《直角三角形》同步达标测试题-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.3直角三角形》同步达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.在△ABC中，若NC是直角，48=47。，则乙A的度数是（）

A.127°B.53°C.47°D.43°

2.如图，在A/IBC中，力D是高，4E是角平分线，48=45。，Z.C=85°,则“力£为（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

3.如图，在ABC中，4c=90。，Z.B=30%AB=4,则下列直角三角形与Rt△A5c全

等的是（）

4.如图，在中，LACB=90°,44=30。，CD1AB于点。，CE=CB,若BD=1.5,

则CE的长为（）

A.1.5B.3C.4.5D.6

5.如图，△48C中，。在8c的延长线上，过。作于凡交AC于E.己知乙力=32。,

乙ECD=85°,则乙。=（）

A.53°B.37°C.47°D.38°

6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN,EM为折痕,折叠后点4',夕，E在同一直

线上，已知4=32°,求4ONN的度数为（）

A.32°B.26°C.48°D.28°

7.如图，在四边形力8C0中，44=60°,匕8=乙0=90°,AD=7,AB=8,则BC+等

C.4V3D.3V3

8.如图，在△ABC中，AACB=65°,Z-BAC=70°,AD1.BC于点、D,BE1力C于点E,4。与

BE交于点F,则NCTD的度数是（）

A.25°B.45°C.60°D.75°

二、填空题（满分24分）

9.在下列条件中：①乙4+48=〃?；②44：乙B：ZC=1：2：3；③44二90。一，氏

能确定△ABC是直角三角形的条件有个.

10.在△力BC中，已知乙B二38。，BC2-AC2=AB2,则的度数为.

11.如图，在△力BC中，LABC=90°,/-ACB=60%BD1AC,垂足为。.若CD=4,则

力。的长为.

B

12.如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3x3网格，图形48C。中各个顶点均为格

点，设乙18C=a,乙BCD=S，/.BAD=y,则a+^+y的值为°.

13.如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯8C,EF,左边滑梯的高度4c与右边滑梯水平方

向的长度0尸相等，CG平行于地面B凡若OF=3m,AB=4m,则EG的长度为m.

14.一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，D,尸在边AB上，点C在边DE上，EF,,4c相

15.如图，AB1BC,4E平分48力。交8c于点E,AE1DE,41+乙2=90。，仞、N分别是

BA.CO延长线上的点，NE4M和ZEON的平分线交于点F,4尸的度数为.

16.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在Rt△ABC中，^ACB=90°,LB=

30°.第一步，在力B边上找一点。，将纸片沿CD折叠，点A落在4处，如图2；第二步，将

纸片沿CA折叠，点。落在》处，如图3.当点。'恰好落在原直角三角形纸片的边上时，乙4'CD'

的度数为.

BBB

三、解答题（满分72分）

17.如下图，在^ABC^,CA=CB,AD_LBC于点、D,BE1AC于点E.己知A8=5,AD=4,

求的长.

18.如图，小明利用一根长lm的竿子CO来测量路灯48的高度.他的方法如卜：在路灯前选

一点P,使3P=1m,并测得乙4PB的度数，然后把竖直的竿子CO在BP的延长线上来回移动，

使NCP。与乙4PB互余，此时测得8。=6m.（竿子CO与路灯48垂直于地面），请根据这些数

据，计算出路灯力B的高度.

19.如图，在△48。中，匕44c=90。，E为边上的点，且48=4E,。为线段BE的中点,

过点E作EF14E,过点A作4/II8C,目上广、EF相交于点F.

⑴求证：Z-C=/-BAD

(2)求证:AC=EF

20.如图，AD,8c相交于点。，力B=CD,AM1BC于点M,DN||AM,与BC交于点M8N=CM.

AB

N,

C

⑴求证：z.5=z.C；

(2)若43=5,BC=6,BN=2,求线段力。的长.

21.如图，Z.AGF=/.ABC,41=40。，z2=140°.

⑴试判断与Of的位置关系，并说明理由.

(2)若4DE/1=90。，8F是々1BC的平分线，求41的度数.

22.如图1,在△4BC中，Z.ACB=90°,CD上AB于点D,点尸在AC1,,连接与CD交于

点G,且CF=CG,过点4作AE1BF与B户的延长线交于点E.

