利用导数解决不等式问题（含比较大小、不等式恒成立（有解）、证明不等式等）（7大基础题型+能力提升+拓展提升）原卷版-2025-2026学年高二数学下学期

利用导数解决不等式问题（含比较大小、不等式恒成立（有

解）、证明不等式等）（7大基础题型+能力提升+拓展提升）

/题型一比较大小;

，逊二财等式

题型三不等式恒成立问题

/基础达标题题型四不等式有颦问金｝

/V-题型五证明非数列型不等式）

_______________/4题型N证明数列型不等式

利用导数解决不等式问题'■题型七双变星不隼式问题

能力提升题

拓展提升题

A基础达标题,

题型一比较大小

1.（25-26高二上,云南昭通•期末）已知q=ln&,b=—,c———则a,b,c的大小顺序为（）

e6

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

（高二上•湖南长沙•期末）设。=三[n），卷]n3，。="则的大小关系为（

2.24-256=a,4C）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

3.（25-26高三上・天津和平・月考）已知函数/（"=》+加肛工€%若〃=/（1083）,6=/（皿32）"=/（2“）,

则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

4.（多选）（24-25高二下•江苏无锡•月考）若〃为正实数，且〃>人，则下列不等式中一定成立的是

（）

A.ln«>\nbB.a—b<e"—e»C.a\na>b\nbD.ert>—a2+a+\

题型二解不等式

1.（23-24高二下•福建原门•期中）已知函数/（X）的定义域为R/'（x）是〃力的导函数,且/（2）=3,

广（》）＜1,则不等式/（力＞4+1的解集为（）

A.(f2)B.(-2,2)C.(2,+oo)D.(-00,4-00)

2.设函数/（x）是定义在R上的偶函数,/'（X）为其导函数，当工＜0时，且"1）=0,则

不等式上。＜0的解集为（）

X

A.（-1,0）11（0,1）B.(-l,0)U(l,+8)

C.(-oo,-l)U(l,+o))D.(-oo,-l)U(0,l)

3.（24-25高二下•安徽•月考）已知定义域为R的函数/*）满足〃1）=L且/（幻+/”（幻＜0,则不等式

e

/（》+1）＞一1的解集是（）

e

A.(2,IQO)D.(8,2)C.(0,loo)D.(8,0)

4.（24-25高二下•河南驻马店•期末）定义在R上的奇函数/（"（/（》）不是常数函数）的导函数为

当记0时，恒有3/（X）+M'（X）N0,则不等式/〃X）＜（3X-1）3/（3X-1）的解集为（）

B.

<4,2>

D.

5.（2025高二•全国•专题练习）设/'（X）为R上的奇函数，当X20时，/'（力-cosx＜0,则不等式

/（x）＜sinr的解集为

题型三不等式恒成立问题

1.（2025•安徽蚌埠•模拟预测）已知函数/（幻=皿公）+巴，其中。＞0.

X

（1）当。=1时，求函数./（X）的图象在X=1处的切线方程；

（2）若/5）2In”恒成立，求a的取值范围.

2.(25・26高三上・安徽滁州•期末)已知函数/(x)=(x+a-l)e'-x,acR.

⑴若4=1,求曲线y=/(x)在点(o,/(o))处的切线方程；

(2)若/(X)之0恒成立，求实数。的取值范围；

(3)若x>0,证明：f(x-a)+x-a>\nx+a-\.

题型四不等式有解问题

1.(25-26高三上•河南•月考)已知函数/(x)=lnx+2ax•(oeR).

⑴当。=-1时，求函数/(力的单调区间；

(2)若g(x)=/")-21,不等式g(x)N-l在［1,+cc)上存在实数解，求实数。的取值范围.

2.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/(x)=hu,g(x)=£-l其中。为常数.

⑴过原点作/(X)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若3xe(O+oo),使/(*)4g(x)成立,求。的最小值.

3.(25・26高三上•湖北武汉•期末)已知函数/(x)=x+^--a\rjc(aeR).

X

⑴讨论函数/(X)的单调区间;

(2)若%求。的取值范围.

题型五证明非数列型不等式

兀

1.(2025高三•全国•专题练习)证明：cos2x+2x<5在0,：上恒成立.

4

2.(24-25高二下•福建福州•月考)已知函数/(x)=x2-21nx.

⑴求函数/0)的单调区间；

(2)求证：当x>2时，/(x)>3x—4.

3.(2026高三•全国•专题练习)已知函数/")=办+1-3+l)eL“cR.

(1)当〃=1时，求曲线y=/")在x=0处的切线方程；

(2)当时，证明：〃x)Nx.

