2026届四川省字节精准教育联盟高三下学期期中数学试题含答案

一、单选题A2．复数z满足(z+1).i=1-2i（i为虚数单位则z的共轭复数的虚部是()A．-3B．-3iC．1D．i3．已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为()λ=()5．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在C上，MF=3，则点M到直线x=-3的距离为()6．已知随机变量X的分布列为P(X=i)=i=1,2,3,4)，则7．函数f(x)=cos4x，xA．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数8．已知g(x)是R上的奇函数，当x<0时，g=-ln，函数f>0，若f则实数x的取值范围是()二、多选题9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：μg/m3）.如下表：1234567预测误差xi-4-210-133下列关于这7天预测误差xi的描述中，正确的有()A．这组数据的众数是3B．这组数据的60%分位数是0.5C．这组数据的方差大于5D．若第8天该模型预测误差为-2，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小10．已知函数x3+x2-ax-3，则A．当a=-8时，f(x)有3个零点B．当a<1时，f(x)有两个极值C．当a≥-1时，f(x)在R上单调递减f(x)图象对称中心的横坐标不变11．已知曲线+y4=1,P为C上一点，O为坐标原点，则()A．C关于x轴对称B．C关于y轴对称D．OP的最大值为2三、填空题12．在数列中，a1=2，an=an+1，其前n项和为Sn，则S5＝______13．直线x-y+4=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C、D两点，14．在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为的最大值为四、解答题15．已知数列{an}的首项a1=3，前n项和为Sn，且满足Sn+3=an+1+n.(1)求证：数列{an-1}为等比数列；(2)若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望.沿BC翻折至△PBC，使得二面角P-BC-D为直二面角.(1)证明：PB丄平面PCD；(2)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径；(3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.18．已知函数f(x)=alnx-(x-1)ex，其中a∈R.(1)若a≤0，求f(x)的单调区间；（i）证明：f(x)在区间(1,+∞)内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，且x1>1，证明：x0+2lnx0>x1.19．已知双曲线左右焦点分别为F1,F2，且iF1F2i=4，P(2,3)在M上，O为坐标原点.(1)求M的方程；(2)设直线l与M右支交于A,B两点，且直线PA,PB倾斜角互补，记AB中点为Q.（i）判断直线OQ斜率是否为定值，请说明理由；（ii）若F2不在l上，记上F2AB=αsinα-sinβ的最大值.参考答案【详解】设圆锥的体高为h，母线长为l，底面半径r=3，r2故选：A.解得λ=1.【详解】抛物线C:y2=4x，其准线方程为：x=—1，因为MF=3，且点M在C上，由抛物线定义可知，点M到直线x=—1的距离为3，因为x=3与x=1平行，且距离为2，所以点M到直线x=3的距离为5.故选：C【详解】依题意，分布列概率之和为=1，解得a=10.即，所以P故选：A.【详解】由周期公式可得f(x)=cos4x的最小正周期是，又f(-x)=cos(-4x)=cos4x=f(x)，是偶函数.故选：C【详解】函数y=ln(1-x)在(-∞,0)上单调递减，则函数g(x)=-ln(1-x)在(-∞,0)上单调递增，而g(x)是R上的奇函数，则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，因此函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当x≤0时，f(x)=x3在(-∞,0)上单调递增，此时f(x)≤f(0)=0，综上，函数f(x)在R上单调递增，由f(2-x2)>f(x)，得2-x2>x，解得-2<x<1，所以实数x的取值范围是(-2,1).【详解】将数据从小到大排序得：-4，-2，-1，0，1，3，3.对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；对于B，7×60%=4.2，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；对于D，原平均数为0，新数据-2小于0，加入后平均数变为=-0.25<0，确实变小，故D正确.