人教版八年级数学下册第22章《 函数》每课时教学设计汇编（含六个教学设计）

22.1函数的概念（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

i.内容

本节课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，

把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量，本节课在充分体会运动变化过程中数量变

化的基础上，领会变量与常量的含义。

2.内容分析

函数是初中数学代数领域的核心内容，是刻画现实世界中运动变化关系的重要数学模型，而常量与变

量是构建函数概念的基础和前提，是学生从研究静态数量关系转向动态数量关系的关键节点。本节课依托

学生熟悉的生活实际和数学实例，让学生在感知数量变化的过程中理解常量、变量的含义，其学习内容承

接了小学阶段对简单数量关系、公式的运用，又为后续学习函数的定义、三种表示方法及一次函数、反比

例函数的性质与应用奠定认知基础。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解常量、变量的意义。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义，发展抽象能力。

（2）能结合公式、实际问题分析其中的变最与常量，体会溶动变化过程中的数量变化。

2.目标解析

（1）学生能通过对汽车行驶、票房收入等简单实例的探究，观察并描述变化过程中不同量的取值特征，

自主归纳出常量、变量的定义，实现从具体实例到数学概念的抽象，初步发展数学抽象能力和观察分析能

力。

（2）学生能结合数学公式、生活实际问题，独立梳理变化过程中的数量关系，准确判断其中的常量与

变量，理解常量和变量是相对具体变化过程而言的，能体会运动变化过程中变量之间的相互依存关系，为

后续函数概念的学习做好铺垫.

三、教学问题诊断分析

存在问题：

1.学生受小学阶段静态数量关系学习的影响，难以快速适应对动态变化过程的分析，容易忽略“变化过

程”这一前提，对常量与变量的相对性理解不足，固化地认为某一个量必然是常量或变量。

2.面对实际问题时，学生容易混淆量与量之间的关系，无法快速梳理出核心的变化过程，对隐含在问

题中的常量识别不敏感，导致判断常量和变量出现错误。

应对策略：

1.设计对比性探究问题，通过改变同一公式中的固定条件，让学生在不同变化过程中分析同一量的属

性，直观感受常量与变量的相对性。

2.引导学生掌握“先明确变化过程，再分析量的取值”的判断方法，通过圈画问题中的关键词、梳理

数量关系式的方式，将抽象的实际问题转化为清晰的数学关系，降低分析难度。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能分析实际问题中的变量与常量。

四、教学过程设计

（一）情境引入

“万物皆变，，一行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心

的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化…….在现实世界中，这

种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.（视频：这是一个变化的世界；图片：星系、瀑布、云

朵、发芽）

这（上的世界

为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质,

可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律.

在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示方法.在此基础上，用函数

描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻画变量关系和变化规律中的作用.

设计意图：以“万物皆变”为主题，结合视频、图片等直观教学素材，呈现生活中常见的运动变化现

象，让学生直观感受现实世界中量的变化，激发学生的学习兴趣和探究欲望。自然引出本节课的研究主题，

让学生体会研究常量与变量的实际意义，为后续从数学角度分柝变化现象做好铺垫。

（二）合作探究

思考（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,当行驶时间r分别为lh,2h,5h时,行驶路程s分别为多少?s

的值随，的值的变化而变化吗？

答：该问题反映了汽车行驶的路程s随行驶时间/的变化而变化的过程.在这个过程中，行驶速度的值是

始终不变的，行驶时间,和行驶路程s的值是变化的.

思考（2）电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，

三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为），元，），的值随x的值的变化而变化

吗？

答：该问题反映了电影票房收入），随售出票数上的变化而变化的过程.在这个过程中，电影票的售价是

始终不变的，售出票数x和票房收入），的值是变化的.

思考（3）你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径厂分别为10cm,

20cm,30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随「的值的变化而变化吗？

答：该问题反映了圆的面积S随圆的半径/•的变化而变化的过程.在这个过程中，圆周率”的值是始终

不变的，圆的半径，•和圆的面积S的值是变化的.

