人教版数学八年级下册第17章勾股定理大单元作业设计

人教版数学八年级下册第17章勾股定理

大单元作业设计

第17章勾股定理单元概况

一、单元学习目标

1、课标

(1)探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；

(2)结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念；

(3)会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；

2、知识目标、能力目标

知识与技能目标属性表

序单元课

知识与技能目标表述学习水平

号序

A识记B理解C运用

1探索勾股定理，会用拼图法证明勾股定理1

D综合

A识记B理解C运用

2利用勾股定理求直角三角形的边长1

D综合

A识记B理解C运用

3利用勾股定理解决实际问题1

D综合

A识记B理解C运用

4探索勾股定理的逆定理2

D综合

A识记B理解C运用

5了解原命题及其逆命题的概念2

D综合

会识别两个互逆命题，会判断原命题和它的逆A识记B理解C运用

62

命题是否成立D综合

A识记B理解C运用

7了解勾股数，记住常见的勾股数2

D综合

8会用勾股定理的逆定理判定直角二角形A识记B理解C运用2

D综合

A识记B理解C运用

9会用勾股定理的逆定理解决实际问题2

D综合

二、单元知识结构

1.勾股定理的思维导图

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I角打独性倒,二三角

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考点一：勾股定理

考点一：勾股定理

考法一：证明类（考查范围：考查理解、掌握类知识点）

题型1用拼图法证明勾股定理（考查能否理解用拼图法证明勾股定理）

1.我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（）个.

2.勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中

数学中的重要知识点之、也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的

重要知识，因此学好勾投定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”,

所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用如图图形证明勾股定理：

已知：如图，四边形A3c。中，BD工CD,AE上BD于点E,ABE^/XliCD.

求证：AH2=BE2+AE2.

3.如图，对任意符合条件的直角三角形序1C,绕其锐角顶点逆时针旋转90。得二%£,

所以NB4E=90。，且四边形ACFO是一个正方形，它的面积和四边形河石面积相等，

而四边形ABFE面积等于心班E和用ZXB正的面积，和，根据图形写出•种证明勾股

定理的方法.

4.操作与探究

(I)图是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图的分割方法分割成5部分后可拼

接成一个大正方形(内部的粗实线表示分割线)，请你在图的网格中画出拼接成的大正

方形；

(2)如果(1)中分割成的直角三角形两直角边分别为。、b,斜边为c.请你利用图中拼

成的大正方形证明勾股定理.

5.如图，在中，ZACB=90°,AC=BC.点C在直线/上，分别过点A、8

作AO_L直线/于点。，8广_1宜线/于点E

(1)求证：DF=AD+BF；

⑵设.AC。三边分别为〃、b、c,利用此图证明勾股定理.

题型2用勾股定理证明线段间的关系(考查能否灵活运用勾股定理解决问题)

6.如图，在RlaABC中，Z4CB=90°,AC=BC,八为斜边44上一动点(不与端点

A.区重合)，以C为旋转中心，将O逆时针旋转90。得到C石，连接AE.BE.F为AE

中点.

(I)求证：BE工AB；

⑵用等式表示线段CD/法；。尸三者之间数量关系，并说明理由

7.如图，已知Rt△ABC中，ZACB=90。，AC=BC,点D、E在斜边A3上，且/DCE=45°,

请写出A。、DE、8E三条线段之间的数量关系，并证明.

8.在.工8c中，Z4C5=90°,。为工8C内一点，连接8DDC,延长DC到点E,

使得CE=DC.

⑴如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接A凡牙\若"_!_£〃，求证：4O_LAF；

(2)连接AE,交8。的延长线于点”，连接CH,依题意补全图2.若AB=A炉+8。2,

求证：AB-=AH2+BH2.

9.已知：在RtZ\A8C中，ZACB=90°,8C=AC,点D在直线A8上，连接C。，在CO

的右侧作CE_LCDCD=CE.

⑴如图1,点。在A3边上,线段跖和线段A。数量关系是，位置关系是;

(2)如图2,点。在8右侧.ADBD,OE之间的数量关系是，若AC=BC=26,

80=1.求OE的长；

E

D

A图2B

（3）拓展延伸

如图3,NDCE=/DBE=90,CD=CE、BC=e,BE=\,请求出线段EC的长.