⑴求证：BE平分41BC；

⑵如图2,若AC=BC,求证：BF=2AE；

⑶如图1,若的面积为5,AB-AC=1,求48+4C的值.

23.阅读理解，自主探究：

“一线三垂直〃模型是“一线三等角"模型的特殊情况，即三个等角角度为90。，于是有三组边

相互垂直.所以称为“一线三垂直模型〃.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存

在全等三角形.

⑴问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，^ACB=90°,AC=BC,过点。作直线。E,401

CE于点0,EE10E于点E,则与BE的数量关系是；

(2)问题探究：如图2,在等腰直角△48C中，/.ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,,4。1

CE于点D,BE1CE于点E,AD=2cm,DE=1.2cm,求BE的长；

⑶拓展延伸：如图3.在平面直角坐标系中，A(-1.5,0),C(1.5,3.5),△ABC为等腰直角三

角形，Z.ACB=90°,AC=BC,求B点坐标.

参考答案

1.解：•••△48。是直角三角形，4c是直角.

Z.A+Z-B=90。（直角三角形的两个锐角互余）.

又z_B=47°.

••・LA=90°-47°=43°.

故选：D.

2.D

【分析】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，三角形的高的定义，由题意得N847=50。,

/-EAC=\z-BAC=25°,LCAD=90°-ZC=5。即可求解.

【详解】解：=45°,ZC=85°,

B/.BAC=180°-45°-85°=50°,

蜘E是角平分线，

^LEAC=\LBAC=25°,

斯。是高，

0Z4DC=90°,

0ZMD=90°一4C=90°-85°=5°,

^DAE=MAC-/.CAD=25°-5°=20°,

故选：D.

3.A

【分析】本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定定理，解题的关健在于熟练掌握相

关知识.

根据直角三角形性质，推出44=60。，AC=2,再结合全等三角形判定定理分析，即可解

题.

【详解】解：•.•在中，ZC=90°,ZF=30%AB=4,

二Z.A=90°-30°=60。，AC=-AB=2,

2

••.A选项中，可根据"ASA”推出该直角三角形与Rt△48。全等，符合题意；

B选项中，仅有一边一角对应相等，则推不出该直角三角形与RtA/lHC全等，不符合题意；

C选项中，4为直角边长，RtA4BC中4为斜边长，推不出该直角三角形与RtaABC全等，不

符合题意；

D选项中，直角边不对应用等，推不出该直角三角形与RtAz48c全等，不符合题意；

故选:A.

4.B

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明△BCE是等边

三角形是解题的关键.根据直角三角形的性质求出=60。，根据CE=CB,易证△BCE是

等边三角形，再根据CD1/1B,可得DE=BD=1.5,进而求出BE=3,即可得出结果.

【详解】解：团在Rta/IBC中，乙4c8=90°,Z-A=30°,

=60°,

0CF=CB,

0ABCE是等边三角形，

0CE=BE,

0CDLAB,BD=1.5,

WE=BD=1.5,

(3BE=3,

0CF=BE=3.

故选：B.

5.B

【分析】先由三角形的外角的性质求出乙氏再根据直角三角形两锐角互余求出N。即可.

【详解】解：团乙4=32°,Z.ECD=85°,

团ZB=Z.ECD-AA=85°-32°=53°,

囹DF1AB,

0Z5FD=90°,

团在Rl△BDF中,乙。=90c一乙B=90"-53c=37c.

6.B

【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌

握折叠的不变性.

先根据直角三角形锐角互余以及折叠的性质得到NBEM=乙B'EM=58。,然后根据平行得到

LDA'E=乙BEB，=116°,再根据±n4'N=乙DAE-求解即可.

【详解】解：回长方形48。。中，LB=LA=90°,DC||AB,LBME=32°,

EUBEM=90°-32°=58。,

由折叠得，/.BEM=LB'EM=58°,

回乙BEB'=58°+58°=116°,

WC||AB,

团4。4'E=LBEB'=116°

由折卷可得，Z-EA'N=Z.A=90°,

^Z-DA'N=乙DNE-LEAN=26°,

故选:B,

7.B

【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了30。角所对的直角边是斜边的一半的性质，本

题中构建直角△4DE求8E,是解题的关键.

