人教版（2024）七年级上册数学期末复习：压轴题九大攻略（含练习题及答案）

人教版（2024新版）七年级上册数学期末复习：压轴题九大攻略

攻略01绝对值的三种化简方法

绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴

化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本攻略就这两块难点详细做出分析。

【知识点梳理】

1.绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，.汜作Ia|

2.绝对值的意义

①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0；

②儿何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距

离越近，绝对值越小。

（。>0）

3.绝对值的化简:

（。=0）

（«<0）

类型一、利用数轴化简绝对值

例1.有理数db、c在数轴上位置如图，则dT〃+q+性的值为（）.

-bc6a~^

A.2aB.2ei+2b-2cC.0D.-2c

例2.有埋数。在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式回+比山-住用的值是（）

ab-\a+b

a~ori_>

A.-1B.1C.3D.-3

【变式讥练1】已知，数a、b、c的大小关系如图所示：化简|，+c|-|0-a|-2|a-c|+3|〃-c|=—.

【变式讥练2】有理数a、b、。在数轴上的位置如图.

____।_______।।____________।_

a0bc

（1）判断正负，用“>”或填空：“C0,a+b0,-a+c0.

（2）化简：|b—c|+|a+〃|+|-a+c|

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【变式训练3】有理数。，〃在数轴上的对应点如图所示：

(1)填空：b-a0；b-\0；。+10；(填“<”、"A”或“=”)

(2)化简：|Z?—-1|+|«+1|

■■ill〉

b-10a1

【变式讥练4】有理数a、b、。在数轴上的位置如图：

I11

a0bc

⑴用或“V-0,b0,c-b0,ab0.

⑵化简：|a|+b^c\-\c-a\.

类型二、利用几何意义化简绝对值

例L同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之

间的距离.试探索

(1)求|5-(-2)|=；

(2)同样道理|代1008]二|六1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则产；

(3)类似的|肝5|+|『2表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数

力使得|户5|+|『2|=7,这样的整数是.

(4)由以上探索猜想对于任何有理数才，|『3|*|『6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.

【变式讥练1】阅读下面的材料：

点力、3在数轴上分别表示实数石、b,4、6两点之间的距离表示为|16|,当月、夕两点中有一点在原点时，不妨

设点力在原点，如图1,I月例=I即|=I01=I；当尔“两点都不在原点时：

O(/Q?Q壮？BAO

0b0abba0b0a

图1图2图3图4

①如图2,点力、6都在原点的右边：

|月〃|二|Oli\-\"|=|b\-\a\=b-a=\a-b\；

②如图3,点力、8都在原点的左边：

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I481=10B\-\OAI=\Z?|-|a|=~b-(-a)=Ia~b\；

③如图4,点月、6在原点的两边：

I科I=I如I+I必I=IaI+I6I+(-6)=\ci~b\,

综上，数轴上力、8两点之间的距离|二I年。I.

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______,数轴上

表示1和-3的两点之间的距离是___________；

(2)数轴上表示x和T的两点力和8之间的距离是,如果\AB\=2,那么x为.

(3)当代数式|户1|+|六2|取最小值时，相应的工的取值范围是.

【变式讥练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

〜1111111111A

-4-3-2-101234567

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示-3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上

表示数R和数〃的两点之间的距离可以表示为|勿・〃|.那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为,

表示数y与-1两点之间的距离可以表示为.

(2)如果表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么a=；若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求

a+41+1a-2的值：

(3)当》=时，|>5|+|a-l|+|a-4|的值最小，最小值是.

【变式讥练3](问题提出)+++…+|a-2021|的最小值是多少？

(阅读理解)为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.的几何意义是。这个数在数轴上对应的点到原点

的距离，那么可以看作”这个数在数轴上对应的点到1的距离；1|+|。-2|就可以看作。这个数在数轴上对

应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究1|+卜-2|的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

AA.AAAAA111.111.

-2-1a01234-2-101fl234

图①图②

__।-------1--------1---------1,i------1..

-2-10123a4

图③

(1)如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

(2)如图②，。在1,2之间(包括在1,2上)，看出〃到1和2的距离之和等于1.

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（3）如图③，。在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当

在1,2之间（包括在1,2±）时，有最小值1.

（问题解决）

（1）,-4|+,-7］的几何意义是,请你结合数轴探究：卜-4|+卜-7|的最小值是

（2）请你结合图④探究|。-1|+|。-2|+|0-3|的最小值是,由此可以得出〃为.