考法二：计算类（考查范围：考查理解、掌握类知识点）

题型1用勾股树计算（考查能否理解勾股树问题）

10.如图，RtAABC中，Z4C/?=90°,ZABC=30°,分别以AC,4cA4为一边在A48C外

面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为邑，S一已知号=9,则邑为（）

27C.36D.45

II.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形，若正方形人、B、C、D的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形七的面积

A.10B.13C.15D.26

12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图I,以Rt△44C的各边为边分别向外

作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个院影

部分面积分别记为S/,S2,S3,则两个较小正方形纸片的重登部分（四边形DEFG）的

A.2S/+S2+S3B.252+2SJC.35/D.S/+52+S3

13.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形4、

14.若图中所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形

的面积为9cm2,则图中所有的正方形的面积之和为—cm2.

题型2用勾股定理求线段的长（考查能否用勾股定理进行计算）

15.如图，在中，48=90。，CDA.AB,垂足为。.若AC=3,4c=4,则

CD的长为（）

A.2.4B.2.5C.4.8D.5

16.如图，RtAAEO中，N'AE£>=90,A6=AC=AO,£C=3,3£=11,则。的值为

()

A.底B.V34C.>/35D.后一1

17.如图，RtZXABC,NC=90。，4。平分/物。交BC于点。，DE〃AB交AC于点

E,已知CE=3,8=4,则4。长为（）

A.7B.8C.45/3D.4石

18.如图，一ABC中，.\B=AC,ZBAC=120°,M是BC的中点，MNA.AB,垂足为

点N,D是BM的中点，连接AD,过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E,若BE=6,

则BN的长为（）.

A.6B.9C.6石D.9出

19.如图，在即ZkABC中，NACB=90。，CDA.AB,垂足为。，A/平分NC48,交,CD

于点£交C8于点凡若AC=9,AB=\5,则。七的长为（）

924

A.4B.-C.—D.5

25

题型3用勾股定理求图形的面积（考查能否用勾股定理进行计算）

20.已知在△八8c中，AB=2应，AC=Vi0，ZB=45°,那么以8C的面积是（）

A.2及+2B.2石+1C.75+2D.限+2

21.如图，已知点E在正方形A8CD内，满足NA£3=90。,AE=6,BE=8,则阴影

部分的面积是（）

A.48B.76C.70D.80

22.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代称直角三角形为勾股形,

较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，其中勾长、股长的平方和等于

弦长的平方，即为“勾股定理”，勾股定理是几何学中一颗光彩夺忖的明珠，在几何问题

中有着广泛的应用.

如图，在直线/上依次摆放着五个正方形.已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3,

正放置的三个正方形的面积依次是埠5"S3,则51+2§2+邑=（）

A.4B.5C.6D.7

23.如图，在，/5C中，/。=90。,4。=6,8。=8,4。平分/曲。.若CO=3,则△48。

的面积为（）

BD

A.15B.12C.16D.24

24.如图，/XABC中，AB=AC=5,BC=6,。为AA8C内一点，且S%M=SMC。,

AO=2,则一80c的面积为（）

A.6B.4C.3D.2

题型4勾股定理与无理数问题（考查能否综合运用勾股定理解决问题）

25.数轴上点A表示的实数是（）

」iY1］；」1」〉

-3-2-101A234

A.GB.而C.V5-1D.V2

A.V2B.V2+1C.V2-1D.2.5

27.如图，一直角三角形，其直角边长分别为3和I,以T为圆心，斜边长为半径画圆

弧，交数轴于点P,则点P在数轴上所表示的数是（）.

D.-V10+6

题型5勾股定理与网格问题（考查能否综合运用勾股定理解决问题）

28.如图是5x5方格子（每个小正方格的边长为I个单位长度），图中阴影部分是正方

形，则此正方形的边长为（）

A.3B.77C.V13D.5

29.在正方形网格中，NAOH的位置如图所示,到NAOB两边距离相等的格点应是

A.点MB.点NC.点尸D.点Q

30.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的一A8C中，边长为

A.0B.1C.2D.3

31.如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有，则/PAB+ZPI3A的

度数是（）

B

A.30。B.45°C.50°D.60°

32.如图是边长为1的3x3的正方形网格，已知.58C的三个顶点均在正方形格点上,

则8c边上的高是（：

A

C

B.>/10C.2>/5D.—\/5

题型6勾股定理与折叠问题（考查能否综合运用勾股定理解决问题）

33.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将./8C折叠使

点B与点A重合,折痕为。石，则C。的长为（）

34.如图，在工8。中，AB=AC=5,BC=8,点D是边BC上一点（点。不与点氏

C重合），将“1C。沿A。翻折，点C的对应点为点E,AE交BC于点、F,若DE〃AB,

则点6到线段的距离为（）

A.-45B.-V10C.-y/5D.->/10

5222

35.如图，在矩形A6CD中，A8=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点8落在点B‘处，

则重叠部分△A77C的面积为（）

A.12B.10C.8D.6

36.如图，在此△ABC中，ZAC^=9O°,40=3,BC=4,点E是AB边上一点.将4CEB

沿直线CE折叠到△CEP,使点8与点尸重合.当b_LA8时，线段所的长为（）.