思考（4）长方体的体积为1OOOcnH当长方体的底面积s分别为50cm2,100co?,125CH?时，高。

分别为多少?〃的值随S的值的变化而变化吗？

答：该问题反映了长方体的高。随长方体的底面积S的变化而变化的过程.在这个过程中，长方体的体

积的值是始终不变的，长方体的底面积S和长方体的高h的值是变化的.

归纳常量与变量的概念

一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.

问题常量变量

汽车行行驶路程$

行驶速度60km/h

驶问题行驶时间，

电影票票房收入p

电影票的售价40元/张

房问题售出票数X

水中涟园的面积

圆周率冗S

漪问题圆的半径/•

长方体长方体的高。

长方体的体积1000cm'

问题长方体的底面积S

设计意图：选取4个贴近学生生活、数量关系简单清晰的典型实例，让学生通过自主计算、思考交流，

初步感知变化过程中不变的量和变化的量：通过表格梳理的方式，将零散的实例结论系统化，帮助学生从

具体实例中抽象概1括出常量与变量的数学榻念，突出教学重点。

（三）典例分析

例1指出下列问题中的常量加变量：

（1）某市居民生活用水的价格为5元儿记某户的月用水量为X3月应缴水费为），元.

（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费I元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车〃

次，公交卡中的余额为卬元.

（3）用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm,矩形的面积为Sn?.

解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费），是变量.

（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数〃和公交卡中的余额卬是变量.

（3）绳的长度是常量，矩形的•边长x和面积S是变量.

设计意图：选取典型的生活实际问题，紧扣常量与变量的概念，层层递进地引导学生分析问题中的变

化过程和数量关系。同时，让学生进一步感受数学与生活的紧密联系，体会数学的实用性。

（四）巩固练习

1.指出下列问题中的常量和变量：

（I）向一个水池注水，注水速度为0.1nrYmin.记注水时间为xmin,注水量为），n?.

（2）我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示.

年份X20162017201820192020

国内生产总值

746395.1832()35.9919281.1986515.21013567.0

w亿元

（3）一个平行四边形的底边长为5,高力可以任意改变，面积为S.

解：（1）注水速度是常量，注水时间上•和注水量），是变量.

（2）年份x和国内生产总值），是变量.

（3）底边长是常量，高。和面积S是变量.

2.举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量.

例如：一个圆锥的体积一定时，它的高随着底面积的变化而变化，这里圆锥的体积是常量，底面积和

高都是变量.（答案不唯一）

3.对于圆的周长公式。=2兀"，下列说法正确的是（D）

A.C,兀是变量，2是常量B.,•是变量，C是常量

C.C是变量，r是常量D.C,r是变量，2兀是常量

4.在三角形面积公式S=；ah,a=2cm中，下列说法正确的是（C）

A.S,a是变量，力是常量B.S,/?是变量，a是常量

C.S,力是变量，是常量D.S,h,。是变量，；是常量

5.球的体积是M,球的半径为凡则又三产始，其中变量和常量分别是（A）

A.变量是M,R；常量是》B.变量是R,兀；常量是!

C.变量是例，兀；常量是3,4,7tD.变量是例，R；常量是M

6.一支笔2元，买x支共付y元，则2和y分别是（C）

A.常量，常量B.变量，变量C.常量，变量D.变量，常量

7.如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一挂据统计，通常情况下，人的一挂长z（单

位：cm）与本人的身高s（单位：cm）之间的关系式为z=0.3s-3L3,则下列关于变量和常量的说法正确的是

（D）

一拄

A.z是变量，s是常量B.s是变量，z是常量

C.0.3与-31.3是变量，s与z是常量D.s与z是变量，0.3与-31.3是常量

8.已知某汽车耗油量为0.1L/km,油箱中现有汽油50L.如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm,

油箱中的油鼠为yL.则此问题中的常量和变量是（C）

A.常量50；变量x.B.常量0.1；变量y.

