七年级数学下册【实数-十大题型】含答案

目录

【题型1实数的概念理解】............................................................1

【题型2实数的运算】................................................................2

【题型3估算无理数的大小】..........................................................3

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】...........................................4

【题型5实数与数轴】................................................................5

【题型6实数的大小比较】............................................................6

【题型7程序设计中的实数运算】......................................................7

【题型8新定义中的实数运算】........................................................8

【题型9实数运算的实际应用】........................................................8

【题型10实数运算中的规律探究】......................................................9

知识点1：实数

'正整数

整数0

、负整数I有限小数或无限循环小数

有理数

实数'正分数

分数

负分数

无理数］负套数卜限不循环小数

无限不循环小数叫做无理数.

常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

②含有兀的绝大部分数，如2兀.

【题型1实数的概念理解】

［例1］下列各数是无理数的是（）

A.（）.101001B.-2C.yD.V9

【变式把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①-十，②起，③/—遮，④o,HE,

⑥皿55,⑦一。⑧0（相邻的两个3之间依次多1个0）,⑨0.23,⑩3.14

（1）整数集合：（）

（2）分数集合：（）

（3）无理数集合：（）

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实数•十大题型（学生版）

【变式1・2】—V75的绝对值是,5-回的相反数是.

【变式1-3】已知〃，人都是有理数，且（逐一/）。+2匕=6+3,求Q+b的值（）

A.1B.2C.3D.4

【题型2实数的运算】

【例2】计算：一户一（一2）3义一师x\—U+2+「.

o5

【变式2-1】计算：

(1)T9+(-7)2-A/27+V36；(2)|7-V2|-V2.

-I2024+V725-4X‘+|/_回一(0)1

【变式2-2】计算:

【变式2-3】计算：

（1）闹-闻+J（-2）2；⑵1)2023一导竭

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知识点2：估算法

（1）若0wqVQ＜，则M＜4a＜瓜；

（2）若％则西＜痣＜y；

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算石和汽

的大小.例如：9＜。＜16,则3〈石＜4;8＜。＜27,则2c标＜3.

常见实数的估算值：V2M.414,石F.732,«~2.236.

【题型3估算无理数的大小】

【例3】如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数

D.6

【变式3・1】估算W+W7的运算结果应在哪两个整数之间（）

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【变式3-2］在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家,小

丽抽到的卡上写的是遍-/，小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是.

【变式3-3］下面是小明探索近的近似值的过程:

我们知道面积是2的正方形的边长是V5,易知V5＞/.因此可设立=/十》,画出如下示意图.

由图中面积计算,S正方形=/+2x/・%+）

另一方面由题意知S正方形=2

所以/+2x/-%+/=2

略去大,得方程2x+/=2.

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解得工=0.5.即X1.5.

（1）仿照上述方法，探究石的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

（2）结合上述具体实例，已知非负整数〃、b、m,若a〈标VQ+/,且血=次十从请估算

Vm«.（用〃、人的代数式表示）

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】

【例4】若。是侧的整数部分，力是百的小数部分.贝l」Q+b—V5+/的平方根是.

【变式4-1]已知〃7是遍的整数部分，〃是C的小数部分，则m-n的值为（）

A.-V6B.4-y[6C.4+46D.4

【变式4-2]若【X】表示实数x的整数部分，v%>表示实数x的小数部分，如【W】=/,[V2]=1,

<◎>7-1,则<3-逐〉+[77]的值是（）

A.4-y/lB.1-y[HC.6一百D.V7J-/

【变式4・3】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.

无理数的估算

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此内的小数部分我们不可能全部写出

来，于是我用百-/来表示V3的小数部分，你同意我的表示方法吗？

事实上，我的表示方法是有道理的，因为b的整数部分是1,所以将这个数减去其整数部分,

差就是小数部分.

例如：

VV4<V7<V9,即2V0V3,

•••近的整数部分为2,小数部分为0-2.

根据以上笔记内容，请完成如下任务.

