变沿直线上升到d点后，又沿曲线变化。比例极限提高但塑性降低。工程上常用冷作硬化来提高某些构件(如钢筋、钢缆绳)的承载能力。冷作硬化经退火后可消除。二、其他塑性材料拉伸时的力学性能其它几种材料都没有明显的屈服阶段。对于这类没有明显屈服阶段的塑性材料，国家标准规定，取试件产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为材料的名义屈服极限，用σ0.2表示三、铸铁拉伸时的力学性能铸铁在拉伸过程中看不到屈服阶段和颈缩现象，在较小的变形下就被突然拉断，断口沿横截面较为平整。§2.5材料在压缩时的力学性能低碳钢压缩时的E、σp、σe和σs都与拉伸时的相同。屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，但不断裂，因此，测不出它的抗压强度极限。铸铁压缩时的变形较拉伸时的变形要大，要在较大的压力下才会被压断。其抗压强度显然远高于抗拉强度，前者约为后者的4～5倍。断口不像拉伸时沿横截面，而是与轴线成约45°的斜面。§2.7失效、安全系数和强度计算一、安全系数许用应力由材料的拉(压)试验可知，应力达到强度极限σb时，构件会发生断裂；当应力达到屈服极限σs时，构件将产生显著的塑性变形。构件工作时发生断裂或显著的塑性变形一般都是不允许的。所以，σb和σs统称为材料的极限应力。对于脆性材料，σb是唯一的强度指标，故以σb为极限应力；对于塑性材料，由于应力达到σs时，会产生显著的塑性变形，所以，常以σs为极限应力。考虑到构件所受的载荷常估计不准确，构件的材料也不像假设的那样绝对均匀等等，都会使构件的实际工作条件比设想的要偏于不安全。因此，为保证构件安全工作，则要求其有一定的强度储备，使构件的最大工作应力σmax不允许超过比极限应力小的某一应力值，这一应力值称为许用应力，用〔σ〕表示。对于塑性材料对于脆性材料式中n是一个大于1的系数，称为安全系数。在一般的强度设计中，塑性材料的安全系数ns＝1.5～2.0；脆性材料的安全系数nb＝2.5～3.0；有时甚至更大。二、强度条件及应用为保证构件不致于因强度不够而破坏。则构件内的最大工作应力不得超过许用应力〔σ〕，于是得构件轴向拉、压时的强度条件为根据以上强度条件，便可进行强度校核，截面设计和确定许可载荷等强度计算。顺便指出，最大工作应力σmax超过许用应力时，构件不一定就会破坏。工作设计中规定，当σmax与〔σ〕满足下述关系时，认为构件是安全的。σmax－〔σ〕≤5%〔σ〕例气动汽缸受载如图。已知汽缸内径D＝170mm，壁厚t=8mm，缸内气压强度p＝2MPa，活塞杆直径d=20mm，活杆杆所用材料的许用应力〔σ〕＝140MPa，试校核活塞杆的强度。解取活塞杆为研究对象，由平衡方程可求得活塞杆上的外力P＝π/4(D2－d2)p＝44.77kN显然，活塞杆横截面上的轴力FN＝P＝44.77kN活塞杆的工作应力可求得σ＝142.5MPa虽然工作应力σ超过了许用应力〔σ〕，但σ-〔σ〕=142.5－140＝2.5＜140×5%因此，活塞杆是安全的。§2.8轴向拉伸或压缩时的变形直杆在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的增大和横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，将引起轴向的缩短和横向的增大。设等直杆的原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，长度由l变为l1。杆的绝对纵向变形为Δl=l1-l实验表明：在应力σ不超过某一极限应力(σp)时，杆的纵向变形Δl与轴向拉力P和杆长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比。即称为胡克定律(Hooke定律)。我国古代学者郑玄（公元127-200）就观察到当物体受力较小时，变形与外力成正比。1670年英国学者Hooke再次发现这一定律。这一定律其实应该称为郑玄-Hooke定律。式中的E称为材料的拉(压)弹性模量，其单位与应力单位相同，其数值因材料而异，由试验测定。例如，钢的E＝200GPa,铜的E=100GPa。受相同外力作用的等长杆，其伸长量Δl与杆的EA成反比，可以认为EA反映了杆件抵抗拉(压)变形的能力，故EA称为杆件的抗拉(压)刚度。同时，纵向绝对变形Δl与杆的原长l有关。为度量杆的变形程度，消除杆长的影响，以单位长度内的变形量来衡量。即ε称为杆的纵向相对变形或纵向线应变。没有量纲。正值表示拉应变，负值表示压应变。胡克定律的另一表达式σ＝Eε上式表明：当杆的应力未超过某一限度值(σp)时，其应力与应变成正比。若杆件变形前的横向尺寸为b，受轴向拉力变形后，横向尺寸变为b1，则杆件的横向绝对变形缩短了Δb，即Δb=b1-b同样，为了消除原尺寸的影响，则用横向相对变形表示变形的程度，即ε′＝Δb/bε′称为横向线应变。ε′也是无量纲的量。由于拉伸时，ε＞0，ε′＜0，ε和ε′的符号总是相反。大量实验结果表明：对同一种材料，在满足胡克定律的条件下，其横向应变ε′与纵向应变ε之比的绝对值为一常数。即μ＝ε′/εε′＝－μεμ称为材料的泊松比或称为横向变形系数，它也没有量纲，其值因材料而异，可由试验测定。例阶梯形钢杆受载情况如图。设AC段横截面面积为AAC＝500mm2，CD段横截面面积为ACD=200mm2。已知F1=30kN,F2=10kN，钢杆的弹性模量E＝200GPa。试求杆的总长度改变量。解(1)计算内力运用截面法，分段求出内力。由静力平衡条件求得AB段内任一横截面上的轴力为FN1=20kN(拉力)同理，可求出BD段内任一横截面上的轴力FN2＝＝－10kN(压力)注意到，虽然BC和CD段横截面面积不相等，但它们的内力却是相等的。(2)分段计算杆的变形(3)计算杆的总变形量全杆总长度改变量ΔlAD应该等于各段杆长度改变的代数和，即Δl＝－0.015mm计算结果为负值，说明整个杆缩短了。例结构受载情况如图。已知F1=5kN,F2=10kN，m，斜撑杆CD为铝管，弹性模量E＝72GPa，横截面面积为A＝440mm2，梁AB可视为刚体。试求A点的竖直位移。解：（1）计算CD杆的轴向变形杆CD的受力为杆CD缩短为（2）计算A点的竖直位移切线代圆弧§2.9轴向拉伸或压缩的应变能固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能（变形能）。