延长48,相交于点£,构建直角通过30。角所对的百角功是斜山的一半求得力£

通过勾股定理求出线段DE的长，根据线段和差关系求得BE,根据BE结合勾股定理、30。角

所对的直角边是斜边的一半可求出BC,CE,由此即可求出BC+CD.

【详解】解：如图，延长48,DC相交于点E.

在RM40E中，AE2-DE2=AD2.

•••5=60°,

乙E=30°,

AE=2AD=14,

:.DE=V142-72=7亚BE=AE-AB=14-8=6.

在&△BEC中，Z.E=30°,

22

ABC4-BE="2,且萌=2BC,

解得BC=2百，CE=4&,

•••CD=DE-CE=3百，

•••BC+CD=5Vs.

故选：B.

8.B

【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质，解题的关键是利用三角形高线

交于一点的性质，结合直角三角形的角的关系计算角度.

先由三角形内角和求出乙4BC的度数，再根据三角形三条高线交于•点得出CM1A8,最后

结合直角三角形的两个锐角互余，计算出乙的度数.

【详解】解：延长CF交于点M,

同f以4ABC=180°-65°-70°=45°.

因为/10_L8C,BE1.AC,与BE交于F,

根据“三角形的三条高线交于一点〃，可得CF也是AABC的一条高，即CMJ.48,

所以NFCD=90°-Z-ABC=90°-45°=45°,

所以乙CFD=90°-45°=45°.

故选：B.

9.3

【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用.根据三角形内角和定理，分别计算每个条件

下三角形最大角的度数，判断是否为90。.

【详解】解：①：由〃+4B=和三角形内角和为180°,得NA++4。=2乙C=180°,

所以4c=90。，故△ABC是直角三角形.

@：设立A=k,乙B=2k,乙C=3k,则A+2k+3k=6k=180°,解得k=30。，

所以乙C=3k=90%故4A6C是直角三角形.

③：由乙4二90。一48,得乙4+48=90。，则乙C二180。-90。=90。，故△力8c是直角三

角形.

因此，三个条件都能确定A/WC是直角三角形，

故答案为：3.

10.52°

【分析】本题考查了勾股定理的逆定埋和二角形内角和定埋，掌握利用勾股定理逆定理判断

直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键.

由条件BC2-4C2=AB?可得8c2=力82+4。2,根据勾股定理的逆定理，可知乙4=90。,

再结合三角形内角和定理求出4C.

222

【详解】解：12在△峰BC中,BC-AC=ABf

回8c2=AB2+AC2,

团乙4=90°.

回/B=38°,

0ZC=180°-Z,A-/.B=180°-90°-38°=52°.

故答案为:52。.

11.12

【分析】利用含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：0FD1AC,Z.ACB=60°,

0ZCBD=90°-乙ACB=30°,

在BCD中，CD=4,

团BC=2CD=8,

回在△ABC中，/-ABC=90°,Z.ACB=60°,

团4A=90°-乙ACB=30°,

a4c=2BC=16,

^AD=AC-CD=12.

12.135

【分析】本题考查直角三角形两锐角互余和三角形的外带性质，先拆分N4BC为乙48D与

NDBC的和，再结合已知的两组角度关系4D8C+±BCD=90。、4BA£)+NABD=45。.代

入求和即可得到结果.

【详解】解：如图，点E是8。延长线上点，则乙4。/?=45。

由图可知，^ABC=^ABD+Z.DBC,UPa=Z.ABD+zDBC：

在Rt△8。。中，乙DBC+乙BCD=90°.

乙BAD+乙ABD=Z.ADE=45°,

0a+/?+y=(/.ABD+Z.DBQ+乙BCD+乙BAD=(乙DBC+乙BCD)+(Z.ABD+iBAD)=

90°+45°=135°；

故答案为：135.

13.1

【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键;

先证明Rt△ABC三4DEF,得出对应边长度，再结合CGII的性质得出EG的长度.

【详解】解：由题可知：4C1B凡DE1BF

0ADEr是直角三角形

团在/?《△ABC和RtaOEF中

(BC=EF

UC=DF'

回三△DEF(HL),

胤48=DE=4m

团CG||BF,AC1BF,DE1BF

团AC=DG=3m

E1EG=ED-DG=4-3=Im

故答案为：1.

14.15。/15度

【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外

角性质是解题关键.

先求出乙。/E=45。，再根据三角形的外角性质即可得.