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（I）任务一：，斤的小数部分为

（2）任务二：。为石的小数部分，8为W3的整数部分，请计算a+b—6的值.

（3）任务三：%+y=/0+，L其中x是整数，且。vyv/,求2%-y的相反数.

【题型5实数与数轴】

【例5】如图，面积为7的正方形/BCD的顶点A在数轴上,且点A表示的数为1,若点E在数轴上,

（点E在点4的右侧）且48=4£则点E所表示的数为（)

D.3+V7

【变式5-1】实数〃在数轴上的对应点的位置如图所示,且满足a+bv0,abv0,则原点所在的

位置有可能是（）

BD

11

b

A,点4B.点BC.点。D.点。

【变式5-2】如图,数轴上力、〃两点表示的数分别为—/和O,AB-AC,则点C所表示的数为

()

CA0B

I11

A.-2-V3B.-1—\[3c.-2+V5D./+6

【变式5・3］已知实数/在数轴上的位置如图所示:

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（1）化简：Q+b—V^+2V?；

（2）若/+2|a|的平方根是±0,2。+6-4的立方根是一2,求Q+2b的算术平方根.

【题型6实数的大小比较】

【例6】实数一号—行和一（的大小关系是（）

A.———y/"3＜一：B.一二v--＜—y/"3C.—\/"3＜­——D.一三＜一：＜一\[3

32232332

【变式6-111,—2,0,百这四个数中，绝对值最大的数是（）

A.1B.-2C.0D.V5

【变式6・2】通过估算3,V77,V26,的大小为：（用"V”连接）.

【变式6・3】数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解

决这个问题牛与;的大小.

44

小明的方法：因为旧＞4,所以旧一33,所以当J（填或"V”）

小英的方法：年一;=半，因为2/＜6?=36,所以旧一60,所以与J

444---------------4---------------4

（填或“V”）

（1）将上述材料补充完成；

（2）清从小明和小英的方法中选择一种比较”与g的大小.

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【题型7程序设计中的实数运算】

【例7】如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求歹的值，并写出详细过

程.

【变式7-1］根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为-0，则输出y的值为（）

A.-\［2-5B.1C.-1D.3

【变式7-2］根据下图中的程序，当输入x为36时，输出的值是

口

【变式7-3］如图是一个数值转换器（㈤</0）,其工作原理如图所示.

________________________________.昂升理和_____

一|计算|广2||->他算术平方根|仝硒

是有理数

（1）当输入的x值为一2时，求输出的y值；

（2）若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由;

（3）若输出的y值是行，直接写出工的负整数值.

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【题型8新定义中的实数运算】

【例8】任何实数访可用⑷表示不超过。的最大整数，如⑷=4,[网=/,现对72进行如下操作,

这样对72只需进行3次操作后变为1,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是

72第一次》[^72]=8第二次＞[e]=2第三次a[V2]=\

【变式8-1】用表示一种新运算；对于任意正实数a,h,都有a@b=乃+/,如8@9=e+/,

则?n@（m@9）的结果是.

【变式8-2]若实数〃，。满足a+b=6,我们就说。与6是关于6的“如意数”，则与3-0是关

于6的“如意数”是（）

A.3+42B.3-42C.9-42D.9+0

【变式8・3】用表示一种新运算：对于任意正实数a•匕例如10-21=V102+21=11,

那么E・（V7.2）的运算结果为（）

A.13B.7C.4D.5

【题型9实数运算的实际应用】

【例9】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一

种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果

你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？

【变式9・1】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察

通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是丫=16历.其中v表示

车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），/表示摩擦系数.在一次交通

事故中，经测量d=32米，/=2,请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.

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【变式9・2】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老

师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.

从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使

用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允

许使用一个红包）.

但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一

个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元.

当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式,

优惠更多！”请同学们分析小雷同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可

为元.

【变式9-3］如图，长方形ABCD的长为2cm,宽为/cm.

DC

A2B

（1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出

所拼的正方形；（标出关键点和数据）

（2）求所拼正方形的边长.

