复数的三角表示++复数乘、除运算的三角表示+高一下学期数学人教A版必修第二册

复数乘、除运算的三角表示及其几何意义LOGO引

入问题1

我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，复数代数形式加法和乘法运算的法则分别是什么？

=(ac－bd)

+

(bc+ad)

i类似多项式展开把i2换成－1，合并实部与虚部分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化”分子，分母运用乘法进行化简化为复数的代数形式(a+bi)

(c+di)=ac+bci+adi+bdi2复数的几何意义复数z＝a＋bi

复平面内的点Z（a，b）一一对应一一对应平面向量OZ一一对应abz=a＋biZ（a，b）

复数z＝a＋bi与向量OZ=(a，b)一一对应，复数z由向量OZ

的坐标(a，b)唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？探究abz=a＋bir

向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线（射线

OZ）为终边的角θ来刻画OZ的方向．θ你能用向量OZ的模和角θ表示复数z吗？abz=a＋birθ记向量|OZ|＝|z|＝|a＋bi|＝r，由图可以得到所以其中这样，我们就用刻画向量大小的模r，和刻画向量方向的角θ表示了复数z.abz=a＋birθ

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成

r(cosθ+isinθ)的形式．r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，

叫做复数z＝a＋bi的辐角；其中：a＋bi叫做复数z的代数表示式，简称代数形式；辐角模r(cosθ+isinθ)叫做复数z的三角表示式，简称三角形式；复数的三角表示式问题：一个复数的辐角的值有多少个？问题：这些辐角的值之间有什么关系呢？问题：若复数为0，它的辐角是哪个角？abz=a＋birθ显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值．这些值相差2π的整数倍．对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的．

我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz，即0≤argz<2π．

例如，arg1=，argi=，arg(－1)=，arg(－i)=．

复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化．每个非零复数的幅角的主值有且只有一个【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.θ【例1】画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.θ把复数z＝a＋bi的代数形式转化成三角形式的基本步骤：（1）求复数的模r:（2）求复数的辐角的主值θ:（3）写出复数的三角形式:【例2】分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.【例2】分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.LOGO

首先做与复数z1对应的向量OZ1，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角

，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为

的向量OZ．

OZ即为z1z2=3i所对应的向量．例3

已知

，

，求

z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释.解：LOGO例4

如图，向量OZ

对应的复数为

，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）．LOGO问题5

复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？

这就是说，两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商,

商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.2.复数除法运算：①三角表示模相除，辐角相减LOGO追问

你还有其他的推导方法吗？LOGO问题6

类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？②复数乘法运算的几何意义旋转运算LOGO例5

计算

并把结果化为代数形式．LOGO课堂练习1.计算:复数的三角表示式其中abz=a＋birθr是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做z的辐角；

在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz．两个复数相等⟺

两个复数的模相等且辐角主值相等把复数z＝a＋bi的代数形式转化成三角形式的基本步骤：（1）求复数的模r:（2）求复数的辐角的主值