中考数学复习-相似综合压轴 练习题（含答案）

中考数学复习专题18相似综合（压轴）

一、三角形相关

1.如图，四边形480C中，AC=BC,乙4c8=90。，AD1BD于点D.若

BD=2,CO=4或，则线段AB的长为.

2.如图，在RsABC和RtZkBDE中，ZABC=ZBDE=90°,点A在边DE的中点

上，若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为（）

E

A.714B.x/15C.4D.V17

3.如图，Rt^ABC中，^BAC=90°,cosB=；，点D是边BC的中点，以AD

为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使乙ADE=,连结CE,则匾的值为

（）

4.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=12,点P在边AB上，D、E分别为

BC、PC的中点，连接DE.过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两

点.连接DG,交PC于点H.

（1）NEDC的度数为:

（2）连接PG,求aAPG的面积的最大值；

（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

（4）求保的展大值.

5.如图，四边形ABCD中，ZADC=90°,AC±BC；ZABC=45°,AC与BD交于

点E,若AB=2«U，CD=2,则△ABE的面积为.

6.已知：点C,D均在直线1的上方，力。与B0都是直线1的垂线段，且B0在4c的右

侧，BD=2AC,4。与BC相交于点O.

（1）如图1,若连接CD,则△BCD的形状为,弟的值

为;

（2）若将8D沿直线1平移，并以40为一边在直线1的上方作等边△4DE.

①如图2,当4E与4c重合时，连接0E,若4C芸，求0E的长；

②如图3,当N/1CB=60。时，连接EC并延长交直线1于点F,连接0E求证：OF1

AB.

7.

（1）【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE.求

证：BD=CE.

（2）【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC=

ZADE=90°.连接BD,CE.请直接写出黑的值.

（3）【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形，ZABC=ZADE=

90°,且需=器=率连接BD,CE.

①求弟的值；

CLt

②延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin/BFC的值.

8.如图，等边AABC的边长为3,点D在边AC上，AD,线段PQ在边BA

上运动，PQ另,有下列结论：

①CP与QD可能相等；②ZMQD与18C尸可能相似；③四边形PCDQ面积的

最大值为3^3.④四边形pcDQ周长的最小值为3+里.其中，正确结论的序号

loZ

为（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

9.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点£使得Z.CDE=15°,连接BE并

延长8石到扛使CF=CB,8尸与CO相交于点”，若4B=1,有下列结论：

①BE=DE：②CE+DE=EF；@sADEC=\-^；④器=2百一1.则其中

正确的结论有（）

AZ3=iZDCG=450.

乙

AZECF=Z3+Z4=135°.

(只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程)

(2)【类比探窕】如图(2),当白2时，求售的值(用含k的式子表示)；

(3)【拓展运用】如图(3),当k=3时，P为边CD上一点，连接AP,PF,

ZPAE=45°,PF=有，求BC的长.

11.如图，矩形4BCD中，AB=4f4。=3,点E在折线8CD上运动，将力E绕点A顺

时针旋转得到4尸，旋转角等于乙BAC,连接CF.

(1)当点E在上时，作尸MJLAC,垂足为M,求证AM=AB；

(2)当AE=3a时，求C尸的长；

(3)连接DG点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值.

12.如图1,在矩形ABCD中，48=4,8c=6.点E是线段AD上的动点(点E

(2)如图2,连接CF,过点B作BG1CF,垂足为G,连接AG.点M是线段

BC的中点，连接GM.

①求AG+GM的最小值；

②当AG+GM取最小值时，求线段DE的K.

13.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点M、N分别在AB、AD±,且

MN1MC,点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.

(1)当F为BE的中点时，求证：AM=CE；

(2)若霁=2,求筋的值；

(3)若MN〃BE,求热的值.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=6,8C=8,对角线AC,BD相交于点。，

点P为边AD上动点：连接0P,以。尸为折痕，将AAOP折叠，点A的对应

点为点E,线段PE与0D相交于点F.若APDF为直角三角形，则DP的

长•

15.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB,AD的中点，BF与EC

ED分别交于点M,N.已知AB=4,8c=6,则MN的长为.

三、四边形相关

16.如图，已知菱形ABCO的边长为2,对角线4C、8。相交于点O,点M,N分别是

边BC、CD上的动点，=Z-MAN=60°,连接MN、0M.以下四个结论正确的是

)

D

①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是b；③当MN最小时SACIN二

lS^ABCD;④当0M_L8C时，。82=ONT8.

