基本立体图形直观图表面积和体积（考点清单知识导图+9个考点清单与题型解读）

基本立体图形，直观图，表面积和体积

（9个考点梳理+题型解读+提升训练）

知但导图

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【考点题型一】基本立体图形

（1）楂柱的定义

定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由

这些面所围成的多面体叫做棱柱

（2）棱台的定义

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台

【例I】（多选）（2023上•黑龙江大庆•高三校考阶段练习）下列说法中不正确的是（）

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A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

C.棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

【例2】（2024.全国.高三专题练习）给出下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是

圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用

一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这

个儿何体一定是球.

其中正确结论的序号是.

【变式1-11.（2023•全国•高一随堂练习）下列命题正确的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱

D.用•个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台

【变式1-2].（2U23•全国•高一随堂练习）下列命题正确的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的儿何体是棱柱

B.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台

【考点题型二】立体图形中的最短距离问题

最短距离问题，主要是通过展开几何体为平面图形，通过两点间线段最短来求解

【例1】（202小湖北武汉.高一华中师大一附中校考期中模拟）如图，在三棱锥P—4AC中，

PA=PB=PC=8,ZAPB=ZAPC=/BPC=40°,过点A作截面，分别交侧棱PA,PC于E,产两点，则

△AE/周长的最小值为.

【例2】（2024•高一课时练习）如图，圆台上、下底面半径分别为5cm,10cm,母线长为20cm,从母线

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A8的中点M拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的8点，求3M间细绳的最短长度.

【变式2/】.（2023上.广东佛山・高三佛山一中校考阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体

的母线长为2,一只小虫从圆锥的底面圆上的点。出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬

行的最短路程为2石，则圆锥底面圆的半径等于.

【变式2-21.（2023上•高二课时练习）如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.

蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm,书脊的长度是20cm,求蚂蚁

爬行的最短路线和最短距离.

【变式2-3].（2023上•上海•高二专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点8、D,在。处有一只蜘蛛,

在8处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？

【考点题型三】立体几何中的截面问题

立体几何中的截面问题，主要通过独立截面，计算具体的量

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【例1】（2023上•辽宁•高二校联考阶段练习）如图，某圆柱的轴截面A4CO是边长为2的正方形，P,Q

分别为线段8cAC上的两个动点，E为A3上一点，且鹿=1,则PQ+PE的最小值为（）

A.3B.—C.—D.-

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【例2】（2024.河北唐山•高一统考期末）若圆锥的底面半径为白，高为1,过圆锥顶点作一截面，则截面

面积的最大值为（）

A.2B.力C.2nD.2氐

【变式3-1].（2021•高二课时练习）一个正四棱台上、下底面边长分别为2,4,高为3,则经过相对两侧

棱的截面的面积为.

【变式3-2】.（2024上.贵州黔南.高二统考期末）已知底面半径为I,体积为石江的圆柱，内接于一个高为

2G的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点4绕圆锥的侧面到点8的最短距高

为.

【考点题型四】平面几何图形的直观图

水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）

（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的x轴和＞轴，两轴相交于点o,画直观图时作出与之对应的£

轴和V轴，两轴相交于点0',且使N£oy=45°（或135"）

（2）画线：已知图形中平行于或在x轴，）'轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在£轴，V轴上

的线段.

（3）取长度：已知图形中在上轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变.在y轴上或平行于y轴

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的线段，长度为原来长度的一半.

（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.

【例1】（2023上•上海•高二校考期中模拟）如图有一个直角梯形则它的水平放置的直观图是

（）

[例2]（2023上•上海普陀・高二校考期中模拟）用斜二测画法画水平放置的正方形A8C。的总观图为平

行四边形取A8所在直线为x轴，A。所在直线为），轴.若在直观图中AZ'=2cm,则8C=

【例3】（2024・安徽滁州•高一校联考阶段练习）如图，正方形A5C7）'是用斜二测画法画出的水平放置的

一个平面四边形4BC力的直观图，若。。=及，则四边形4BCD周长与面积的数值之比为（）

A.2>/2:1B.72:1C.V2:2D.6：4

【例4】（2024.甘肃定西•高一甘肃省临洪中学校考阶段练习）如图，已知菱形A8C。，用斜二测画法作出

菱形A8CO的直观图即四边形A'B'Ciy,则四边形AB'C'Ly的面积为.

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【变式4-1].（2023上•新疆昌吉•高二校考开学考试）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的

直观图，其中。'4=6，则三角形的面积为.

【变式4-2】.（2024•河北邢台・高一河北南宫中学校考阶段练习）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图

如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）

C.16D.8+873

【考点题型五】多面体表面积（侧面积）

计算多面体每个面的面积之和

棱柱的表面积：S梭柱二S恻+2S成

棱锥的表面积：S按傕=S则+S底

棱台的表面积：s校台侧+S上底+S下底

【例1】（2023上•湖南岳阳•高二校考竞赛）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正

DT

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【例2】（2024下•广东•高三统考阶段练习）如图是一个正四棱台A8CD-A&CQ,已知正四棱台的上、

卜底面的边长分别为2和6,体积为空2,则侧面积为

【例3】（2024.湖南长沙.高一湖南师大附中校考期末）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个

正八面体，那么这个正八面体的表面枳是.

