2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷01【测试范围：人教A版选择性必修第二册第四~五章】（全解全析）

高二数学下学期第一次月考卷01（人教A版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章数列+第五章一元函数的导数及其应用。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知/'（%）=r（2）lnx-*2+%,则广（2）=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】A

【解析】由"0=r（2）lnx-$2+%,得尸（为=等一X+1,

所以r（2）=•-2+1,解得r（2）=_2.

故选：A.

2.己知等差数列｛%｝的前3项和为18,a5-a2=9,则。6=（）

A.18B.15C.14D.10

【答案】A

【解析】设等差数列公差为d,则由+。2+的=3即+3d=18,

as—a2=3d=9nd=3,则由=3.

从而+5d=3+5x3=18.

故选：A.

3,在数列｛斯｝中，斯+1=<\若％=%则。2025=（）

Zan—\,nn>,

B1

-Ic1D.5

【答案】A

,1

^oan>an<弓，门4

【解析】因为即+1=o1：1且即=e

2Q“—l.an>

所以a?=2QI-1=2x^-1=1,

3i

。3=2a2—1=2x--1=-,

43

。6=2a5—1=2x--l=-/••,

所以｛Qn｝是以4为周期的周期数列,

4

所以。2025=a4x506+l===♦

故选：A.

4.已知函数/(无)=。-2025)0-2026),则f(x)的图象在％=2025处的切线方程为()

A.2x+y—4050=0B.x+y-2025=0

C.2x-y-4050=0D.x-y-2025=0

【答案】B

［解析］f(2025)=0,f(x)=(x-2026)+(x-2025),

广(2025)=(2025-2026)+(2025-2025)=-1,

所以切线方程为y-0=-(x-2025),即x+y—2025=0.

故选：B.

5.已知(QR为等比数列，若a3a4=32,a5=16,则由+〃+Q5H-----1-aQg=()

,00

4950r298T2-l

A.2-1B.2-13D.3

【答案】D

【解析】由题意得｛时｝为等比数列，则设首项为。1，公比为5

因为a3a4=32,a5=16,所以谣q$=32,

联立方程组｛需：备解得仁，

结合题意可得即+。3+。5+…+。99是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和，

由求和公式得前50项和为与髻=殍=中，故D正确.

故选：D.

6.《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20

个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为()

A.24B.22C.20D.18

【答案】C

【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列｛斯卜其中5=20,公差d=4,

再设播放厅最多可以建的座位的排数为n(neN*),

可得20s+哗3x4=1160,即2*+18九-1160=0,

解得九=20或〃=一29(舍去)，即播放厅最多可以建的座位的排数为20.

故选：C.

7.己知/(%)=(0%—。一1)1+工，若0是/(%)的极小值点，则a的取值范围为()

A.[0,4-oo)B.(1,+8)C.[1,+8)D.(0,+8)

【答案】B

【解析】对函数/(%)求导得：/'(%)=ae*+(a%—a—l)e*+1=(ax—l)e*+1,

因为x=0是函数f(x)的极小优点，所以((0)=—e°+1-0,

还需分析((乃在x=。附近的符号变化，

令—(%)=f'(x)=(ax-l)ex4-1,则g'(x)=(ax+a-l)ex,-(0)=(a-l)e0=a-l,

当Q>1时，g，(0)>0,g(x)即「(%)在x=0附近单调递增，

又g(0)=0,所以当％v0时，在％=。附近g(x)=f(x)<0,

当%>0时，在x=。附近g(x)=r(x)>0,满足()是/■(%)的极小值点；

当a=1时，g(x)=r(x)=(x-l)ex+1,g\x)=xe\

当％<0时，g>(x)<0,g(x)单调递减，当x>0时，^(x)>0,g(x)单调递增，

所以9(%)=r(%)ng(o)=o,所以/(%)单调递增,此时f(%)无极小值点;

当a<1时，g，(0)<0,g(x)即r(x)在％=。附近单调递减，又9(0)=0,

所以当x<0时，在％=0附近g(x)=/r(x)>0,当x>0时，在％=0附近g(x)=:(%)<0,

此时。是/(%)的极大值点，不符合题意.

综上所述：a的取值范围为(1,+8).

故选：B.