A.①②③B.①②④C.①③④

D.①②③④

17.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一

点，连结DE交BC于点F,BG平分NCBE交DE于点G.

（2）若BD=6,DG=2GE.

①:我菱形4BC。的面积.

②求tan4BOE的值.

（3）若BE=AB,当/DAB的大小发生变化时（0。〈乙DABV180。），在AE上找

一点T,使GT为定值，说明理由并求出ET的值.

18.如图，在边长为1的菱形48co中，乙48c=60。，动点E在48边上（与点A、B

均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G,连接力G,DF,若AF=BE,

则下列结论错误的是（）

A.DF=CEB.乙BGC=120°

C.AF2=EG•ECD.AG的最小值为挈

J

四、正方形相关

19.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△8EC与△FEC关于直线EC

对称，点B的对称点F在边AD±,G为CD中点，连结BG分别与CE.CF交于

M,N两点，若BM=BE,MG=1,贝ijBN的长为,sin乙4FE的值

为.

20.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F是CD上一点，。£1

。产交BC于点E,连接AE,BF交于点P,连接0P.则下列结论：®AELBF；

4⑤

_.

②乙。P4=45。；@AP-BP=y/20P;④若BE：CE=2：3,则tanzTAE/^

四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的上.其中正确的结论是()

AK--------------------

B

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④

D.①③④⑤

(1)【探究发现】如图①所示，在正方形48co中，E为4。边上一点，将沿

BE翻折到处，延长EF交C。边于G点.求证：ABFG"BCG

AED

(2)【类比迁移】如图②，在矩形ABC。中，E为4。边上一点，且40=8,AB=

6,将△AE8沿8E翻折到△8EF处，延长EF交8c边于点G,延长交C0边于点“，且

FH=CH,求力E的长.

(3)【拓展应用】如图③，在菱形力BCD中，E为C0边上的三等分点，40=60。,

将△40E沿力E翻折得到么直线EF交BC于点P,求CP的长.

备用1备用2

五、折叠相关

22.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E、H在4。边上，点F,

G在8c边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为《、D

点的对称点为D,，若LFPG=90°,△4EP为8,LD'PH的面积为2,则矩形

ABCD的长为()

D-

D

I\\/I

y.yG七

A.6V54-10B.6V10+5V2C.3x/5+10

D.3A/104-5A/2

23.如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、。恰好

都落在点。处，且点G、。、C在同一条直线上，同时点E、。、尸在另一

条直线上.小炜同学得出以下结论：

①GFIIEC；®AB=^-AD；③GE=9F;④OC=2®OF;®A

KJ

COFCEG.

其中正确的是（•

①③④C.①④⑤

D.②③④

24.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折吞该菱形，使点A落在边BC上

的点M处，折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时，EF的长

为;当点M的位置变化时，DF长的最大隹为

25.如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD±,将矩形纸片

沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，

若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是（）

BEA

A.2c3&D.3

答案解析部分

1.【答案】2\/5^

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】(1)45。

(2)解：如图：连接PG

VZEDC=ZACB=45°,GF±DC

；・△EDF和^GFC是等谡直角三角形

・・.DF=EF啰历,GF二CF哼CG，

设AP=x,则BP=12-x,BP=12-x=2DE

,DE」2rEF-12—%

匕2，匕卜2g

VRtAAPC,

^-PC=y/AP2+AC2=>Jx2+144

CE=iy/x2+144

乙

VRtAEFC

AFC=FG=VCE2-FF2=J&42+144；一(器:=J(x^2)2=曾

ACG=V2CF=1^

.・.AG=12-CG=12-12+^=12-X

,SAAPG=1An112—x12%—/—(x-6)2+36

1

.・A。-24P•4G=尹•2=———=———j-------

所以当x=6时，SAAPG有最大值9.

(3)解：DG=PE,DG1PE,理由如下：

VDF=EF,ZCFE=ZGFD,GF=CF

.*.△GFD^ACFE(SAS)

ADG=CE

•・・E是PC的中点

APE=CE

APE=DG；

VAGFD^ACFE

:.ZECF=ZDGF

ZCEF=ZPEG

AZGHE=ZEFC=90°,即DGJ_PE.

(4)解：VAGFD^ACFE

ZCEF=ZCDH

XVZECF=ZDCH

.*.△CEF^ACDH

，籍=笠，B|JCECH=CF-CF

.CHCFCD

,・花一声

YFC1著,+144,CD=1^C=V122+122=672

.CH_翳6、,计12_12

••~CE~12-NX2+144-.,288_

(；后指)+144计12+乔调24

v12121二2互+2二丘+1

~2/288-24-24^/2-24~272-2一~4~~2

・•・累的最大值为空.

