2026年高考数学复习（全国）重难点09 四心问题与奔驰定理5大题型（试题版）

重难点09四心问题与奔驰定理

【全国通用】

1、四心问题与奔驰定埋

平面向量是高考的热点内容，而四心问题与奔驰定理是平面向量中的重要内容。

三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四

大类型，是高考的重点、热点内容，主要在选择题、填空题中考查，在高考复习中，对于四心问题要学会

灵活求解。

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，主要在选择题、填空题中考查，在高考复习中，要掌握

奔驰定理并能灵活运用和求解。

知识梳理

知识点1四心间翘

1.三角形的重心及向量表示

(1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

(2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点尸为△ABC重心O方+无+定=3.

汨+必+4乂+—+万

(3)重心坐标公式:设B(X2J2)，C(X3J3)，则△A8C的重心坐标为Pl

33

A

2.三角形的垂心及向量表示

(1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

(2)垂心的向量表示：如图，在△43C中，点P为△A8C垂心O耳•河=方•记=瓦5•左.

3.三角形的内心及向量表示

⑴内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

"JpAC

(2)内心的向晟表示：如图，在△/由。中，三角形的内心在向量口十广区所在的直线上，点P为△A8C

AB\\AC\

内心口|荔卜PC4-|^C|-PC+|C?|-ra=6.

4.三角形的处心及向量表示

(1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距高

相等.

(2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△A8C外心今|西|=|而|=|4

知识点2奔驰定理

1.奔驰定理

如图，已知P为△A8C内一点，且满足4方1+22河+友记=6,则有△APB、△APC&BPC的面积

之比为九力:4.

由「这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对F利用平面

向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

⑴。是AABC的皿：S:S△小阳=\.\-.\^OA+55+55=6.

(2)0是ZXA8C的垂好：y^Boc-=tan/I:tan/y:tanCtanJCM+tan808+tanCOC=6.

(3)0是△ABC的内心:S&BOC：S&COA：S&AOB=a\h:c^ciOA+b()B+cOC=6.

(4)。是△ABC的外心:S^ROC'.S^COA:S^OH=s\n2A\s\x\2B\s\x\2CsxnlAOA+s\x\2BOB+sin2coe=0.

举一反三

【题型1重心问题】

【例1】(2025桔林•二模)在△4BC中，点。为718的中点，点。为△ABC的重心，则6J+赤=()

A.COB.0DC.2C0D.2D0

【变式1・1】(2025•全国•二模)点0,P是△A8C所在平面内两个不同的点，满足。户=65+砺'+无，则直

线0P经过△跖。的()

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【变式1-2](24-25高一下•四川成都•期末)如图,G为△04B的直心，过点G的直线分别与。4。8交于点P,

Q,且而二m而，0Q=nOB,其中€(0,1],则m+4n的最小值为()

【变式1-3］（2025高一•全国・专题练习）已知△力3C,。为平面内任意一点，动点P满足5诃=［（2+2）雨+

（2+%）5方+（1-2/1）元］,则点P的轨迹一定经过（）

A.△ABC的内心B.△48C的垂心

C.△ABC的重心D.△48C的外心

【题型2垂心问题】

【例2】（2025高三•全国•专题练习）己知。是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点P满足9=

a+”（扁%+僦就＞Ae［0,+oo）,则P点的轨迹一定通过的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

【变式2-1］（24-25高一下•河南•期中）已知在△A8C中，”为△4BC的垂心，。是△力BC所在平面内一点，

且方+砺=而，则以下正确的是（）

A.点。为△ABC的内心B.点。为△ABC的外心

C.AACB=90°D.△力BC为等边三角形

【变式2-2］（2025高三・全国•专题练习）已知UBC,P为三角形所在平面上的动点，且满足可•玩=囱•

丽=丽•丽，贝IJP为三角形的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【变式2-3］（24-25高一下.广东汕尾.期末）在△力8C中，48=4。，点。为△4BC的垂心，且满足而=%而+

yAC,cusrF/lC=-»则x+y=（）

3

A.--B.-1C.-D.-

242

【题型3内心问题】

［^1）3］（2025高三・全国・专题练习汨知4力8C,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足aR?+bPB+cPC=

0,则P为三角形的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【变式3-1］（2025高一•全国・专题练习）设/为△ABC的内心，旦2"+3店+历？=6,则角。为（）

A.EB「

63

C.-D.-

34

【变式3-21（2025高三・全国•专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足存=4（爵+翡）（4W

［0,4-oo））,则点P的物迹一定经过△力BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【变式3-3］（24・25高一下•山东河泽・期中）已知。为△ACC的内心,三个角对应的边分别为4瓦板,b,c,

已知a=3,b=273,c=5,则而•前=（）

A.V6-7B.-2C.2A/3-8D.3V2-9

【题型4外心问题】

【例4】（2025•辽宁•模拟预测）设锐角AABC的外心为。,满足3瓦？•丽=加•沅，sinC=qsin4则sinB=

（）

.2V2+V3n2V5+Ic7心C7四

A.--------13.-------C.L）.