题型六证明数列型不等式

1.(24-25高二上•河南商丘•期末)已知函数/(x)=(x+1)lnx,g(x)=ar-2(aeR)

⑴若/(X)>g(x)对任意的Xw工+⑼恒成立，求实数〃的取值范围：

⑵求证：In2-In3In4...In>---------(w>2,//eN+).

2.(2025・陕西咸阳•三模)已知关于%的函数/(x)=or-lnx-(l+ln2).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当时，In(lx2x3x…x〃)<〃2-〃ln2.

题型七双变量不等式问题

/(x)=«lnx+-x+-^-(a+0)

1.(24-25高二下•四川眉山・月考)已知函数4x'

⑴讨论函数/("的单调性；

⑵设g(x)=2F一〃/(e=2.718…为自然对数的底数)，当a=Je时，对任意司4,4],存在々£。,3),

6

使g(xjz/(x2)，求实数〃?的取值范闱.

2.(2025•辽宁•一模)已知函数/(x)=；X+l1(2为自然对数的底数).

(1)求函数〃x)的单调区间;

(2)设函数0(x)=切(幻+夕(幻+±,存在实数天,X2G[0,1],使得2。(%)<9区)成立，求实数，的取值范

e

围.

B能力提升题」

1.(24-25高二下•四川达州•期末)定义在R上的函数f(x),且/⑴=3,对VxeR,2/(力+八力<0,则

不等式的解集是()

A.(—J)B.(1,+8)C.(e,+oo)D.(-8,e)

2.(2025高二•全国•专题练习)已知a=e°°s,b=lnjrT+Lc=JTT,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

3.（24-25高二下•广东深圳•期中）已知函数/（%）及其导函数/'（x）的定义域均为R,若/（-2）=3,且

/（x）+M'（x）>0,贝不等式（3——5*/（3/一5工）<一6的解集为（）

A.C.(-8,0)=D.(TO,-l)"l,+0O)

4.（24-25高二下•四川广元•期中）设函数“X）是R上可导的偶函数，且/（3）=2,当x>0,满足

2/（力+0（力>0,则的解集为（）

A.(-00,3)B.(-3,-KO)C.(-3,3)D.(一8,-3)U(3,+8)

5.（24-25高二下•辽宁•期末）已知4=lng,,_<-7，。=:，则（）

3°-J4

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

6.（多选）（24-25高二下•山东青岛•期中）已知正数。，/满足>"+=—,则下列结论

2p+sin/>2a+sina

正确的是（）

A.2tf-/7+,>2B.lna+a<ln/7+/

114Illi

C.—+—>-----D.—+—>—T+—

apa+Bead0

7.已知定义在卜卦)上的函数/(x)满足/(r)=/(x),且当04后时，/(x)tam:+/(x)>0,且有

=2,则/(x)<4cosx的解集为.

8.（25-26高三上•北京丰台•期中）己知函数/"）=ln（l-1）.

⑴求曲线V=/（x）在点（。，/⑼）处的切线方程；

（2）求证：当X€（YO,0）时，

9.(2025高二•全国•专题练习)设0VUC1.

小丁口口1xsinx

(1)证明：一一二<「一；

x6x~

(2)若ax-土<sinx,求a的取值范围.

6

10.(25-26高二卜•河北石家庄•期末)己知函数/(x)=lnx+x-l-ln〃，Wf=N*.记/(x)的零点为区一

⑴求6：

(2)求数列｛q｝中的最小项：

(3)证明：^->4(V^+T-1)

a

/=It

C拓展培优题.

1.已知函数/(X)及其导函数/'(工)的定义域为R,/(x)=eR/(x+l)是偶函数，其函数图象为连续不间断

的曲线，K(x-l)[/(x)+r(x)]>0,则不等式y(1门)<e/(3)的解集为()

A.(0,e3)B.Q,e3lC.(l,e3)D.(e,e3)

2.(24-25高二下•辽宁沈阳•期中)设b=21n(sin白+cos，，c=1ln1,则〃、b、c的大小关

J1\J1vzJD

系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

3.(23-24高二下•江苏镇江•期末)设30=15,5"=24,c=l,02s,,则a,b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD,c<a<b

4.(2025•四川成都•三模)若aeR,且e"+21n/>，贝lj()

n

A.a1<bB.a2>bC.e°>尸D./>尸

5.已知函数/(x)的定义域为(0,-巧，/'("为其导函数，若Vxe(0,+8),f(x)>\_f(x)-xf(x)']\nx,则

不等式/3(尸-1)>0的解集是.

6.(25-26高二上•湖南长沙•期末)已知函数/(”=0.与物,〃>0力>0.

(1)当。=6=1时，求/(x)的单调区间：

(2)