在应力小于或等于比例极限时变形能求单位体积内储存的变形能：单位体积内的变形能应力小于比例极限时（代以为回弹模量）杆内应力不均匀时例结构如图所示，已知两杆长，横截面面积为A材料的弹性模量E。试求在力F作用下节点A的位移。解：外力功等于杆件内储存的应变能，即外力功等于杆的内力为两杆储存的应变能为于是§2.10拉伸、压缩超静定问题静定问题：杆件的轴力可由静力平衡方程求出。静不定问题：杆件的轴力并不能全由静力平衡方程解出。几何关系称为变形协调方程变形与轴力的关系称为物理方程补充方程静不定问题是综合了静力平衡方程，变形协调(几何方程)和物理方程等三方面的关系来求解的。以如图所示三杆桁架为例，已知杆1、2的抗弯刚度都为杆3的抗弯刚度为，试求在力F作用下各杆的内力。ΣFx＝0，FN1sinα－FN2sinα＝0ΣFy＝0，FN3＋2FN1cosα－F＝0，§2.11温度应力和装配应力工程中由于静不定结构的变形受到部分约束，当温度变化时在构件内引起温度应力的静不定问题。由于构件在制造中产生的加工误差，而导致在装配后引起装配应力的静不定问题。§2.12应力集中的概念等截面直杆或截面逐渐缓慢变化的直杆，受轴向拉(压)时，在距外力作用点足够远的截面上，应力是均匀分布的。但工程中有些实际构件，常因结构的需要或工艺上的要求，往往制成阶梯形状，或在杆上开油孔、切槽、车螺纹等。这些都会引起截面尺寸的突然变化。实验和理论分析表明：在截面突变处的局部区域内，应力骤然增大，而离开这个区域稍远处，应力又逐渐趋于缓和，这种因截面尺寸突变而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。对塑性材料可以不考虑应力集中的影响；而对组织均匀的脆性材料，由于应力集中将大大降低构件的强度，则必须考虑其影响（脆性材料没有σs）。脆性材料中的铸铁却例外，由于其组织极不均匀，缺陷很多，其内部已存在许多引起严重应力集中的因素，而构件外形改变所引起的应力集中就成了次要因素，对构件的承载能力不一定造成明显的影响。§2.13剪切和挤压的实用计算一、剪切和挤压的概念1.剪切工程实际中，常遇到剪切问题。例如，剪床上剪断钢板，机械联接件中常用的螺栓、铆钉、销、平键等都是主要产生剪切变形的构件，称为剪切构件。受力特点：作用在构件两侧面上的横向外力的合力大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近。变形特点：两力间的横截面发生相对错动。这种变形称为剪切。2.挤压受剪切的构件，一般还伴有挤压现象。两构件接触面处局部受压的现象。作用在接触面上的压力称为挤压力。在接触处产生的变形称为挤压变形。挤压破坏：当压力过大时，接触面处将局部产生显著的塑性变形或被压碎。挤压和轴向压缩的区别：二、剪切的实用计算设两块钢板用铆钉联接，当两块钢受拉时，若铆钉上作用的力F过大，可能被剪断，这个截面叫做剪切面。根据截面法，可求出剪切面的内力。这个内力叫做剪力，用FS表示，它是剪切面上分布内力的总和，由静力平衡条件ΣFx=0得FS=F剪应力τ在剪切面上的分布情况比较复杂。为计算上的方便，工程上采用实用计算，即假设剪应力τ均匀分布在剪切面上。于是，剪应力计算公式为τ＝FS/A式中，FS表示剪切面上的剪力；A表示剪切面面积。为了保证构件安全可靠地工作，要求其工作时剪应力不超过许用值。因此，构件的剪切强度条件为τ＝FS/A≤〔τ〕式中，〔τ〕表示材料的许用剪应力。一般情况下，材料的许用剪应力〔τ〕与许用拉应力〔σ〕有以下关系：塑性材料〔τ〕＝(0.6～0.8)〔σ〕脆性材料〔τ〕＝(0.8～1.0)〔σ〕三、挤压的实用计算挤压力以Fbs表示，如钢板上的铆钉孔的挤压破坏现象，钉孔受压的一侧被压溃，向两侧隆起，孔不再是圆形。它将导致联接松动，影响构件正常工作。因此，对构件还须进行挤压强度计算。挤压力的作用面称为挤压面，由于挤压力而引起的应力称为挤压应力，以σbs表示。在挤压面上，挤压应力的分布情况也比较复杂。在实用计算中，假设挤压力均匀分布在挤压面上，于是，挤压应力的计算公式为σbs=Fbs/Abs式中Pbs表示挤压面上的挤压力，Abs表示挤压面的计算面积。对于铆钉、螺栓、销等联接件，挤压面为半圆柱面，在半圆柱挤压面上，挤压应力的分布情况如图，最大挤压应力在半圆弧的中点处。如果以挤压面沿挤压方向的正投影作为计算面积，计算出来的σbs与理论分析得出的σbsmax值相近。因此，在实用计算中，一般都以此面作为计算面积。挤压强度条件为σbs=Fbs/Abs≤〔σbs〕式中，〔σbs〕为材料的许用挤压应力，其值可从有关规范中查得。根据实验，许用挤压应力〔σbs〕与许用拉应力〔σ〕有以下关系：对于塑性材料〔σbs〕=(1.5～2.5)〔σ〕对于脆性材料〔σbs〕=(0.9～1.5)〔σ〕如果两个接触构件的材料不同，应以联接中抗挤压能力较弱的构件来进行挤压强度校核。与轴向拉压一样，利用剪切和挤压强度条件也可以解决联接件的三类问题：强度校核、截面设计和确定许可载荷。工程实际中，有时会遇到与保证剪切强度相反的问题，而要使剪切破坏发生，剪床剪断钢板的情形就是如此。因此，剪切的破坏条件为τ＝FS/A≥τb例1齿轮用平键与轴联接(图中只画出了轴与键，未画出齿轮)。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸为：b=20mm，h=12mm，l=100mm，传递的扭转力偶矩M=2kN·m，键的许用应力〔τ〕＝60MPa，〔σbs〕＝100MPa。试校核键的强度。解(1)校核剪切强度由平衡条件∑MO(F)=0得F×d/2＝M则有FS=F=2M/d于是τ＝FS/A=28.6MPa＜〔τ〕剪切强度足够。(2)校核挤压强度挤压力为Fbs=Fσbs＝Fbs/Abs=95.3MPa＜〔σbs〕挤压强度也满足。例2一铆钉联接如图所示。已知F＝200kN，δ=2cm，铆钉材料的许用剪应力〔τ〕＝80MPa，许用挤压应力〔σbs〕=260MPa，试设计铆钉的直径。解(1)按剪切强度设计。铆钉的受力情况如图。用截面法可得到内力计算图。铆钉有两个面承受剪切，称为双剪切。由平衡条件ΣFx=0得FS=F/2τ＝/A＝F/2/(πd2/4)≤〔τ〕于是d≥0.04m=4cm先取d＝4cm(2)按挤压强度校核挤压力Fbs=200kN挤压面的计算面积为Abs=dδσbs=Fbs/Abs=250MPa＜〔σbs〕满足挤压强度故取d=4cm第三章扭转§3.1扭转的概念与实例机械中的许多构件，其主要变形是扭转。