安徽省安庆市2026届高三年级下册第二次模拟考试 数学试卷（含解析）

安徽安庆市2026届高三二模数学试题

一、单选题

1.已知复数z满足z-2i=zi,其中i是虚数单位，则z的模忖等于()

A.1B.&C,—D.；

22

2.已知集合“=卜|041082(刀+1)＜2},%=卜上2+X一2＜0},贝！MC|N=()

A.[0,2)B.(-0)C.[0,1)D.(0,1)

3.已知等比数列{叫(〃eN)其公比q＞0,则殳口的最小值为()

A.3B.2A/2C.y/2口.与

4.已知々＞1,函数/(x)=2°+*-〃2*(xeR)为奇函数，则〃2)=()

A.15B.—C.—D.4

24

5.已知向量a,力，且卜卜忖=2,卜+q一卜/一〃卜2,则向量a,5夹角的余弦值为()

A.士包B.一且C.且D.③

4444

6.已知函数/")=2411(04+0)]。＞0,网＜5)的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是()

7.三棱锥的底面为边长为1的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两个为等腰直角三角形，则该三棱锥

的体积下可能为()

A.B•冬V2D.

12~2424

8.椭圆。：5+£=1(〃＞力＞0)的左、右焦点分别为小

尸2,。上点。位于第一象限内，。为坐标原点,

OM=；OP,线段与y轴交于点N(o,l)且NM〃”，若乙尸£鸟的面积等于86，则cosNME=()

3石

二、多选题

9.已知等差数列｛q｝的公差为dwO,其前〃项和为5“，且4o(4°+qJ<O,贝lj(

A.S19s2Q<0B.斯如<0

D.若4=1,则dw(一^，一2

C.若4<°,则“20”>“2026

19

10.在棱长为1的正方体ABC。-中，点尸是正方形A8CD内(含边界)一动点，若点。到平面人阻

的距离为且，则()

2

A.点尸的轨迹长度等于建

B.平面A4G

C.直线BP与平面A8G所成角的正弦值的最大值为亚

3

D.异面直线5P与G。，所成角的余弦值的最小值为当

H.已知函数/(x)=cosx+lnx,将/(x)的所有极值点按照由个到大的顺序排列，得到数列｛4｝,对于任

意的正整数女，则()

A.x^｝-xk<nB.是极小值点

C.x2t+2-x2t<2nD./(&)</(与-2)

三、填空题

12.统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表：

月份123456

月降水量/mm584853465656

则该地区上半年月降水量的75%分位数为.

13.在平面直角坐标系宜外内，I员|C:(X+3)2+()，-3『=4,若直线绕原点。逆时针旋转90。后

与圆C恰有两个交点，则〃的取值范围是___________.

14.有正整数占住=1,2,,6),满足西工电工…4％,且%+与+…+%=中2…%，现从以上6个正整数

中任选3个组成三位数，则组成的不同三位数个数有.

四、解答题

15.VABC中，角A5,C所对的边分别为a也。且c=3sinA.

(1)若tanA=2,求tanC的值;

(2)求伫鸟的最大值.

an

16.某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若

棋手输给机器人，则棋手得T分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手

得分不低于1分，则棋手获胜.在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为0.3,棋手输给机器人的概率为0.5,

平局的概率为0.2.每局比赛的结果互不影响.

(1)求三局比赛结束后棋手得2分的概率；

(2)在比赛过程中，棋手每赢I局，获奖金10(H)元，输给机器人或平局都没有奖金.记三局比赛结束后棋手

获得的奖金为X元，求X的分布列与数学期望.

17.如图，在斜三棱柱中，AB=AC,侧面向BCG为矩形，A在底面44。内的射影为0.

(2)若8c=2以=及08,AH与底面A8C所成角的余弦值为g,求平面仅8与平面。石的夹角的余弦值.

18.已知直线1=0与抛物线6：/=2〃>，(〃>0)相切，抛物线与抛物线C关于/'：y=x对称，点A

为g上一动点，若过点A可以作G的两条切线AB,AC分别交G于注。两点.

(2)若点A的纵坐标为-4,求忸

(3)求证：直线8c与抛物线C1相切.

19.已知函数/(x)=芋翌,

1—2.V2

⑴证明:函数/("的图象为轴对称图形;

(2)当入40,；)时，证明：lv/(x)<5；

(3)若数列伉｝满足：x>0?=；,2%=1-正七〃eN'),证明:

1ti-击＜引汰+\H(/

参考答案

1.B

【详解】因为z-2i=zi,所以z-zi=2i,即z(l—i)=2i,

可得“二二上空L2i+2i'2i-2..