A.3B.2C.4D.I

37.如图，已知长方形纸片A8C。，点E在边AB上，且3E=2,3C=3,将△C3E沿直

线CE翻折，使点3落在点G,延长EG交8于点尸处，则线段AG的长为—.

题型7用勾股定理解决实际问题（考查能否综合运用勾股定理解决问题）

38.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距

离为0.7m,顶端距离地面2.4m,如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，

顶端距离地面2m,那么小巷的宽度为（）

A.0.7mB.1.5mC.2.5mD.2.2m

39.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端

下滑4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）

A.4米B.6米C.7米D.8米

40.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小

颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家

的直线距离为（）

A.300米B.400米C.500米D.700米

41.如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根

芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）

C.12尺D.13尺

42.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东6（）。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正

北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的8处，此时8处与灯塔

P的距离为海里（结果保留根号）.

参考答案:

1.c

2.证明见解析

3.详见解析

4.(1)图形见解析

⑵证明见解析

5.⑴见解析

(2)见解析

6.(1)见解析

⑵4€尸+9炉=26，见解析

7.AD2+BE2=DE2，证明见详解

8.⑴见解析

(2)见解析

9.(1)BE=AD,HE-LAD

(2)AD2+BD2=DE2^^

⑶6

10.C

II.B

12.D

13.A

14.27

15.A

16.A

17.D

18.B

19.B

20.D

21.B

22.B

23.A

24.A

25.C

26.B

27.A

28.C

29.A

30.B

31.B

32.A

33.B

34.B

35.B

36.B

37-

・4

38.D

39.D

40.C

41.D

42.25瓜.

考点二：勾股定理的逆定理

考点二：勾股定理的逆定理

考法一：辨析类（考查范围：考查识记、理解类知识点）

题型1是否直角三角形辨析（考查能否判定直角三角形）

1.已知^ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断4/WC是直角三角形的是（）

A.a=6,0=8,c=10B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.A=ZB+ZCD.a2=b2-c2

2.如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）

3.如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A,从C,。都是网格线的交点,

由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（）

4.以厘米为单位，下列各组数中，以它们为边能构成三角形的是（）

A.3,5,8B.8,8,18C.灰,1,QD.3,40,8

5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1:2:3B.三边长之比为2:2:3

C.三边长之比为3:4:5D.三边长的平方之比为1:2:3

题型2勾股数辨析（考查能否识别勾股数）

6.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.3,4,7C.5,12,13D.8,15,16

7.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.7,8,9B.5,6,7C.5,12,13D.21,25,28

8.下列几组数中，能构成勾股数的是（)

A.2,3,5B.0.3,0.4,0.5C.5,12,13D.7,8,9

考法二：证明类（考查范围：考查理解、掌握类知识点）

题型1证明三角形是直角三角形（考查能否利用勾股定理的逆定理判定直角

三角形）

9.已知卜-6|+厅而+（z-8>=0,则x,y,z为三力的三角形是_______三角形.

10.如图，在.A5C中，。为48边上一点，已知AC=13,8=12,AD=5,AB=BC.请

判断-AC。的形状，并求出8C的长.

11.笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点A、B,且点A到点8的距离

等于点A到点G的距离.近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在

河边新建一个漂流点C（点4B、C在同一条直线上），并新建一条路GC,测得

BG=5km,GC=4km，BC=3km.

（1）判断.BCG的形状，并说明理由；

（2）求原路线G4的长.

12.如图，在“8c中，AB=12,AC=9,/3C=15,Z）E是BC的垂直平分线，交BC于

点。，交AB于点、E.

⑴判定的形状，并说明理由;

(2)求A£的长.

13.如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,的顶点在格点上.

⑴直接写出止,BC=,AC=；

(2)判断./WC的形状，并说明理由;

(3)直接写出4C边上的高=.