例如:汽车的转向轴攻丝时丝锥的受力情形受力特点：在杆件两端作用有两个大小相等、方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的力偶。变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。这种形式的变形称为扭转变形。以扭转变形为主要变形的构件称为轴。§3.2外力偶矩的计算扭矩及扭矩图一、外力偶矩的计算外力偶矩往往不是直接给出的，给出的经常是功率和转速。譬如电动机的铭牌上标出的就是如此。外力偶矩可由轴传递的功率和轴的转速求出：(N·m)当功率单位为马力时（1马力=735.5瓦特）(N·m)式中，Me---作用在轴上的外力偶矩，单位为N·m；P---轴传递的功率，单位为kW；n---轴的转速，单位为r/min。作用在功率输入端的外力偶矩是带动轴转动的主动力偶，方向和轴的转向一致；作用在功率输出端的外力偶矩是被带动零件的阻力偶，它的转向和轴的转向相反。二、扭矩及扭矩图作用于轴上的所有外力偶矩都求出后，即可用截面法求横截面上的内力。根据截面法，假想地将圆轴沿n-n截面分成两部分，并取左段为研究对象，如图示。由于整个轴是平衡的，所以，左段也应处于平衡状态。为了保持平衡，在截面n-n上必然存在一个与左端的外力偶矩Me等值、反向的内力偶矩T。于是，由左段的平衡条件ΣM=0得Me-T=0，T=MeT称为截面n-n上的扭矩。如果取右段为研究对象，如图，同样可以求得T′=M的结果。但是，它的方向与T相反。因为它们是作用力与反作用力的关系。为使得分别由左、右两段求得的同一截面上的扭矩，不但在数值上相等，而且符号相同，将扭矩的符号作如下规定：从截面外法线看扭矩，若扭矩为逆时针转向，则扭矩为正，反之为负。依此法则，同一截面的T和T′符号相同，因此，以后不再区分T和T′，一律用T表示。若作用于轴上的外力偶矩多于两个，各横截面上的扭矩须分段求出，而且各横截面上的扭矩沿轴线是变化的。常用扭矩图来表示。例1传动轴如图所示，主动轮输入功率PA＝37kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB＝PC＝11kW，PD＝15kW，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。解：(1)计算外力偶矩MA=9550×NA/n＝9550×37/300N·m＝1178N·mMB＝Mc＝350N·mMD＝478N·m(2)分段计算扭矩由静力平衡条件ΣM=0得T1+MB=0T1=-MB=-350N·m同理，由ΣM=0可得T2+MB+MC=0T2=-(MB+MC)=-(350+350)N·m=-700N·m由ΣM=0得T3-MD=0T3=MD=478N·m(3)画扭矩图§3.3纯剪切薄壁圆筒扭转时的剪应力二、剪应力互等定理 三、剪应变剪切胡克定律当时四、剪切变形能当时§3.4圆轴扭转时的应力一、公式推导横截面上的应力，需要对扭转变形的实验进行观察，从几何、物理和静力关系三个方面来分析。1、变形几何关系为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面作圆周线和纵向线。在扭转力偶矩m作用下，可以观察到：各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但它们的大小、形状以及相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动为菱形。根据观察到的现象，可作如下基本假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面的间距不变。这就是圆轴扭转的平面假设。根据这一假设，扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式，符合实验结果，这足以说明假设是正确的。在图中，φ表示圆轴两端面的相对转角，称为扭转角。扭转角用弧度来度量。用相邻的两横截面从轴中取出长为dx的微段，并放大如图。若两截面相对转角为dφ，根据平面假设，右边横截面像刚性平面一样，相对于左边横截面绕轴线旋转了一个角度dφ。于是，表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动，错动的距离是aa′＝Rdφ因而引起原为直角的∠adc角度发生改变，改变量为γ＝Rdφ/dx距圆心为ρ处的剪应变为γρ＝ρdφ/dxγρ也发生在垂直于半径Oa的平面内。式中，dφ/dx是扭转角φ沿x轴的变化率，对于一个给定的截面来说，它是常量。故上式表明，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离ρ成正比。2、应力应变关系以τρ表示横截面上距圆心为ρ处的剪应力，由虎克定律知τρ＝Gγρ将(b)式代入上式得τρ＝Gρdφ/dx这表明，横截面上任意点的剪应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比，由于γρ发生于垂直于半径的平面内，所以，τρ也与半径垂直。横截面上沿半径方向的剪应力分布如图。3、静力学关系在横截面上，取微分面积dA。dA上的微内力τρdA对圆心的力矩为ρ·τρdA。横截面上的内力系对圆心的力矩为定积分∫AρτρdA，显然，它就是截面上的扭矩，即令Ip=∫Aρ2dAIp只与横截面尺寸有关，称为横截面对圆心O的极惯性矩，其单位为m4或cm4，式可写为横截面上扭转剪应力的计算公式工程中常用的受扭构件——圆轴，其截面形状通常为圆形截面和空心圆截面。下面来计算它们的Ip。圆形截面空心圆截面对于空心圆截面，若外径为D,内径为d。令α＝d/D例2、一轴AB传递的功率Pk=7.5kW，转速n=360r/min轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D＝3cm，d=2cm。试计算AC段横截面边缘点①处的剪应力以及CB段横截面上外边缘点②处和内边缘点③处的剪应力。解(1)计算外力偶矩M=9550×Pk/n＝199N·m由截面法求得各横截面上的扭矩为T＝M=199N·m(2)计算惯性矩AC段Ip1＝πD4/32＝7.95cm4CB段Ip2=π/32(D4-d4)＝6.38cm4(3)计算剪应力37.5MPa46.8MPa31.2MPa二、强度计算最大剪应力出现在横截面边缘上，即ρ＝R处，剪应力达到最大值。式中，Wt=Ip/R，称为抗扭截面摸量，其单位为m3或cm3。