-2-101234

图④

（3）|aT|+,-2|+|4-3|+|。_4|+卜_5|的最小值为.

（4）<-1|+|。-2|+|吁3|+…+|a-2021|的最小值为.

（拓展应用）如图，已知。使到-1,2的距离之和小于4,请直接写出。的取值范围是.

.5-4-3-2-10!~2345

图⑤

类型三、分类讨论法化简绝对值

例1.化简：,-2|卡+1|小-4|.

a2ab3ahc

【变式讥练1］若a+b+c<O,a尻>0,则词+两+p^［的值为.

【变式讥练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a,b均不为零，求工=回+"的值.

ab

请补充以下解答过程（直接填空）

①当两个字母a,b中有2个正，。个负时，x=；②当两个字母a,b中有1个正，1个负时，x=

③当两个字母a,b中有0个正，2个负时，x二：综上，当a,b均不为零，求x的值为.

（2）请仿照解答过程完成下列问题：

①若a,b,c均不为零，求x=@+g—W的值.

abc

b+ca+ca+b

②若a,b,c均不为零，且a+b+c=O,直接写出代数式「可+甘的值•

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攻略02数轴上的三种动点问题

数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那

么，本攻略对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。

【知识点梳理】

1.数轴上两点间的距离

数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b,则A与B间的距离AB二忆一b|：

2.数轴上点移动规律

数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移劭数变小（减小）;

当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a-

b.

类型一、求值（速度、时间、距离）

例1.如图在数轴上力点表示数a,B点表示数b,a,匕满足,+2|+|〃-6|=0：

—A―卞----------1>

（1）点A表示的数为;点5表示的数为；

（2）若点力与点。之间的距离表示为〃；点6与点。之间的距离表示为8。，请在数轴上找一点G使力0=28。，则。

点表示的数:

（3）若在原点。处放一挡板，一小球用从点力处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点8处以2个

单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设

运动的时间为t（秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离（用1表示）.

例2.如图，数轴上两个动点力，”起始位置所表示的数分别为-8,4,A,ZT两点各自以一定的速度在数轴上运动,

已知力点的运动速度为2个单位/秒.

AB

_j-------1-----1--->

-804

（1）若48两点同时出发相向而行，上好在原点处相遇，请直接写出8点的运动速度.

（2）若从8两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？

（3）若48两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，。点从原点出发作同方向的运动，

如果在运动过程中，始终有CA=2CB,求。点的运动速度.

【变式讥练1】如图，将一条数轴在原点。和点8处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点力表示T0,点8表

示10,点。表示18,我们称点4和点。在数轴上相距28个长度单位.动点只。同时出发，点P从点/1出发，以2

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单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点。运动到点8期间速度变为原来的一半，之后立刻恢夏原速;

动点。从点6•出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点笈运动到点。期间速度变为原来的两倍，之

后也立刻恢复原速.设运动的时间为£秒.问：

(1)动点尸从点力运动至点r需要多少时间？

(2)求户、。两点相遇时，£的值和相遇点”所对应的数.

【变式讥练2】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点3表示的数为4,48=8,BC=2.

ABC

---•----------•----•~~A

(1)点A表示的数是_____，点。表示的数是______.

(2)动点Q分别从A、C同时出发，点尸以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点。以每秒1个单

位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为/(/>0)秒.

①用含，的代数式表示：点P表示的数为，点。表示是数为一;

②当L1时，点P、Q之间的距离为；

③当点。在Cf8上运动时，用含，的代数式表示点尸、。之间的距离；

④当点o、。到点C的距离相等时，直接写出/的值.

【变式讥练3】如图，点力、4为数轴上的点(点力在数轴的正半轴)，AA=8,A为/!«的中点，且点N表示的数为

2.

BNA

--------------------------------------------------------->

0

(1)点4表示的数为,点6表示的数为；

(2)点”为数轴上一动点，点C是力"的中点，若。仞=1,求点〃表示的数，并画出点材的位置；

(3)点尸从点N出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点。从点8出发，以每秒1个单位长度的

速度沿数轴向左匀速运动，若点、P、〃同时出发，设运动时间为/(，>0)秒.在运动过程中，点只。之间的距离为3

时，求运动时间E的值.

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类型二、定值问题

例1.已知：a是单项式r/的系数，。是最小的正整数，。是多项式2，〃一石4一m—2的次数.请回答下列问题：

(1)请直接写出a、b、c的值.a=,b=,c=.