【题型10实数运算中的规律探究】

【例10】对于正整数我们规定：若a为奇数，则/@=3Q+/：若a为偶数，贝疗⑷=会例如"均=

3x15+1=46,f（10）=y=5,若卬=8,a2=（13=/（a9,a4=f（a3）,...»依此规律进行

=

下去，得到一列数Q/,。2，A，…，Qn，...»m为正整数），a/+a?+a3+...+a2022-

【变式10-1］按一定规律排列的一列数6，9,乎，乎，其第8个数为（）

3-/3429「国n网

AA-vBD--c--D-—

【变式10-2］已知整数02,。3,。4,...满足下列条件:%=0,a2=-\a,+7|,a3=-\a2+2\t

a4=-|a?+5|,……依此类推，则见024的值为（）

A.-1013B.-2023C.-2024D.-1012

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【变式10-3】将/、06加按如图所示方式排列，若规定(7几几)表示第M排从左往右第九个数.

1第1搏

V26第21t

1y/2第3排

v61v^2第4搏

6瓜\66第5排

♦♦♦♦••

(1)当m=4,九=3时，(m,九)为____

(2)则(7,6)表示的数是

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目录

【题型1实数的概念理解】...........................................................11

【题型2实数的运算】...............................................................13

【题型3估算无理数的大小】.........................................................15

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】...........................................18

【题型5实数与数轴】...............................................................21

【题型6实数的大小比较】...........................................................24

【题型7程序设计中的实数运算】.....................................................26

【题型8新定义中的实数运算】.......................................................29

【题型9实数运算的实际应用】.......................................................30

【题型10实数运算中的规律探究】.....................................................33

知识点1：实数

'正整数

整数0

、负整数I有限小数或无限循环小数

有理数

实数'正分数

分数

负分数

无理数］负套数卜限不循环小数

无限不循环小数叫做无理数.

常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

②含有兀的绝大部分数，如2兀.

【题型1实数的概念理解】

［例1］下列各数是无理数的是（）

A.（）.101001B.-2C.yD.V9

【答案】C

【分析】根据无理数的定义判断即可.

【详解】解：A、O./O/OO/是有限小数，属于有理数；

B、-2是整数，属于有理数；

C、方是无限不循环小数，属于无理数；

D、W=3,属于有理数;

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故选：C.

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：7T,2兀等；开方开不尽

的数：以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.

【变式1・1】把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①②6,③/一々，④0,⑤一历,

⑥口方，⑦一。4⑧0（相邻的两个3之间依次多1个0）,⑨0.23,⑩3.14

（1）整数集合：（）

（2）分数集合：（）

（3）无理数集合：（）

【答案】（1）③④⑥

（2）0©⑩

（3）②⑤⑦⑧

【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题

的关维.

（1）根据整数的定义作答即可；

（2）根据分数的定义作答即可；

（3）根据无理数的定义作答即可.

【详解】（1）解：③/一日=/一2=—/是整数，④0是整数，⑥切力=一5是整数，

整数集合：③④⑥

故答案为：③④⑥

（2）①一8是分数，⑨0.23是分数，⑩3/4是分数.

分数集合：①⑨⑩

故答案为：①⑨⑩

（3）②该是无理数，⑤一后是无理数，⑦-£是无理数，⑧0./3030030003...（相邻的两个3之间

4

依次多1个0）是无理数，无理数集合

故答案为：②⑤©⑧

【变式1-2】-⑺的绝对值是,5-四的相反数是.

【答案】V75-5+V26

【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键,根据绝对值

和相反数知识求解即可.

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实数•十大题型（解析版）

【详解】解：-，"绝对值是，方，

5-必的相反数是：一（5-值）=一5+日.

故答案为：V73；-5+V26

【变式1・3】已知小人都是有理数，且（百一/）Q+2Z）=VJ+3,求a+b的值（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键.由

a,b都是有理数，且（百-/）"2b=6+3,再建立方程组解题即可.

【详解】解：・・・（VJ-/）Q+2b=VJ+3,

・・・依十（-a+2b）=6+3,

,.・mb都是有理数，

.（a=1

"l-a+2b=31

则Q+b=/+2=3.