圆形截面空心圆截面为保证轴安全可靠地工作，要求轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力［τ］，便得强度条件为τmax＝T/Wt≤［τ］式中［τ］是材料的许用剪应力，它是根据扭转试验，并考虑适当的安全系数来确定的。它与材料的许用拉应力［σ］有如下近似关系塑性材料［τ］＝(0.5～0.6)［σ］脆性材料［τ］＝(0.8～1.0)［σ］例3由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm，壁厚为2.5mm，材料为45号钢，许用应力为[τ]=60MPa，传递的最大转矩M=1.5kN·m。试校核轴的强度。解=1.5kN·m=29500mm3<［τ］故：轴的强度足够。假如用相同强度的实心轴，则实心轴直径D1为，D1=53.2mm相同强度和长度的实、空心轴重量之比为§3.5圆轴扭转时的变形圆轴的扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，称为扭转角。扭矩T为常量时，积分得式中GIp称为抗扭刚度。上式表明：扭转角与扭矩和圆轴的长度l成正比，与圆轴的抗扭刚度成反比。扭转角的单位是弧度(rad)。轴类零件除满足强度条件外，还不应有过大的扭转变形，否则，就不能正常工作。例如，机器中的轴，若扭转变形过大，就会影响机器的精密度，或在运转中产生较大的振动。因此，对扭转变形需要一定的限制。通常规定轴的单位长度上的扭转角的最大值max不能超过许用值。即得圆轴扭转的刚度条件式中［］是单位长度上的许用扭转角。和［］的单位皆为弧度/米(rad/m)。在工程实际中，［］的单位为度/米(°/m)。若也采用°/m例4、一直经为d=50mm的圆轴两端受M=1000N·m的外力偶作用而发生扭转，轴材料的剪切弹性模量为G=80GPa。求：（1）横截面上半径为ρA=d/4点处的剪应力和剪应变；（2）单位长度扭转角。解：（1）（2）（或1.15°/m）例5、阶梯圆轴的直径分别为d1=40mm，d2=50mm，材料的许用应力为[τ]=60MPa，轴的功率由C轮输入，PC=30kW,A轮输出功率为PA=13kW，轴的转速n=200r/min。试校核轴的强度。解：＜［τ］＜［τ］故：轴的强度足够。例6．已知薄壁圆轴的外径D=76mm，壁厚=2.5mm，所承受的转矩M=1.98kN·m，材料的许用应力[τ]=100MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许用单位长度扭转角[]=2°/m。试校核此轴的强度和刚度。解：，<［τ］°/m<[]故：轴的强度和刚度足够。例7、传动轴的直径d=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，许用单位长度扭转角[]=0.5º/m，功率由B轮输入，A轮输出2/3功率，C轮输出1/3功率，传动轴的转速n=400r/min。试计算所能输入的最大功率值。解：<0.5第四章弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例纵向对称平面平面弯曲§4.2受弯杆件的简化弯曲是日常生活和工程实际中最常见的一种基本变形。通常，我们把以弯曲变形为主的杆件称为梁。工厂常用的吊车梁火车车轴一、载荷的分类集中力集中力偶分布力二、梁的分类简支梁：一端为固定铰链约束，另一端为活动铰链支座约束的梁。外伸梁：一个为固定铰链约束，另一个为活动铰链支座约束，且一端或两端伸出支承之外的梁。悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。§4.3剪力和弯矩为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。下面研究在外力作用下梁横截面上存在怎样的内力及计算。弯曲的梁横截面上的内力有两种：一种是平行于横截面上的内力FS剪力；另一种是位于梁纵向对称平面内的内力偶M弯矩。剪力和弯矩的符号规则：使微段梁发生左侧截面向上、右侧截面向下的相对错动时，横截面上的剪力为正；使微段梁产生下凸变形时的弯矩为正。§4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图在进行梁的强度和刚度计算时，要找出最大弯矩Mmax和最大剪力FSmax的数值以及它们所在的横截面，就必须了解剪力和弯矩随横截面位置沿梁轴线的变化。若横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，并规定梁的最左端点为x轴的原点，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即FS＝FS(x)M＝M(x)上面的函数表达式分别称为梁的剪力方程、弯矩方程，或称为FS方程和M方程。为了能一目了然地表明梁各横截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中，通常把各横截面上的剪力和弯矩用图形表示出来。即取一平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩关于x的函数曲线。这样得出的曲线图形叫做梁的剪力图、弯矩图。图形具有直观性，利用剪力图和弯矩图很易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面。FS方程、M方程以及剪力图、弯矩图的4个例子，然后总结规律：(1)梁上没有分布载荷作用的部分，剪力图为水平线，弯矩图为倾斜直线(特别地当该段为FS＝0即剪力图与x轴重合时，弯矩图为水平直线)。(2)梁上有均布载荷的一段，剪力图为倾斜直线，弯矩图为二次抛物线。当均匀分布载荷向下时，直线由左上向右下倾斜(＼)，抛物线开口向下；否则，如果当均匀分布载荷向上时，直线由左下向右上倾斜(/)，抛物线开口向上。(3)在集中外力作用处，剪力图有突变，其突变值等于该处集中外力的值，突变的方向与集中外力方向一致，集中外力方向向上时，按从左至右方向，剪力图为增加性突变，而弯矩图在此处出现折角。(4)在集中外力偶作用处，弯矩图有突变，其突变值等于该处集中外力偶的力偶矩。若外力偶为顺时针转向，则按从左至右方向弯矩图为增加性突变；反之，若力偶为逆时针转向，则弯矩图为减少性突变。(5)绝对值最大的弯矩一般出现在下述截面上：FS＝0的截面；集中外力作用处；集中外力偶作用处。例、作梁的剪力图和弯矩图。