(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为/I、B、C,点小B、，同时开始在数轴上运动，若点力以每秒1个单

位长度的速度向左运动，同时，点8和点。分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟

过后，若点8与点C之间的距离表示为84点力与点8之间的距离表示为AB,点力与点。之间的距离表示为AC.

①，秒钟过后，4c的长度为(用含£的关系式表示)；

②请问：册/历的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.

【变式讥练1】如图，已知数轴上点/表示的数为12,4是数轴上一点.且八区=20.动点夕从点/出发，以每秒5

个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为"/＞。)秒.

BOA

-------1--------11------＞

0---------12

(1)写出数轴上点8表示的数—，点〃表示的数—(用含1的代数式表示)；

(2)动点0从点”出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点只。同时出发，问点尸运动多少秒

时追上点0；

⑶若M为/尸的中点，”为阳的中点，点4在运动的过程中,线段施，的长度是否发生变化？若变化，请说明理由;

若不变，请你画出图形，并求出线段助V的长.

【变式讥练2】如图，已知数轴上点1表示的数为9,是数轴负方向上一点，且A3=15.动点〃从点力出发，以每

秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为々＞0)秒.

BOA

------------------1---------1

09

(1)数轴上点笈表示的数为，点尸表示的数为；(用含，的代数式表示)

(2)动点。从点6出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、亿。同时出发，问-为何值时，点

夕追上点篦此时P点表示的数是多少？

(3)若点"是线段的中点，点*是线段的中点.点〃在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变

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化，请说明理由；若不变化，请求出MN的长度;

【变式讥练3】点儿8在数轴上对应的数分别为mb,且/6满足|〃+1|+自-3『=。.

______II14_______।।________LJ__________1.

-JOBAOBNP

(1)如图1,求线段力?的长；

(2)若点C在数轴上对应的数为必且x是方程2x+l=gx-2的根，在数轴上是否存在点尸使尸A+尸8=8C,若存

在，求出点户对应的数，若不存在，说明理由；

(3)如图2,点〃在4点右侧，切的中点为比川为外靠近于〃点的四等分点，当少在〃的右侧运动时，有两个结

论：①QM-2BN的值不变；②PM-(AN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该

值.

类型三、点之间的位置关系问题

例1.如图，已知在数轴上有力，4两点，点/表示的数为8,点8在/I点的左边，且/W=12.若有一动点尸从数

轴上点力出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点。从点8出发，以每秒2个单位长度的速度

沿着数轴向右匀速运动.设点尸的运动时间为E秒.

>

BA

(D解决问题：

①当”1时，写出数轴上点反〃所表示的数；

②若点P,。分别从力，8两点同时出发，问点〃运动多少秒与点。相距3个单位长度？

(2)探索问题：若必为力。的中点，A『为/苏的中点.当点P在儿/，两点之间运动时，探索线段MV与线段图的数量

关系(写出过程).

例2.如图，在数轴上1点表示的数为a,A点表示的数为儿。点表示的数为。是最大的负整数，且a,。满足|济3|+

(c-9)2=0.点夕从点6出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点月后立刻返回到点G到达点C后再返

回到点力并停止.

ABC

(l)a=,b=

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（2）点户从点少离开后，在点P第二次到达点8的过程中，经过x秒钟，为+陟尸。=13,求x的值.

（3）点尸从点8出发的同时，数轴上的动点加八,分别从点力和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位

长度和每秒5个单位长度，假设，秒钟时，人必、”三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满

足条件的1的值.

【变式讥练1】如图，已知尔B、。是数轴上三点，点。为原点，点。表示的数为6,BC=4,AB=\2.

」£」£》

AOBC

（1）写出数轴上点48表示的数；

（2）动点八。分别从力、。同时出发，沿数轴向右匀速运动.点P的速度是每秒6个单位长度，点0的速度是每秒3

个单位长度，点"为月尸的中点，点『V在线段。。上，且◎匕;。。设运动时间为£（，>0）秒.

①求数轴上点风川表示的数（用含£的式子表示）；

②当收员N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求£的值.

【变式讥练2］已知，如图1：数轴上有力、B、。三点，点月表示的数为一5,点8表示的数为13,点C表示的数

为一2,将一条长为9个单位长度的线段朗V放在该数轴上（点加在点N的左边）.