CC乙

5.【答案】苧

6.【答案】(1)等腰三角形；|

(2)解：①过点E作EF_L40于点H,如图所示：

图2

VAC,BD均是直线1的垂线段,

：.AC//BD,

•••△40E是等边三角形，且4E与AC重合，

・•・NEAD=60。，

：.^ADB=Z.EAD=60°,

:•乙BAD=30°,

・••在Rt/kADB中，AD=2BD,AB=WBD,

又.：BD=2AC,AC=^

-'-AD=6,AB=3百，

•\AH=DH=^AD=3,

又RtAADB,

EH=，4H2+心=序+62=3百，

又由（1）知瑞=g，

：-AO=\AD=2,则。H=1,

•J

・•・在RtZkE。”中，由勾收定理得：OE=2位.

②连接CO,如图3所示：

图3

*：AC//BD,

:・“BD=Z,ACB=60°,

•••△BCD是等腰三角形，

•••△BCO是等边三角形，

乂•••△4DE是等边三角形，

・•・△A8D绕点D顺时针旋转60。后与△ECD重合,

，乙ECD=乙ABD=90°,

又,：乙BCD=Z-ACB=60°,

，乙ACF=乙FCB=乙FBC=30°,

：.FC=FB=2AF,

.AF_AO_1

，，AB=AD=T

又乙049=LDAB,

△AOFsxADB>

A^-AFO=乙ABD=90°,

，OF148.

7.【答案】(1)证明：:△ABC和△ADE都是等边三角形,

AAD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

・•・ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

.\ZBAD=ZCAE,

・•・△BAD^ACAE(SAS),

ABD=CE：

(2)解：・・・△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,

J•弟=奈=言，NDAE—NBAC—45。,

:.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

.\ZBAD=ZCAE,

・•・△BAD^ACAE,

BDAB\旌

(3)解：①券=器=率ZABC=ZADE=90°,

・•・△ABCs△ADE,

AZBAC=ZDAE,器=器=杳

ZCAE=ZBAD,

.*.△CAE^ABAD,

BDAD3

；

ACF==5

②由①得：△CAEsaBAD,

AZACE=ZABD,

VZAGC=ZBGF,

.\ZBFC=ZBAC,

AsinZBFC=^=1.

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】（1）证明：如图，在BA上截取BH二BE,连接EH.

Vk=2,

AAB=BC.

VZB=90°,BH=BE,

AZ1=Z2=45°,

.*.ZAHE=180°-Zl=135<>,

•・,CF平分ZDCG,ZDCG=90°,

.-.Z3=1ZDCG=45°,

乙

.--ZECF=Z3+Z4=135°.

VAE1EF,

Z6+ZAEB=90°,

VZ5+ZAEB=90°,

/./5=/6,

VAB=BC,BH=BE,

・・・AH=EC,

・•・△AHE^AECF(ASA),

.•.AE=EF；

(2)解：在BA上截取BH二BE,连接EH.

(2)

VZB=90°,BH=BE,

AZBHE=ZBEH=45°,

/.ZAHE=135°,

•「CF平分/DCG,ZDCG=90°,

.,.ZDCF=1ZDCG=45°.

乙

.-.ZECF=135O,

VAE1EF,

・•・ZFEC+ZAEB=90°,

VZBAE+ZAEB=90°,

AZBAE=ZFEC,

・•・△AHE^AECF,

.AE_AH

•,乔=ZT'

••嘿=£E是BC边的中点,

.\EC=HB=1BC,

.,.AH=AB-1BC=1(/C-1)BC,

F="I；

(3)解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90。到△APH,

Vk=3,

.AB_3

,,前=2

设AB=3a,则BC=2a,

•・•ZPAE=45°,

・•・ZP'AP=90°,

连接PE,HE,延长PH交CD于点G,连接EG,

VAH=AD=2a,

ABH=a,

•・・E是BC的中点，

BE=a,

AHE=V2a,ZBHE=45°.

