人教版高中数学选修三专题38 成对数据的统计分析（单元测试卷）【解析版】 提升训练

《2020—2021人教版高中数学新教材（选择性必修）配套提升训练》

专题38《成对数据的统计分析》单元测试卷

一、单选题

1.（2020.甘肃省会宁县第二中学期中（文））某商品俏售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回

归方程可能是（）

A.>'=-10x4-200B.y=10x+200

C.y=-10x-200D.y=10.v-20Ci

【答案】A

【解析】

因为商品销售量X与销售价格夕负相关，所以排除B，D选项，

将上=0代入$，=-10工-200可得$=-200<0,不符合实际.故A正确.

点睛：线性回归方程$，=九+右当时负相关；当右〉0时乂》正相关.

2.（2020.福建湖里•厦门双十中学高二期中）在一组样本数据（牛（与，当），…，⑷，”）（几・2,

/，々，…Z不全相等）的散点图中，若所有样本点（玉，y）（，=1,2,…，〃）都在直线），二一；工+2上,

则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.-1B.0C.--D.1

3

【答案】A

【解析】

因为回归直线方程是y=-gx+2,

所以这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，

又所有样本点（内，X）（i=l,2,…，〃）都在直线上，

所以卜|=1,

所以相关系数/•=—1.

故选：A.

3.（2020•福建湖里•厦门双十中学高二期中）已知四个命题：

①在回归分析中，A?可以用来刻画回归效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好；

②在独立性检验中，随机变量K?的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；

③在回归方程y=0.2x+12中，当解释变量工每增加1个单位时，预报变量），平均增加1个单位；

④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1;

其中真命题是：

A.①④B.②④C.①@D.②③

【答案】C

【解析】

对于①，在回归分析中，R2可以用来刻画回归效果，R2的值越大，模型的拟合效果越好，正确；对于②;

在独立性检验中，随机变量K2的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大，正确；对于③，在回归

方程S，=0.2x+12中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量£平均增加0.2个单位，错误；对于④,

两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,错误；故选C.

4.（2020•河南南阳•期末（理））利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机

调查200名高中生是否爱好某项运动,利用2x2列联表，由计算可得K=7.245,参照下表:得到的正确结

论是（）

RK,滔）0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】B

【解析】

由K2H7.245>6.635，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B

5.（2020・四川邻水实验学校开学考试（理））在一次独立性检监中得到如下列联表:

A1A2总计

B,2008001000

B2180a180+a

总计380800+a1180+a

若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是（）

A.200B.720

C.100D.180

【答案】B

【解析】

(11X01720)X(2UOX72O-IHUXHOO)

当a=720时,=0,易知此时两个分类变量没有关系.

：18OX(H(M)I72n)X(1MH720)XKXK)

故答案为B

6.（2020•赣州市赣县第三中学月考（文））某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性

检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测值攵=6.023,根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增

减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过（）

尸6次）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.0.005B.0.025C.0.05D.0.1

【答案】B

【解析】

•・•1=6.023,6.023>5.024,

・•・市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过0.025,

故选：B.

7.（2020.福建期末）红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃口的产卵数和温度有关.现收集了7组观侧数

据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据

残差图，拟合效果最好的模型是（）

必‘荒差_________100产...............................

.......50........................................T……•……•……♦•

50.……»-

0----------------------•--------；；W_-■7^18号~501---------•----；----$----4-----------S.----------6----------J--号

-5012……

……又……...........................................................................-100......................................................................................................------

-100.........................................

捏S!二限差图

方差-...................-......................-…--I。。产

............................................................................S0.......................................................................----

一;...；...；&9什怎-501______工___之:-...；___■&___禺___，_…?>号

.too

模型三的分差图.......................................................根外四的由差图

A.模型一B.模型二C.模型三D.模型四

【答案】D

【解析】

当成差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，

这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，

对比4个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

故选：D.

8.（2020•辽宁期末）相关变量乂V的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据

图中所有数据，得到线性回归方程y=+相关系数为4；方案二：剔除点（10,21）,根据剩下数据得

到线性回归直线方程：y=b2x+a2,相关系数为弓.则（）

106,

•91

01-------------------------------------1-

51015

A.0<q<乃<1

B.0<z;</;<1

C.-1</；</；<0

D.-1</；<^<0

【答案】D

【解析】

由散点图得负相关，所以4，3<0,因为剔除点（10,21）后，剩下点数据更具有线性相关性，"更接近1，

所以一1<弓<4<0.选D.