§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系第五章弯曲应力§5.1纯弯曲纯弯曲：只有弯矩M，而无剪力的弯曲。剪切弯曲：各横截面上同时有弯矩M和剪力。纯弯曲试验与假设：取容易变形的材料做成一矩形截面梁，试验前，在其表面画上垂直于轴线的两条相邻横向直线和平行于轴线的三条纵向直线。然后加载使之产生纯弯曲，且各横截面上的弯矩设为M。从梁的表面变形情况可观察到下列主要现象：1、纵线变成了弧线，并且上面的纵线缩短了，而下面的纵线伸长了，位于中间的纵线只是弯曲成弧线，但其长度不变。2、横线仍为直线，并且相对转动了一个角度dθ，但仍与弧线正交。3、原为矩形截面的梁，变形后，梁的上部变宽，下部弯窄。平截面假设：横截面在梁弯曲后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的梁的轴线，只是绕横截面上的某一轴旋转了一角度。纵向纤维之间无正应力：假设梁的各纵向纤维之间无挤压作用。所有与轴线平行的纵向纤维都只受轴向拉伸或压缩。中性层；中性层与横截面的交线为中性轴，用z表示。§5.2纯弯曲时的正应力综合考虑几何、物理和静力学三方面来推导直梁纯弯曲时的正应力公式。1．变形几何关系若取梁轴线为x轴，横截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴。现取长为dx的微段梁，以讨论距中性层为y等远处的任一纤维bb′的相对变形(即应变)。设两横向线之间的距离为dx。由于其原长为bb′＝dx=o1o2=ρdθ，变形后bb′=(ρ+y)dθ。其中ρ为中性层的曲率半径，对一个确定截面来说，ρ是常量。因此，纤维bb′的线应变为ε＝[(ρ+y)dθ-ρdθ]/ρdθ＝y/ρ（1）2．物理关系当正应力不超过比便极限时，由虎克定律知σ＝Eε＝Ey/ρ（2）上式表明：横截面上任意点的正应力与该点距中性轴的坐标y成正比，也即正应力沿横截面高度成线性分布，离中性轴愈远处，该点的正应力的绝对值也愈大；在中性轴上，正应力等于零。而在距离中性轴等远处的同一截面上各点处的正应力相等。3．静力关系上面虽然找到了应力的分布规律，但按上式还不能计算弯曲正应力。因为曲率半径ρ以及中性轴的位置均未确定。这可通过静力学关系加以解决。在横截面上无数微小面积dA上的微小内力σ·dA，构成了垂直于截面的空间平行力系。由于纯弯曲时梁横截面上的内力只有位于纵向对称平面内的弯矩M，根据静力学条件有FN＝∫Aσ·dA＝0（3）Mz＝∫AyσdA＝M（4）将式(2)代入式(3)，得E/ρ·∫AydA＝E/ρ·Sz＝0由于E/ρ不等于零，则静矩Sz一定等于零。从平面图形的几何性质可知，只有当z轴通过截面形心时Sz才会等于零。因此，中性轴z必定通过截面的形心，据此即确定了中性轴的位置。将式(2)代入(4)，并记Iz＝∫Ay2dA，得E/ρ·∫y2dA＝E/ρ·Iz＝M所以中性层的曲率为（5）式中Iz为横截面对中性轴z的惯性矩，单位为m4或cm4。式（5）说明，在指定截面处，曲率1/ρ与横截面上的弯矩M成正比，与EIz成反比。EIz称为梁的拉弯刚度。将（5）式代入式(2)，即得等截面直梁纯弯曲时横截面上任一点处的正应力计算公式（6）式中，M为横截面上的弯矩；y为欲求应力点到中性轴的距离；Iz为截面对中性轴的惯性矩。式(6)是以矩形截面梁为例推导的，但对于具有纵向对称平面的其它截面形状的梁，包括不对称于中性轴的截面(例如T字型截面)的梁，仍然可以使用。因为这并不影响公式推导的条件。可以足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。不适合非平面弯曲。正应力超过了材料的比例极限时，此式不适用。§5.3横力弯曲时的正应力对某一横截面来说，最大正应力在距中性轴最远的地方；而梁各横截面上的弯矩是随截面的位置而变化的，对等截面梁而言，弯矩最大的横截面为危险截面。因此，就全梁而言，最大正应力位于最大弯矩所在横截面上且距中性轴最远的地方，为式中的Iz和ymax，都是与截面的形状、尺寸有关的几何量，令Wz称为截面对z轴的抗弯截面模量(抗弯截面系数)，也是衡量横截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状、尺寸有关，单位为m3或cm3。梁弯曲时的正应力强度条件为关于简单截面对中性轴的抗弯截面模量Wz的计算运用强度条件式可以进行下列三方面强度问题的计算：(1)强度校核如果梁的支承、受载方式和大小、截面形状尺寸、梁材料的许用弯曲应力均已知，可对梁进行强度校核。(2)确定截面形状和尺寸如果梁的支承、受载方式和大小、梁材料的许用应力已知，可算出截面所必需的抗弯截面模量，然后选用适当的截面形状，并确定其尺寸。(3)确定许可载荷例梁AB为10号工字钢，Wz=49cm3，已知梁下表面C处横截面上的正应力c=60MPa。试求载荷F的值。解C处的弯矩为由得即得例图示矩形截面梁，已知：M=16kN·m，F=20kN，许用应力为[]=120MPa，试校核梁的正应力强度。解根据平衡方程解得，＜[]例受均布载荷作用的工字形截面梁如图所示。已知工字钢型号为18号，Wz＝185cm3，其许用弯曲正应力[]＝140MPa。试确定许可的均布载荷q。解(1)画弯矩图，求Mmax。从弯矩图上可知最大弯矩为Mmax＝2.5q(2)确定均布载荷qkN·m即2.5q≤25.9所以q≤10.4kN/m许可的均布载荷为10.4kN/m。例1T字形截面铸铁梁如图，已知F＝3.5kN，a＝0.5m，截面尺寸及搁置方式如图所示；材料的抗拉强度=320MPa，抗压强度=560MPa。取安全系数n=4，试校核此梁的强度。解(1)作弯矩图，求最大弯矩。=2P·a=2×3.5×0.5=3.5kN·m(2)确定许用应力，材料的许用拉应力和许用压力分别为=80MPa，=140MPa(3)计算截面对中性轴的惯性矩Iz=136cm4，且y2=3cm，y1=5cm(4)校核强度。因危险截面上的弯矩为正，故最大拉应力位于横截面的下边，其值为=129MPa>=80MPa最大压应力位于横截面的上边缘，其值为MPa<=140MPa梁的强度不够，因为最大拉应力超过了许用拉应力值。如果将梁的搁置位置颠倒一下，梁的最大拉、压应力变为=77MPa<=80MPa=129MPa<=140MPa可见颠倒一下搁置比较合理。§5.4弯曲剪应力一、矩形截面梁矩形截面梁横截面上的切应力分布。