故选：C.

【题型2实数的运算】

【例2】计算：一/2一（-2）3乂:一防x|—：|+2+W.

oJ

【答案】。

【分析】此题考查了实数的运算，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及乘法

法则计算，第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形计算即可

得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

[详解]—1?—（—2）3X—\[27x]—：|+2+V?

o5

=-/-（-8）x：_3x:+2+2

o3

=­/+/—7+7

=0.

【变式2・1】计算：

(1)V9+(-7)2-V27+V36；

(2)|7-V2|-V2.

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【答案】(1)7

(2)-1

【分析】本题考查了实数的运算，主要涉及算术平方根、立方根、绝对值等知识，熟练掌握这些知

识是关键；

(1)分别计算算术平方根、立方根及乘方，再相加减即可：

(2)计算绝对值后，再化简即可.

【详解】(1)解：0+(-1)2-切+同

=3+/—3+6

=7；

(2)解：11—V5|—y[2

=y[2—1—\[2

――1.

【变式2-2】计算：—/2024+g—4x《+|/一百|一(衣):

【答案】y/3-l

【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.利用实数的运算法则计

算即可.

【详解】解：一/2。24+V755—4XJ^+|/-V3|-(V2)2

=-/+5-4X5-(/-v3^—2

——7+5—2—7+VJ—2

=V3—7.

【变式2-3】计算：

(1)啊-57(2)2；

(2)后一(一/产23-聆+

【答案】(1)0

(2)1

【分析】本题考查了实数的混合运算，结合算术平方根、立方根、乘方的知识，熟练掌握知识、正

确计算是解题的关键.

(1)先计算算术平方根，立方根，再加减计算即可；

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实数-十大题型(解析版)

(2)先计算算术平方根，立方根，乘方，再加减计算即可.

【详解】(1)解：原式=4一6-2

=0;

(2)解：原式=-g—(—/)—：+2

知识点2:估算法

(1)若0K/<。</，则可</<向；

(2)若则如<病；

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算G和妫

的大小.例如：9<«<16,则3<石<4;8<”27,则2<斤<3.

常见实数的估算值：上=1.414,V3M.732，6比2.236.

【题型3估算无理数的大小】

【例3】如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数

是()

【答案】D

【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关

键.先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即

可得.

【详解】解：大正方形的边长为。X4X4=E

v25<32<36,

V25<V32<V36,B|J5<V32<6,

又丁。一后一(\[32-5)=6-yU2-\[32+5,

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实数•十大题型(解析版)

=11-2432,

=2x(5.5-732),

=2X[43(125-V32)<(),

.・.6-寂v何-5,

・•・与同最接近的整数是6,

即大正方形的边长最接近的整数是6,

故选：D.

【变式3・1】估算方+W7的运算结果应在哪两个整数之间()

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【答案】D

【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小先利用夹逼法求得W7的范围，然后可求得方+V77

的大致范围.

【详解】解：9<11<16,

・•・3VV77V4,

・・・四=3,

6<V9+V77<7,

故选：D.

【变式3-2]在学习《估算》一谡时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家,小

丽抽到的卡上写的是遍-/，小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是.

【答案】小颖

【分析】估算出行的大小，继而比较即可求解.

【详解】解：・.・4<6<9,

V?<V<5<V9,

：•2<y]~6<3

A/<Vd-7<2,

，赢家是小颖，

故答案为：小颖.

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实数-十大题型（解析版）

【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，估算出行的大小是解题的关键.

【变式3-3］下面是小明探索技的近似值的过程:

我们知道面积是2的正方形的边长是V5,易知◎>/.因此可设◎=/+》,画出如下示意图.

由图中面积计算，S正方形=/+2x/•%+/

另一方面由题意知S正方形=2

所以d+2x/-%+/=2

略去得方程2x+/=2.

解得丫=0.5.即立右1.5.