C.常量0.1,50；变量》,y.D.常量x,y；变量0.1,50.

9.如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌.在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确

的是（C）

金额206.25

数量25

单价8.25

A.金额、单价是变量，数量是常量B.数量、单价是变量，金额是常量

C.金额、数量是变量，单价是常量D.金额、数量、单价都是变量

设计意图：设计分层练习，既有基础的常量、变量识别题，又有结合数学公式的选择题，还有开放性

的举例题，兼顾不同层次学生的学习需求。通过练习，让学生巩固常量与变量的概念，熟练掌握判断方法。

（五）归纳总结

（六）感受中考

（2022年广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为广，则圆周长C与,•的关系式为C=2w.下

列判断正确的是（C）

A.2是变量B.兀是变量C./•是变量D.C是常量

设计意图：选取中考真题作为练习题，让学生感受本节课知识在中考中的考查形式和难度，进一步巩

固常量与变量的概念，提升学生对核心知识点的掌握程度，实现课堂知识与中考考点的有效衔接。

（七）小结梳理

常量与变量

抽象

具体例子函数的概念

（A）布置作业

1.必做题：习题22.1第1题.

2.探究性作业：

汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系：户W.如果汽车以每时60km的速度行

驶，那么在中，变量是,常量是；如果汽车行驶的时间/规定为1小时，那么在尸W中，

变最是,常量是;如果甲乙两地的路程s为200km,汽车从甲地开往乙地，那么在s=w中，

变量是,常量是.

五、教学反思

22」函数的概念（第2课时）教学设计

一、内容和内容解析

i.内容

本节课是在上一节课学习变量与常量的基础上，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在

观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念。

2.内容分析

函数是初中代数的核心内容，是刻画变量之间对应关系的重要数学模型，本节课是在学生掌握常量与

变最概念的基础上，从具体实例出发探究两个变量的对应关系，进而抽象出函数的定义，是从“认识变易”

到“研究变量间关系”的关键跨越。本节课的学习内容承接了上一节课的常量与变量知识，又为后续学习

函数的表示方法、•次函数和反比例函数的性质奠定基础，同时让学生初步形成“单值对应”的函数核心

思想，’实现从具体到抽象、从感性到理性的认知提升。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：从典型实例中抽象概括出函数的概念。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念，发展抽象能力。

（2）能举出函数的实例，进一步体会运动变化过程中的数量变化。

2.目标解析

（1）学生能通过分析行驶路程与时间、票房收入与售出票数等具体实例的变量对应关系，归纳出“一

个变量取定一个值，另一个变量有唯〜确定的值与之对应”的共性特征，进而抽象出函数、自变量的定义，

理解函数概念的核心是单值对应美系，能准确表述函数的定义，发展数学抽象能力和归纳概括能力。

（2）学生能结合关系式、图象、表格三种形式的实例，判断两个变量之间是否为函数关系，能准确指

出日变量和函数，能根据自变量的值求对应的函数值；能结合生活实际举出函数的实例，描述其中的变量

对应关系，进一步体会函数在刻画现实世界运动变化中的作用，增强数学建模意识。

三、教学问题诊断分析

存在问题：

1.学生对函数概念中“单值对应”的核心内涵理解困难，容易忽略”对于自变量的每一个确定的值，

函数有且只有•个值与之对应”的要求，对•对多的非函数关系识别不清。

2.部分学生混淆“自变量”和“函数”的概念，无法根据实际问题准确判断哪个变量是自变量，对两

个变量的依存关系理解不到位。

应对策略：

2.设计对比性问题，呈现''单值对应”和“一对多”的两种变量关系实例，让学生通过对比分析，明

确函数的单值对应特征，突破教学难点。

2.结合实际问题引导学生分析变量间的依存关系，明确“主动变化的量为自变量，随自变量变化而变

化的量为函数”，通过简单实例反复强化，帮助学生厘清概念。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解函数概念中的单值对应关系。

四、教学过程设计

（一）复习引入

在研究运动变化现象时，为了描述事物的状态，人们经常会引进一些品，通过研究不同最之间的关系，

来认识事物变化的规律.

