人教版高中数学精讲精练选择性必修三82 一元线性回归模型及应用（原卷版）

8.2一元线性回归模型及应用

知识呈现

一元线性回归模型及其应用

——元线性回归模型

-模型—F=bx+"e,

（E（e）=O,D（e）=a2

Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量

a称为截距参数

李用「b称为斜率参数

J西葭—e是Y与bx+a之间的随机误差

‘Ie=0,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述

最小二乘法

一定义—尚=独+。称为F关于”的经验回归方程，膏经验回归函数或经验回归公式

L苫"Xn-y）第5一"*亍

b--I

—4么式TC-----石N“下郎N一〃小

AA

L=y.

残差

定对于晌应变量匕通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归

」

方程得到的》♦称为预测值，观测值减去预测值称为残差.

残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画

分

」-数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工

作称为残差分析

残差图法

在残差囱中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带

状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系

模残差平方和法：残差平方和之（y「万越小，模型的拟合效果越好

型

」

刻

画用法

可以用用来比较两个模型的拟合效果，出越大，模型拟合效果越好,

S（yi-y）2

用越小，模型拟合效果越差.R2=I--^........—

E（yi-y）2

1-1

例题剖析

一元线性回归模型及应用

考法——元线性回归模型考法四经验回归模型的选择

考法二残差的计算考法五非线性回归方程

考法三回归效果的刻画方式

考法——元线性回归模型

【例1-T】（2024•四川绵阳）已如变量x,），之间的线性回归方程为5=2x11,且变量-，之间的一组相关

数据如表所示，

X2468

y58.213m

则下列说法正确的是（）

A.ni—17

B.变量y与x是负相关关系

C.该回归直线必过点（5,11）

D.x增加1个单位，），一定增加2个单位

【例1-2］（2024湖南长沙）党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居

民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构

不断优化，随着居民息收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升.卜表为某市2014~2022年

全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图1）,发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相

关关系.

年份201420152016201720182019202020212022

全体居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666

全年居民可人均支配收入

400001----------------------------------------

35000------------------------------------————

30000---------------------------——1------------------------------

25000----------------------------------------------

20000——；----------------------------------------

15000----------------------------------------------

10000----------------------------------------------

5000----------------------------------------------

ol----------------------------------------

20132014201520162017201820192020202120222023

图1

参考数据：之另=24.03,之x/=133.39.

1=11=1

参考公式：对于一组数据（％,匕卜仇，岭）一・，（4匕），其回归直线方程£=加+&的斜率和截距的最小二乘估

计分别为-----------、&=节-而.

f=l

⑴设年份编号为工（2014年的编号为1,2015年的编号为2,依此类推），记全体居民人均可支配收入为y（单

位：万元），求经验回归方程$=八+6（结果精确到0.01）；

⑵为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014-2022中任取2年的数据进行分析,

将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

【例1-3］（2023河南南阳）在线性回归方程），=，+尿中，〃为回归系数，下列关于力的说法中不正确的是

（）

A.人为回归直线的斜率

B.方>0,表示随■o曾加，）'值增加，8<o,表示随％增加，y值减少

C.〃是唯一确定的值

D.|可归系数〃的统计意义是当X每增加（或减少）一个单位，y平均改变力个单位

【一隅三反】

1.（2023青海海南）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当

年所需要支出的维修费用.V（单位：万元）有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57

根据表中的数据可得到线性回归方程为5，=L23x+d则该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要

支出的维修费用估计为（）

A.12.9万元B.12.36万元

C.13.1万元D.12.38万元

2.（2024•甘肃陇南）（多选）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间M单位：

年）与当年所需要支出的维修费用武单位：万元）有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57

根据表中的数据可得到经验回归方程为.则（

1y=L23x+2）

A.a=0.08

8.y与x的样本相关系数厂》。

C.表中维修费用的第60百分位数为6

D.该型机床已投入生产的时旬为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

3.（2024・陕西）某村在推进乡村振兴的过程中，把做活乡村产业作为强村富民的重要抓手，因地制宜推进

茶叶种植，成立了茶叶合作社.为了对茶叶在销售旺季进行合理定价，合作社进行了市场调研，得到了销

售旺季时销量y（吨）关于售价％（元/公斤）的散点图.

