北京八年级下册数学一课一练-因式分解法、一元二次方程根与系数的关系（同步练习）

第十六章一元二次方程

一一元二次方程和它的解法

16.2一元二次方程的解法

第3课时因式分解法、一元二次方程根与系数的关系

基础过关全练

知识点5因式分解法

1.（2022」匕京通州期末）如果a2+2a=O,那么a的值是（）

A.OB.2C.0或2D.0或・2

2.（2020甘肃兰州中考）一元二次方程x（x-2尸x-2的解是（）

A.X|=X2=0B.X|=X2=1C.X|=0,X2=2D.xi=l,X2=2

3.(2022浙江绍兴柯桥期末)方程(x-2>=4(x-2)的解为()

A.4B.-2C.4或・6D.6或2

4.（2022广西梧州中考）一兀二次方程（x-2）（x+7）=0的根是

5.解方程：（x・3）（3x・2）=6.

6.用因式分解法解一元二次方程:

(1I3X2+6X=0；(2)4X2-144X=0；

(3I(X-2)2-9=0；(4)25X2=10X-1.

知识点6一元二次方程根与系数的关系

2

7.（2021广西玉林中考）已知关于x的一元二次方程x-2x4-m=0有两个不相等的实数根xi,X2,

则（）

A.Xl+X2<0B.X|X2<0C.X|X2>-1D.X|X2<1

8.（2022湖南益阳中考）若x=-l是方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是（）

A.x=-1B.x=0C.x=lD.x=2

9.（2022湖南娄底中考）己知实数xi,X2是方程r+x-lR的两根，贝UxiX2=.

10.（2022北京大兴三中期中）若x=2是一元二次方程x2-mx-2=0的一个根，则m=,方

程的另一个根是.

11.（2022四川眉山中考）设xi,X2是方程X2+2X-3=0的两个实数根，则□；+匚3的值为.

12.（2022北京平谷期末）已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0.

⑴求证：此方程总有两个不相等的实数根：

⑵若此方程有一个根是x=（）,求出m的值和另一个根.

13.（2022北京东城模拟）已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m+l=0.

⑴求证：该方程总有两个实数根；

⑵若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值.

14.（2022四川南充中考）已知关于x的一元二次方程x2以xik-2=0有实数根.

（1）求实数k的取值范围；

⑵设方程的两个实数根分别为XI,X2,若（Xl+l）（X2+l）=l,求k的值.

能力提升全练

15.（2022大津中考）方程x2+4x+3=0的两个根为（）

A.xi=l,X2=3B.XI=-1,X2=3C.XI=1,X2=-3D.xi=-LX2=-3

16.（2022广东深圳龙岗弘扬学校期中）用公式法解方程4yA12y-3=0,得到（）

-3±V63±石八3±2A/3-3±2V3

A.y=B.y=—C.y=^—D.y=——

17.（2022山东聊城中考）用配方法解一元二次方程3X2+6X-1=0时，将它化为（x+ap=b的形式,

则a+b的值为（）

A.-B.：C.2D；

333

18.（2022北京中考）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值

为

1

4-C4

.--

A.44

19.（2022北乐西城期中）解下列万程：①3x2-27=0；②x2-3x-1=（）；③（x+2）（x+4）=x+2；④

2（3x-l）2=3x-l.较简便的方法依次是（）

A.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法

B.因式分解法；公式法；配方法；直接开平方法

C.直接开平方法；公式法；公式法；因式分解法

D.直接开平方法；公式法：因式分解法；因式分解法

20.（2022内蒙古呼和浩特中考）已知xi,X2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式一

2022x1+田的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

21.（2021北京四十三中期中）等腰三角形的一边长是4,另两边的长为方程x2・6x+m+l=0的两

个根，则1.为（）

A.7B.8C.4D.7或8

22.（2022北京海淀建华实验学校期中）已知M=8x2-y2+6x-2,N=9x2+4y+13,则M-N的值为（）

A.正数B.负数C.非正数D.不能确定

23.（2022北京西城期末）在等式（口+5）2=49中，□内的数等于.

24.（2022上海中考）已知关于x的方程x2-2V3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范

围是.