-----==i-l

1-i(l-i)(l+i)1-i22

则忖==&.

2.C

【详解】解不等式0§og2(x+l)<2得0Wx<3,即集合M=[0,3),

解不等式f+x—2<0得一2qVI,即集合N=(-2,1),

则历cN=[O,l).

3.B

【详解】由题意知等比数列血｝(及wN)其公比”0,

则也空=网空售LU=N+h2、库7=2夜，

%qqYq

2

当且仅当F=。'，即4=啦时取等号，

q

故的最小值为20.

a5

4.A

【详解】因为/(X)是奇函数且xeR,则〃。)=2"-2。=0,

解得2“-2a=0,

设的幻=2“一2〃，则/⑷=2/2-2,

72

令/(〃)=(),则2"=三，因为2,单调递增，且六>2,

In2In2

所以存在唯一生(%>1),使g'(ao)=。，

所以当“<=(7,%)时，/(〃)<:(),g(a)单调递减，

当aw(%,+co)时,g\a)>0,g(。)单调递增,

所以g(〃)最多有两个零点，

观察到以1)=0，以2)=0,所以。=2是a>1时唯一零点,

即〃=2是2。-2a=0在上唯一的解，经检验，。=2满足题意，

所以/(力=2?7-4•2\则f(2)=2*—422=15.

5.C

【详解】已知|a|=W=2,根据模长平方公式：,+d=|a『+加力+W=8+8cos9,

|«-/?|=|a|2+|/?|=8-8coS6,

再由卜+可_卜一+2,移项得卜+小卜川+2,

两边平方：,+〃「二,一6『+4,一可+4,

代入展开式：8+8cos。=（8-8cos。）+4,一司+4,

整理得：4cos0-\=\a-b\,因为模长非负，故4cos6-l之OncosON；,

再次对4cos6-l=卜-〃|两边平方得：（4COS，-1）2=8-8cos。，

展开化简得：16COS3=7,即cos?"三，得cosO=±也，

164

结合cos。*,舍去负值，得cos0=也.

44

故选:C

6.D

【详解】由图像可知，当x=0时，/（0）=73,代入f（x）=2s像5+8）得:

2sine=途nsin9=^,又因为|同,因此e=g,

又由图像可知，当时，/（［）=0,且该点是函数下降段的零点，

JJ

则代入得：co^+^=n+2kji=＞（o=2+6k,keZ,

JJ

又由图像可知周期丁满足，1＜弓＜4=＞寻＜7＜¥=斗＜生＜¥=1＜0＜3,

432333。32

所以只能取2=0,得。=2,因此函数解析式为：/*）=2sin（2x+^,

再由正弦函数的对称轴满足：2A+^=^+A7t=＞X=^+y^GZ,

,.fa兀兀57t

令〃二-1,得工=-----=----.

12212

7.D

【详解】（1）△BCD是等边三角形，且A3_LAC,AO_LAC,如下图所示，

由干ABcAZ）=A,A&AQu平面A6。，所以AC_L平面ABO,

因为3c=4£)=8=1,AB=AD=AC=—,所以AB?+A0?=80?，

2

所以M_LAD,则匕"co='x［xxx.

A~BCD3222224

(2)△8CO是等边三角形，且A8_L8DA8_L8C,如下图所示,

由于80cBe=8,3D,4Cu平面8CO,所以44_L平面8CO,

(3)△8CO是等边三角形，且AB_LB£>,CO_LAC,如下图所示，

取A。的中点0,连接。氏。。，^\BC=BD=CD=AB=\,AD=4i，

所以O8=OC=LAQ=走，所以O6+OC2=3C2,所以OBJ_OC,

22

所以4O_LO丛AO_LOC,OBC\OC=OtO氏OCu平面O8C,

所以/U)_L平面08c.所以匕ra,=lx［：x坐x孚］x&=*.

8.A

【详解】

设PCW。），根据OM=：OP可得M件《｝

因为所以N（O,1）、M停用、鸟（c,0）共线，

A_JO-A

可得一一=一4，化简得为+Gb=3c（I）,

N_oc-N

33

又因为直线过点N（O,l）、的（-c,O）,可得直线的方程为），=：（x+c）,

代入P5，No）得先=生上，化简得厮=c（N°-l）（2）,

C

联立（I）（2）可得c（%—l）+0，o=3c,易知cwO,所以%-1+先=3,即%=2,

所以％=c（2-l）=c,即P（c,2）.又写（c,O）,所以PKJ.X轴.