对于A，当a=-8时，fx3+x2+8x-3，则f,=-x2+2x+8=-所以当x<-2或x>4时，f,(x)<0，当-2<x<4时，f,(x)>0，所以f(x)在(-∞,-2)和(4,+∞)上单调递减，在(-2,4)上单调递增，又+4-16-3=-<0，f>0，所以f有3个零点，故A正确；对于B，由f,(x)=-x2+2x-a，当a<1时，方程-x2+2x-a=0的Δ=4(1-a)>0，设其两根为易得f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，故f(x)在x=x1和x=x2处分别取到极小值和极大值，所以f(x)有两个极值，故B正确；对于C，由B，当-1≤a<1时，f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，故C错误；对于D，因为f(2-x)+f(x)=-2-x)3+(2-x)2-a(2-x)-3-x3+x2-ax-3所以f(x)图象对称中心坐标为，丫a∈R，f图象对称中心的横坐标不变，故D正确.故选：ABD.11．ABC【详解】用-x换方程中的x，化简后方程不变，故C关于y轴对称，同理可得，C关于x轴对称，故AB均正确；22-22-4n42(4,故选：ABC.【详解】由n OP取得最大值>2，故D错误.=2可得数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2,所以S5=【详解】令x=0，得y=4，即B(0,4),令y=0，得x=-4，即A(-4,0),圆心(-1,3)，-1-3+4=0，所以，直线x-y+4=0经过圆心，33当且仅当b=c时取等号）.令sinA=y,cosA=x，因为x2+y2=1，且y>0，故可得点(x,y)表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点A(2,0)点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即A=60。时，取得最小值-，故可得又故可得当且仅当A=60。,b=c，即三角形为等边三角形时，取得最大值. 故答案为：.15．(1)证明见解析2n又因为a11=2，且a21=4=2(a1所以数列{an—1}是以2为首项，2为公比的等比数列.22n)2n，①334(2)X的分布列为X0123P 4353535 3597E(X)=97【详解】（1）7名同学中，会法语的人数为5人，从7人中选派3人，共有C种选法；其中恰有2人会法语共有CC种选法；所以选派的3人中恰有2人会法语的概率.（2）由题意可知，X所有可能的取值为0,1,2,3，所以X的分布列为X0123P 4353535 35数学期望为17．(1)证明见解析 (2)6 (3)【详解】（1）二面角PBCD为直二面角，即平面PBC丄平面BCD，又因为CD丄BC，CD平面BCD，平面PBC∩平面BCD=BC，所以CD丄平面PBC.又因为PB平面PBC，所以PB丄CD.所以PB丄平面PCD.（2）取BC中点O，BD中点M，连接OP，OM，在ABC中，PB=PC，O为BC中点，所以OP丄BC.以–B–→,–M––→,–P–→}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，设该球的球心坐标为(x,y,z)，则（3）法一：取BC中点O，在△BCD中，过O作OH丄BD，垂足为H，连接PH，平面PBC丄平面BCD，OP丄BC，OP平面PBC，平面PBC∩平面BCD=BC，所以OP丄平面BCD. 而BD平面BCD，故OP丄BD，又因为OH丄BD，OP∩OH=O,OP,OH平面OPH，故BD丄平面OPH，而PH平面OPH，所以PH丄BD，则LPHO为平面PBD与平面BCD的所成角.直角三角形ABC中，OP= (4,(2,(4,(2,所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为.，设平面PBD的法向量为n2=. 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为.18．(1)f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；(2)证明见解析【详解】（1）求导得：f,(x)=-ex+(x-1)ex=-xex=，因为a≤0，对任意x>0，都有f,(x)=<0，所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；（2i）由（1）知，当a>e时，令g(x)=a-x2ex，故g(x)在(1,+∞)上单调递减，又因为g(1)=a-e>0，所以g(x)=a-x2ex在区间(1,a)内存在零点，即结合g(x)在(1,+∞)上单调递减，可得g(x)在区间(1,+∞)内有且仅有1个零点m，且m∈(1,a)；3所以f(x)在x∈(1,m)单调递增，在x∈(m,+∞)单调递减，又因为f(1)=aln1-(1-1)e1=0，所以根据单调性可知：f(m)>f(1)=0，又因为当x→+∞,f(x)→-∞,所以根据零点存在性定理结合函数单调递减，可知：f(x)在区间(m,+∞)内有且仅有1个零点，又因为x∈(1,m)时，结合f(x)在x∈(1,m)单调递增，所以f(x)>f(1)=0，即在区间(1,m)函数没有零点，所以f(x)在区间(1,+∞)内有且仅有1个零点，当x1>1时，构造函数h(x)=x-1-lnx，(x>1)求导得>0，则h=x-1-lnx在x>1时单调递增，即可知lnx1<x1-1，两边取对数得：x1-x0<2lnx0，即x0+2lnx0>x1.2(2)（i）直线OQ斜率为定值-，理由见解析ii）.2故双曲线方程为x2-y=1.方法②：由题意，则F1(-2,0)F2(2,0)，PF-PF2-22-22=故双曲线方程为（2i）