ZP'HE=135°,

VCG=EC=a,

JZGEC=45°,

AZPGE=135°,

VAP=AP,NPAE;NPAE,AE=AE,

・•・△AEP'^AAEP(SAS),

・・・PE=PE,

/.△PEG^AP'EH(AAS),

AZPEG=ZP'EH,

VZHEG=ZEGH=45°,

・•・ZHEG=90°,

・•・ZPEP=90°,

.,.ZAEP=ZAEP'=45°,

.,.ZAPE=ZAP'E=90o,

・・・四边形APEP是正方形,

AAP=PE,

VZDAP+ZAPD=90°,ZAPD+ZEPC=90°,

AZDAP=ZEPC,

VAP=PE,

・•・△APD^APEC(AAS),

/.AD=PC-2a,PD=ED=a,

PE=\/5a,

由(2)得AAHE^AECF,

.AH_AE_2a

,,或=而=3=2，

TAE=VlOa

•,EF=乙

ZHEG=ZAEF=90°,

AZHEA=ZGEF,

VZPEG=ZP'EH,

ZPEF=ZP'EH=45°,

过点P作PK_LAE交于K,

VEF1AE,

/.PKHEF,

;PK=

APK=EF,

・•・四边形PKEF是矩形，

，PF二KE,

YPF=后

••iVTOa=屈）,

乙

a=V2,

:・BC=2V2.

11.【答案】（1）证明：如图1中，作FM_LAC,垂足为M,

•・•四边形ABCD是矩形，

・・・NB=90。，

VFM1AC,

・・・NB=NAMF=90。，

;旋转角等于NBAC,

・・・NBAC=NEAF,AE=AF

AZBAE=ZMAF,

在^ABE和^AMF中，

乙B=/-AMF

^BAE=Z-MAF

AE=AF

，△ABE乌ZXAMF(AAS),

AAB=AM；

(2)解：解：当点E在BC上，在RtaABE中,

A

AB=4,AE=3-72,

：•BE=y/AE2-AB2=J(3V2)2-42=也

VAABE乌ZXAMF,

••・AB=AM=4,FM=BE=遮,

在RtAABC中,AB=4,BC=3,

••AC=^AB2-/-BC2=心+32=5,

ACM=AC-AM=5-4=I,

VZCMF=90°,

:・CF=JcM2+FM?=JI27-(V2)2=V5.

当点E在CD上时，过点F作FN_LAC于点N,

VZBAC=ZEAF,

AZBAE=ZFAN,

VAB/7CD,

・•・ZBAE=ZAED=ZFAN,

在4ADE和^ANF中,

乙D=乙ANF

^AED=乙FAN

AE=AF

/.△ADE^AANF(AAS),

AAD=NF=3,AN=DE

在RtAADE中

22

DE=AN=y/AE-AD=J(3可-32=3,

ACN=AC-AN=5-3=2

在RMCNF'|>

CF=y/FN24-CN2=V32+22=V13;

・・・CF的值为6或g.

(3)解：当点E在BC上时•，如图2中，过点D作DHJ_FM于点H,

VAABE^AAMF,

AAM=AB=4,

VZAMF=90°,

・•・点F在射线FM上运前，当点F与K重合时，DH的值最小,

VZCMJ=ZADC=90°.ZMCJ=ZACD,

・•・△CMJs/XCDA,

,CM_M]_CJ

**CD~AD~ACf

-1_MJ_CJ

••4一丁一丁

・•・“/=(CJ得

：.DJ=CD-CJ=4-l=^

VZCMJ=ZDHJ=90°,ZCJM=ZDJH,

.*.△CMJ^ADHJ,

•CM-C/

••而W

5

•14

••-

而

141

•

••-151

・・・DF的最小值为苔

J

当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为

ZBAC,得到线段AR,连接FR,过点D作DQ_LAR于点Q,DK_LFR于点K,

VZEAF=ZBAC,ZDAR=ZBAC,

AZDAE=ZRAF,

在^ADE和^ARF中

(AE=AF

<^.DAE=Z.RAF

IAD=AR

.*.△ADE^AARF(SAS),

.\ZADE=ZARF=90°,

・••点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小,

VDQ1AR,DK1RF,

ZR=ZDQR=ZDKR=90°,

•F四边形DKRQ是矩形，

・・・DK=QR,

417

AQ=ADcos^BAC=3x1

VAR=AD=3,

:・DK=QR=AR-AQ=3

・・・DF的最小值为春

..3111

YF

・・・DF的最小值为检

12.【答案】(1)证明：如图1,

AED

图1

・・•四边形ABCD是矩形,

・••44=ZD=90°,

，乙CEO+4OCE=90。.

*：EF1CE,

:,乙CED+/-AEF=90°,

C./-DCE=^AEF,

A△AEFDCE

A△BGC是直角二角形.

=CM=GM=^乙BC=3.

・••点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.

当A,G,M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM>AM,

当A,G,M三点共线时，AG+GM=AM.

此时，AG+GM取最小值.在Rt^ABM中，AM=>JAB2+BM2=5.