8.已知函数/'(%)=等，g(x)=ln(x4-1)—ax2,若三也e(0,1］使得/Qi)>9(犯)成立，则实数

Q的取值范围是()

A.a>ln2B.a>ln2C.a>；D.a>;-In2

【答案】A

【解析】由函数/■(%)=号，可得广(工)=等，

当％ijl,e］时,f(x)>0,此时f(%)在［l,e］上单调递增,

所以/Q)在［l,e］上的最小值为f(》)min=/(1)=0,

则勺€口间,3X2€(0,1］使得/(必)>0(必)恒成立,

即女£(0,1］,使得ln(x+D-a/<0成立，即a>如尹成立，

令九(%)=即。>九(X)min，

因为九，(切=册/-2川心+1)=『WX+1),

x4x'3

令3(%)=不言”晨G(0,1］,可得在㈤二岛^一击=言W<0,

所以8(%)在(0,1］上单调递减，所以3(%)<8(0)=0,

所以”(%)<0,可得九(%)在(0,1］上单调递减,所以M%)min=八(1)=ln2,

所以Q>ln2,即实数Q的取值范围为(ln2,+8).

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数f(x)的部分图象如图所示，尸。)是/(外的导函数，则卜列结论正确的是()

A.r⑶<0B.f(-l)>0

c./(-i)-r(-i)>oD./(3)—3r(3)>0

【答案】AC

【解析】由/(%)的图象在点8处的切线斜率小于0,即((3)<0,故A正确;

广(一1)表示/'(%)的图象在点A处的切线斜率，故((一1)<0,故B错误；

由图可知/(-1)>0,广(一1)<0，故〃-1)一/'(-1)>0,故C正确；

直线。8的斜率小于/(约的图象在点B处的切线斜率，

即"个0)V尸⑶，所以f(3)—3r(3)V0,D错误.

故选：AC.

10.设S”是等差数列｛斯｝的前几项和，若85<0,言<一1，则()

A.d<0

B.\a7\<\aQ\

C.当却取得最大值时，n=7

D.使S“>0成立的最大整数几为13

【答案】AC

【解析】A:因为Sn是等差数列｛斯｝的前几项和,

所以由S15<0=竺"巴R<0=上爱<0=>a8<0,

由?<-1=。7>—。8=。7+>0，而即V°，所以。7>°，

**8

因为数列｛斯｝是等差数列，所以等差数列的公差dvO,因此本选项说法正确；

B：由上可知：a7+aQ>0,且。8<。，所以。7>。，且|。7|>1。81，所以本选项说法不正确：

C：由上可知：即<0,«7>0,因此数列的前7项都是正数，从第8项起每项都是负数，

所以当〃=7时，S”取得最大值，因此本选项说法正确；

D：因为。7+。8>0，

所以514=143：04)=7(07十口8)>0,又S15<O，

所以使S”>0成立的最大整数71为14,因此本选项说法不正确，

故选：AC.

11.对于三次函数/'(%)=。炉+b%2+cx+d(Q不0),给出定义：r(x)是函数y=/(%)的导数，/"(%)是函数

尸口)的导数，若方程尸(幻=。有实数解功,则称。0，/(0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经探究发现:

任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数f(x)=

|x3-x2-12x+^,则下列说法正确的是（）

A.f（x）的极大值点为除Z

B./（%）有且仅有3个零点

C.点@,2）是函数/（%）的对称中心

D-，（康）+，（嬴）+，（薪）+…f（微）-4048

【答案】BCD

【解析】A选项，由函数/（为=声3T2-12%+弓,可得/（无）=2/—2%—12=2（%—3）（%+2）,

令/''（X）>0,解得XV—2或％>3；令r（%）V0,解得一2VXV3,

所以函数/0）在（一8,—2）上单调递增，在（-2,3）上单调递减，在（3,+8）单调递增，

当”=一2时，/•（%）取得极大值，极大俏为/"（一2）=与，所以极大值点为一2,故A错误；

B选项，由A知，当x=3时，/（%）取得极小值，

极小值/（3）=18-9—36+?=—岸<0,且当—8时，/（x）^-oo,

127

当XT+8时，/（x）->+CO,/（—2）=—>所以函数/（劝有3个零点，故B正确；

C选项,由「（乃=2炉一2%-12,可得尸（%）=4%—2,

令尸（为=0,可得％=",又由熊）=卜63-Q）2_12x#詈=2,

所以点弓,2）是函数/（为的对称中心，故C正确；

D选项，因为G，2）是函数/（后的对称中心，所以/（乃）+/（1一%）二4,

令S=f岛）+f隘）+f（/）+…+/（豁，

可得小（豁+f豁（+喷1）+・*岛），

所以2S=，/）+/'德|）］+f［（嘉）+f（毁）］+,（嘉）+/（第］+…+［，（豁+,（盛）］

=4x2024,

所以S=4。48,即//）+/（嘉）+/（盛）+.../（9）=4048,所以D正确.