S,%用二（忻巴上归入|=，2c-2=2c=8G,解得C=4X/5,

因此忻闾=2C=8>/5,在RtZ\P£八中，|尸用=5时+忻用2=/呵+4=14,

Arn海段8G4后

所以COSNP6K=^=F=—

7

9.ABD

%>°或.4。<0

【详解】由4。(4。+知)<0,得，

4o+4i<°4。+%>0'

即〈八或八，显然为小<。，故B正确；

则九邑。=二("；2-2°,；出。)=19%•10(%+卬)<。，故A正确；

对干C当4<0时，有

&>。

此时d>0,等差数列｛q｝为递增数列，则%切6,故C错误；

对干D,当q=l时，有qo(4()+qJ=(l+9d)(2+19d)<O,

12.(\2A

解得一三<"〈一而，则de，故D正确.

10.ACD

【详解】构建空间直角坐标系，分别以OAOC。。所在直线为x轴，丁轴，z轴,

则可得。(o,o,o),矶1，0),A(i，o，i)，片(i,i,i)<(oji),。(o,o,i),

因为点P在平面48CO(含边界)一动点，则可设点P(x,y,o),设“为点P到平面A8G的距离.

对于A,根据题意可设平面A/G的方程为依+力+cz+d=(),

a+c+d=0

则有力+4=0，解之可得〃=6=c,令a=b=c=l,贝！J可得d=-2,

b+c+d=0

所以平面Ag的方程为x+y+z-2=0,

再根据点到平面的距离公式可求出d==卜+=2|=皆,

Vl2+12+12V32

W0^x<l,0<y<1,所以可求出x+)，=g,

当尸0时，y=l,当-g时，)=0,而xw0,1,即点P为一条线段,

由点尸的轨迹长度为J(g—o[+(o—；J=J1=¥，故A正确；

对于B,因为。C18G，BC.1B.C,所以可知BG1平面。BC1,所以Bqj.。科

同理可证人G~LQM，。用=(1,1,1)是平面ABG法向量，/)/=(乂乂一1),

根据〃平面A8G，则有.力4=0,可求出x+y—1=0,

而由A可知9十。有矛盾,故可判断B错误;

对于C,法（一）直线外与平面所成角为0,则sin'=俞,

而d为点P到平面\BC.的距离，

根据两点之间距离公式可求出,尸卜J（X-1）2+（；7-1J+0：

dos

sin6>=r_l=Ic>要使sin。最大，则只需2/-x+T最小即可，

网产I4

旦仄

当*=；时，2/xi1取最小值为:，所以（sin。）111ax=卡=一，

V8

法（二）点E为AO中点，点尸为CQ中点，根据图形可知当点尸位于线段E尸中点时，

线段8尸最短，BP=—,

4

B「

此时直线板与平面ABG所成角最大，故所成角的正弦的最大值为孟=半，故c正确;

对于D,法（一）设直线3尸与GR所成角度为。，而CQ=（O/,O）,肝=（x-l,y-l,o）

|BP.CQ|

根据异面直线所成角的余弦公式可知cosa=网|函

由C选项可知网=/（/一1『+弓+J

令a+i,TW化简后可得尸I

令”

r1,

4

2彳2/-3/+2卜尸（书—3）-3入3

则/（/）=2

2/一3山9、

2r-3t+-

4J

\_

所以/'（，）=5在/CJ上大于0,所以29为单调递增,

n22/-314—

2r-3/+-4

4

所以cosa最小值为正，

5

法（二）平移GR到C。根据图形可知当点尸位于点尸时,

异面直线即与G。所成角最大，其余弦值最小，最小值为%=半，故D正确.