【详解】解：•••△£"=45°,ZEDF=90°,

Z-DFE=45°,

•••乙4=30°,

/-FGA=乙DFE一=15°,

故答案为：15。.

15.1350

【分析】利用角平分线的性质，表示出相等的角，利用三角形内角和定理求解.

【详解】解：财E平分N84D,

0Z1=4DAE,

胤4E1DE,

SED=90°,

0Z1+Z.ADE=乙DAE+LADE=90°,

又团41+匕2=90%

0z2=Z.ADE»

(3NE/1M和zlEDN的平分线交于点心

^MAF=Z.EAF=-^.EAM.LNDF=乙EDF=-Z.EDN,

22

02ZE/1F+Z1=180。,2(3DF+z2=180°,

^EAF=90°-^zl,zE/)F=90°-1z2,

22

0ZF/1D=Z.EAF-4DAE,4FDA=乙EDF-Z.ADE,

0ZF/1D+Z.FDA

=Z.EAF-4DAE+乙EDF-LADE

11

=90°--zl-LDAE+90°--Z.2-LADE

22

33

=90°--zl+90°--z2

22

3

=180°--(zl+z2)

乙

3

=180°--x90°

乙

=45°,

[3ZF=180°-(ZF/ID+AFDA)=135°.

【点睛】注意角平分线的性质，角的和差，三角形内角和定理的灵活应用.

16.15°或30°

【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互氽，正确的作出图形是解题的关键.因

为点。'恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边力。上和边48上两种情况分析求

解即可.

【详解】解：•••将纸片沿CC折叠，点A落在4处，将纸片沿C4'折叠，点。落在。处，

/.Z-ACD=Z,DCA1=Z,A'CD'.

分两种情况讨论向如图，当点D'恰好落在边BC上时,

R

WU/1CD+乙DCA'+Z.A'CD'=Z.ACB.

•••乙4cB=90°,

•••4AC。'=：xzACB=30°.

J

如图，当点。‘恰好落在边.48上时，

根据轴对称的性质知，CA_L/18,

Z.AEC=90°.

,SB=30°,

•••LBCA'=90°一乙B=60°.

•••jACB=90°,

•••Z.ACA'=Z.ACB-Z-BCA'=30°.

•••Z.ACD=Z.DCA1=Z.A'CD',

:.4力'CO'=Z-ACD=^ACAf=15°；

综上所述，41（。的度数为15。或30。.

故答案为:15。或30。.

17.3

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积公式，勾股定理，掌握等腰三角形面积

的两种表示方法是解题的关键.

先利用等腰三角形面枳相等推出BE=AD,再在股△独£中用勾股定理求4E.

【详解】解：:C4=CB,AD1BC,BE1AC,

S^ABC=\ACBE=\BCAD,

:.BE=AD=4.

在Rt△4BE中，

vZ-AEB=90°,48=5,BE=4,

:.AE=V52-42=3.

18.路灯A3的高度为5m.

【分析】本题考查同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余,三角形全等的判定和性质.

由已知可得NCOP=4PBA=90。，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，

可得4C=乙4PB,证明ACOP三APB/KASA),可得P0=4B,即可得路灯AB的高度.

【详解】解：团竿子CD与路灯48垂直于地面，

0ZCDP=Z.PBA=90°,

团4CPD与乙C"余，

又因乙CPD与互余，

团乙C=Z.APB,

0CD=lm,BP=Im,

0CD=PB,

在ACDP和ZiPBA中，

(Z.CDP="BA

CD=PB，

(ZC=/.APB

0ACDP三△P84(ASA),

团P。=AB,

(3BO=6m,BP=Im,

团4B=PD=6—1=5(m),

因路灯的高度为5m.

19.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的

判定是本题的关键.

(1)由等腰三角形的性质可得40_L8C,由余角的性质可得ZT=48/1。；

(2)由"ASA"可证△力BC三凡可得4C=E凡

【详解】(1)证明：^AB=AE,

是等腰三角形

又团。为8E的中点,

^AD1BE(等腰三角形三线合一)

在RtZk/18。和RtA08/1中，^BAC=Z.BDA=90°,

0ZC=/.BAD=90°-Z/?；.