考法三：计算类(考查范围：考查理解、掌握类知识点)

题型1利用勾股定理的逆定理求角的度数(考查能否利用勾股定理的逆定理

解决问题)

14.如图，△A8O和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则284C的

A.115°B.135°C.150cD.无法计算

15.海面上有两个疑似漂浮目标.4舰艇以12海里/时的速度离开港口。，向北偏西50。

方向航行；同时，8舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东•定角度的航向行驶，如

图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是.

16.如图，在RtAABC中，C01A3于点。，BD=9,8c=15,AC=20.

c

⑴求CQ的长；

⑵求NAC8的度数.

17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点以AC和」）所

（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线/.

（1）将A8C向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形;

⑵画出“F关于直线/对称的三角形；

⑶观察画图结果，根据理解直接填空：NC+NE=。.

18.（1）尺规作图：如图1,在四边形A3c。内找一点P,使得点。到8c的距离

相等，并且点夕到点A、。的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是I,每个小格的顶点叫做格点.

①在图2中以格点为顶点画一个面积为13的正方形；

②如图3,点A,B,C是小正方形的顶点，则NA8C的度数为。.

题型2利用勾股定理的逆定理求线段的长度（考查能否利用勾股定理的逆定

理解决问题）

19.如图，AABC中，AC=6,BC=8,AB=IO.A。为418c的角平分线，CD的长度

为（）

A.2B.-C.3D.—

23

20.若一个三角形的三边长分别是9,12,15,则此三角形最长边上的高=.

题型3利用勾股定理的逆定理求图形的面积(考查能否利用勾股定理的逆定

理解决问题)

21.在中，AB=25,AC=[7,8C上的高人拉长为15,则AA8C的面积为.

22.如图，点。在△4BC中，/8DC=90。，AB=6,AC=BD=4,CD=2,则图中吃影

部分的面积为.

23.已知：如图，四边形ABC。中，A8_L8C,A8=LBC=2,CO=2,AO=3,求四边形

A6C■。的面积.

24.如图，在四边形A8CO中，/8=90。,AR=RC=ZCD=XDA=\.

(I)求N7)A4的度数；

⑵求四边形48co的面积.

25.如图，在五边形A8CDE中，AB1BC,AE1DE,AB=\,BC=2,CD=245,DE=3,

AE=4,求五边形ABCDE的面积.

题型4利用勾股定理的逆定理解决实际问题（考查能否利用勾股定理的逆定

理解决问题）

26.轮船甲从码头C出发，沿着西南方向航行，与此同时，轮船乙也从码头。出发沿着

固定方向航行，已知轮册甲、乙的速度分别是20海里/时、15海里/时，他们离开码头2

小时后分别行驶到A处和8处，此时两船相距50海里，且乙船在甲船的东部，画出示

意图，并求轮船乙是沿着哪个方向航行？

东

27.一台拖拉机沿公路4%以200m/min的速度从A行驶到6,点C•为•所学校，47=300

m,3C=400m,A3=500m,距离拖拉机250m以内会受噪音影响.

（I）学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？

⑵学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？

28.2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键

之年.“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人

们.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化

地（阴影部分）.如图，已知A5=9m,4C=12m,CD=17m,AO=8m,技术人员

通过测量确定了ZABC=90°.

(1)问这片绿地的面积是多少？

⑵小区内部分居民每天必须从点A经过点4再到点。位置，为了方便居民出入，技术人

员打算在绿地中开辟一条从点A直通点。的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从

点A到点C将少走多少路程？

参考答案:

1.B

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.C

8.C

9.直角

10.,.4?£＞是直角三角形，BC=16.9.

11.(D48CG是直角三角形，理由见解析

25

(2)GA=—km

12.(□△ABC是直角三角形.理由见解析.

?1

(2)AE的长是

O

13.⑴如，2y/13,病；

(2匕ABC是直角三角形，理由见解析；

(3)713.

14.B

15.北偏东40c

16.(1)12

(2)90°

17.(1)见解析

(2)见解析

(3)45

18.(1)画图见解析：(2)①画图见解析：②45

19.C

20.-##7-##7.2

55

21.210或90

22.4x/5-4##-4+45/5

23.1+氐

24.(1)135°

⑵2+核

25.12

26.作图见解析，轮船乙是沿着东南方向航行.

27.(1)学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由见解析

(2)0.7min

28.⑴这片绿地的面积是114m2

(2)居民从点A至ij点C将少走6m路程

勾股定理学科特色

2、学科特色

特色一：利用勾股定理求平面图形的最短路径问题（模型——平面最短路径

问题）

1.如图，A。为等边AABC的边上的高，E、厂分别为线段4）、AC上的动点，且

AE=6,若3c=2时，则质的最小值为，若4c=1时，M+CE的最小值为.

