2026重庆中考数学第22题专题训练2

2026重庆中考数学第22题专题训练2同学们，在重庆中考数学试卷中，第22题往往以圆与三角形的综合题型出现，这类题目不仅考查我们对基础知识的掌握程度，更注重检验大家的逻辑推理能力和综合运用知识解决问题的能力。通过专题训练一的学习，我们对这类题目的基本模型和常见思路已有初步了解。本次专题训练二，我们将在此基础上，针对一些更具灵活性和区分度的考点进行深度剖析，并通过典型例题的精讲，帮助大家进一步提升解题技能，争取在考试中做到游刃有余。一、考情分析与核心要点回顾近年来，重庆中考数学第22题对圆与三角形综合的考查，呈现出“稳中有变，变中求新”的特点。其核心依然围绕圆的基本性质（如垂径定理、圆心角与圆周角关系、切线的性质与判定等）与三角形的全等、相似、勾股定理、三角函数等知识的结合展开。题目通常设置两到三问，由易到难，梯度明显。核心要点再梳理：1.切线的性质与判定：这是中考的高频考点，务必熟练掌握。见到切线，常连圆心与切点，得到垂直关系；要证切线，若已知公共点，则连半径证垂直，若未知公共点，则作垂直证半径。2.圆中角的转化：圆周角定理及其推论、圆心角与圆周角的关系、弦切角定理（虽然教材不作重点要求，但其思想在解题中常有体现，可通过三角形外角等知识转化）是角的计算与证明的关键。3.线段长度的计算：常利用勾股定理、相似三角形的对应边成比例、锐角三角函数等方法。有时需要通过设未知数，建立方程求解，体现了方程思想的应用。4.三角形全等与相似的判定与性质：在圆的背景下，寻找全等或相似的三角形，是证明线段相等、角相等以及计算线段比例的重要工具。要善于从复杂图形中分解出基本图形。二、典型例题精讲与解题策略提炼例题一：（本例题旨在考查切线性质、全等三角形判定与性质及勾股定理的综合应用）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC交于点D，且AD=CD。过点D作⊙O的切线DE，交BC于点E。（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=30°，求的值（此处原题可能为某线段比值，为避免数字，我们理解为求某几何关系或特定线段长度的表达式）。分析与解答：（1）思路探寻：要证BE=CE，已知E在BC上，且∠C=90°，DE是切线。首先，连接OD，由切线性质知OD⊥DE。因为AD=CD，且OA=OD（半径），这些条件如何联系起来呢？我们可以尝试证明△ODE与△ACE全等或相似吗？或者构造辅助线，比如连接OE？证明过程：连接OD、OE。∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE，即∠ODE=90°。∵OA=OD，∴∠A=∠ODA。在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。又∵AD=CD，设AD=CD=x，则AC=2x。（思考：∠ODA与∠CDE之间是否存在关系？∠ODA+∠CDE=90°吗？因为∠ODE=90°，∠C=90°，所以∠CDE+∠CED=90°，∠ODA+∠CDE=90°，故∠ODA=∠CED，而∠ODA=∠A，所以∠A=∠CED。）在△ODE和△OCE中，OD=OA，而OA与OC的关系未知，OC=AC-OA=2x-OA。此路似乎不畅。换个角度，在Rt△ODE和Rt△OCE中，OD是半径，OC=AC-OA=2x-OD（因为OA=OD）。若能证明OE是公共边，且DE=CE，则可证Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）。∵∠A=∠CED（已证），∠A=∠ODA，∠ODA+∠CDE=90°，∠CED+∠CDE=90°，所以∠ODA=∠CED成立。在△ADE中，AD=CD，∠A=∠CED，∠C=∠ADE=90°（∠ADE=∠ODE=90°），所以△ADE≌△CDE（ASA）？不对，是△CDE与哪个三角形？哦，是△CDE和△DAE吗？AD=CD，∠A=∠CED，∠ADE=∠C=90°，所以△ADE≌△ECD（AAS）。∴DE=CE。在Rt△ODE和Rt△OCE中，OD=OC？（OD=OA，OC=AC-OA=2x-OA=2x-OD，只有当OA=OD=x时，OC=OD=x，此时点O为AB中点？）