【变式5-1].（2024•甘肃酒泉•高二校考期末）一个正三楂锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正

三棱锥的表面积是（）

A.4GB.3GC.2>/3D.6

【变式5・2】.（2023上•上海•高二专题练习）在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9,

15,高是5,则该直四棱柱的表面积是

【变式5・31.（2024•山东前泽高三校考开学考试）在正四棱台48。。-4印；仅中，A8=2,A用=1,

AA=42,则该棱台的表面积为.

【考点题型六】多面体的体积

（1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积S和高力的乘积：即丫二56

（2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积S和高〃的乘积的，即丫=gs/z.

（3）楂台的体积：V=g（S'+J否+S）〃（S',S分别为上下底面面积，〃为台体的高）

【例I】（2024上•天津南开•高三南开中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经

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过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所

有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）

A.2072B.竺亚C.400D.竺也

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【例2】（2024下.广西南宁.高三南宁二中校考开学考试）正四凌台中，经过正四棱台不相邻的两条侧棱

的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,对角面面积为9&，则该棱

台的体积为（）

A.28B.27&C.28拒D.74

【例3】（2024下•河南郑州•高三校联考阶段练习）如图，已知四棱锥P-A8c。的底面为矩形，M为PC

的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为.

【变式6-1】.（2024上•浙江杭州•高二杭十四中校考期末）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做

拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个

底面的截面叫中截面.似柱体的体积公式为V=!（$+S2+4S°）A,这里耳、邑为两个底面面积，S。为中

截面面积，力为高.如图，已知多面体A8COEE中，A8CD是边长1为的正方形，且VAOE,△8C尸均为

正三角形，EF//AB,EF=2,贝!该多面体的体积为（）

Y桔。与。邛

【变式6-21.（2024下.云南昆明•高二统考开学考试）正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,

则它的体积为（）

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A.1百B.4x/3C.；百D.或卡

【变式6-3】.（2023上•海南•高三海南中学校考阶段练习）若正三棱台的上、下底面的边长分别为3和6,

侧棱长为2,则其体积为（）

A.旦叵B.14GC.生^D.76

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【考点题型七】旋转体表面积（侧面积）

圆柱的表面积：

（1）S=5刻+2S灰=2兀rl+2〃/=2仃（1+r）.

(2)圆锥的表面积：

S=饵刖+S铉-7irl+71f=兀r(l+r)

（3）圆台的表面积：

S=S侧+S卜底+S下底=万（/+-）/+7rr'~

【例1】（2024•河南信阳•信阳高中校考二模）已知一个圆柱底面半径为2,高为3,上底面的同心圆半径

为I,以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于（）

A.（9+3V10）7cB.（14+3质）兀C.（5+2函）nD.（15+3府打

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【例2】（2024陕西咸阳统考模撅预测）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为刀的扇形，若圆锥的

体积为也，则该圆锥的表面积为_____.

3

【变式7-1].（2023・湖南岳阳•校联考模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5,弧长为8兀的扇

形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（〉

A.10兀16兀B.10兀,48兀C.20兀，16兀D.20兀,48兀

【变式7-2].（2024•福建福州・统考模拟预测）底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的

平面所截，截去一个面为右的圆堆，所得的圆台的侧面积为.

【考点题型八】旋转体的体积

知识点12：圆柱、圆锥、圆台的体积

（1）圆柱的体积：V=Sh

.........:

I

:/

O>----27r

(2)圆锥的体积：V=-Sh

（3）圆台的体积：V=;（Sf+JS上S.+S下）力

[例I]（2024・山西吕梁・统考一模）如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为

4cm,12cm,高为8cm（内部），上口内置一个宜径为4cm,高为女m的圆柱形空心金属器皿（厚度不

计，用来放置茶叶）.根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于1cm时茶叶不会外

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溢.用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（）

【例2】（2023上•上海•高二专题练习）如图，圆台高为3,轴截面中母线4A与底面直径AB的夹角为

60S轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积.

【变式8-1].（2024下•山东•高三山东省实验中学校联考开学考试）已知圆台的母线长为247,上、下底

面的直径分别为6和10,则该圆台的体积为（）

A.184万B.188乃C.1924D.196乃

【变式8-21.（2024上.内蒙古锡林郭勒盟.高三统考期末）已知圆锥PO的母线长为2,。为底面的圆心，

其侧面积等于2Gh则该圆锥的体积为（）

A.冗B.叵式C.兀D.2兀

【考点题型九】球的表面积和体积

（1）球的表面积：S=4/rR2

4

（2）球的体积：丫二一4於

3

[例1]（2024・吉林・校联考模拟预测）某公司需要把直径为20cm的实心快球融化后浇注为一个楂长为

30cm的正方体实心模具（不计损耗），则至少需要（）

A.5个这样的实心铁球B.6个这样的实心铁