二、多选题

9.（2020•山东省招远第一中学高二月考）某课外兴趣小组通过随机调查，利用2x2残联表和K?统计量研

究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得K?=6.748,经查阅临界值表知P（K>>6.635）=0.010,则下列

判断正确的是（）

A.每100个数学成绩优秀的人当中就会有1名是女生

B.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010

C.有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”

【答案】CD

【解析】

因为长2=6.74826.635,所以有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”即在犯错误的概率不超过

1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.

故选：CD

10.（2020•南京市秦淮中学开学考试）为了对变量工与y的线性相关性进行检验，由样本点（王,》）、（£,%）、

•一、（Mo，y0）求得两个变量的样本相关系数为人那么下面说法中错误的有（）

A.若所有样本点都在直线），二-2工+1上，则/•=1

B.若所有样本点都在直线），=-21+1上，则r=一2

C.若卜|越大，则变量无与）'的线性相关性越强

D.若卜|越小，则变量工与丁的线性相关性越强

【答案】ABD

【解析】

若所有样本点都在直线丁=-21+1上，且直线斜率为负数，则r=T,A、B选项均错误；

若卜|越大，则变量工与》的线性相关性越强，C选项正确，D选项错误.

故选：ABD.

11.（2020•广东梅州•高二期末）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作

4

了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的不，女生喜欢抖音的人数

占女生人数］,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人

附表:

P(K2Nk)0.100().05()0.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-bc)2

附：K2=

(〃+/?)(c+d)(〃+c)S+d)

A.25B.35C.45D.60

【答案】CD

【解析】

设男生可能有x人，依题意得女生有x人，可得2x2列联表如下:

喜欢抖音不喜欢抖音总计

41

男生—X—XX

55

32

女生-X—XX

55

73

合计—X—X2x

55

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K?＞3.841，

lx-

2

即＜二=—x>3.841解得40.335,

7321

-X-X'XX

55

由题意知了＞0,且x是5的整数倍―，所以45和60都满足题意.

故选：CD.

12.（2020・广东南海•期末）某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对

应数据如下表所示：

广告支出费用X2.22.64.05.35.9

销售量y3.85.47.011.6122

根据表中的数据可得回归直线方程y=2.27x+a，R2«0.96，以下说法正确的是（）

A.第三个样本点对应的残差.=_]

B.在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中

C.销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的

D.用该回归方程可以比较准确地预测广告费用为20万元时的销售量

【答案】AC

【解析】

由题意得]二2.2+2.6+4.0+5.3+5.93.8+5.4+7.0+11.6+12.2

=4,)'==8,将之代入回归方程

了=2.271+。中得8=2.27x4+。’得〃=一1.08,故回归直线方程为），=2.27%—1.08，所以

%=7_（2.27x4_1.08）=_「A正确；

由于我2。0.96,所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平

的带状区域中，B错误；

在线性回归模型中R2表示解释变量对于预报变量的贡献率.，/?22（）.96,则销售量的多少有96%是由广告支

出费用引起的，C正确；

由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用20万元远大于表格中广告费用值，故用该回

归方程不能准确地预测广告费用为20万元时的销售量，故。错误.

故选：AC.

三、填空题

13.（2020・吉林高二期末（文））某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻

译工作，在如表“性别与会外语”的2x2列联表中，a+b+d=.

会外语不会外语总计

男ab20

女6（1

总计1850

【答案】44

【解析】

6/4-6=18

由题意有：＜〃+〃=20

a+/?+d+6=5（）

所以。=12,b=8,d=24,〃+b+c/=12+8+24=44.

故答案为：44.

14.（2020・湖南期末）某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调杳，随机抽取国内国外

潜在用户代表各100名，调杳用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，

（填“有”或“没有”）99.5%以卜的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.

n^ad-bc\

（参考公式与数据:其中

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

代表代表

〃=a+〃+c+d)

尸（片次）0.050.010.0050.001

女03.8416.6357.87910.828

【答案】有

【解析】

依题意，可得出如下2x2列联表:

国内代表国外代表合计

不乐观4060100

乐观6040100

合计100100200

、200X（402-602）

K-=--------------L=8>7,879，

1004

所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.

故答案为：有.

15.（2019・湖北期中（理））由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是）,=0.85%一85.7（其

中I,y的单位分别是cm,kg）,则此方程在样本（170,61）处残差的绝对值是.