CNB

-5-2*13

图1

-5-213

图2

___<"??N?

-5-113

阳3

（D求线段/右中点表示的数；

⑵如图2：若从点V与点力重合开始，将线段」郊以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过X秒后，点N

恰为线段a'的中点，求才的值；

⑶如图3：在（2）的基础上，若线段J邠向右移动的同时，动点〃从点心开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数

轴向右移动，设移动的时间为七秒，当只从8三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求£的值.

【变式讥练3】已知4B、。为数轴上三点，若点。到月的距离是点。到8的距离的2倍，我们就称点「是（A8）的

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优点.

例如：如图1,月,6为数轴上两点，点力表示的数为一1,点少表示的数为2,表示数1的点C到点力的距离是2,

到点6的距离是1,那么点。是（AB）的优点；表示数0的点〃到点。的距离是1,到点8的距离是2,那么点D是

（及C）的优点.

ADCBAB

1111,________I________1W1111>

-3-2-10123-3-2-101234

图1图2

AP—BAP+B

----------1——4

-20040-20040

图3备用图

⑴在图1中，点。是（A3）的优点，也是（4）的优点;点〃是（丛C）的优点，也是（8,）

的优点；

⑵如图2,A,8为数轴上两点，点月所表示的数为一2,点〃所表示的数为4.设数”所表示的点是（A8）的优点，

求x的值；

（3）如图3,4〃为数轴两点，点,4所表的数为一20,点〃所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁尸从点〃出发，以

5个单位每秒的速度向左运动，到达点力停止，设点尸的运动时间为1秒，在点尸运动过程中，是否存在只力和8

中恰有•个点为其余两点的优点？如果存在请求出s的值；如果不存在，说明理由.

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攻略03代数式化简求值的四种考法

类型一、整体代入求值

例1.若，〃一〃=2,那么9一2〃1+2〃=

例2.已知f-3x+1=0，贝ij3/一9\+5=

例3.当x=l时，多项式加+限3+4的值为5,则当x=-1时,该多项式的值为（)

A.—5B.5C.-3D.3

【变式训练1】已知工-），=3,则7-21+2），的值为

【变式训练2】若/〃一〃=I,mn=2,则0〃-2)(〃+2)=

【变式训练3］若a-3b=3,则3+明一（2。一力）的值为（)

A-4B-IC.3D.

【变式训练4】已知小•比2M,那么%+3：〃+=（）

a-an+b

A.6B.7C.9D.10

类型二、特殊值法代入求值

例1.设（X-1）'=0f+力/+。X+”,则a-匕+C-4的值为（)

A.2B.8C.-2D.

【变式训练1】已知（X-1）*>=^。+&/5+4认'+a/'+如小+团广加,将>=（）代入这个等式中可以求出刖=1.用这种方法

可以求得诙+&+&/+&+&+4的值为（）

A.-16B.16C.-1D.1

642aa

[变式训练2】若(2x-1/=a6x++qx++a2x+a]x+《),则出+%+\~o

【变式训练3】特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终

答案的一种方法.例如：已知：+%=6x,贝！

(1)取x=O时，直接可以得到小=。；

取x=l时,可以得至11。4+々3+02+4+4）=6；

(3)取x=T时，可以得到七-％+/Y；

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(4)把(2),(3)的结论相加，就可以得到24+2/+2%=0,结合⑴%=0的结论,从而得出生+出=0.

请类比上例，解决下面的问题：已知。6。-1)6+45*-1)5+%。-1)"+小。一1)3+生。一4+4*-1)+40=4大.求:

⑴%的值；

(2)%+。5+%+%+/+%+%的值；

(3)%+%+%的值.

类型三、降嘉思想求值

例.若f-2x+3=0,则2/-7/+121+2020=:

【变式训练1】若实数4满足V-2x-1=(),贝ij2/-7/+4x-2016=

【变式训练2】如果2/-3X+3的值为5,则6/-9X-5的值为.

【变式训练3】已知V-3x=2,那么多项式炉-Y'-8x+9的值是.

【变式训练4】已知f_1_1=0,贝IJ—丁+2尤2+2021的值是______.

类型四、含绝对值的代数式求值

例1.若同=19州=97,且……则G-力的值是—

例2.已知国=5,|乂=4,且，则4＞儿则2”-y的值为()

A.6B.±6C.14D.6或14

【变式训练1】已知同=33=25,且々+方＜0,则力的值为()

A.2或-8B.-2或8C.2或8D.-2或-8

【变式训练2】已知|x-l|+(y+2)2=0,a与支互为倒数,c与d互为相反数,求(x+»-(-岫尸+3c+3d的值.