T

【详解】由题意得/（力的定义域为。+8），则/'（x）=—sinx+g,

而极值点满足r（"=。，则sinx='，结合题意得，＞0,

“I

可得方程的根出现在sinx＞0时，即x«2/7H,2/771+兀）,〃wN时,

而/'（2〃兀+］）＜0,r（2/讥+兀）＞0,

结合零点存在性定理得2用£2的,2〃江+弓，x2n+2G2〃五+弓,2痛+兀

\乙）IN

对于A,由己知得占《（2冗,言）

则Xj-%2W（兀,2兀），不满足占+]—土〈n，故A错误，

对于B,令％=〃+1,且修氏质-*,2也一兀，

令g（x）=/'（x）=-sinK+-，则/（x）=-cosx--,

XX7

\2

令Mx）=g'（x）=-cos.r——7,/（.r）=sinx+9,

当了c（2E-当,2仄一冗）时，//（A）＞0,则〃（x）在（2履一当,2以一冗）上单调递增,

而人（2E-岑＜0,〃（2E一兀）＞0,则〃（2E一当”?（2妹一兀）＜0,

由零点存在性定理得存在与42阮-与,2E-'作为力（“零点，

即存在.%w（2E-名2E-0作为g1X）零点，

令g'（x）＞0，工£（升）,2版一兀），令g＜x）＜0,xe（2E-日丹），

则g（x）在（2布-亨丹）上单调递减，在（x°,2E-兀）上单调递党

即『3在（2E4/o）上单调递减，在国2桁-兀）上单调递增，

而《2而一屈＜0,（伍）＜《2也-屈＜0,/（2E—兀）＞0,

则f'a）r（2E-兀）＜（），由零点存在性定理得存在丹作为r（x）零点，

令r（x）＜0,工«不巧*）,令r（x）〉0,xw（0,2E-兀），

可得/（同在伉用）上单调递减，在（如，2妹-兀）上单调递增，

则工”是/（力的极小值点，故BE确,

对于C,由已知得与e(2Ep2^-nj,%+2w12E+],2E+兀

.而$访(占*+2几)=$皿42&=-^-.

贝I]xlk+2兀w(2E+],2E+it

知

I1I

sinx2A+2=----，而如＜勺八2，则一＞--，得到sing*+2冗）＞sin5.2，

七“2X2kX2k^2

由正弦函数性质得尸sinx在（2履+方2妹+兀）上单调递减，

则+2兀＜与+2»得到X2k+2~X2k＞2兀，故C错误,

对于D,由题意得七人£（2&兀一与,2E一几

x2k+2e2kit+—,2&7t+n

满足％＜a+2，由已知得sinJ=—,则cos.%=一

X2k

可得/（巧J=cosx2,+In-Jl-4-+lnx2,,

VX2k

令=+lnx,且X呜,E）,

而”（力=卧1-J2］）,当X吗,+«＞）时,加（力＞0,

则加⑺在（呈+00）上单调递增，贝J加（A）＜，〃（毛加2），

即f（%）＜/（"+2），故D正确.

12.56

【详解】将6个降水量数据从小到大排列：46,48.53.56,56,58,则样本容量为6.

根据百分位数计算规则，可得6x0.75=4.5

因为4.5不是整数，

所以向上取整为5,因此75%分位数为排序后第5个数据，即56.

13.（-2&,2夜）

【详解】直线/：“一）-。=0的斜率为1,过点（-0）,

绕原点。逆时针旋转90。后，斜率为T,过点（0,一〃），

得到直线x+y+〃=0,若该直线与圆。存在两个公共点,

卜3+3+4

则圆心C（-3,3）到直线x+.y+。=0的距离d=~^/T~<2,

解得一2夜＜〃＜2及，即。的取值范围是（一2&,2夜）.

14.13

【详解】若%="2==&=1，则5+4=%无解；

若±=工2=当=%=1，则4+/+/=天/，所以（占一1）（七,-1）=5,

因为5为质数，―,所以%-1=1,无一1=5,解得天=2,几=6,

若I的个数小于等于3,

由…"凡，可得M+S++%K6。，

又看+w++x6=x,x24,代入得%与4W6%6，所以用看工3%网&6,

因为内工再^…工心，所以可得玉之2,天之2,

所以百々七七天21x1x1x2x2=4,所以内占占七占的值只能为4,5,6.

若x(x2x3x4x5=4,只能是x,=l,x2=1,x3=l,x4=2,x5=2,

则l+l+l+2+2+-%=lxlxlx2x2X6,解得七=g任Z,

若%/占&&=5,因5是质数，无法分解为两个大于等于2的整数的乘积，故舍去;

若七/马凡&=6,只能是％=1，工2=1,巧=1，Z=2,X5=3,

x

则l+l+I+2+3+勺=lxlx|x2x3/,解得线=-^Z,

综上所述：若【的个数小于等于3,该方程无正整数解，

所以6个数字为I,1,1,I,2,6.

从中仔选3个排成三位数.取3个1,有1种排法：

A3

取2个1,取1个2或1个6,有C[f=6种排法；

取I,2,6,有A；=6种排法;

所以组成的不同三位数个数有1+6+6=13.