（1）仿照上述方法，探究V5的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

（2）结合上述具体实例，已知非负整数。、b、m,若QV、瓶VQ+/,且m=Q2+b,请估算

标x.（用a、b的代数式表示）

【答案】⑴2.25,见解析

（2）a+?

2a

【分析】（1）参照题目的过程解题即可.

（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可.

【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是V5,

设6=2+x,如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，

正方形=N+2X2・％+4,

而S正方形=5,

x2+2x2•x+=5»

略去得方程4x+4=5,解得％=0.25,

即逐=225.

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实数-十大题型（解析版）

Am=a2+2ax+x2«a2+2ax,

m=a2+匕，

/.a2+2ax=a?+b,

解得工=

2a

・,・亚=。+5

故答案为：Q+：.

2a

【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键.

【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】

【例4】若〃是倾）的整数部分，力是百的小数部分.则。+匕-b+/的平方根是.

【答案】±3/3和一3/—3和3

【分析】根据92<90</标可得9<W/v/O,即可得到胸的整数部分是9,小数部分是俩—9,

即可求解.

【详解】解：:92<90</。2,I2<3<22

・・・9<亚</0,1<6<2,

・・.W万的整数部分是9,则a=9,的小数部分是百一/,则b=V5-

：.a+b-y/3+l=9+6一/-6+/=9,

A9的平方根为±3.

故答案为：±3.

【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键.

【变式4-1］已知〃?是后的整数部分，〃是遍的小数部分，则rn-几的值为（）

A.一遍B.4-^6C.4+逐D.4

【答案】B

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实数-十大题型（解析版）

【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出2<逐<3,进而得到m=2,n=

y/6-2,据此代值计算即可.

【详解】解：・・・4<6V9,

：,2<巫<3,

m是e的整数部分，〃是否的小数部分，

m=2in=x/d-2,

*.m-n=2—（V6-2）=4—A/Z,

故选：B.

【变式4-2】若【》】表示实数x的整数部分，v%>表示实数x的小数部分，如【〃】=/,【◎】=/,

<0>=0-/,则<3-6>+[77]的值是（）

A.4-y/3B./-V75C.6-bD.VB-/

【答案】A

【分析】估算出3-逐的小数部分和0的整数部分，即可求解.

【详解】解：・♦・/<遮<2,

：.-2<-yf3<-/,

：.3-2<3-y[3<3-/,即/〈3-0<2,

：.<3-V3>=3-V3-1=2-VI,

9：4<7<9,

・・・2<。<3,

A[V7]-2,

：.<3-y/3>+[V7]=2-b+2=4-G

故选：A

【点睛】

本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键.

【变式4-3]下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.

无理数的估算

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实数-十大题型（解析版）

大家知道避是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此行的小数部分我们不可能全部写出

来，于是我用b-1来表示避的小数部分，你同意我的表示方法吗？

事实上，我的表示方法是有道理的，因为百的整数部分是1,所以将这个数减去其整数部分，

差就是小数部分.

例如：

VV4<V7<V9,即2<0<3,

・・.〃的整数部分为2,小数部分为0-2.

根据以上笔记内容，请完成如下任务.

（1）任务一：/百的小数部分为.

（2）任务二：。为行的小数部分，b为的整数部分，请计算a+b-逐的值.

（3）任务三：x+y=/0+V5,其中x是整数，且O〈yv/,求2x-y的相反数.

【答案】（1）y/79-4

（2）a+b—逐=1

（3）2%—y的相反数是一23+6

【分析】本题考查估算无理数的大小，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是

解题关键.

（1）估算无理数⑺的大小即可确定整数部分和小数部分；

（2）估算无理数V5,⑺的大小，确定a、力的值，再代入计算即可；

（3）估算无理数避的大小，求出x、y的值，再代入计算，求出相反数即可.