【变式训练3】已知|。+2|=4,@7)2=4,且帚＜0,则〃+〃=

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攻略04整式中加减无关型的三种考法

类型一、不含某一项

例.已知关于X的整式力、B,其中力=4/+(/〃-1)x+1,6=〃小+2户1.若当月+28中不含X的二次项和一次项时,

求研〃的值.

【变式训练1】若多项式f一口炉+3/+公+工3一21一5不含丁和丫项，则。+8的值为_______.

【变式训练2】若多项式2x3-8x2+x-l与多项式3x3+2mx?-5x-3相减后不含二次项，则m的值为______.

【变式训练3】.先化简再求值：

(1)2(c/一。b)—3('!/—，其中。=一2,匕=3.

(2)已知整式2/十公一),十6与整式2饭2—3%+5)，-1的差不含x和人2项，试求出0+6的值.

【变式训练4】若要使多项式3f—(5+x-2f)+m一化简后不含才的二次项，则勿等于(

A.1B.-1C.5D.5

类型二、与某一项的取值无关

例1.已知4=/-以一1,4=2/-办_1,且多项式的值与字母x取值无关，求a的值.

【变式训练1】已知代数式3-v2-6LV+j+6-bx2-3x+5.y-l的值与x的取值无关，则ab=

【变式训练2】定义：若x-)=〃?，则称x与y是关于勿的相关数.

(1)若£与a是关于2的相关数，则。=_____.

(2)若月与4是关于勿的相关数，A=3mn-5m+n+6,"的值与加无关，求”的值.

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【变式训练3】（1）化简求值（。2+2。〃一2尸）一2（3。2+〃2"），其中。=2/=6.

（2）已知4=/+/丫,8=2左：2—21+3,若多项式44+8的值与字母工的取值无关，求。力的值.

【变式训练4】定义：若A-4=/〃，则称A与K是关于”的关联数.例如：若4-5=2,则称A与0是关于2的关

联数；

⑴若3与〃是关于2a的关联数，则〃=.

⑵若（"-if与1+1是关于-2的关联数，求X的值.

（3）若M与N是关于机的关联数，M=2mn-n+3,N的值与，”无关，求N的值.

类型三、问题探究

例1.有这样一道题：计算一2（12+6.9—3）+3（/+4町，-1）的值•其中x=丁=一5小明把y=-5抄成

y=5.但他的计算结果却是正确的，你能说出其中的原因吗？请你求出正确结果.

【变式训练1］李老师写出了一个整式套沙六2-（5/+3x）,其中a,3为常数，且表示为系数，然后让同学赋予a,

/，不同的数值进行计算.

（1）甲同学给出了折6,A2,请按照甲同学给出的数值化简整式：

（2）乙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x的取值无关，请求出乙同学给出的a,6的值.

【变式训练2】有这样一道题：“当4=2017,〃=—2018时，求多项式8/-5a%+3a%+4/+5a%-3a%-12〃3+2020

值.”小明认为：本题中〃=2017,8=2018是多余的条件.小强反对说：“这不可能，多项式中含有。和力，不给

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出。、分的值，就不能求出多项式的值.”你同意谁的观点？请说明理由.

【变式训练3】有这样一道题“当。=2,〃=-3时，求多项

crtf~—ab+b2-{4a2b3,——ab-b2)++—ab)-5

244

的值”，小马虎做题时把。=2错抄成。=-2,但他做出的结果却是正确的，你知道这是怎么回事吗？请说明理

由，

并求出结果.

【变式训练4】已知A=2a2HMe，小红错将“2A-B”看成了“24+3”,算得结果为5片方+4如c.

⑴求3：⑵小军跟小红说：“24-8的大小与。取值无关”，小军的说法对吗？为什么？

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攻略05整式中的两种规律探索问题

类型一、数字类规律探索

例.观察：(x-l)(n-1)=7-1,(x-1)(y+A^l)=/-1,(x-1)(/+/+户1)=/-1,据此规律，当

(x-1)(/+/+/+/+^+1)=0时，代数式/1的值为.