⑴求y关于工的线性回归方程；

⑵该合作社2023年茶叶总产量为150吨，如果在销售旺季时售价为250元/公斤，在销售旺季没能售出的,

年底以每公斤100元的价格卖绐批发商，则该合作社2023年的总销售额为多少万元？

公式及参考数据：〉关于X的线性回归方程为§，=启+。，其中A=J-------------------,&=》-加；元=250,

£（若-才

f=1

66

y=110,^（x,.-x）（x-y）=-5600,^（^.-^=7000,

1=1i=l

考法二残差的计算

【例2】（2024•云南大理）己知某种商品的广告费支出二（单位：万元）与销售额》（单位：万元）之间有

如下表对应数据：

X13457

y1520304045

根据表中数据得到）'关于x的经验回归方程为亍=5.51+方，则当％=7时，残差为.（残差=观测值-

预测值）

【一隅三反】

1.（2023黑龙江双鸭山）色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度）'和色差x之间

满足线性相关关系，且y=0.8x-1.8,现有一对测量数据为（30,22.8）,则该数据的残差为（）

A.0.6B.0.4C.-0.4D.-（）.6

2.（2023•河南）已知一组样本数据（仆用，（巧,几），，（工，”），根据这组数据的散点图分析x与）'之间的

线性相关关系，若求得其线性回归方程为9=-30.4+135r,则在样本点（9,53）处的残差为（）

A.38.1B.22.6C.-38.1D.91.1

3.（2024•云南楚雄）对具有线性相关关系的变量乂），有-一组观测数据（毛方）（i=l,2,…,10）,其经验回归方

程为9=一32什力，且［=10，亍=8,则相应于点（1057）的残差为.

考法三回归效果的刻画方式

【例3-1］（2024吉林长春）（多选）对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第•组

和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和则（）

A.若4＞4,则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强

B.若厂＞4,则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强

C.若S：＜S）则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好

D.若必＜8,则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好

【例3・2】（2024黑龙江哈尔滨）如图，5个（x,y）数据，去掉。（3,10）后，下列说法正确的是（）

片・E（10,12）

•0（3,10）

•C（4,5）

•8（2,4）

•♦（1,3）

Ox

A.样本相关系数/•变小

B.残差平方和变大

C.决定系数R?变大

D.解释变量x与响应变量），的相关性变弱

【一隅三反】

1.（2024河北邢台）中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建

立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据（外，¥）,经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种

模型的残差平方和斗卜,7）的直分别是1.23、0.80.0.12.1.36,则拟合效果最好的模型是（）

A.模型①B,模型②C.模型③D.模型④

2.（2023四川成都）收集一只棉铃虫的产卵数了与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同

的曲线来拟合》与x之间的回归方程，并算出了对应的决定系数W如卜表：

拟合曲线直线指数曲线抛物线二次曲线

_Q0,27784

y与x的回归方程_y=19.8x-463.7yV—&y=0.367?.202y=0.78)2-1

R20.7460.9960.9020.002

则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）

,,O.27X-3.84

A.y=19.8A:-463.7B•y=e

2

C.)，=0.367f-202D.y=A/(x-0.78)-l

3.（2023•江苏徐州）（多选）某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉。（3,10）后，下

列说法正确的是（）

£(10,12)

•0(3/0)

C(4,5)

•B(2,4)

)(1,3)

Ox

A.相关系数,•变小

B.决定系数R?变大

C.残差平方和变大

D.解释变量X与预报变量y的相关性变强

4.（2024重庆•开学考试）（多选）为研究女儿身高y与母亲身高X的关系，现经过随机抽样获得成对样本数

据（4,丹）,（孙/卜…，（％然），下列说法正确的是（）

A.落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好

B.样本相关系数年|越大，变最XN线性相关程度越强

C.决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好

D.决定系数叱越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

考法四经验回归模型的选择

【例4・1】（2023河南信阳•期末）如图是两个变量的散点图，了关于工的回归方程可能是（）

以下四个函数模型（小〃为待定系数）中，最能反映），与X的函数系的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=a+log^,xD.y=a+-

x

【一隅三反】

1.（2023河南）已知关于变量x，F有相关关系，由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则该组观测