25.（2022云南中考）方程2x2+l=3x的解为.

26.（2022北京朝阳和平街一中月考）李伟同学在解关于x的一元二次方程x2-3x+m=0时，误将

-3x看作+3x,得到的解为xi=l,X2=-4,则原方程的解为.

27.（2022湖北鄂州中考）若实数a、b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且/b,则上+上的值

□□

为.

28.（2021湖北仙桃中考）关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个实数根a,B，且上+'=1,则

29.（2022贵州贵阳中考）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配

方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.

®X2+2X-1=0；②X2-3X=0；

③x?-4x=4；@X2-4=0.

30.用恰当的方法解下列方程:

(1)(2022江苏无锡中考谭-2乂-5=0；

⑵(2022黑龙江齐齐哈尔中考)(2X+3)2=(3X+2R

(3)(2022北京房山期末)(m-1F1+m=0.

31.(2022北京门头沟期末)阅读材料，并回答问题：

王林在学习一兀二次方程时，解方程x2+4x-2=0的过程如卜：

解：X2+4X-2=0,

.*.X2+4X=2@»

.*.X2+4X+4=2@,

，(X+2)2=2③，

Ax+2=±V2©,

・・・x+2=0或x+2=-0⑤，

•'.x尸6-2,X2=-A/2-2(6).

问题：(1)王林解方程的方法是;

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

⑵上述解答过程中，从第步开始出现了错误(填序号)，错误的原因

是;

⑶在下面的空白处，写出正确的解答过程.

32.（2019北京中考）关于x的方程x2-2x+2m-l=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时

方程的根.

33.（2022湖北随州中考）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+l）x+k2+l=O有两个不等实数根"

X2.

⑴求k的取值范围；

（2）若x1X2=5,求k的值.

34.（2022湖北十堰中考）已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=（）.

⑴求证：方程总有两个不相等的实数根；

⑵若方程的两个实数根分别为a,0,且a+2P=5,求m的值.

35.（2021北京中考）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.

⑴求证；该方程总有两个实数根；

⑵若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

素养探究全练

36.阅读下面的材料，回答问题：

解一个一元四次方程X4-5X2+4=0,根据该方程的特点，它的常规解法：

设x2=y,那么X’二y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得W二1,y2=4.

当y=］时，x2=l,Ax=±l；

当y=4时，X2=4,x=±2.

原方程有四个根：Xl=l,X2=-LX3=2,X4=-2.

请你按照上述解题思路解方程(X2+X)2-4(X2+X)-12=0.

37.(2022北京平谷期末升阅读下列材料：

我们知道对于二次三项式a2+2ab+b?可以利用完全平方公式，将它变形为(a+b)2的形式，但是

对于一般的二次三项式x2+bx+c就不能直接应用完全平方公式了.我们可以在二次三项式中先

加上原式中一次项系数的一半的平方，即使其凑成完全平方式，再减去Gy,使整个

式子的值不变，这样就有x2+bx+c=fn+；j+m.例如X2-6X+1=x2-6x+9-9+1=(x-3)2-8.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)将多项式X2-4XI3变形为(x।m)21n的形式;

⑵当x,y分别取何值时，x2+y2-4x+6y+28有最小值?求出这个最小值;

⑶若m=a2+b2-1,n=2a-4b-7,则m与n的大小关系是.

第十六章一元二次方程

一一元二次方程和它的解法

16.2一元二次方程的解法

第3课时因式分解法、一元二次方程根与系数的关系

答案全解全析

基础过关全练

1.D由。2十2。二0,得。(。+2)=0,.*.6/1=0,。2=-2.故选D.

2.D由x(x-2)=x-2,得x(x-2)-(x-2)=0>提公因式，得(x・2)(x-l尸0,.,・x・2=0或x-l=0,解得x\=\,

》=2.故选D.

3.D由(X-2)2=4(X-2),得(.2产-4(42)=0,提公因式，得伏-2)(x-2-4)=0,所以x-2=0或x-6=0,

所以羽=2,12=6.故选D.

4.xi=2,X2=-7

解析由(x-2)(x+7)=0,得x-2=0或x+7=0,所以xi=2,汇2=-7.

