广东省揭阳市2025-2026学年度高三4月教学质量二模数学+答案

揭阳市2025~2026学年度高三级数学教学质量测试【答案】AA.B.3C.5D.5【答案】C【答案】D【解析】对于A，当a=1,b故A错误；对于B,当c=0时,ac2=bc2,故B错误；对于C,当2,故C错误；对于D,f(x)=ex在R上单调递增,且a>b,:f(a)>f(b),故D正确.A.B.C.D【答案】B第2页/共16页联立sin2α+cos解得cossin所以sinα-cos5.已知数列{an}满足a1=2,且an+1=2an,则数列{(-1)nlog2an}的前2n项和为()A.2nB.-2nC.-nD.n【答案】D【解析】由已知可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,:an=2n,:(-1)nlog2an=(-1)nlog22n=(-1)n.n,设数列{(-1)nlog2an}的前2n项和为T2n,故D正确.A.-4B.-8C.-12D.-16【答案】C【详解】C(x2)3C(-3x)=-12x7a7=-12故选：C．7.若点M(0,1)关于动直线l:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈RA．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】A【题源】本题取材于人教A版选择性必修第一册P80习题2.3第16题【详解】根据题意，由可得解得所以直线l(不包含直线2x+y+2=0)过定点B(-2,2),第3页/共16页迹是以B(-2,2),为圆心，以5为半径且挖去一点Q的圆.故选：A8.已知圆锥的底面半径为23，母线长为43，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为()【答案】B【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为23，母线长为43，则轴截面为等边三角形，半径为1的圆与等边三角形的一条腰和底边相切，切点分别为D和E，LDAF=LEAF=30，所以AD=AE=3，CD=33，同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，如图，与圆锥侧面的接触点轨迹为圆O1，半 选B．A．数据y1,y2,,y6的平均数为24B．数据y1,y2,,y6的方差为4C．数据x1,x2,,x6,10的平均数为10，方差大于1D．若数据x1,x2,,x6的中位数为m，75%分位数为n，则m≤n第4页/共16页【答案】ABD6262所以(y1_24)2+(y2_24)2++(y6_24)2=(2x1_20)2+(2x2_20)2++(2x6_20)2所以数据y1,y2,,y6方差为4，B正确；26_10)2+(x2_10)2++(x6_10)2+(10_10)2=6<1，C错误.对于D，将数据从小到大排序，所以中位数m为第三个数和第四个数的平均数，因为6x75%=4.5，所以75%分位数n为第五个数，按从小到大排序后，第五个数大于或等于第三和第四个数的平均数，所以m≤n，故D正确.10.已知等差数列{an}的公差d≠0,Sn为数列{an}的前n项和，对给定的n且n≥3,n∈N*,an(Sn_Sn_2)<0,则下列说法正确的是()45C.当a17【答案】ABDSa48(S8_S6)=a8(a7+a8)<0，即a8与a7+a8异号,在等差数列{an}中,∵787778故C错误。第5页/共16页9d,故D正确。为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则()A.直线A1B与直线AC1所成的角为90B.直线A1B与平面BB1D1D所成的角为45C.若正方体的棱长为2，则点O1到平到面BA1D的距离为D.此双曲线的离心率为2【答案】ACD【解析】对于A，直线A1B丄平面平AC1B1，所以直线A1B丄AC1，故A正确．sinLA1BO所以LA1BO1=30，故B错误．对于C，点O1到平到面BA1D的距离为正四面体C1_A1BD的高的一半，正四面体C1_A1BD的高为BD所以点O1到平到面BA1D的距离为故C正确．对于D，不妨设正方体的棱长为2．问题等价于线段A1B绕OO1旋转一圈形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线为双曲线的局部．以OO1为y轴，过正方体的中心且垂直于OO1的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设双曲线方程，则异面直线A1B和OO1的距离为 解得b2=1，该双曲线为等轴双曲线，离心率为2，故D正确．第6页/共16页【答案】-413.已知点P在抛物线C：y2=4x上，若点P到点A(5,0)的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，【答案】4【详解】因为抛物线C：y2=4x，所以p=2，抛物线C的焦点为F(1,0)，结合抛物线的定义可得PA=PF，则设P(x,y)，易知P在线段FA的垂直平分线上，则点P的横坐标等于F点和A点中点的横坐标，14.已知函数f(x▽x∈(0,+∞)，有f(x).f(_x)≥0恒成立，则a的取值范围是【详解】因为x>0，所以_x<0，不等式f(x).f(_x)≥0，即(ax_lnx_1)(2x3_ax2+1)≥0，也即第7页/共16页（1）求证：AO丄平面POC；（2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．