常量：在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量

变量；在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.

设计意图：通过回顾常量与变量的定义，唤醒学生上一节课的知识储备，为本节课研究变量之间的对

应关系做好铺垫；同时以“研究变量间的关系认识变化规律”为切入点，自然引出本节课的研究主题——

函数，让学生明确本节课的学习是上一节课知识的延伸和深化，形成知识的连贯性。

（二）合作探究

思考第90页“思考”的问题（1）〜（4）中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如

何表示这种关系？

（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,当行驶时间，分别为1h,2h,5h时，行驶路程s分别为多少?s的

值随i的值的变化而变化吗？

行驶时间"h11235•••t

行驶路程Wkm60120180300•••60/

关系式：5=60/.

⑵电影票的售价为4（）元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出18（）张票，三场电

影的票房收入各是多少元?设一场电影售出工张票，票房收入为y元，），的值随x的值的变化而变化吗?

售出票数W张80100105180•••X

票房妆入W元3200400042007200•••40A

关系式：.V=40x.

（3）你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径,•分别为10cm,20cm,

30cm时，圆的面枳S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?

圆的半径r/cm10152030•••r

圆的面积S/cm?10(hr225n40(hr900〃•••nr2

关系式：S=nP.

（4）长方体的体积为1000cm3,当长方体的底面积S分别为50cm2,100cm2,125cm2时，高h分别为

多少?人的值随5的值的变化而变化吗？

长方体的底面积S/cm?50100125

长方体的高A/cm20108…

关系式：力岑.

归纳上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其

对应.

思考（1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简

称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量/与人.这两个变量之间有什么关系？

关系：当变量，取定一个值时，变量力就有唯一确定的值与其对应.

思考（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变

量工和y.这两个变量之间有什么关系？

存款期限与年利率

存款期限W月3612243660

年利率『/%1.151.351.451.651.952.00

关系：当变量x取定一个值时，变量y就有唯一确定的值与其对应.

归纳函数及其相关概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与户并且对于x的每一个确定的值，），都有唯一确定

的值与其对应，那么我们就说工是自变量.），是x的函数.如果当时产儿那么〃叫作当自变量的值为a

时的函数值.

设计意图：先选取上一节课的四个经典实例，通过表格梳理变量的对应值并写出关系式，让学生在熟

悉的情境中感知变量间的依存关系：再补充图象、表格形式的实例，丰富变量对应关系的呈现方式。通过

层层递进的思考，引导学生归纳出所有实例的共性——单值而应，进而抽象出函数的概念，突出教学重

点，同时让学生体会函数的三种常见表现形式。

（三）典例分析

问题（1）：函数关系式：s=60/,其中/是自变量，s是/的函数；当片I时，函数值户60,当/=2

时，函数值s=12（）.

思考（1）：结合图象可得：/是自变审，/?是，的函数；当418时，函数值/?=158.

思考（2）：结合表格可得：工是自变量，），是x的函数；当入=12时，函数值产1.45%.

设计意图：结合探究环节的实例进行典例分析，紧扣函数概念的定义，分别对关系式、图象、表格三

种形式的函数进行解读，明确自变量、图数的判断方法和函数值的求解方式。

（四）巩固练习

1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数.

（1）改变正方形的边长x,正方形的面积S随x的变化而变化；

（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度随时间/的变化而变化；

（3）某天不同时刻的气温如图所示.气温7随时间/的变化而变化；

（4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化.

月份x23456789101112

,.20234395146193186138106864824

y/min

解：（1）是函数关系，正方形的边长x是自变量，面积S是x的函数.

（2）是函数关系，时间,是自变量，游客离地面的高度〃是，的函数.