【变式训练l】a是小为1的有理数，我们把」一称为a的差倒数，如2的差倒数为1-=-1,一1的差倒数为二"二=4

\-a1-21一(一1)2

已知4=5,出是力差倒数，%是为差倒数，%是。3差倒数，以此类推……，/021的值是()

14

A.5B.一一C.一D.

435

【变式训练2】有2021个数排成•行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如臭第•个数是0,

第二个数是1,那么前6个数的和是,这2021个数的和是.

【变式训练3】有一列数-…，那么第〃个数为.

乙乙OI

【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按

照前面的规律，则(〃+〃)’的展开式中从左起第三项为_____.

(a+Z?)=a+b

11(a+Z?)2=a2+2ab+b2

121w

..(a+b)=+3a2b+3ab2+

14641(f7+/?)4=a4+4ayb+6a2h2+W+b4

15101051

类型二、图形类规律探索

例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有个交点，〃条直

线相交最多有个交点.

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【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的,依照此规律排列下去，第____个图形共有45个小球.

㊁

㊁©©©©©

㊁㊁㊁㊁◎㊁◎㊁㊁◎

第1个图第2个图第3个图第4个图

【变式训练2】为庆祝“六・一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:

①②③

按照上面的规律，摆第〃个“金鱼”和第(〃+1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则〃的值为一

【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地

板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推,

第10层中含有正三角形个数为一个，第〃层含有正三角形个数为一个.

【变式训练4】观察下列图形:

★

*★

*★

★★★

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

★★*★

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

它们是按一定规律排列的,依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第个图形.

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攻略06一元一次方程特殊解的四种考法

类型一、整数解问题

例.已知关于X的方程X-V竺=]-1有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（）

A.-11B.-26C.-281）.-30

【变式训练1】关于x的一元一次方程（左-1）x=4的解是整数，则符合条件的所有整数★的值的和是（）

A.0B.4C.6D.10

2x_k2x+k

【变式训练2】从Y,-2,-b1,2,4中选一个数作为攵的值，使得关于X的方程1-------=--------久的解

43

为整数，则所有满足条件的％的值的积为（）

A.-32B.-16C.32D.64

【变式训练3】若整数〃使关于x的一元一次方程土詈-2-3有非E整数解，则符合条件的所有整数〃之和为

（）

A.-6B.-3C.0D.3

【变式训练4]已知关于*的方程x-卓巴=号竺的解是非正整数，则符合条件的所有整数m的和是（）

A.-8B.-2C.2D.4

类型二、含绝对值型

例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解.例如：解方程x+2|x|=3,

解：当xNO时，方程可化为：x+2x=3,解得x=l,符合题意；

当x<0时，方程可化为：x-2x=3,解得x=—3,符合题意.

所以，原方程的解为JV=1或工=一3.

请根据上述解法，完成以下两个问题：

（1）解方程：x+2|x-l|=3；

（2）试说明关于x的方程|x+31+1x-11=。解的情况.

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4

【变式训练1】若|x+3|+《|x—5|=12,则工二

【变式训练2】已知关于x的方程T=3+Z的解满足冈=3,则符合条件的所有攵的值的和为

乙

9_5r

【变式训练3】已知方程21=k一3|—9的解是负数，则不币值是（）

A.-2B.-4C.-3I）.-9

【变式训练4】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解.

例如：解方程X+2|R=3

解：当xNO时，方程可化为：x+2x=3

3x=3

x=l,符合题意

当“<0时，方程可化为：x-2x=3

-x=3

工=-3,符合题意

所以原方程的解为：x=l或A=-3

仿照上面解法，解方程：x+3|x-l|=7

类型三、相同解的问题

例.若关于1的方程%/7=2的解与方程x+l=〃?的解相同，求加的值.

【变式训练1］若关于*的方程3x-6=2x+。的解与方程4x+3=7的解相同，则石的值为

ni+3x

【变式训练2】若关于工的方程一=--x=2的解与方程x+l=，〃的解相同，则加的值为一

2

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【变式训练3】如果关于x的方程亭与三一=2|〃?kx的解相同，那么m的值是（）

632

A.1B.±1C.2D.±2

类型四、解的情况

例.已知关于x的方程（〃?+3），巾2+6〃=0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程翼火-1=土产的

解相同.

（1）求卬，。的值;

（2）在（1）的条件下，若关于y的方程广〃=研】-2〃无解，求a的值.

【变式训练1】若关于x的方程一2（x-〃）=at+3无解，则干______.

【变式训练2］解关于x的方程："a-1=tix

【变式训练