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/(乃=炉，则时。+"厂⑴=.

【答案】3

[解析]一"+?一/⑴=lim但产=lim也产

/i-0hh-Ohh->0"

=Hm(3+3h+h2)=3.

故答案为：3.

13.已知等比数列｛斯｝的前n项和为S”，若Sz=12,S4=18,则$6=.

【答案】21

【解析】因为数列｛%｝是等比数列，所以52,S4-S2,S6-S4成等比数列,

因为52=12,S4=18,所以S4—§2=6,所以$6-54=3,

所以§6=21.

故答案为：21.

14.已知函数/(乃是定义在R上的偶函数，其导函数为广。)，且当XV0时，2/(%)+xf1(x)<0,则不等式

(x-2024)2/(%_2024)-/(-I)<0的解集为.

【答案】｛Hx<2023或x>2025｝

【解析】令F(x)=x2f(x),

则F'(x)=2xf(x)+x2f(x)=x[2f(x)+xf'(x)],

由当％V。时,2/(%)+xf'(x)<0,所以户(%)=x[2/(x)+xf(x)]>0,

即F(x)在(一8,0)上是增函数，

由题意/(乃是定义在R上的偶函数，所以/(一为=fQ)，

所以「(-x)=(—x)2f(—x)=x2f(x)=F(x),

所以尸(x)是偶函数，在(0,+8)递减，

所以F(x—2024)=一一2024)2.(%-2024),F(-l)=(-1)2/(-1)=/•(-1),

即不等式等价为F(x-2024)<F(-l),

所以优一2024|>1,解得XV2023或%>2025.

故答案为：一-V2023或%>2025｝.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

己知函数/'(x)=ex(x2+ax+l)(aeR).

(1)当Q=0时，求曲线y=/'(x)在点(0/(0))处的切线方程：

(2)求/'(为的单调区间.

15.(13分)

【解析】(1)当a=0时/'(%)=ex(%2+1),

则f(O)=1.尸(丫)=ex(r2+1)+2xex.

所以尸(0)=1，则切点为(0,1)，切线的斜率k=l，

所以切线方程为y=%+l；

(2)函数/(乃=眇(/+(1%+1)的定义域为七又r(x)=e”(x+Q+l)(X+l),

当a<0时、则当一1VxV-l-a时(Q)<0,当%>一1一。或xV—1时r(>)>0,

所以/(%)的单调递减区间为(一1,一1一a)，单调递增区间为(一1一a,+8),(-oo,-l);

当。=。时:(刈=ex(x+I)2>0(当且仅当x=-1时取等号)，

所以/'(X)的单调递增区间为(一8,+00),无单调递减区间；

当a>0时，则当一l-QVx<-1时尸。)V0,当%>—1或％<—1一。时,。)>0,

所以/•(%)的单调递减区间为(一1一。,一1),单调递增区间为(一1,+8),(_8,一1一办

综上可得：

当aV0时/(乃的单调递减区间为(一1,一1一。)，单调递增区间为(一1一a,+8),(-CO,-1)；

当。=0时/(乃的单调递增区间为(一8,+8),无单调递减区间：

当a>0时/(X)的单调递减区间为(—1—u,—1),单调递增区间为(—1,+8),(—oo,—1—a).

16.(15分)

已知数列｛斯｝满足3即+1=2&+1,且%=3.

(1)求证：数列｛斯一1｝为等比数列；

(2)求数列｛期+n｝的前n项和

16.(15分)

【解析】(1)v3an+i=2an+1,.-.3an+i-3=2an+1—3,

即3(即+1—1)=2(an-1),乂的一1—2,

a”+i-l2

'=3*

.•・数列｛册一1｝是以2为首项，q=：为公比的等比数列.

(2)由(1)可知“-1=2X(旷、・•・斯=2x(|广'+1,

'.an+九=2x(|)+n+1,

1

则S”=2x(1)0+2+2x(I)+3+…+2x0T+(n+1),

Sn=2x[Q)0+(I)1+…+(旷j+[2+3+…+(九+1)],

Sn=2X冈吸)1+^122=6-6X⑥”+嘤.