（3）是函数关系，时间，是自变量，气温7■是，的函数.

（4）是函数关系，月份x是自变量，降水量），是x的函数,

2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数.

例如：一个人的体重随着年龄的变化而变化，年龄是自变量，体重是年龄的函数.（答案不唯一）

3.下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度。是离起点的水平距离,的函数吗？

为什么？

答：蚂蚁离地高度/?不是离起点的水平距离，的函数.

高地高度

水平距离r/cm

234

设计意图：设计分层、多形式的练习，既有基础的函数关系判断，又有开放性的举例题，还有易混淆

的非函数关系辨析题，兼顾不同层次学生的学习需求。通过练习，让学生熟练掌握函数关系的判断标准，

突破“单值对应”这一教学难点，同时强化对函数三种表现形式的认知，能准确指出自变量和函数。

（六）归纳总结

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量.v与7，

自变量:与

并且对于x的每一个确定的值，1，都有唯一确定的值

函数

与其对应，那么我们就说N是自变■,I，是A•的函数.

如果当尸〃时产力，那么力叫作当自变量的值为〃时

函数值

的函数值.

（六）感受中考

1.（2025年贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注

满容器的过程中，容器内水面升高的速度（B）

A.越来越慢B.越来越快C.保持不变D.快慢交替变化

2.（2025年江苏盐城）博物馆到小明家的路程为8km,小明回家所需时间随平均速度v&m/D的

变化而变化，则，与I，的函数表达式是（C）

A.Z=8vB.C./=-D./=8v2

8v

3.（2024年海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0<x<90）,另一个锐角为y度，则），与x的函数

关系式为（D）

A.尸18（）+xB.尸180-xC.y=90+xD.y=90-x

4.（2024年甘肃白银）如图1,“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全

套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组

合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长

桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（B）

田♦.恒回又

图1图2

A.y=3xB.y=4xC.y=3x+\D.y=4x+l

5.（2022年湖南郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流/（A）、电阻三者之间的

关系：/=/测得数据如下:

K

R(。)10020()220400

KA)2.21.110.55

那么，当电阻A=55C时，电流/=—4—A.

设计意图：选取近年中考真题，涵盖函数关系式的建立、函数图象的分析、根据函数关系求数值等常

见考查形式，让学生感受本节课知识在中考中的考查角度和难度，增强学生的中考意识。通过对中考题的

分析和解答，进一步巩固函数的核心^念，提升学生运用函数知识解决实除问题的能力，实现课堂知识与

中考考点的有效衔接。

（七）小结梳理

应用

具体例子描述实际问题

（A）布置作业

1.必做题：习题22.1第2,3,5题.

2.探究性作业：习题22.1第6,9题.

五、教学反思

22.1函数的概念（第3课时）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学习了函数概念的基础上，进一步讨论函数自变量的取值范围，用解析法表示函数关系，

初步体会用函数描述和分析运动变化规律。

2.内容分析

本节课是函数概念学习的延伸与应用，在学生理解函数、自变最、函数值等核心概念的基础上，聚焦

解析法表示函数和确定自变量取值范围两大核心内容，是连接曲数概念与函数实际应用的关键环节。解析

法作为函数最常用的表示方法，能精准刻画变量间的数量关系，而自变量取值范围的确定，既需要考虑数

学式子本身的取值要求，又要结合实际问题的背景，体现了数学的严谨性与应用性。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用解析法表示函数关系。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解并使用解析法表示简单实际问题中的函数关系，发展抽象能力。