【答案】2.2

【解析】

由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是y=0.85x-85.7，

当工=170时，y=（）.85x170-85.7=58.8：

此方程在样本（170,61）处残差的绝对值：|58.8-61|=22

故答案为：2.2.

16.（2017•北京石景山•高三一模（文））在环境保护部公布的2016年74城市PM2.5月均浓度排名情况中，

某14座城市在74城的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为某三座城市.

2月份名次第1季度名次

40

甲

•乙

02040601月份名次020401月份名次

从排名情况看,

①在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城巾是_________；

②在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是_________.

【答案】乙二月份

【解析】

结合题设中提供的散点图可知：城市乙更靠近回归直线，答案应填乙；结合第二个散点图可以看出丙城市

的名次更靠近二月份，答案应填二月份.

四、解答题

17.（2020•沙坪坝•重庆一中高三其他（文））截止2020年5月15□,新冠肺炎全球确诊数已经超过440万,

新冠肺炎是一个传染性很强的疾病，其病毒在潜伏期以内就具备了传染性.湖北省某医疗研究机构收集了

1（X）0名患者的病毒潜伏期的信息，将数据统计如下表所示：

潜伏期0-2天24天4-6天6-8天8-10天10-12天12-14天

人数40160300360606020

（1）求1000名患者潜伏期的平均数］（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”：潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.为研

究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准分为两类进行分层抽样，从上述1000名患者

中拄取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为潜伏期

长短与患者年龄有关.

短潜伏者长潜伏者合计

60岁及以上100

60岁以下140

合计300

附表及公式:

尸（犬之石）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K2_____n(ad-bc)~______

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）6；（2）填表见解析；有99.9%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关

【解析】

(1)

工=+坨+5,剪Mx出+9，9+1以里+加3

1(XX)1(X)()1()(X)1(X)()1(X)()1(X)()1()(X)

40+480+1500+2520+540+660+2606000

10001000

（2）抽取的短潜伏者的总人数为300x40+160+300-jo,长潜伏者的总人数为300—150=150.

1（X）0

列联表如下:

短潜伏者长潜伏者合计

60夕及以上10060160

60岁以下5090140

合计150150300

300x(100x90-50x60)2

K2=—«21.429>10.828.

150x150x140x1607

故有99.9%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关.

18.（2020•甘肃省会宁县第二中学期中（文））2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为

了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析,

分别得到如图所示的两个频率分布直方图.

女性观众男性观众

（1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分;

（2）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于7（）分定为“满意”.

（/）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明埋由；

"）完成下列2x2列联表，并叵答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.

女性观众男性观众合计

“满意”

“不满意”

合计

n(ad-bc)2

参考数据:K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）女性观众评分的中位数为75,男性观众评分的平均数为73.5（2）（/）男性观众不满意的概

率大，详见解析（2填表见解析；有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关

【解析】

（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为工，

10x0.01+10x0.02+(x-70)x0.04=0.5,

:.x=75.

男性观众评分的平均数为55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73.5.

(2)(i)男性观众不满意的概率大，

记C,］表示事件：“女性观众不满意”；表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得尸(。八)的估计值为

(0.01+0.02)x10=0.3,

P(Q)的估计值为(0.015+().025)xl()=0.4,

所以男性观众不满意的概率大.

(ii)列联表如下图：

女性观众男性观众合计

“满意”140180320

“不满意”60120180

合计200300500

所以K」。啜即落黑

故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关.

19.(2019•扶风县法门高中月考(文))下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x

(吨)与相应的生产能耗)'(吨标准煤)的几组对照数据

X3456

y2.53.545

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出)'关于x的线性回归方程？=

(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤.试杈据(】)求出的线性I可归方程，预测生产

吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

【答案】(1)y=0.8x+0.15(2)9.85

【解析】

(1)由系数公式可知,

5=4.5,y=3.75,

£7,5*14+20+30-4x4,5x3.7571.5-67.54

・9+16+25+36-4x4.5-■-86-81-5*°AO

6=3.75-0.8x4.5=0.15

所以y关于x的线性回归方程为y=O.8x+0.15.

（2）当x=IOO时，

J=08x100-015=8015,9080.15=9.85,

所以技术改造后预测生产100吨甲产品的生产能耗80.15吨标准煤，比技术改造前降低9.85吨标准煤.