2.如图，在..A8C中，AB=AC,A8的垂直平分线交AB于M交AC于M,P是直线

MN上一动点，点〃为。。中点.若47一13,J3C的周氏是36,则R5十尸”的最小

值为.

BHC

3.如图，已知Rt^ABC,?B90?,ZA=30°,AC=2,AB=5若点P是AB上

的一个动点，则C?+；AP的最小值为.

C

4.如图，在.A8C中，A8=AC=10,BC=\2,4。是N8AC的平分线且AD=8,若

/＞、Q分别是4。、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.

c

5.如图，ZAQ8=30°,点M、N分别在边。4、OB上,且0M=2,ON=3,点R。分

别在边03、0A上，则MP+PQ+QN的最小值是

（2022.湖北黄石.中考真题）

6.如图，等边一"。中，/W=10,点E为高AD上的一动点，以晅为边作等边

连接。尸，CF,则/次/=,必+H）的最小值为.

特色二：利用勾股定理求立体图形的最短路径问题（模型一立体最短路径

问题）

7.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用细线从点4开始经

过4个侧面绕一圈到达4点，那么所有的细线最短需要（）cm.

3cm

A.10B.2MC.14D.15

8.圆柱形杯子的高为IXcm,底面周长为24cm,已知蚂叹在外壁4处（距杯子上沿2cm）

发现•滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm）,则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为.

蚂蚁“

3蜂蜜

9.如图，台阶阶梯每一层高20cm,宽30cm,长50cm,一只蚂蚁从A点爬到8点,

10.在一个长6+2拉米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，

它的侧棱长平行且大于场地宽A。，木块的主视图的高是夜米的等腰直角三角形，一

只蚂蚊从点A处到C处需要走的最短路程是.

11.如图，长方体长为7cm,宽为5cm,高为4cm,已知点B与点C距离为2cm,一只

蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C,需要爬行的最短距离是一.

特色三：勾股定理与动点问题（模型——动点问题）

12.如图，在RtABC中，NACA=90°,AC=8,八后10,动点。从点A出发，沿线段A4

以每秒2个单位的速度向8运动，过点。作力尸_184交8c所在的直线于点尸，连结

AF,CD,设点。运动时间为/秒，当△ABb是等腰三角形时，则/=一秒.

13.如图，已知ABC中，?B90?,A8=16cm,BC=12cm,P、。是ABC边上的

两个动点，其中点P从点八开始沿Af8方向运动，且速度为每秒1cm,点。从点B

开始沿A方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为/

秒.

备用图

(1)出发2秒后，求的长；

(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，APOB能形成等腰三角形？

(3)当点。在边C4上运动时，求能使△8CQ成为等腰三角形的运动时间.

14.如图，中，ZC=90°,AB=\Ocrn,BC=&m,若动点P从点C开始，按

。一A一〃一C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为f秒.

备用图1

⑴出发2s后，求..AB尸的周长；

⑵求出/为何值时，LBCP为等腰三角形；

⑶当点P运动到以8c任意一条角平分线上时(不与顶点4,B,C重合)，直接写出门

的值.

15.如图I,己知在Rt,4皮7中，ZACB=90°.AC=/?C=16,点P从8点出发沿射

线8C方向，以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为1,连接AP.

⑴当f=3秒时，则AP=_；(结果保留根号)

(2)当一为等腰三角形时，求，的值；

(3)。是AC上的一点，且。。=3,当点P在线段8C上运动到某一时刻，连接。尸，恰

好有DP平分ZAPC,求此时/的值.

16.如图,已知在RtZXABC中,NACB=90°,4C=8,、C=16,Z）是AC上的一点,CD=3,

点户从3点出发沿射线8c方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为

t.连接

⑴当/=3秒时，求4)的长度(结果保留根号)；

⑵当一尸为等腰三角形时，求/的值；

(3)过点。作P于点£在点〜的运动过程中，当/为何值时，能使。E=C。?

参考答案:

1.75x/2

2.12

3.8

4.9.6

5.V13

6.30。##30度5出

7.A

8.20cm##20厘米

9.50>/5

10.2x/29

11.\/85cm

12.1S或(7或2

13.⑴2屈cm

(2)出发与秒后，△代步能形成等腰三角形；

(3)当/为II秒或12秒或13.2秒时，△3CQ为等腰三角形.