5.解析原方程可以变形为3X2-!lx=0>x(3x-l1)=0,所以x=0或3x-\1=0,解得xi=0>X2=—.

3

6.解析(1)因式分解，得3X(JV+2)=0,或x+2=0,/.xi=0,X2=-2.

(2)因式分解，得4x(x-36尸0,4,r=0或x-36=0,

/.xi=0,X2=36.

⑶因式分解，得(x-2+3)(x-2-3尸0,即(x+l)(x-5)=0,.・.x+l=0或x-5=0,

.*.X|=-1,X2=5.

(4)将原方程转化为25f-10Hl=0,

因式分解，得(5%-1)2=0,.•・Xl=X2=；.

7.D根据题意得川+犬2=2>0,J=(-2)2-4xb/77>0,解得加〈I,所以如尤2=/〃<1.故选D.

8.B设x2+x+//z=0的另一个杈是x=a,-1+a=-1,

；・a=0.故选B.

9.-1

解析,「Xl,X2是方程1十41=0的两根，.•.XIX2二-1.

10.1；-1

解析设方程的另一个根为y.-a,则2a=-2,2+a=m,a--1,m=I.

11.1()

解析Vxi,X2是方程/12^3=0的两个实数根,

/.Xl+X2=-2,XI-X2=-3,

；・□；+□2=(x1+X2)2-2xiX2=(-2)2-2x(-3)=10.

12.解析⑴证明：J=(-m)2-4x1x(m-2)=m2-4/n+8=(W-2)2+4,

V(/??-2)2>0,/.(,W-2)2+4>0,即。>0,

・・・此方程总有两个不相等的实数根.

⑵・・•方程有一个根是.r=0,.*./n-2=0,解得m=2,

，此方程为f-ZD,即MX-2)=0,解得其=0,X2=2,

・••此方程的另一个根是42.

13.解析(1)证明:VJ=[-(m+2)]2-4x1x(m+1)

=//z2+477?+4-4/n-4=/rr>0,

・・・该方程总有两个实数根.

⑵设该方程的两个实数根分别为XI,X2,

由题可知M+犬2=0,

'.*X14-X2=/n+2,

:.，〃+2=0,解得m=-2,故”的值为-2.

14.解析⑴根据关于x的一元二次方程f+3x+A-2=0有实数根，得』=32-4xlx(A-2)沙解得任匕

4

即k的取值范围是长二

4

⑵,方程1+31+&-2=0的两个实数根分别为幻，X2,/.AI+X2=-3,x\xi=k-2,

(XI+1)(X2+1)=-1,/.X1X2+(X|+X2)+1=-1>

・,《-2+(-3)+1=-1,解得上3,・••攵的值是3.

能力提升全练

15.DVX2+4X+3=0,(x+l)(x+3)=0,，x+l=0或x+3=0,/.xi=-l,X2=-3.故选D.

16.C由i=4,/?=-12,c=-3,J=(-12)2-4X4X(-3)=192>0,

=w=更在故选c

2口82

Ii44

17.B*.*3f+6x-1=0»3X2+6X=1»/.JT+2X=-，配方得f+2x+1=-+L即(x+1)2=-,:.a=1»b=-,

故选B.

18.C根据题意得/=12.4X].Z〃=O,解得〃」.故选C.

19.D①3f-27=0适合用直接开平方法；②42・3片1=0适合用公式法；

③a+2)(x+4)r+2适合用因式分解法；④2(3.*1)2=3.1适合用因式分解法.故选D.

20.A把x=xi代入得□沁i-2022=0,即口彳-2022Kl,

*.*X|,X2是方程f-x-2022=0的两个实数根，

.*.xi+x2=l,X\X2=-2022,

则原式二犬1(口；-2022)4-□2=匚；+□2=(X|4-X2)2-2.V|X2

=1+4044=4045.故选A.