3

17.(15分)

已知函数f(%)=ex-ax-l(aeR).

(1)当。=2时，求函数f(x)QE[0,lD的最值；

(2)当Q<1,讨论函数/(乃的零点个数.

17.(15分)

【解析】(1)当a=2时,/(x)=ex-2x-l,对其求导得尸1)=小一2.

令尸(%)=0,即e，—2=0,解得x=ln2.

当x€[0,ln2)时，ex<2,所以尸(乃V0,/(%)单调递减；

当》W(ln2,l]时,ex>2,所以广(%)>0,/(%)单调递增.

则f(x)在工=ln2处取得极小值，也是最小值.

ln2

/(x)mln=/(ln2)=e-21n2-1=2-21n2-1=1-21n2.

且/'(())=e°-2x0-1=0,f(l)=e1-2xl-l=e-3.

因为e-3<0,/(x)max=f(0)=0,

综上所得，当Q=2,X€[0,1]时，/(x)min=1-21n2,f(x)^ax=0.

(2)f(x)=ex-a,

①当aWO时，ff(x)>0,所以/(x)在R上单调递增，又因为f(0)=0,所以函数/(%)只有1个零点;

②当0<Q<1时，由广(%)V。得“VIna,所以/(X)在(-8,lna)上单调递减，

又由尸(%)>0得％>Ina,所以/Xx)在(Ina,+8)上单调递增，

因为/(0)=0，且Ina<0所以f(lna)<0,

因为“一》=e4>0,所以存在与W(一去0)使得7(%1)=0.

所以函数/(%)有2个零点；

综上所得，当a40时，/(%)有且仅有一个零点：当OVaVI时，/(%)有两个零点.

18.（17分）

已知数列｛斯｝的前〃项和为Sn,Qi=3,an+1=2Sn+3"i.

⑴求证：数歹U快｝是等差数列.

(2)设正=',数列也｝的前〃项和为加.

①求

②若对任意的正整数〃，不等式12—7\<，3n恒成立，求实数人的取值范围.

18.(17分)

【解析】(1)证明：因为即+i=2Sn+3"l,

n+1

可得Sn+1-5八=2Sn+3"1,所以Sn+1=35〃+3,

两边同除以3卅，可得需=舞+1,即翳一蜘=1,

又因为%=3,可得知=牛=1,

JD

所以数列｛余｝是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)解：①由(1)可得今=1+(n—1)二"，

所以5”=展3、可得勾二亲二展(3，

所以7“=1xQ)*+2X(1)2+3X(1)3+(n-1)X+nx(1)".

则孔=IX伊+2X似+3x(1)4+.•.+(…)X俄+"xG广

两式相减，可得/n=1+Q)+(3+-+G)~nXG)

二辿岁!…(沪二…

4

所以几=12-(371+12)x(3”.

②因为12-Tn<A-3n对任意的nGN+恒成立，所以(3〃+12)x(：)“V2•3”,

则入>即手对任意的几GN+恒成立.

3n+123n+153n+12-9n-33

可得c"+i—。=0,

令。2=4n4“+l4n―4"+1-"

所以数列｛6｝是递减数列，

当77=1时，J取得最大值M所以八泉即实数2的取值范围是年,+8).

19.(17分)

设函数y=f(x)在区间D上的导函数为/'(%),且r(x)在。上存在导函数f"(x)(其中/(幻=［尸(%)］)定义:

若区间。上/"(")>0恒成立，则称函数/'(%)在区间。上为凹函数.

(I)判断函数/'(%)=?在区间(0,+8)上是否为凹函数？并说明理由；

(2)是否存在实数a,使得函数g(%)=汕?一#,%—Ina—3在区间(0,+8)上为凹函数？若存在，求

实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

(3)设k€Z且k>0,对于任意的无€(0,+8),不等式i+亭+】)>京成立,求攵的最大值.

19.(17分)

［解析］(1)••,/■(X)="：.r(x)=-犷(%)=*

•••x>0时，f'Xx)>0,

••・函数/(%)="在区间(0,+oo)上是凹函数.

(2)♦:g(x)=1ae2x-1x2(lnr-Ina-,

•••g'(x)=ae2x-x(lnx-Ina-1)-=2ae2x-Inx+Ina,

若g(x)在区间(0,+