15.(1)8

⑵2&

【详解】(1)因为c=2/?sinA,MsinC=2sinBsinA,

则sinC=2sinAsin(A+C)=2sinXx(sinAcosC+cosAsinC),

&P(1-2sinAcosA)sinC=2sin2AcosC,

七八1-2sin2A2sin2A2tan2A巾._

所以tanC=-------------=-------；--------------=-；------------,又tanA=2,

I-2sin4cosAsin"A+cos~A-2sinAcosAtan'A+1-2tanA

所以tanC=8；

/c、a?+b?c2+2abcosCsin2C、「

(2)------=------------=----；---+2cosC9

abahsinAsin4

a2+b2_sin2C

+2cosC=2sinC+2cosC=2\/2sin(C+—)

因为5何。=25访8$卜4,ab一1.厂

sinC4

2

当C+f=g,即C=2时，金叱取得最大值2&.

424ab

16.(1)0.054

⑵

X0100020003000

P0.3430.4410.1890.027

E(X)=900

【详解】(1)由题意，要使三局匕赛结束后棋手得2分，

则棋手在三局比赛中嬴了2局，平了1局，

所以三局比赛结束后棋手得2分的概率为C；x0.32x0.2=0.054.

(2)由题意，X的可能取值为0,1000,2000,3000,

而棋手每局赢机器人的概率为0.3,输给机器人或平局的概率为0.7,

则X=0)=07=0.343,p(X=1000)=C；X0.3x0.72=0.441,

P(X=2000)=C；xOB?x0.7=0.189,P(X=3000)=O.33=0.027,

所以X的分布列为：

X0100020003000

P0.3430.4410.1890.027

贝I]E(X)=0x0.343+1000x0.441+2000x0189+3000x0.027=900.

17.(1)证明见解析

【详解】(1)因为4在底面A8c内的射影为0,

所以AO_L平面A8C,

又BCu平面43C,则

在斜三棱柱人中，

BC〃BG,BBXA小

又因为侧面8/CG为矩形，

所以8CJL8g,因此BC_LA4，

因为A4|CAO=A，44,A。＜=平面八人0,

所以8cl平面A40,又40u平面AA。，

所以8C_LAO,结合BC〃B、G，得AO_LB|G.

(2)以。为原点，AO所在直线为工轴，8C平行y轴，

A。所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

由条件8c=204=a。8，

设OA=1,则8c=2,OB=立,

又因为AA与底面A8C所成角的余弦值为:，

所以照=3,即A(T,O,O),A(0，°，2及)，B(l，l，。)，C(I,-1,O),

在平面AA/中，A4,=(1,O,2V2),AB=(21,0),

设平面AA］的法向量为四=(X，y，Z),

AAy•/=0X+2及4=0

则

2%+x=°

ABn}=0

令4=1,解得q=（-2垃,4立1）,

在平面C4田中，=（1,1,-272）,4。=（1,一1,一2〃）,

设平面C4"3的法向量为&=(士,%,z2)，

Xy+y2-2>/2Z2=0

x2-y2-2V2Z2=0

令2=1,解得%=（2及,0,1）,

又因为两个平面的夹角范闱为［0，1］，

口何川i-7i7a

所以c°E由而F

6

18.（1）〃=2

（2）8

⑶证明见解析

【详解】(1)已知直线/：公k1=0与抛物线G：d=2〃y(〃>0)相切,

x-y-1=0、

联立方程组，\,得/一2内+2〃=0

厂=2py

△=4〃2-8〃=0,解得〃=2或〃=0（舍去）.

（2）C,：A：2=4y,

抛物线G与抛物线G关于/'：)，=X对称，所以C?:V=4x,

切线"的方程为尸2匚式》一句，即)"77L+肃，

44

4my.

y--------%+---------,164/7?y._

联立方程组(X+"，)[+〃？，得厂-------x一一广二。，

,/x+〃？y+〃？

丁=4y

即(y+m)x2-\6x-4/〃y=0,

△=16?+4()1+in)x4my\=0,即my；+m2+16=0,

同理myl+nry2+16=0,

所以加是方程〃?y2+m2）,+]6=o的两个根，

16

y%=一，

m

若点4的纵坐标为-4,则〃?=T.片+g=4,）\y2=-4,

14。=J（卜卜3=，^^（凹一为）］+（凹一乃）2，

代人可得|BC|=,="［（凹+%）2-4力必］=8.

（3）直线AC的方程为）'F=%；；2。一寸）,^y=±X+^

-7-31+>2>1+,2

44

416

代人可得y=---x----,即4"a+m2y