：.AG+GM的最小值为5.

②（求AF的方法一）如图2-2,过点M作MN||AB交FC于点N,

BMC

图2-2

A△CMNfCBF.

.MN_CM_1

''~BF~~CB~2,

设=%,贝ijBF=4-x,

AM/V=|5F=1（4-x）.

'：MN||AB,

：.△AFG~AMNG,

.AF_AG

由①知AG+GM的最小值为5、即力M=5,

又•：GM=3,

：.AG=2.

x2

•,-l（4-x）=3，解得x=1,即A尸=1•

（求AF的方法二）

如图2-3,过点G作GH||AB交BC于点H.

.GM_GH_MH

••丽一而一而‘

由①知AG+GM的最小值为5,即4M=5,

又,：GM=3,

,3GHMH

*-5=T=­.

129

..GH=昔，MH.

由GH||AB得△CHGCBF,

・GHCH„n号3+2

解得FB=3.

，AF=AB—FB=1.

由(1)的结论可得霁=供.

设DE=y>则AE=6—y>

・1_6-y

解得y=3+V5或3-.

VO<3+^<6，0<3-V5<6»

-'-DE=3+遥或OE=3-花.

13.【答案】(I)证明：；F为BE的中点,

ABF=EF,

•・•四边形ABCD是矩形，

AAB//CD,AB=CD

AZBMF=ZECF,

VZBFM=ZEFC,

・•・△BMF^AECF(AAS),

，BM=CE,

•・•点E为CD的中点，

ACE=1CD,

VAB=CD,

:,BM=CE=^AB,

：.AM=BM,

・・・AM=CE

(2)解：VZBMF=ZECF,ZBFM=ZEFC,

・•・△BMFs/XECF,

.BF_BM_1

••乔一谑一2'

VCE=3,

ABM=1,

•••AM=3，

VCM1MN,

・•・ZCMN=90°,

.\ZAMN+ZBMC=90o,

VZAMN+ZANM=90°,

AZANM=ZBMC,

VZA=ZMBC,

・•・△ANM^ABMC,

.AN_AM

••丽一前'

.AN_4

2

27

AN=正'

ADN=AD-AN=4-猊洛

1616

27

.^-T6-2Z

,,^V-37-37

(3)解：VMN77BE,

AZBFC=ZCMN,

.,.ZFBC+ZBCM=90°,

*.*ZBCM+ZBMC=900,

AZCBF=ZCMB,

tanZCBF=tanZCMB,

,CE_BC

,•阮二两’

.3_4

一4一两’

=竽，

・MM=-8M=6-学=I，

由(2)同理得，需=需,

.AN_,

••W一甲

T

解得：AN=1,

ADN=AD-AN=4-产置,

o

.AN__J__2

••丽_28-T

T

14.【答案】1或1

15.【答案】i

16.【答案】D

".【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，

ABC=DC,AB||CD,

.\ZBDC=ZCBD,NBDC=NABD,

AZCBD=ZABD=1ZABC,

•:BG平分Z-CBE交DE于点G,

AZCBG=ZEBG=1ZCBE,

AZCBD+ZCBG=1(ZABC+ZCBE)=1xi80°=90°,

.•.ZDBG=90°：

图1

•・•四边形ABCD是菱形，BD=6,

・・・OD=1BD=3,AC1BD,

.•.ZDOC=90°,

在RIADOC中，0C=兀F二而7=序二¥=4，

AAC=2OC=8,

:丧形ABCD=/ACxBD=^x8x6=24,

即菱形ABCD的面积是24.

②如图2,连接AC,分别交BD、DE于点0、H,

BE

图2

•・•四边形ABCD是菱形,

AAC1BD,

VZDBG=90°

:.BG1BD,

ABG||AC,

.DH_DO_1

9，~DG=~BD=2'

ADH=HG,DG=2DH,

・.・DG=2GE,

，EG=DH=HG,

.DH_1

,,丽=2'

VAB||CD,

AZDCH=EAH,ZCDH=ZAEH,

/.△CDH<^AAEH,

.CH_DH_1

^AH=EH=2'

・・・CH=1AC=1,

AOH=OC-CH=4-5=1,

*Jo

AtanZBDE=需；

(3)解：如图3,过点G作GT||BC交AE于点T,此时ET=

图3

理由如下：由题(1)可知，当/DAB的大小发生变化时，始终有BG||AC,

.*.△BGE^AAHE,

.EG_BE

••GH=AB'

VAB=BE=5,

・・・EG=GH,