数据中）'关于上的回归方程可能是（）

B.y=ev-0.5

D.y=x^-x+0.5

2.（2023福建福州）某个国家某种病毒传播的中期感染人数y和天数x的散点图如图所示，下列最适宜作

为感染人数y和天数x的经验回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+be'

C.y=a+b\nxD.y=a+b\[x

考法五非线性回归方程

【例5-1］（2023•四川遂宁）某池堀中水生植物的覆盖水塘面枳x（单位：dnf）与水生植物的株数），（单位：

株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型），=ceRc>0）去拟合x与），的关系，设z=ln），，”与z的数

据知表格所示：

X3467

Z22.54.57

得到x与z的线性回归方程江1.2X+》，则。=.

【例5-2］（2024江西•期中）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年

奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署.某贫困地区

的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作•经过多年的精心帮扶，2020年8月，为估计该地能否

在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2。20年1至7月的人均月纯收入，作出散点

图如下.观察散点图，发现其家庭人均月纯收入）'（元）与时间代码x之间不具有线性相关关系（记2020年1月

、2月…分别为x=l,x=2,依此类推），现考虑用对数函数模型a+和指数函数模型），=小小分

别对两个变最的关系进行拟合.

（1）根据散点图判断，y=4+）lnx与），=cW'（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作为家庭人均月纯收入

）'关于时间代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及参考数据，求）'关于x的回归方程.

参考数据：

yV

%=igyf1.54253550.123.47

其中匕=怆另，丫=亍£匕.

/;=1

参考公式：对于一组数据（知巧），（町，岭），…，（孙，匕），其回归直线；=4+例的斜率和截距的最小二乘估

.

^i^v.-nuv

计公式分别为△二号-----Z7，4=1成.

Z-I

【一隅三反】

1.（2023・全国・模拟预测）以函数模型），=8"（00）去拟合一组数据（怎，/），（才2，切，“。6，”），设2=1”,

2%=12,24=48,则c的值为.

/=!r=1

2.（2024山东•开学考试）某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023

年人才引进的数量）'（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（”表示年份代码，年份代

码1-6分别代表2018-2023年）.

y（万人）

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

~5234567~x

⑴根据散点图判断），二川2+。与了=©，小（“"0*"/均为常数）哪一个适合作为》关于大的回归方程类型；（给

出结论即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于X的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量；

⑶从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X,求X的分布列和数学期望.

参考数据：

之（再-初另-方火（K-初叱-访）

yw

1=1r=l

5.151.5517.520.953.85

其中记二叱，％=ln>>c244a11.47,c2r2.68.

0J=I

参考公式：对于一组数据仇,匕）,（〃2,匕），…，（〃”，匕），其回归直线八a+仪，的斜率和截距的最小二乘估计分

£（《一项一）

别为：方=『-----------，&』肉.

Z（一『

3.（2024浙江宁波）某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下:

月份X123456

净利润）'（万元）510265096195

根据以上数据，绘制了散点图.

200・

150

100.

50­

I■2..A

0123456x

⑴根据散点图判断，），=ce"与），=。+尿（ab,c,d均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述了与x关

系的回归方程类型？（给出判断艮］可，不必说明理由）

⑵根据（1）的判断结果求出）'关于x的回归方程；

⑶已知该企业的产品合格率为90%,现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能

是多少？

参考数据：

-而『

Xy（0之（“可2Z（Xj—元）（多-5）

1-1t=lf-l1=1

3.5063.673.4917.509.4912.95519.01

其中口=/〃）,.

参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程§，=八+G的系数公式为,

2"（门）（凶-田

力;上V―

Z（F7）a=y-bx.