二、工字形截面梁腹板上任一点处的切应力可由公式得出式中：d为腹板厚度§5.6提高弯曲强度的措施一、合理安排梁的受力情况二、梁的合理截面从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。三、等强度梁的概念梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。第六章弯曲变形§6.1工程中的弯曲变形问题梁在外力作用下发生弯曲变形时，原为直线的轴线将弯曲成一条光滑连续曲线，叫挠曲线。挠曲线挠度与转角观察如图1悬臂梁。其中x轴是梁变形前的轴线，y轴是梁左端横截面的对称轴，载荷P与x轴垂直。这时梁将发生平面弯曲，梁的轴线将弯曲成位于xy面内的一条平面曲线，轴线上任一点C将有一竖直位移yc=CC′,此竖直位移称为该点的挠度。由于发生弯曲变形时梁的中性层既不伸长也不缩短，故C点除了产生竖直位移外，还有水平位移。但当挠度远小于梁长时，梁的挠曲线是一条很平缓的曲线。此水平位移与挠度相比是可以忽略不计的。图1当梁发生弯曲变形时，任一横截面C将绕其中性轴转动一个角度θc，此角度叫作C截面的转角。转动后的横截面仍与挠曲线正交。在工程实际中，某些构件除了应满足强度要求外，还应满足刚度方面的要求。例如：齿轮轴的弯曲变形过大，就要影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，并使轴与轴承配合不良，以致造成传动不平稳，降低寿命。钻床的变形过大，就会影响加工精度，甚至会加工出废品。在某些情况下，也可以利用构件的弯曲变形来为生产服务。例如：汽车轮轴上的叠板弹簧，就是利用其弯曲变形来缓和车辆受到的冲击和振动。根据工程实际中的不同需要，为了限制或利用弯曲构件的变形，必须研究梁的变形规律。§6.2挠曲线的微分方程1．挠度与转角的近似关系挠曲线方程为图2规定挠度向上为正，横截面绕中性轴逆时针旋转，截面转角为正。2．挠曲线的近似微分方程则于是上式称为梁的挠曲线近似微分方程。之所以说近似，是因为此式的推导中略去了剪力对变形的影响，并近似认为ds=dx。但这个近似公式应用于一般工程实际中是足够精确的。要确定梁截面转角方程和挠曲线方程，必须积分。§6.3用积分法求弯曲变形例1设工件的EI为常数，试求图所示的被切削工件，由于弯曲变形而引起的加工误差。解被切削工件左端紧固在卡盘里，左端不允许发生移动和转动，可简化为固定端；右端受切削力F作用，可简化为自由端受集中力作用的悬臂梁，如图所示。(1)列出弯矩方程。定出如图所示坐标，弯矩方程为(2)列挠曲线微分方程并积分(3)确定积分常数。积分常数可利用边界条件来确定。在悬臂梁中，边界条件是固定端处的转角为零，挠度也为零(4)列转角方程和挠度方程。可求出梁任一截面的转角和挠度。在自由端B截面处出现最大转角与最大挠度(5)切削工件时，由于工件的弯曲变形而减少了吃刀深度。当走刀时，切削力P处在不同位置时，工件的变形不同。如工件直径d=2cm，切削力F=120N，工件长=12cm，工件材料的弹性模量E=200GPa，则最大挠度为0.044mm。切削力使工件两端产生直径差△d=2×0.044=0.088mm，由此可见，如减少吃刀量，使切削力减小，就可以减小工件的变形，提高加工精度。通常将车削加工分为粗车、精车几道工序，不但可以降低表面粗糙度，还便于达到要求的精度。显然，当工件长度增加一倍，由于切削力而使工件两端产生的直径差将增至8倍，故随着工件长度的增加，其加工精度将明显降低，甚至很难进行加工。积分法是求梁变形的一种基本方法，在工程实际中，一般不采用此种方法。为应用上的方便，在一般的设计手册中，已将常见的梁的挠度和转角计算公式列成表格，以备查用。P188表6.1给出了简单载荷作用下梁的挠度和转角计算公式。§6.4用叠加法求弯曲变形梁的挠度和转角均与载荷成线性关系。这样，某一载荷所引起的梁的变形不受同时作用在梁上的其他载荷的影响。因此，可以利用叠加法来求梁的变形。当梁上同时作用多个载荷时，梁的变形等于各载荷单独作用下梁的变形的代数和。这就是叠加法。下面举例加以说明：例2一悬臂梁如图所示，其上作用着集中载荷F和集中力偶M，设梁的抗弯刚度EI为常数。试用叠加法求B处的挠度和转角。解(1)求各载荷单独作用下梁的变形。由P188表6.1查得，F和在B端引起的挠度和转角分别为(2)叠加法求B处的挠度和转角例3如图示外伸梁，AB段的惯性矩为I1，BC段的惯性矩为I2，求F力作用下C端的挠度(材料的弹性模量E为已知)。解采用逐段刚化法（1）先刚化AB段，求y1。查表6.1得（2）再刚化BC段，求θB和y2。查表6.1得（3）叠加求C端的挠度§6.5简单静不定梁§6.6提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，减小弯矩的数值梁的横截面上同时存在着正应力和剪应力。但长梁的强度通常取决于弯曲正应力强度，下面就从正应力强度的角度讨论如何进行梁的合理设计，以用较少的材料消耗，使梁获得更大的强度。合理布置载荷和支座位置，在可能的情况下，如果适当调整载荷或支座的位置，可以减小梁的最大弯矩，对于梁上的集中载荷，如果能适当将它分散，也可以减小梁的最大弯矩。二、选择合理的截面形状选用合理截面，对于抗拉、抗压能力相同的材料，一般应采用与中性轴对称的截面，因为只有这样的截面才会有最大拉应力等于最大压应力。当弯矩一定时，最大正应力的数值随抗弯截面模量Wz的增大而减小。为了减轻自重和节省材料，所采用的截面形状，应该是横截面面积A较小，而抗弯截面模量Wz较大。即抗弯截面模量与该截面面积之比Wz/A应尽可能大。可见，采用工字形截面比较而言最为合理。因为这种截面只有较少部分材料分布在距中性轴较近处，处于低应力状态下工作；而较多部分材料分布在距中性轴较远处，充分发挥了作用。在工程实际中，许多弯曲构件采用工字形、箱形、槽形截面，就是这个道理。对于抗拉、抗压能力不相同的材料，则应采用与中性轴不对称的截面。例如铸铁，由于其抗压能力比抗拉能力强，则应采用中性轴偏于受拉一侧的截面。这样，可使截面上的最大拉应力小于最大压应力。三、采用变截面梁由于梁横截面上的弯矩一般随截面位置不同而不同，如果按最大弯矩设计为等截面梁，则只有最大弯矩所在截面的最大正应力达到了材料的许用应力，而其它弯矩较小的截面上的最大正应力均未达到材料的许用应力，即这些截面上的材料未能得到充分利用。从强度观点看来，如果在弯矩较大的部位采用较大的截面，在弯矩较小的部分采用较小的截面，即采用变截面，就比较合理。在工程实际中，不少构件都采用了变截面梁的形式。例如桥式起重机的大梁、上下加焊盖板的板梁、传动系统中的阶梯轴，摇臂钻床的摇臂等均采用了变截面梁。