20.（2020.江苏广陵・扬州中学开学考试）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本

组成.每批产品的非原料总成本）'（元）与生产该产品的数量X（千件）有关，经统计得到如下数据：

X।234567

y611213466101196

根据以上数据，绘制如图所示的散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型y=〃+和指数函数模型y=

分别对两个变量的关系进行拟合.

（1）根据散点图判断，y=a+〃nx与），=。”厂（。，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成

本）‘关于生产该产品的数量x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立V关于工的叵归方程；

（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千

件产品.

参考数据：

ix^

yV10°54

i=l1

62.141.54253550.123.47

I”

其中匕=lgy,，v=-^v,.

/1=1

参考公式：对于一组数据（看,匕），（的,匕），…，（，*匕），其回归直线e=a+加的斜率和截距的最小二

Zw-?丽

乘估计公式分别为6=得----------，a=v-fiu.

2—2

i=l

【答案】（1）y=c・d”适宜；⑵y=3.47x10°^；（3）12千件产品.

【解析】

（1）根据散点图判断，y=c-d'适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型.

（2）由），=cM*,两边同时取常用对数得lgy=lg（c、Mx）=lgc+xlgd.

设lgy=y,/.v=lgc+xlgJ,

7

VX=4,V=1.54,^A;2=140.

i=l

7_

Z孙-7m

50.12-7x4x1.547

・・・收=与--------—=0.25

12

fx；一7M140-7x428

i=i

把(41.54)代入口=怆°+不怆〃,得lgc=0.54,

v=0.54+0.25x,/.lgy=0.54+0.25x,

o54+o25r

Z.y=1O-=3.47x10025、,

即『关于x的回归方程为9=3.47x1（）°*x.

（3）设生产/x千件该产品.则生产总成本为g（x）=3.47xlOl,25v+xx10x1000.

乂g（x）=3.47X1OO25A+1000（比在其定义域内单调递增,且g[12）=3.47xlO3+120000=123470,

故最多能生产12千件产品.

21.（2020.四川武侯•成都七中高三开学考试（理））某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格

产品的质量y（g）与尺寸Nmm）之间近似满足关系式y=（b,c为大于。的常数）.按照某指标测定，

当产品质吊:与尺寸的比在区间（0.302,0.388）内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸x(mm)384858687888

质量y（g）16.818.820.722.42425.5

质量与尺寸的比上

0.4420.3920.3570.3290.3080.290

X

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件.求选中的2件均为优等品的概率:

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如卜表：

6

lnx(lnx2

^(lnxf-lnx)Z(JZJ

i=i1=11=11=1

75.324.618.3101.4

根据所给统计量，求），关于x的回归方程.

附：对于样本（匕，/）（i=l,2,,6）,其回归直线〃的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

-n

.Z（匕一9）（《一万）2?必一〃西

B~n=,&=II-加，ex2.7183•

£（斗一刃2邙”行2

（=1/=|

【答案】（1）（2）5，="°'.

【解析】

（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比2£（（）.302,（）.388）,

x

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为凡4c,

有3件为非优等品,记为d,e,f.

现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：

（。,垃（a,c）,（。,d）,（a,e）（aJ）,（瓦c）,S,d）,（b,e）,（bJ）,（c,d）

(c,e),(c,/),(d,e),(d,f),(e,f),

选中的两件均为优等品的事件为（〃力）,（。,。）,（七。），

31

所以所求概率为.

（2）对y=两边取自然对数得lny=lnc+Z?lnx

令七二lnXj,%=lny,则〃=。3+〃，月.a=lnc

由所给统计量及最小二乘估计公式有:

-6〃口

75.3-24.6x18.3+6_0.27_1

3T-----1-0-1-.4-24.62+60342

[18.3--x24.6j

a=u-bv=---------------------=1

6

由&=In1得£=e,

所以）'关于4的回归方程为y=ex05.

22.（2020•梅河口市第五中学其他（理））2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”,国各地房价“跳水”严重，

但某地二手房交易去「逆市”而行.如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价

（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1~13分别对应2018年U月~2019年II月）

1.04-

当月在售二手L02-■・•••••・

房均价＞i.oo.••

0.98-•*

0.96-

0.941___।___।___।___।____।____।____।___।_________।___।___।____L_

12345678910111213

月份代码x

根据散点图选择），=a+〃4和y=。+"Inx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为

y=0.9369+0.0285&和），=0.9554+0.0306Inx，并得到以下一些统计量的值:

)=0.9369+0.02856>=0.9554+0.0306Inx

[…)2

0.0005910.000164

MT'