【详解】（1）解：5，

即4<⑺<5,

.•・丁万的整数部分为4,小数部分为4,

故答案为：，斤-4；

（2）V5<V9,即2<逐<3,

让的小数部分a=V5-2,

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实数-十大题型（解析版）

VV9<V73<V76,

即3<WJV4,

VD的整数部分b=3,

a+b—V5=V5—2+3—逐=/；

（3）V7<V3<V7,

即/<VJ<2,

.・.逐的整数部分为1,小数部分为百-/,

/o+VJ=4+/+（百一/）=//+（逐一/）,

又...X+y=/0+6,

•••〃+（V5-7）=x+y,

•X是整数，且0<y</,

•••x=77,y=y[3—1,

'•2x-y=//x2—（VJ-1）=23—VJ,

•••2x-y的相反数一23+y/3.

【题型5实数与数轴】

【例5】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点4在数轴上，且点力表示的数为1,若点E在数轴上,

（点E在点4的右侧）且4B=AE,则点E所表示的数为（）

A.yj7B.1+^7C.2+0D.3+^7

【答案】B

【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出AB=/E=0.

由题意可知，面积为7的正方形ABCO边长为。，所以48=0,而4B=4E,得4E=4，4点的

坐标为1,故石点的坐标为/+夕.

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实数-十大题型（解析版）

【详解】•・•面积为7的正方形/BCD为7,

：.AB=V7t

\'AB=AEf

:・AE=6

•・•力点表示的数为1,

・・・£1点表示的数为1+0,

故选：B.

【变式5/】实数a、6在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足。+5〈0,。5〈优则原点所在的

位置有可能是（）

ABCD

*A>AaA_

ah

A.京、AB.点、BC.点。D.点。

【答案】C

【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出。与人的符号是解题的关键.

根据必可以得出。与人异号，再根据Q+b<。可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然

后根据数轴的特点进行解题即可.

【详解】解：vab<0,

••a与b异号，

由数轴上观察可知：a<b,

・•・a<0,b>0,

又•・,Q+bv0,

・•・负数的绝对值大于正数的绝对值，

・•.C点由可能是原点.

故选：C.

【变式5-2]如图，数轴上4、8两点表示的数分别为一/和6，AB=AC,则点C所表示的数为

（）

CA0B

III1A

A.-2-y[3B.-I-y[3C.-2+^3D./+V5

【答案】A

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实数-十大题型（解析版）

【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离.由于48两点表示的数分别为-/利行，先根

据对称点可以求出。。的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出。的坐标.

【详解】解.：・••对称的两点到对称中心的距离相等，

CA=AB,|-/|+|V5|=/+避，

OC=2+y/3,而C点在原点左侧，

・•.C表示的数为：-2-小.

故选:A.

【变式5・3】已知实数〃，力在数轴上的位置如图所示：

」Jl1»

a0h

（1）化简：Q+b-VP+2V^；

（2）若/+2|a|的平方根是±近，2a+力一4的立方根是一2,求Q+2b的算术平方根.

【答案】（1）3a

（2）。+2b算术平方根为1

【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握平

方根,立方根，算术平方根的定义是解题关键.

（1）根据数轴判断出avOvb，再根据算术平方根，立方根的定义进行化简即可；

（2）根据题意可以求出方的苴，再代入求出最后结果.

【详解】（1）解:由数轴可知：Q<O<b,

・,・Q+b-+2\[a^,

=ab-b+2a>

=3a：

（2）（若7+2⑷的平方根是±0,

+2|a|=7,

解得：a=±3.

因为，QV0,所以，Q=—3,

又・.・2a+b-4的立方根是一2,

：・2a+b-4=-8,即-6+b—4=-8,

解得：b=2,

Va+2b=V—3+4=V7=/,

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实数-十大题型（解析版）

即，Q+2b算术平方根为1.

【题型6实数的大小比较】

【例6】实数一：，■-逐和一]的大小关系是（）

A.VI<--B.VJC.-V3D.V5

32232332

【答案】c

【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识.先估算出避恐/.732,即可

得到V3>[>+进而得到—y/-3<—:<—

【详解】解：・・・TT*3」4,

・•・*/.05,

1.732,

・,・百>卜£,

23

故选：C

【变式6・1】1,-2,0,V5这四个数中，绝对值最大的数是（）

A.1B.-2C.0D.V5

【答案】D

【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点，准确熟练地进行计算是解题的

关键.