（2）会初步分析简单实际问期中的函数关系，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函

数值，发展应用意识。

2.目标解析

（1）学生能结合实际问题的数量关系，写出函数解析式，理解解析式是表示函数关系的数学化形式,

能准确识别解析式中的自变量和函数，发展数学抽象和建模能力，能根据自变量的值热练求对应的函数值。

（2）学生能掌握确定自变量取值范围的两种依据一一数学式子的意义和实际问题的背景，能分别确

定纯数学解析式和实际问题中自变量的取值范围，能结合函数解析式解决简单的实际应用问题，发展数学

应用意识和逻辑分析能力。

三、教学问题诊断分析

存在问题：

1.学生在确定日变量取值范围时.，容易忽略实际问题的背景限制，仅从数学解析式本身判断，导致取

值范围不符合实际意义；对纯数学解析式的取值要求理解不透彻。

2.学生在根据实际问题列函数解析式时，难以快速梳理数量之间的依存关系，容易混淆自变量和函数，

或因数显关系分析错误导致解析式列写失误。

应对策略：

3.采用对比教学，分别呈现“仅考虑数学式子”和“结合实际意义”的自变量取值范围判断案例，让

学生直观感受两者的区别，总结出“先看式子，再结合实际”的判断步骤；通过典型例题梳理分式、二次

根式等纯数学解析式的取值规则。

2.引导学生先分析实际问题中的变量依存关系，明确“谁随谁变"，确定自变量和函数，再梳理不变

量与变量之间的数量关系，通过“文字描述一数量关系一数学式子”的三步法列写函数解析式，降低列写

难度。

基「以上分析，确定本节课的教学难点为：确定简单实际问题的自变量取值范围。

四、教学过程设计

（一）复习引入

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与J，，

自变量与

并且对于x的每一个确定的值，j，都有唯一确定的值

函数

与其对应，那么我们就说z是自焚量，），是A•的函数」

如果当.¥=〃时产儿那么〃叫作当自变量的值为“时

函数值

的函数值.

设计意图：通过回顾函数和函数值的核心概念，唤醒学生前两课时的知识储备，为本节课学习函数的

解析式表示和自变量取值范围做好知识铺垫。

（二）合作探究

例2汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量），（单位：L）随行驶路程x（单

位：km）的增加而减少，已知平均耗油量为0.1L/km.

（1）写出表示），与x的函数关系的式子；

解：行驶路程X是自变量，泊箱中剩余的油量y是X的函数，它们的关系为)=50-O.lx.

(2)指出自变量x的取值范围;

自变量的取值范围：

函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有意义；超出这个范围，函数没有

意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫作函数的自变量取值范围.

分析不考虑实际意义：自变量的取值范围是小取全体实数.

考虑实际意义：x表示的实际意义是行驶路程,所以9，

O.lx表示的实际意义是汽车行驶xkm时的耗油量,所以0.LE50,即7500.

综上所述：自变最的取值范围是量内50().

解：仅从式子尸5()-0.以看，工可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此工不能

取负数•行驶中的耗油量为O.LiL,它不能超过油箱中现有汽油量5()L,即

0.1忘50.

因此，自变量工的取值范围是

0<¥<500.

总结确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.

(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

解：汽车行驶200km时，油箱中剩余的汽油量是函数5-50-0.lx在4200时的函数值.将A-200代入

5=50-0.lx,得产50-0.1X200=30.

因此，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.

函数的解析式的概念

像产5()-0//这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这

种式子叫作函数的解析式.

设计意图：选取汽车油箱剩汩量这一贴近生活的典型实例，分三步层层递进展开探究，先列写函数解

析式，再确定自变量取值范围，最后求函数值，符合学生的认知规律。通过分析“仅考虑式子”和“结合

实际意义”的取值范围差异，让学生自主总结出确定自变量取值范围的双重依据，突破教学难点。

(三)典例分析

例判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解

析式.

(1)水箱中原有水10L,漏水速度为0.05L/h,水箱中剩余的水量M单位：L)随时间/(单位：h)的变化而

变化;

（2）绿水村的耕地面积是106m2,这个村的人均耕地面积M单位：nf）随人数〃的变化而变化.

解：（1）是函数关系，/是自变量，V是/的函数，函数解析式；：V=10-0.05z.

（2）是函数关系，〃是自变量，），是〃的函数，函数解析式：），==.