2LD・・,一个等腰三角形的一边长为4,另两边长是方程f-6x+〃计1=0的两个根，

；・①当腰长为4时，把44代入原方程得16-24+〃?+1=0,〃?=7,・,•原方程为*6+8=0,设

方程的另一个根为x=m则4+用6,・・・4=2,能构成三集形；

②当底边长为4时，关于x的方程f-6x+机+1=0的两个根是相等的，

J=(-6)2-4(m+1)=0,/./77=8,

・,•原方程为F6x+9=0,，方程的两个根为加支二3,能构成三角形.综上，机的值是7或8.故

选D.

22.B加火=81-)，2+642-(9«+4)，+13)

=-~+61-)2-4)，-15

=-[(x2-6.r+9)+(>?2+4y+4)+2]

=-[X-3)2-G,+2)2-2,

V(X-3)2>0,(y+2)2>0,

/.-(x-3)2-(y+2)2-2<0.:・M-N的值为负数,故选B.

23.2或-12

解析设口内的数为x,则等式(口+5)2=49为(x+5)2=49,两边开平方得，工+5=7或.计5=-7,

解得42或-12.

即u内的数等于2或-12.

24J〃<3

解析•・•关于x的方程f-2A/K+〃2=O有两个不相等的实数根，

.*.J=(-2V3)2-4/H>0,解得加<3.

C1

25.xi=l>X2=-

2

解析#+1=3犬，移项得因式分解得(rl)(2x-l)=。，解得m=1,X2=~.

26.xi=4,x2=-\

解析由题可知f+3x+"7=O的解为制=1,也=-4,

所以〃尸4所以原方程为f-3x-4=0,

分解因式得(x-4)(x+l)=0,解得xi=4,X2=-\.

27.-

3

解析,实数〃、b分别满足。2-4〃+3=0,/?2-4Z?+3=0,且存b,二.。、Z?可看成方程P4x+3=O

的两个不相等的实数根，

「)+门4

/.a+b=4fab=3,・••原式=---=-

3

28.3

解析•・•关于x的方程f-2加计〃户㈤=0有两个实数根小｝

J=(-2m)2-4(m2-/n)>0,解得〃它0,a+0=2m,aff=mz-m.

*.*-4--=——=1,­=1,解得"21=(),"22=3,

□□□□回口

经检验，，〃尸0不合题意，，〃2=3符合题意，.・・m=3.故答案为3.

29.解析①.F+2x-l=0,J=22-4X]X(-1)=4+4=8,

.,.XI=-1+V2,X2=-l-V5.

②因式分解得X(X-3)=0,/.XI=O,X2=3.

③*4尸4,两边都加上4,得/_以+4=8,

/.(X-2)2=8./.X-2=±2V2.

/.XI=2+2-\/2,X2=2-ly[l.

④『-4二0,因式分解得(x+2)(x-2)=0.

.*.xi=-2,X2=2.

30.解析⑴方法一：f-2x-5=0,移项得『-2A=5,

配方得f-2r+1=5+1,即(X-1)2=6,

/.x-l=±V6,解得xi=l+&,X2=1-A/6.

方法二：由_?-2。5=0得/=(-2)2-4xlx(-5)=24,

解得Xl=l+«,X2=1-A/6.

⑵方法一：(2X+3)2=(3X+2)2,

开方得2x+3=3x+2或2X+3=-JX-2,

解得刘=1,X2=-l.

方法二：移项得(Zr+3)2-(3x+2)2=0,

分解因式得[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3i+2)]=0,即5(x+l)(-x+l)=0,

/.x+l=O或-x+l=O,

解得Xl=-LX2=1.

⑶方法一：(w-l)2+(?n-l)=0,

因式分解得(m-1)(m-1+1)=0,即〃?(〃?-1)=0.

ni=0或解得m1=0,〃?2=1.

方法二：整理得〃六〃2二0,因式分解得m(m-1)=0.

/.m=0或/n-l=0,解得i=())mi-1.

31.解析(1)王林解方程的方法为配方法，故选B.

⑵从第②步开始出现了错误，错误的原因是方程右边没有加上4.

(3)X2+4X-2=0,.*.X2+4X=2,.*.X2+4X+4=6,.*.(X+2)2=6,/.X+2=±V6,

.•・x+2=&或口+2=—V6,

.*.XI=A/6-2,X2=-A/6-2.

32.解析・