先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答.

【详解】解：|/|=/,|一2|=2,|0|=0,|6|=右72.236,

•••2.236>2>IX）,

・・・/,-2,0,0这四个数中，绝对值最大的数是V5,

故选：D.

【变式6-2】通过估算3,E,短，的大小为：（用"V”连接）.

【答案】V26<3<V77.

【分析】先估算出"7和侬的取值范围，再进行比较大小，即可得出答案.

【详解】,：32<11<42,23<26<33

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实数・十大题型（解析版）

：.3<VH<4,2<V26<3,

.\</26<3<717；

故答案为：区V3VJ77.

【点睛】本题主要考查实数的大小比较，估算一个数的算术平方根和立方根，是解题的关键.

【变式6-3】数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解

决这个问题卒与［的大小.

小明的方法：因为旧>4,所以近7-33,所以当J（填或“<”）

小英的方法：与一；=与，因为2/<62=36,所以07—60,所以七；

（填或“<”）

（1）将上述材料补充完成；

（2）清从小明和小英的方法中选择一种比较好与g的大小.

【答案】（1）<,<,<,<

（2）见解析

【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成

有理数再比大小，即可得到答案.

【详解】（1）解：小明的方法：•・.内>4,

/.V27-3<3,

・07-3/3

小英的方法：牛一］=手，

444

9：21<62=36,

：・6-6<0,

44

故答案为：<,<,<,<.

（2）解:选小明的方法：

,：5>4,

：.y/T7-1>1,

・E-1、1

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实数-十大题型(解析版)

选小英的方法:

E-1_/=E-1-1_6-2

―2222~

V77>4,

:・E>2,

・・・力-2>0,

:注>0,

・"一/、1

【题型7程序设计中的实数运算】

【例7】如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当工为12时，求y的值，并写出详细过

程.

【答案】y=J77,见详解

【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的

分类以及读懂流程图是解答本题的关键.

【详解】解：把x=/2代入数值转换器，第一次计算可得52X2+I=际=5,为有理数，进行第

二次计算，

把％-5代入数值转换器，第二次计算可得x2+/-V77,为无理数，

则输出y=W7.

【变式7-1］根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为-克，则输出y的值为()

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实数-十大题型（解析版）

A.-V2-5B.1C.-1D.3

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出-0〈一/,再根据流程图代值计算即可得到答案.

【详修】解：・♦・/<2<4,

.・・I<V5,

-j^2v—/,

y=（-V2）~+/=V2+/=3,

故选：D.

【变式7-2］根据下图中的程序，当输入%为36时，输出的值是.

r-&-T片-占.否

'------------►y=-Vx—

【答案】V6

【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用.根据立方根、算术平方根的含义和求

法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的％为36时，输出的值是多少即可.

【详解】解：当输入x为36时，y=—75^=-6,

一6是有理数，y=-V-6=V<5,是无理数，

・••当输入的x为36时，输出的值是遍.

故答案为：汴.

【变式7-3］如图是一个数值转换器（|万</0）,其工作原理如图所示.

->I计算『2||->帆算术平方根水质

是有理数

（1）当输入的x值为一2时，求输出的y值；

（2）若输入有意义的x值后，始终输不出歹值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；

（3）若输出的y值是行，直接写出工的负整数值.

【答案】（1）y/2

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实数-十大题型（解析版）

（2）I或2或3,理由见解析

⑶x=-1

【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；

（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；

（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案.

【详解】（1）解：当％=-2时，|-2-2|=4,

4的算术平方根为W=2,

而2是有理数，2的算术平方根为VL

故答案为：V2:

（2）解：1或2或3,理由如下：

・・・o的算术平方根是0，1的算术平方根是1，

・••当仅―2|=/或0时，

解得x=/或2或3,

・,•当工=/或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；

（3）解：若1次运算就是百，

=VJ

\x-2\=3

，解得％=5或一/,

・・・x为负整数，

则输入的数为-/;

若2次运算输出的数是避，

・,・北