(2)证明：^AFIIBC,

^LEAF=Z.AEB,

回48=AE,

^z.ABE=Z.AEB,

^Z-EAF=乙ABC,

0FF1AE

团ZB4c=Z.AEF=Z9O°,

^AB=AE

0ABAC三△力E/(ASA),

04c=EF.

20.⑴见解析

(2)2710

【分析】(1)先通过线段和差关系证明BM=CN,根据平行线的性质结合力M_L8。证明

Z.AMB=Z.DNC=90°,进而证明Rt△/IBM三Rt△DCN(HL),最后根据全等三角形的对应

角相等即可得证；

(2)先通过线段和差关系求解BM,MN的长，在中，由勾股定理求解4M的长，

证明△AOM三△OON(AAS),得到OM的K，以及。0二从0,在RiaA0M中，由勾股定理求

解4。的长，进而根据AD=DO+A0=24。求解即可.

【详解】(1)证明：BN=CM,BN+MN=BM,CM+MN=CN,

:.BM=CN.

vAM1BC于点M,DN\\AM,

Z.AMB=乙DNC=90°,

在Rt△A8M和Rt△DCN中,

(AB=CD

SM=CN'

•••Rt△ABM三RtADC/V(HL),

:.=NC；

(2)解：•••CM=BN=2,

•••BM=BC-CM=4,MN=BC-CM-BN=2,

在Rt△ABM^,由勾股定理得：AM=>]AB2-BM2=V52-42=3,

vRt△ABM=Rt△DCN,

:.AM=DN,

在A/IOM和△OON中，

(Z.AMO=乙DNO=90°

Z.AOM=Z-DON,

(AM=DN

AOM"DON(AAS),

:.OM=ON=^MN=1,DO=AO,

在Rt△力OM中，由勾股定理得：AO=>JAM2+OM2=V324-l2=V10,

•••AD=DO+AO=2AO=2m.

21.(l)BF\\DEt理由见解析

(2)50°

【分析】(1)利用平行线的判定和性质进行求解；

(2)根据角平分线得出相等的角，然后根据平行线的性质进行求解即可.

【详解】(1)解:BF||DE,理由如下:

团乙AGF=Z.ABC,

0GF||BC,

0Z.1=Z.FBC=40°,

^Z.FBC+Z2=40°+140°=180°,

0FFIIDE；

(2)解：[3BF是448c的平分线，

BZ.ABF="BF,

由(1)得GFIIBC,

0Z1=乙DBF,

^ABF=zl=40°,

由(1)得8。IIDE,

团乙AFB=4DEA=90°,

团4A=90°一乙ABF=90°-40°=50°.

【点睛】重点掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质.

22.⑴见解析;

⑵见解析；

(3)9

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用

完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质.

(1)根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出

乙ABF,即可得出结论：

(2)延长/E、BC交于•点、H,根据条件证明和△八CH三ABCF,得出相等的

边即可得出结论；

(3)延长AE、BC交于点H,设AB=BH=x,AC=y,根据面积得出xy=20,x-y=1,

最后利用完全平方公式进行求解即可.

【详解】(1)证明：如图1,

图1•：CF=CG,

•••乙CFG=Z-CGF,

-CDLAB,乙4cB=90。，

•:乙CBF=90。一乙CFG,

LABF=90°-乙BGD=90°-乙CGF,

Z.CBF=Z.ABF,

平分4718C；

(2)证明：如图2,延长力E、8c交于点H,

VAE1BF,

:.Z.BEA=乙BEH=90°,

在△8AE和ZiBHE中，

vZ-ABF=/-CBF,BE=BE,/.BEA=^BEH=90°,

.1

BAE三△BHE(ASA),

.'.AH=2AE,

'：AELBF,^ACB=90°,

Z.CAH+Z.AFE=90°,LCBF4-乙BFC=90°,

,:Z.AFE=乙BFC,

Z.CAH=乙CBF,

在△力。”和4BCF中

vZ.CAH=乙CBF,AC=BC,Z-ACH=乙BCF=90°,

•••△ACH^A^CF(ASA),

：.BF=AH=2AEx

（3）证明：如图3,延长4E、BC交于点、H,

由（2）得：△BAE三ABHE,

图3•••AB=BH,AE=EH,

SABAH=2sAABE—xBH=10,

设A8=8H=x,AC=y,

•••ACxBH=xy=20,AB—AC=x—y=\,

(x+y)