/=1

强化练习

一.单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知x与之间的一组数据：

则y与5的线性回归方程5，=九十。必过定点（）

A.（0.5,3）B.（1.5,4）

C.（1,2）D.（2,4）

2.（2024安徽）下表数据为2017〜2021年我国生鲜零售市场规模（单位：万亿元），根据表中数据可求得

市场规模）'关于年份代码x的线性回归方程为），=0.34x+a，则（）

年份20172018201920202021

年份代码X12345

市场规模）’4.24.44.75.15.6

A.1.01B.3.68C.3.78D.4.7

3.（2024江西上饶）根据如下样本数据，得到回归直线方程。=法+自，则（）

X345678

y-3.0-2.00.5-0.52.54.0

A.«>0>b>0B.«>0>b<0

C.«<0,b>0D.«<0»h<0

4.（2024辽宁）下列有关回归分析的说法正确的是（

A.样本相关系数，•越大，则两变量的相关性就越强.

回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.

回归直线方程不一定过样本中心点（元5）.

D.回归分析中，样本相关系数，VO,则两变量是负相关关系.

5.（2023•江苏苏州）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率

y＜%）与复工时间％（x的取值为5,10,15,20,25,30天）狗回归关系：模型（1）严）=〃+灰，模型

（2）＞2=才+":设两模型的决定系数依次为用和后.若两模型的残差图分别如下，则（）

模型（1）的残差图模型⑵的残差图

.2

残3残1

差0差0

%%

-1

2

51015202530-51015202530

A.B.R；=R；

C.R；＞R：D.R；、心关系不能确定

6.（2024河南）两个变量了与十的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，其中拟合效果最好的模型是

（）

A.模型1的决定系数&2=0.05B.模型2的决定系数齐=0.49

C.模型3的决定系数六=0.89D.模型4的决定系数店=0.98

7.（2024天津）下列说法中正确的个数为（）个

①互斥事件一定是对立事件.

⑦在回归直线方程》=0.*+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量》增加0.1个单位：

③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1:

④在回归分析模型中，若相关指数内越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好.

A.IB.2C.3D.4

8.（2024•浙江）假设变量x与变豉y的〃对观测数据为（小凶卜仁，％），…"4工），两个变量满足一元线性

\Y=bx+e,〃、2

回归模型\，、八/\Z•要利用成对样本数据求参数人的最小二乘估计占，即求使Q（b）=Z（）L/叫

[E（e）=0,/）（e）=b占

取最小值时的人的值，则（）

2内

A.\吟—B.人=今—

E-;Ez2

/=|1-1

cb=.1=1D.b=-j=^------------

博小枢-T•序2）2

二.多选题

9.（2024河南）已知变量X/之间的经验回归方程为y=~|x+。，且变量X，），的数据如下表所示:

X5681214

y108651

则下列说法正确的是（）

A.变量X，〉之间负相关B.a=\3

C.当x=3时，可估计y的值为11D.当x=8时，残差为-1

10（2023•江苏）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次

数）与气温y（单位：0）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x

的经验回归方程），=0.25x+k，则下列说法正确的是（）

X（单位：次数/分钟）2030405060

y（单位：0）2527.52932.536

A.A的值是20

B.变量X,y呈正相关关系

C.若x的值增加1,则y的值约增加0.25

D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.50

11.（2023重庆沙坪坝♦阶段练习）两个具有相关关系的变量X,y的一组数据为（为，％）,（孙必）…&"，”），

求得样本中心点为（工可，回归直线方程为£=良+G,决定系数为R?;若将数据调整为（X，y+1），

（孙％+1），…，（%”+］），求得新的样本中心点为（丁，打，回归直线方程为炉=良r+力，决定系数为H，则

以下说法正确的有（）

£（著-可（凹-方__z（z-x）2

附力二^-----------,a=y-bx,-------------

£（内-»£（）o2

/=1r=l

A.y=y,B.b=b

C.a<aD.R2<Rt2

12（2023•广东湛江）某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10

人的身高和体重，数据如下表所示:

编号12345678910

身高/cm165168170172173174175177179182

体重/kg55896165677075757880

由最小二乘法计算得到经验回归直线4的方程为），="了+访，相关系数为决定系数为耳；经过残差分析

确定（168,89）为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩M的9组数据计算得到经验回归直线6的方

程为y=+相关系数为决定系数为则以下结论中正确的有（）

A人

A.a\>aiB.bi>岳

C.D.R：>R；

三.填空题

13.（2024全国•模拟预测）根据二表中的数据得到线性回归方程为），==U+a，则可以预测，当x=l2时,

）'的值为.