【详解】（1）证明：因为PO丄平面AOB，AOC面AOB，所以PO丄AO，………1分取AB的中点D，连接OD，因为AO=OB所以OD丄AB，3在RtΔODB中，LABO=30，因为AC=2BC=2，所以BD=，……………2分222=所以OD=BD.tan30………………3分OA=OB．……………………4分在RtΔODC中，DC所以OC=OD2+22=所以OA2+OC2=AC2，所以AO丄OC．………………5分又POOC=O，所以AO丄平面POC．………………6分（2）法一：由（1）知PO=OC=1，因为PO丄平面AOB，所以LPOC=LPOA=90，因为OA=3，可得PA=2，所以PA=AC，…………8分第8页/共16页取PC的中点E，连接OE，AE，则OE丄PC，AE丄PC，…9分所以LOEA为平面PAB与平面POC的夹角．……………10分由（1）知，OA丄平面POC，OEC平面POC，所以OA丄OE，……LOEA……………12分所以平面PAB与平面POC夹角的余弦值为…………13分法二：由（1）知OA丄OC，因为PO丄平面AOB，所以LPOC=LPOA=90，分别以OA、OC、OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，……………………7分3,0,0 ………………8分设平面PAB的法向量m=(x,y,z)，由，……………………10分平面POC的法向量可取n=(1,0,0)，………………………11分 cos……………12分 所以平面PAB与平面POC夹角的余弦值为…………13分第9页/共16页16.(15分）如图，在△ABC中，已知AB=2,ACAM与AC边上的中线BN相交于点P．(1)求中线BN的长；(2)求LMPN的余弦值．【题源】本题取材于必修第二册P53综合运用第12题【详解】（1）已知AC=6，因为点N是边AC的中点，所以AN=3，………1分在△ABN中，AB=2,AN=3,LBAC=60O由余弦定理，……………2分可得BN2=AB2+AN2-2AB.AN.cosLBAC………3分=4+9-2x2x3x……………………4分:BN……………………5分（2）法一：以A为原点，建立如图所示直角坐标系，第10页/共16页BN是AC边上的中线，则N(3,0)，…………7分22=则……………9分22=所以LMPN的余弦值为.………………15分所以cos所以LMPN的余弦值为.………………15分法二：由已知可得…………7分所以292所以AM=AB+AC+AB.ACcos2922所以=3、3.……………9分2又………………………10分x2x6x………………………12分由（1）可知BN=7.…………………13分所以cosLMPN………14分21所以LMPN的余弦值为.……………15分2117.(15分）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色。抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.·（1）求中奖次数X的分布列和数学期望;（2）求第二次中奖的概率;（3）已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？【详解】（1）设第一次中奖为事件A,则PP……………1分设第二次中奖为事件B，由题意得，P或P=1_P………………2分P或P(BA)=1_P(BA)=)，…………………3分X的所有可能取值为0,1,2，…………………4分P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=3x8+4x2=16，P=P=P………5分所以X的分布列为X012P353515…………………6分所以X的数学期望为E…………………7分(2)解析：由（1）可知P(A)=，P(A)=，P(BA)=，P(B第12页/共16页:P=P+P……11分备注：学生没有逐个记事件，写出以下步骤也可以得分。（1）解：中奖次数X的所有可能取值为0，1，2，……………………1分则P…………2分P…………………3分P…………………5分所以X的分布列为X012P3515…………………………6分所以X的数学期望为E………………7分（2）第二次中奖的概率为.………11分1（3）每位顾客抽奖中奖2次的概率为，5则300位顾客抽奖，其中中奖2次的人数ZB，……………………12分k故当k=60时，P(Z=k)最大，…………14分所以300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大．………15分第13页/共16页曲线C的渐近线的距离为1，过F2的直线l与C交于右支A,B两点.（1）求双曲线C的方程；--（2）证明存在x轴上的一点M，使得MA.MB为定值；（3）求LAMB的最大值.【详解】(1)依题意有，2a=23,得a…………1分不妨取双曲线C的一条渐近线yx,即bx_ay=0,1,……………3分双曲线C的方程为y2=1.………………………4分,y1),B(x2,y2),联立y2:y1+yy1y……………………6分<3,……………7分设存在M(t,0),使得MA.MB为定值，则y1y2…………9分要使MA.MB为定值，则解得t,…………………10分第14页/共16页此时故存在定点M使得MA.MB为定值_.……………………11分又cosLAMBcosLAMB:tanLAMB=_9SΔAMB,………………13分下面求SΔAMB的取值范围,SΔAMB……15分:SΔAMB则tanLAMB∈(_∞,_3],又LAMB∈(0,π),:LAMBπ故LAMB的最大值为π3……………………………17分19.(17分)已知函数f(x)=lnx+ax（1）讨论f(x)的单调性；(i)过点M(b,0)可以作函数f(x)的两条切线，求b的取值范围；(ii)设A