如果梁每个截面上的最大弯曲正应力都等于材料的许用应力，这种梁称为等强度梁。显然，这种梁的材料消耗最少，重量最轻，是最合理的，但实际上，由于加工制造等因素，一般只能近似做到等强度梁的要求。第七章应力和应变分析强度理论§7.1应力状态概述画出图中各点的应力状态主平面：切应力为零的面。主应力：主平面上正应力。应力状态的分类：1.单向应力状态：只有一个主应力不为零的应力状态；2.二向应力状态：有两个主应力不为零的应力状态；3.三向应力状态：有三个主应力不为零的应力状态。§7.2二向和三向应力状态的实例锅炉或其他圆筒形容器，滚珠轴承，海底的石头等。§7.3二向应力状态分析----解析法将以上两式分别对求导数，并令其等于零得当时当时例1、求图示单元体的主应力。解：由公式得1=8.284MPa3=-48.284MPa2=0例2、已知图示单元体的MPa，MPa，MPa，试求出其主应力，并确定主平面的方位（要求在单元体上表示出来）。解：由公式得1=105MPa3=-65MPa2=0再由公式得σx所在平面位置逆时针转即到σ1所在主平面的位置分析一下拉伸、压缩以及扭转破坏断口形状问题。§7.4二向应力状态分析----图解法将以上两式消去得用图解法解例1和例2§7.5三向应力状态例3．试求图示应力状态的主应力及最大剪应力（应力单位为MPa）。解：MPa，MPa，MPaMPa是主应力MPaMPa，MPa，MPaMPa§7.8广义胡克定律（广义郑玄-Hooke定律）§7.9复杂应力状态的应变能密度如应力应变关系是线性的，则单向应力状态下的变形比能为三向应力状态下的比能为将胡克定理代入后得（1）变形比能为（2）将平均应力和平均应变代入得（3）将式（1）、（3）代入（2）得（4）§7.10强度理论概述§7.11四种常用强度理论1.最大拉应力理论2.最大伸长线应变理论3.最大剪应力理论4.畸变能密度理论（形状改变比能理论）§7.12莫尔强度理论§7.13构件含裂纹时的断裂准则应力强度因子为出现裂纹失稳扩展的条件为第八章组合变形§8.1组合变形和叠加原理同时发生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。例如：小型压力机框架的立柱部分，同时发生着拉伸和弯曲两种基本变形，常称为拉弯组合变形。机床上的齿轮轴同时发生扭转和弯曲两种基本变形，常称为弯扭组合变形。解决组合变形杆件的强度问题，通常是对杆件上的载荷作静力等效处理：作等效分解，或是作等效平移。在材料服从虎克定律和处于小变形的条件下，应用叠加法确定杆件的危险点或任意点的应力情况，其应力值根据相应的基本变形应力公式得出，然后将应力叠加，再采用合适的强度理论，进行强度计算。§8.2拉伸或压缩与弯曲的组合如图矩形截面杆，长为l，一端固定，一端自由，作用于自由端的集中力F位于杆的纵向对称面Oxy内，并与杆的轴线x成一夹角φ。将F力沿x轴和y轴方向分解，得到两个分力：Fx=FcosφFy=Fsinφ显然，Fx只引起杆的轴向拉伸变形，Fy为横向力只引起杆件在纵向对称平面内发生平面弯曲。此杆件为拉伸与弯曲的组合。拉伸时杆件横截面上的正应力均匀分布，其值为σl=Fx/A弯曲时，杆件距A端为x处截面上的弯矩为M(x)=Fy(l-x)此时横截面上的弯曲应力为σW=M(x)y/IzσW沿截面高度方向的变化规律如图。对于长杆，弯曲剪应力一般略去不计，在x截面上任意点的总正应力可由叠加法得出σ=σl+σW=Fx/A+M(x)y/Iz总应力σ沿截面高度方向的变化规律如图示。由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于σl和σW均为拉应力，故总应力为两者之和，由此得最大拉应力为σlmax=FN/A+Mmax/Wz在上边缘，由于σ1为拉应力，而σw为压应力，故总应力为两者之差，由此得最大压应力得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件：σlmax=FN/A+Mmax/Wz≤〔σl〕σymax=FN/A-Mmax/Wz≤〔σy〕式中〔σl〕和〔σy〕分别材料拉伸和压缩时的许用应力。一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料，如铸铁和混凝土等，需用以上两式分别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料，如低碳钢，则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。例1、简易起重架由矩形截面梁AB（其中h/b=2）和拉杆BC组成，F=25kN，梁长l=2.6m，拉杆与横梁的夹角=30°，AB梁材料的许用应力〔〕=120MPa。试设计AB梁截面的尺寸。解(1)外力计算取横梁AB为研究对象，当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件得，(2)设计AB梁截面的尺寸在梁中点截面上的弯矩最大，梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。最大弯曲应力为Wmax=Mmax/Wz轴力产生的压应力为y=FN/A于是即（*）考虑得mm取mm，则mm代入（*）式得MPa+MPa=MPa例2、悬臂吊车如图，横梁用25a号工字钢制成（工字钢的截面积和抗弯截面模量分别为：A=48.5cm2，Wz=402cm3），梁长l=4m，斜杆与横梁的夹角=30°，F=24kN，梁材料的许用应力〔〕=100MPa。试校核梁的强度。解(1)外力计算取横梁AB为研究对象，当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件得FBy=12kN，FBx=20.8kN又由平衡条件ΣFx＝0和ΣFy＝0得FAx＝20.8kN，FAy＝12kN(2)内力和应力计算在梁中点截面上的弯矩最大，其值为Mmax=Fl/4=24000N·m所以最大弯曲应力为Wmax=Mmax/Wz=60MPa危险截面上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。轴力产生压应力为y=FN/A=-4.3MPa(3)强度校核数值最大的正应力发生在跨度中央截面的上边缘，是压应力｜｜max=｜y-Wmax｜=64.3MPa＜〔〕悬臂吊车的横梁是安全的。例3、一倾斜矩形截面梁AB如图，在其中点C处作用有铅垂力F=25kN，试求梁AB中的最大拉应力和最大压应力。