A456789

y908483807568

14.（2023全国•专题练习）x和），的散点图如图所示，在相关关系中，若用）=qe8拟合时的决定系数为用,

用户=/；x+G拟合时的决定系数为用，则耳，肉中较大的是.

九

3000-

2500-*

2000■•

1500-•

1000■••

500-••.

1」」」」」

o12345678910X

15.（2024内蒙古）下列四个命题中为真命题的是.（写出所有真命题的序号）

①若随机变量4服从二项分布小4,口，则其方差0（。）=:；

②若随机变量X服从正态分布N（3,〃），>P（X<4）=0.64,则尸（2<X<3）=0.14；

③已知一组数据百,私再,…，百。的方差是3则2%+1,2%+1,2与+1,…,2%+1的方差是6；

④对具有线性相关关系的变量乂儿其线性回归方程为5，=（）・3xr〃，若样本点的中心为（〃八1.4）,则实数加

的值是—2.

16.（2023•陕西西安）数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量工和），进行了统计分析，得到了下表：

X4681012

ya2bc6

并由表中数据求得y关于k的回归方程为），=0.65..1.8,若a，b,c成等差数列，则〃=.

四.解答题

17.（2024青海）某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额加（单位：十万元）与纯利润〃（单

位：万元）的关系式为〃=1.7m-0.5,投资新型项目4的投资额工（单位：十万元）与纯利润，（单位：万

（1）求丁关丁*的线性回归方程;

（2）若该企业有一笔资金Q（万元）用于投资A3两个项目中的一个，为了收益最大化，应如何设计投资

方案？

^^y.-nxy

附：回归直线»=八+G的斜率和栈距的最小二乘估计分别为，；=号------a=l-bi.

18.（2024福建）某市政府为调查集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入情况，随机抽取/6个摊户进行分析,

得到样本数据a，»）（i=l,2,…,6）,其中七和分别表示第i个摊户和该摊户年收入（单位：万元），如下

123456

%567798

⑴请用相关系数「判断该组数据中）'与x之间线性相关关系的强弱（若相关性较强：若

1^[0.40,0.85）,相关性一般；若/■目-0.25,0.4],相关性较弱）；

（2）求了关于*的线性回归方程；

⑶若该集贸蔬菜市场个体承包摊户有300个，根据题设估计该集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入总值.

之m）（y-刃

参考公式：相关系数厂=下旦------；----------对于一组具有线性相关关系的数据a，yj（i=12

启（•…）冬切-寸

其回归直线亍=八+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为〃=上一-----------，a=y-bx,77x2.65.

XU--J）2

/=1

19.（2024江苏）某公司为了解年研发资金投入量大（单位：亿元）对年销售额V（单位：亿元）的影响.

对公司近12年的年研发资金投入量七和年销售额升的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①

&②$,=/用，其中八P，，均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.

令％=片，匕=加为,（/=1,2,3…12）,经计算得如下数据:

£(—)2

X(x--y)2

XyuV

J=lr=1

22667724605

拓）（势-方

之(—)2EU-X)(P,-V)

|«|J=l/=11=1

312502203.0814

⑴请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

⑵根据（1）的分析及表中数据，求），关于1的回归方程.

附：（1）相关系数-=下=----------------（2）线性回归方程亍=2+俞中8的计算公式分别为:

V/=1/=1

八）（）',一刃

方=J------；—=R---------，a=y-bx.

♦（再-工）/

r=l；=1

20.（2023•新疆哈密•期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试

验，得到的数据如表：

（七一工）（凹一刃七升一，江歹

EX.A

,a=y-bx.,

Z（w-x）2gx；-欣2

O123456x

⑴在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

⑵求出y关于1的线性回归方程R辰+3

⑶预测加工10个零件需要多少小时？

21.（2024重庆）研究表明，学生的学习成绩），（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性

相关性.某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9