设计意图：选取两个不同类理的实际问题，紧扣”判断函数关系一>确定自变量与函数t列写解析式''的核

心步骤，进行规范解题示范。两个例题分别涉及一次式和分式解析式，兼顾不同形式，让学生掌握不同背

景下函数解析式的列写方法，进一步强化“梳理数量关系一列写数学式子”的建模思路。

（四）巩固练习

1.梯形的上底长为2cm,高为3cm,下底长M单位：cm）大于上底长但不超过5cm,写出梯形面积S（单

位：cnf）关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围.

解：函数解析式：5=空，即S=）+3,自变量x的取值范围：2X5.

2.举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围.

解：如甲、乙两地相距300km,一辆汽车以60km/h的速度从甲地出发匀速驶向乙地，那么汽车距乙

地的距离s（单位:km）是时间/（单位:h）的函数.

函数解析式：$=300-603自变量的取值范围：0</<5.（答案不唯一）

3.在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系式为产0.3x+12,

则其常数项12的实际意义是弹簧的原长为12cm.

4.在生物实践课的生态瓶搭建项目中，同学们需采购相应实验用具.购买•套价值15元的生态瓶基

础工具包，同时购买若干个玻璃瓶，已知每个玻璃瓶定价为6元.设某小组购买上•个玻璃瓶，付款总金额

为y元，则y与x的表达式为y=15+6x.

5.已知等腰三角形的周长为16,腰长为x,底边长为），，则），与x的函数关系式为n=162r_,自变量

x的取值范围是4q<8.

6.海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80。~85。.为

使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温7（单位：。0随烧水时间/（单位：min）

变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的.

//min02468

77℃1731455973

⑴求水温丁与时间/之间的表达式;

（2）为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？

⑶烧水lOmin后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶.

解：（1）根据表格可知，时间每增加两分钟水温增加14。（2,即时间每增加一分钟水温增加7。（3,

当-0时，得7=17.，水温7与时间，之间的表达式为六7f+17.

（2）当7=80时，即7什17=80,解得片9.所以，至少需要烧水9min.

（3）当1=10时,r=7xlO+17=87>85.所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶.

设计意图：设计分层、多类型的练习，兼顾基础巩固和能力提升。练习中融入梯形面积、弹簧长度、

等腰三角形、水温变化等不同背景，让学生感受函数解析式在不同实际问题中的应用，强化列写解析式和

确定自变量取值范围的能力，提升数学应用能力。

（七）归纳总结

函数的解析式

用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关

系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.

自变

自变是可以取的数值范围叫作函数的自变■取值范围.

量的

确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有

取值

意义，而且要注意问题的实际意义.

范围

（八）感受中考

1.（2022年辽宁大连）汽车油箱中有汽油30L,如果不再加油，那么油箱中的油量），（单位：L）随行

驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为O.IL/km.当0与<300时，），与x的函数解析式是（B）

A.y=O.lxB.y=-0Ax+30C.尸产D.>=-0.1x*12+3430xO

2.（2023年山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm,*

7

每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y化m）与所挂物体的质量入《篦

之间的函数关系式为（B）3

A.尸12-0.5xB.尸12+0.5xC.产10+0.5xD.p=0.5x

3.（2025年云南）函数尸七的自变量x的取值范围为（D）

A.存4B..#3C.#2D.#1

4.（2025年四川内江）在了数尸痴中，自变量x的取值范围是（A）

A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2

5.（2024年黑龙江齐齐哈尔）在函数尸危+击中，自变量x的取值范围是x»3且存-2.

6.（2022年内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数

量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他购买了」一千

克糯米：设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量关于付款金额x（x>10）的函数解析式为一

设计意图：选取近年中考真题，让学生感受本节课知识在白考中的考查角度、难度和题理特点，增强

中考意识，既巩固本节课核心知识，又让学生提前接触中考考点，实现课堂知识与中考的有效衔接；同时

通过中考题的练习，提升学生运用知识解决综合问题的能力。

（七）小结梳理

抽象应用

具体例子描述实际问题

（A）布置作业

1.必做题：习题22.1第4题.