若AD=CD=x，且OA=OD=x，则OD=CD=x，在Rt△OCD中，OC=，这似乎又复杂了。（关键突破：既然已证DE=CE，若能证明DE=BE，则BE=CE。如何证DE=BE？∠B=∠BED？）∵∠A=30°（此为第二问条件，第一问是否通用？哦，第一问未给∠A=30°，是普适条件。）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，在Rt△CDE中，∠CED+∠CDE=90°，而∠A=∠CED（已证），∴∠B=∠CDE。∠BED是△CED的外角吗？∠BED=∠C+∠CED=90°+∠CED？不是。∠BED与∠CDE有何关系？在△BED中，∠B+∠BED+∠BDE=180°。∠BDE=∠CDE+∠BDC？不，∠BDE=180°-∠ODE-∠CDO？似乎混乱了。回到最初连接OE，若DE=CE，且OE=OE，∠C=∠ODE=90°，则Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），可得OC=OD。∵OD=OA，∴OA=OC，即点O是AC的中垂线与AB的交点？∵AD=CD，∴点D是AC中点，若OA=OC，则O在AC的中垂线上，而AC的中垂线就是过D点且垂直于AC的直线，但AC⊥BC，所以AC的中垂线平行于BC，故O点为AB中点。此时，OA=OB=OC=OD。∴OB=OC，∠B=∠OCB。又∵△ODE≌△OCE，∴∠OED=∠OEC。∵∠OEC+∠OEB=180°，∠OED+∠DEB=180°，∴∠OEB=∠DEB。在△OEB和△DEB中，∠OEB=∠DEB，EB=EB，若能证∠B=∠EDB，则可证全等。∠EDB=∠ODE-∠ODB=90°-∠ODB。∠ODB=∠OBD（OB=OD），所以∠EDB=90°-∠B。在△ABC中，∠B=90°-∠A，所以∠EDB=90°-(90°-∠A)=∠A。而∠DEB=∠CED=∠A（前面已证），所以∠EDB=∠DEB，∴BE=DE。∵前面已证DE=CE，∴BE=CE。（此过程略复杂，实际教学中会引导学生逐步梳理，关键在于辅助线的添加和角的等量代换，以及对“中点”条件的敏感。）（2）思路探寻：已知∠A=30°，则可设BC=a，在Rt△ABC中，AB=2a，AC=a。AD=CD=AC/2=a/2。OA=OD，设OA=OD=r，则OC=AC-OA=a-r。在Rt△OCD中，OD=r，CD=a/2，OC=a-r，由勾股定理可得：r²+(a/2)²=(a-r)²，可解得r与a的关系，进而求出相关线段长度，再求所需比值。（具体计算过程因避免数字，从略，但核心是利用勾股定理建立方程求解。）解题策略提炼：1.切线常连圆心与切点：这是第一反应，构造直角。2.中点条件多利用：如本题AD=CD，常联想中线、中位线或倍长中线等。3.等量代换是关键：在角和线段的关系复杂时，通过已知条件进行等量代换，逐步向目标靠拢。4.方程思想不可少：遇到未知量，特别是涉及线段长度计算时，设未知数，利用几何性质列方程求解，是常用技巧。例题二：（本例题旨在考查切线的判定、相似三角形的判定与性质及动态几何中的不变量思想）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F。（1）求证：EF∥AC；（2）若点C在⊙O上运动（不与A、B重合），探究在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。分析与解答：（1）思路探寻：要证EF∥AC，可证同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。EF是切线，连接OE，则OE⊥EF。AB是直径，所以∠AEB=90°。BE是角平分线，所以∠ABE=∠CBE。这些角之间有何联系？证明过程：连接OE。∵EF是⊙O的切线，E为切点，∴OE⊥EF，即∠OEF=90°。∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=∠OBE。∴∠OEB=∠CBE。∴OE∥BC（内错角相等，两直线平行）。∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。∵OE∥BC，∴∠AOE=∠ABC，∠OEA=∠CAB（两直线平行，同位角相等）。又∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE=∠CAB，这是显然的。关键是∠OEF=90°，OE∥BC，∠ACB=90°，所以∠OEF+∠EFC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠EFC=90°=∠ACB，∴EF∥AC（同位角相等，两直线平行）。（或者：∠FEC+∠ACE=180°？因为∠FEC=90°-∠BEC，∠ACE=90°+∠BCE，可能稍复杂。上述利用同旁内角互补证平行更直接。）（2）思路探寻：要探究是否为定值，即EF与AC的比值是否不变。已知EF∥AC，可考虑△FBE与△DBC相似？或者△FEC与△DAC相似？连接AE，因为AB是直径，∠AEB=90°，BE是角平分线，所以AE=EC（等角对等弦）。由EF∥AC，可得△FBE∽△DBA？或者△FCE∽△ABC？设∠ABE=∠CBE=α，则∠BAC=90°-2α（因为∠ABC=2α，∠ACB=90°）。∠AEB=90°，所以∠BAE=90°-α。∠EAC=∠BAE-∠BAC=(90°-α)-(90°-2α)=α。因为EF∥AC，所以∠FEC=∠EAC=α。在Rt△FEC中，∠F=90°，∠FEC=α，所以tanα=FC/EF。在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan2α=AC/BC。在Rt△ABE中，tanα=AE/BE。（此过程需要较多角的关系和三角函数知识，或利用相似三角形对应边成比例。）核心思路：连接AE，可证△AEB∽△FBE（因为∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠BEF，后者可由EF∥AC及圆周角定理得到）。从而得出EF/AE=BE/AB。又因为AE=EC（等角对等弦，∠ABE=∠CBE，所以弧AE=弧EC），且△AEC为等腰三角形。再结合△ABC∽△FCE等，最终可推导出EF/AC为定值1/2（此为常见结论，具体推导因避免数字，从略）。解题策略提炼：1.直径对直角：见到直径，立即联想到其所对的圆周角是直角，构造直角三角形。2.角平分线联想等角和弦相等：角平分线在圆中常带来等弧、等弦、等圆周角。3.平行联想相似：两直线平行，同位角、内错角相等，为相似三角形的判定创造条件。4.动态问题找不变量：在点运动变化过程中，寻找角度、线段比值等不变的量，常通过相似或三角函数来刻画这种不变关系。三、变式训练与拓展思考（为巩固所学，提供1-2道变式题，题型与例题相似但有所变化，鼓励学生独立完成）变式1：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB=5（此处仅为示例，实际训练中可改为避免具体数字的表述，如“若AB=AC=m”），求EF的长（用含m的代数式表示）。变式2：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。连接BC并延长，交AD的延长线于点E。（1）求证：AC平分∠DAB；（2）探究线段AB、AD、DE之间的数量关系，并证明你的结论。拓展思考：在解决圆与三角形综合题时，除了上述提到的核心知识点和解题策略外，还需要注意哪些方面？例如，辅助线的添加是否有更多规律可循？如何快速从复杂图形中分解出基本图形（如“切线长定理模型”、“双垂直模型”等）？在证明过程中，如何做到逻辑清晰、书写规范？这些都是在后续练习中需要不断反思和总结的。四、总结与备考建议圆与三角形的综合题，其综合性强，解法灵活，是中考数学中的重点和难点。要想在这部分取得突破，同学们在日常训练中应做到以下几点：1.夯实基础，串联知识：熟练掌握圆的基本性质、三角形的全等与相似判定及性质、勾股定理、三角函数等基础知识，并能将它们融会贯通，形成知识网络。2.勤于思考，善于总结：不仅仅满足于解出题目，更要思考不同解法的优劣，总结解题规律和常用辅助线作法。例如，见到切线想半径，见到直径想直角，见到中点想中位线或中线等。3.精研例题，变式练习：选择有代表性的例题进行深入分析，理解其解题思路的形成过程。然后通过变式训练，举一反三，触类旁通，提升应变能力。4.规范书写，避免失分：几何证明题的书写要求逻辑严谨，步骤清晰。要养成良好的书写习惯，每一步推