解：（1）受力分析力F可分解为和，梁发生弯曲和压缩的组合变形。最大弯矩发生在C截面AC段轴力为（2）应力计算例4已知：图示结构中，AB和BC段都是圆截面杆，mm，直径相同，m，q=2.5kN/m，许用应力〔〕=120MPa。要求：（1）画AB和BC段的轴力图和弯矩图；（2）判断危险面和危险点的位置；（3）校核结构的强度。解：（1）画出AB和BC段的图、图如图；（2）危险面在A截面和B截面处，危险点在A截面的最上边一点和B截面的最下边一点；（3）校核结构的强度。轴力产生的拉应力为1.27MPa弯矩产生的应力为101.9MPaMPa强度足够五、已知：图示结构中，AB和BC段都是圆截面杆，mm，直径相同，m，q=2.5kN/m，许用应力〔〕=120MPa。要求：（1）画AB和BC段的轴力图和弯矩图；（2）判断危险面和危险点的位置；（3）校核结构的强度。解：（1）画出AB和BC段的图、图如图；（2）危险面在AB段中的任意横截面，危险点在AB段中的任意横截面的最下边一点；（3）校核结构的强度。轴力产生的拉应力为1.27MPa弯矩产生的应力为101.9MPaMPa强度足够§8.4扭转与弯曲的组合第三强度理论和第四强度理论都适合于塑性材料的强度计算，利用第三强度理论设计的构件相对来说偏于安全；利用第四强度理论设计的构件相对来说偏于经济。例5、图示为一曲柄轴，位于竖直平面内，AB段直径d=30mm，许用应力为[σ]=100MPa。在D点受垂直于竖直面的水平由外向里的力F的作用。试根据AB段的强度按第三强度理论确定许可载荷F的值。解：AB段发生弯、扭组合变形由公式得许可载荷F值为414N例6、圆杆受轴力F和力偶M作用，已知圆杆直径为d=10mm，材料为钢材，许用应力为[σ]=120MPa，力偶M=F·d/10。试求许可载荷F的值。解：圆杆发生拉伸和扭转的组合变形，，得得第九章压杆稳定§9.1压杆稳定的概念从强度的观点出发的。即认为只要满足压缩强度条件，就可以保证压杆的正常工作。这样考虑，对于短粗的压杆来说是正确的。但对于细长的压杆，就不适用了。例如，一根宽3cm，厚0.5cm的矩形截面松木杆，对其施加轴向压力。若材料的抗压强度σb=40MPa，由实验可知，当杆长为3cm时，将杆压坏所需压力为F=σb·A=40×106×0.005×0.03=6000N但如杆长为100cm，则不到30N的压力，杆就会突然产生显著的弯曲变形而失去工作能力。这是由于细长压杆的稳定性较差而造成的。稳定性：杆件保持其原有平衡状态的能力。失稳：细长压杆不能维持原有直线平衡状态的现象称为丧失稳定。由此可见，横截面和材料相同的压杆，由于杆长不同，其抵抗轴向外力的能力发生根本的改变：短粗的压杆是强度问题；而细长的压杆则是稳定性的问题。上例表明，细长压杆的承载能力远低于短粗压杆，所以，研究压杆的稳定性是非常重要的。在工程实际中，有许多受压的构件是需要考虑其稳定性的。例如，内燃机气门阀的梃杆千斤顶的螺杆桁架结构中的受压构件如果这些构件过于细长，在轴向压力较大时，就有可能丧失稳定而破坏。而且，这种破坏是突然发生的，往往会给工程结构或机械带来极大的损害。§9.2两端铰支细长压杆的临界压力欧拉公式：当＜时，平衡是稳定的；当≥时，平衡是不稳定的。§9.3其他支座条件下细长压杆的临界压力欧拉公式：式中：E—压杆材料的弹性模量；I—压杆横截面对中性轴的惯性矩；l—压杆的长度μ—长度系数μl为相当于两端铰支压杆的长度，称为相当长度。几种常见的杆端理想约束情况下压杆的长度系数列于表中。在工作实际中，压杆的杆端约束情况很难与理想约束情况相符，这就需要根据实际情况，按照临界压力偏于安全的原则来估选长度系数。例1大柔度圆截面压杆AB，两端铰支，直径d=160mm，长l=5m。材料为Q235钢，MPa，弹性模量E=200GPa。试求该压杆的临界压力。解：临界力为kN屈服压力为kN例2一圆截面压杆AB，两端铰支，直径d=160mm，长l=2.5m。材料为Q235钢，MPa，弹性模量E=200GPa，系数a=304MPa，b=1.12MPa，，。试求该压杆的临界压力。解：惯性半径为mm柔度为临界应力为MPa临界力为kN例3大柔度压杆AB，支承情况各方向均相同，材料的弹性模量E=200GPa。试求该压杆的临界应力值。解：惯性半径为柔度为临界应力为例4图示压杆两端铰支，长度=1200mm，横截面积A=900mm2，为正方形截面，材料为A3钢，E=200GPa。试求其临界压力值。解：横截面积的边长为a=30mm惯性半径为柔度为临界应力为临界压力为例5图示压杆两端为圆柱铰销支承，材料为A3钢，E=200GPa。杆长=2000mm，横截面为矩形，b×h=40×65mm2,规定的稳定安全系数nst=2.5，压杆的大柔度限值λ1=100，已知压杆在xy平面内首先失稳。试求压杆的稳定许用压力值。解：惯性半径为柔度为临界压力为于是，压杆的稳定许用压力值为例6图示托架各杆均以圆柱形铰链联接和支承，BC杆直径d=40mm，材料为A3钢，压杆的大柔度限值λ1=100，λ2=60。试判定压杆BC的类型和该杆临界应力的计算公式。解惯性半径为柔度为属于中长杆，用经验公式计算临界应力，即例7图示压杆分别有两种横截面形状，它们的材料相同、横截面面积均为A=3.6×103mm2。试计算出这两钟情况的柔度，并比较其稳定性。解：（1）对矩形bh=Ab=40.5mmi=11.7mmλ=128（2）对圆形πd2/4=Ad=67.7mmi=16.9mmλ=88.8（2）比（1）好对正方形：i=17.32mmλ=86.6§9.4欧拉公式的适用范围经验公式临界应力和柔度：临界应力与强度问题中的应力具有相同的形式和单位，但其物理意义有所不同，临界应力的物理意义与临界压力相同，都是压杆稳定性的判断依据。设I=i2A式中，i称为惯性半径，是表示截面尺寸和形状的一个几何量，具长度量钢。λ=μl/i称为压杆的柔度(长细比)，可以综合地反映杆长、支承情况及杆的截面尺寸和形状等结构因素对临界力的影响。λ愈大，临界应力愈小，杆件的稳定性愈差，而且，压杆也总是在柔度大的弯曲平面内失稳。即设则当时使用欧拉公式经验公式：设则当＜＜时使用经验公式，当时按强度计算§9.5压杆的稳定校核§9.6提高压杆稳定性的措施，，，，1.选择合理的截面形状2.改善压杆的约束条件3.合理选择材料第十章动载荷§10.1概述静载荷：由零缓慢增加到某一定值以后保持不变或变动很小的载荷。静应力：静载荷引起的应力。动载荷：若构件各点具有加速度，或载荷明显地随时间而改变。动应力：动载荷引起的应力。§10.2动静法的应用一、构件做匀变速直线运