14.(lUABP的周长为：16+2厢0〃；

(2»为6s或10.8s或⑵或13s时8cp为等腰三角形；

⑶满足条件的/的值为3s或9争6或6?4s.

15.⑴2屈

(2)46或16或5

⑶，=5

16.(1)2历

(2)46，16,5

(3)5或11

勾股定理单元大综合

勾股定理单元大综合

四、单元大综合

1、科普阅读

美丽奇妙的勾股树

毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限

重复的树形图形.又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树.

直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方.两个相邻的小正方形面积的和等于相

邻的一个大正方形的面积.而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积,

直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方.

三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面枳的四分之一，大于等于一个小

正方形面积的二分之一、根据所做的三角形的形状不同，重复做这种三角形的毕达哥拉

斯树的“枝干“茂密程度就不同.

2.实践活动

动手操作

数学活动--------绘制勾股树

勾股树有着简单、重复的美，吸引着人们用不同的工具去绘制.据此，设计数学活动,

绘制勾股树.

活动目的

1.通过活动，进一步掌握勾股定理；

2.通过活动，培养学生动手、动口、动脑的习惯；

3.通过活动，提高学生的审美能力和科学态度；

二、活动过程

1.材料准备

三角板，纸和笔；

2.活动基本信息

时间地点参与者

3.开始活动

（1）设计树形

把你设计的树形的大致轮廓画出来.

（2）绘制树干

步骤一：画大正方形；

步骤二：以大正方形的边长为斜边，画宜角三角形，其中较长直角边决定树干.

步骤三：以较长的直角边向外作正方形，再以此正方形的边长为斜边，再作直角三角形，

其中较长的直角边决定对干；

（3）绘制树技

步骤一：以较短的直角边向外作正方形，以正方形的边为斜边，再作直角三角形：其中

短的直角边决定树技；

步骤二：以较短的直角边向外作正方形，以正方形的边为斜边，再作直角三角形；其中

较短的直角边决定树技：

（4）美化

（1）按照你设计的树形，不断的充实，直到成形为止；

（2）美化，根据你的设想，需要给树一种意义，就得对树进行局部美化，即局部增长

直角三角形和正方形.

（3）着色.给不同的框内填上适当的色彩.

活动评价

1.小组展示

一般以6-8人为一小组，组内展示设计的勾股树.并将这些内容和活动图片制作成展板

或小视频.

2.班级展示

各小组展出展板或播放小视频，全体学生学习和评价.

3.评价表

采用自评、小组评价、班级对小组的评价和教师评价相结合.

自我评价A()B()C()D()

组内评价A()B()C()D()

班级对小组的评价A()B()C()D()

教师评价A()B()C()D()

评价结果A()B()C()D()

五、单元小测

一、选择题（每题4分，共32分）

1.圆柱的底面圆的周长是12,高是8,蚂蚁从下底面的点A沿侧面爬到点8,最短路

径的长是（）

A.6B.7C.9D.10

2.如图,在中，ZC=90°,DA=DB=\5,ZSABO的面积为90,则AC的

长是（)

A.9B.12C.3>/14D.24

（2022•四川攀枝花•中考真题）

3.如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相

邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形0A8C.若OC=标,BC=\,

ZAOB=30°,则Q4的值为（）

A

（2022•内蒙古内蒙古•中考真题）

4.如图，在JBC中,AB=BC,以8为圆心，适当长为半径画弧交朋于点交BC

于点N,分别以M,N为圆心，大于^MN的长为半径画弧，两弧相交于点。，射线80

交AC于点E,点尸为的中点，连接石。若8E=AC=4,则的周长是（）

A.8B.2x/3+2C.2逐+6D.275+2

（2022•山东济宁•中考真题）

5.如图，三角形纸片48c中，N8AC=90。，AB=2fAC=3.沿过点A的直线将纸片

折叠，使点B落在边上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC

的交点为E,则AE的长是（）

（2022•黑龙江•中考真题）

6.如图，&A8C中，AB=AC,AD平分/R4C与3c相交于点。，点E是A3的中点，

点尸是0c的中点，连接瓦'交4。于点P.若..A8C的面积是24,PD=1.5,则户£的

长是（）

A

（2022•广西・中考真题）

7.活动探究：我们知道，己如两边和其中边的对角对应相等的两个三角形不一定全

等，如已知aABC中，NA=30。，AC=3,/A所对的边为白，满足已知条件的三角

形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形

的第三边长为（）

A.26B.26-3C.2+或拒D.2石或2G-3

（