551812

【变式4-1］（2025高三・全国・专题练习）设P是△ABC所在平面内的一点，若而•（而+琮f）=2荏•前，

ja|AP|=\CP\,则点P是△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

［变式4-2］（24-25高三上•江苏盐城•期中）已知点O为24BC的外心，且向量而=/I而+（1-Q而，AeR,

若问量瓦?在向量就上的投影向量为:近，贝kosB的值为（）

A.遗B.匹C.坡D.二

2552

【变式4-3］（2025高三•全国•专题练习）已知。是A/IBC所在平面内的一定点，平面内动点P满足评=包产十

以时赤皿+团前“J'eR则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）

^IABICOSZABC|4C|COSZJ4CBZ

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【题型5奔驰定理】

【例5】（24-25高三上•江西・月考）奔驰定理：已知点0是△48C内的一点，若△8。。公力。0408的面积

分别记为，，另，*，贝31•五？+另•南+$3•沆=很,、奔驰定理''是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理如图，己知。是△/18C的

垂心，且赤+2丽+3沅=6,RiJcosC=（）

A

【变式5-1]（2025・安徽•三模）平面上有4ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAB,△0BC,△0CA

的面积分别记作品，SgS"则有关系式Sa•瓦f+Sb•丽+Sc•沆=6.因图形和奔驰车的kgo很相似，

常把上述结论称为“奔驰定理已知△{8C的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若满足。,瓦5+匕•赤+

c-OC=0,则。为aABC的（）

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

【变式5-2]（25-26高三上•江西南昌•月考）奔驰定理：己知。是△力内的一点，若△8。。、△,4。。、△AOB

的面积分别记为工、SB、SC，则2•而+•丽+S。•沆=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理如图，已知。是△48C的

内心，AB=8,且满足2+3丽+4沆:=6,设△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则£=（）

K

【变式5-3]（24-25高一下•上海奉贤・月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理

对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是AABC内

的一点，△8OC,△AOC,△AOB的面积分别为丛、SR、SC，贝]有当函+SB赤+Sc沅=6,设O是锐角

△48。内的一点，ABAC,ZABC,NACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）

A.若瓦？+而+沆=6,则。为△ABC的重心

B.若函+2而+3沆=6,则、:58：Sc=1:2:3

C.若O为△A/3C（不为直角三角形）的垂心，则tan48/C・0X+tan乙4BC•赤+tan匕•近=6

D.若|诃|二|而|=2,/.AOB=20A+3OB+4OC=0,则g

二课后提升练

一、单选题

1.（2026•河南南阳•模拟预测）已知△A8C的重心为G,而=3反，延长QG交48于点E,则露=（）

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

5253

2.（2026・重庆•一模）边长为2的等边三角形ABC的外心为0，则OA-AB=（）

A.-2B.2

C.25/3D.-V3

..，-—・…一♦-

3.（2025・四川南充・三模）已知点P在△48C所在平面内，若彭•（篇一儡）=丽・（春|；一孤）=0,则点

P是△48C的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

4.（24-25高一下•河北•期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知0为448C内的一点，△BOC,△AOC,

△/0B的面积分别为治，SB，Sc，则L•耐+5口•砺+Sc•沆=也因其几何表示酷似奔驰的标志，所以

称为“奔驰定理已知。为△4?C的内心，三个角对应的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2遮,c=5,

则丽AC=（）

A.2V3-8B.-2C.V6-7D.3^2-9

5.（2025•全国•模拟预测）己知平面上四个点力㈤。,。，其中任意三个不共线.若而•而=而•而，则直

线4。一定经过三角形4BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

6.（2025•河北张家口•一模）在平面直角坐标系中，71（-1,0）,8（1,0）,（;（&,%））,点凡H分别是△A8C的外

心和垂心，若丽=土出而，则ri的取值范围是（）

2-2m

A.（-oo,0）B.（-1,0）C.（-oo,1]D.（0,+oo）

7.（24-25高一下•河南安阳•期末）已知。是A4BC内的一点，若的面积分别记为Si，S2，S3,

则Si・6？+S2•丽+S3•瓦=。.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定

理如图，已知。是△4BC的垂心，且瓦？+2赤+3灰=6,则tan/B力C:tanN4BC:tan乙4c8=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

8.（24-25高一下.上海青浦•期末）已知。为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（）

①若而+而+反=6,则D为△力BC内心

②若（居+禽）•近二°,则ANBC为等腰三角形

③若丽•丽二丽•沃=瓦•方，则。为的外心

④若而=A[7=^—+7=^—}（26R），则点。的轨迹一定经过A48c的重心

\|i4B|sinB\AC\sinCj

A.1B-2C.3D.4

二、多选题

9.（2025・全国•模拟预测）已知。为△4BC的外心，而+彳？=而，则（）

A.而与前不共线B.而与瓦？+沆垂直

C.cosZ.OAC=-D.cosZ.BOC=-

44

10.（25-26高一上•云南昆明・期末）（多选）△4BC中，4B=/C=5,RC=6,点产满足而二不而+y前,

设N=x+y,则（）

A

A.若P为△ABC的重心，则a

B.若P为△ABC的内心，则/l=:

C.若P为△4"的垂心，则2=2

16

D.若P为△4BC的外心，则;1=:

11.（24-25高一下•河北・月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知M是内

一点，ABMC、△AMC、△力MB的面积分别为S.、SB.Sc,且•拓？+SB•丽+Sc•祝=6.则下列说法

正确的是（）

A.若SA：SB：Sc=1：1：1，则M为△4BC的重心

B.若»:S8：Sc=1:2:3,则前二：而+

C.若奇=3而+二冠，则-^-二乙

43SAABC3

D.若M为△力BC的内心，且3两+4而+47Md=6,贝kosC=?

4

三、填空题

12.（2025高三•全国•专题练习）设G为A/IBC的内心，AB=5；AC=4,CB=3,AG=xAB+yBC,则

13.（2025・广东江门•模拟预测）已知点0,G分别是AABC的外心，重心,IB=3,0C=2,则正•尼的值

为.

14.（24-25高一下•安徽•期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形

与“奔驰”轿车的log。很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知。是△A