2.探究性作业：习题22.1第7题.

五、教学反思

22.2函数的表示（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习用描点法画函数的图象，初步讨论

函数的变化规律和变化趋势。

2.内容分析

本节课是函数表示方法的核心课时，在学生掌握函数概念、解析式表示法的基础上，重点学习函数的

图象表示法和描点法画函数图象，是“数”与“形”结合的关键教学内容。函数图象能直观、形象地反映

变量间的对应关系和变化规律，描点法是绘制函数图象的基本方法，其操作步骤蕴含着“具体f抽象”“数

一形”的数学思想。本节课的学习承接了解析式法表示函数的知识，又为后续学习一次函数、反比例函数

的图象与性质奠定操作和认知基础，同时让学生初步体会数形结合思想，实现从用数学式子刻画函数到用

图形刻画函数的转化。从知识逻辑来看，解析式、列表、图象是函数的三种表示方法，图象法是对前两种

方法的直观拓展，符合学生“由数到形”的认知规律。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用描点法画出函数图象。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）会用描点法画出函数图象，能说出画函数图象的步骤。

（2）会判断•个点是否在函数的图象上。

（3）能初步通过分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势，体会数形结合思想，发展几何直

观。

2.目标解析

（1）学生能理解函数图象的定义，明确函数图象上的点与自变量、函数值的一一对应关系，能准确说

出描点法画函数图象的列表、描点、连线三步核心步骤，能独立用描点法画出一次函数、简单反比例函数

和二次函数的图象，掌握画图的基本规范和注意事项。

（2）学生能掌握判断一个点是否在函数图象上的方法，即把点的横坐标代入函数解析式，验证计算出

的函数值是否等于纵坐标，能快速准确判断点与函数图象的位置关系。

（3）学生能通过观察函数图象，初步分析变量间的变化规律，体会数形结合思想，发展几何直观和图

象分析能力，能结合图象解决简单的函数问题。

三、教学问题诊断分析

存在问题：

1.学生在使用描点法画函数图象时，存在列表取值不合理、描点位置不准确、连线不规范等问题，导

致画出的图象不能准确反映函数特征。

2.学生在分析函数图象的变化规律时，容易忽略自变后的取值范围，对图象的趋势判断不准确，尤其

是在非一次函数的图象分析中，难以把握整体变化特征。

应对策略：

4.针对描点法的操作问题，通过示范教学规范画图步骤，强调列表时自变量要均匀取值、兼顾正负（若

有），描点时要找准坐标，连线时要按横坐标由小到大用平滑曲线连接：同时设计画图纠错练习，让学生

发现并改正画图中的常见错误。

2.在分析图象变化规律时，引导学生结合自变量取值范围，沿着横坐标从左到右的方向观察图象的升

降趋势，通过标注关键点，帮助学生准确判断函数的变化规律。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会用描点法画出函数图象。

四、教学过程设计

（一）复习引入

由上一节我们知道，用解析式可以表示函数与自变量之间的关系，例如路程与时间的关系；用图和表

格也可以表示函数与自变量之间的关系，例如潮水高度与时间的关系、年利率与存款期限的关系.表示函

数时，要根据具体情况选择合适的方法.

.1000

解析式产60,j=40xS=nr2h=-r

存款期限”/月32460

表格

年利率w%|1.15|1.35|1.45|1.65|1.95|2.00

设计意图：通过回顾函数的三种表示方法（解析式、图象、表格），唤醒学生的知识储备，让学生明

确本节课的研究重点是函数的图象表示法，实现知识的自然衔接。

（二）合作探究

问题正方形的面积S与边氏x的函数解析式为行.根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是

立0.对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观.

追问1如何画出函数S=f的图象呢？

追问2自变量入•的一个确定的值与它所对应的