平行线的性质-2024年七年级数学寒假提升（解析版）

第03讲平行线的性质

新

两直线平行，同位角相等

平行线的性质两直线平行，内错角相等

平两直线平行，同旁内角互补

行

线题设:已知事项

判断T牛事的语句

结论:由已知事项推出的事项

题设和结论都正确的命题叫真命题，结论错误的命题叫假命题

经过证明而得到的真命题叫做定理

基础国H识

知识点1:平行线性质

性质（1）:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

几何语言：・・・a〃b,

AZ1=Z5（两直线平行，同位角相等）.

性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

几何语言：・・・a〃b,

AZ3=Z5（两直线平行，内错角相等），

性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

几何语言：・・・a〃b,

・・・N3+N6=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

知识点2：命题

内容

定义能判断一件事情的语句，叫做命题.

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知

组成

事项推出来的事项

通常可以写成'如果……，那么……的形式，“如果”后接的部分是题设，

表达形式

“那么”后接的部分是结论.

题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题.

分类

题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题.

示裒军元

》考点剖析

考点一：利用平行线性质求角度

【典例1】如图，AB//CD,NC£"=85。，则/力的度数是（）

【答案】B

【解析】/CEF=85。,

Z.DEF=180O-Z.CEF=180°-85°=95°,

vAB//CD.

ZA=NDEF=95°,

故选:B.

【答案】B

【解析】-AB1AC,

Z5+Z1=90°,

.•Z1=50°,

.­.25=90°-50°=40°,

/.N2=/B=40°,

故选:B.

【变式1-2］如图，AB//CD,AD=CD,Zl=65",则N2的度数是（）

/C

J

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】A

【解析】•:ABUCD,

・•・ZJCD=Z1=65°.

AD=CD,

/CAD=/ACD=65。,

:.Z2=180°-65°x2=50°.

故选:A.

【变式1-3］如图，直线42〃CQ,入1二70。，则NMC等于（）

C.120°D.130°

【答案】B

【解析】VAB//CD,

/.ZJ+ZJFD=180o,

VZ4=70°,

:.AAFD=110°,

・•.ZEFC=110°,

故选：B.

考点二：利用平行线性质解决三角板问题

【典例2】已知直线〃?〃〃，将一块含30。角的直角三角板/8C按如图方式放置（N48C=30。），其中A、B

两点分别落在直线机，〃上，若/1=27。，则N2的度数为（）

A.27°B.30°C.45°D.57°

【答案】D

【解析】，•,〃n,

:.Z2=/ABC+Z1=30°+27°=57°,

故选:D.

【变式2-1】将一副直角三角板力BC和灯必如图放置（其中4=60。,ZF=45°）,使点K落在力C边上,

且ED//BC,则//IE”的度数为（）

A.145°B.155°C.165°D.175°

【答案】C

【解析】•••4=60。，//=45。，

・••/ACB=90°-60°=30°,4DEF=90°-45°=45°,

•・,ED〃BC、

，NCED=NACB=300,

・•・Z.CEF=ZDEF-4CED=45°-30°=15°,

:.AAEF=180°-NCEF=165°,

故选：C.

【变式2-2】将等腰直角三角形力DE和直角三角形48C（其中/C=30°）按如图所示的方式摆放，点。在

25°

【答案】B

【解析】VAE//BC,

：.HC=NC=30。，

VHD=45。,

:.ADAC=ZEAD-ZEAC=45°-30°=15°.

故选：B.

【变式2・3】已知。〃人一块含30。角的直角三角形如图放置，Z1=I5，则N2的度数为（）

a

b------------------------------------

A.100°B.135°C.155°D.165°

【答案】B

【解析】如图，过『作〃。〃〃，则//尸Q=N1=15°,

N4=30。，

・•・/APB=60。,

...ABPQ=45°,

APQ//h,

乙BPQ=Z3=45°,

:./2=180°-/3=135。，

故选：B.

考点三：利用平行线性质解决折叠问题

【典例3】如图，将长方形4BS)沿GH折叠，使点C落在点。处，点。落在48边上的点E处，若/ZGE=32。,

则NG〃C的度数为()

A.112°B.HO9C.108°D.106

【答案】D

【解析】-ZAGE=32°,

ZDG£=180o-32°=148°,

由折叠可知NEGH=ZDGH=-ZDGE=74°,

2

在长方形力8。中，AD〃BC,

ZGHC=180°-Z.DGH=180°-74°=106°,

故选:D.

【变式3-1】如图，把一张对边互相平行的纸条，沿£〃折叠，则以下结论：①ZCEF=NEFB；②

乙心:乙BFD-.③NBGE=ND，FD：®Z5FD+ZCEG=180°；⑤NEFD=NEFD’.其中正确的结论有

()

C

A.①⑤B.②③④C.①@③⑤D.①②③④⑤

【答案】D

【解析】VAC//BD',:./EFB=NCEF,..•折叠，AZC'EF=ZCEF,

:.工CEF=4EFB、故①正确；

VAE//BG,：,4EC=4BGC,

乂EC〃尸。，AZBGC=ZBFD,

:.£AB>/BFD、故②正确；

,?EC〃FD,：./D'FD=Z.FGC,

又ZBGE=ZFGC,J.ZBGE=NPFD,故③正确：

ABGE=ND'FD,/BGE=乙FGC,

又AE〃BG,：.ZCEG=Z-FGC,:・ZC'EG=4D'FD,

VZZ?FD+ZDTO=180°,，/BFQ+/C'EG=1800,故④正确；

根据折叠的性质可得/EFD=NE/7)',故⑤正确，

故选：D.

【变式3-2】将一张长方形纸条按如图所示折叠，若/1=110。，则N2的度数是()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】标记点，如图所示,

E,AB

_____2^/_J

CD

VAB//CD,

：.Z4CD+Z1=18O°,

又;Z1=UO0,

Z/1CD=180°-Zl=70°,

由折叠可得，N4CE=4CD=70。,

・•・Z2=180。—/ACE-NACD=40’,

故选：C.

考点四：平行线性质的实际应用

【典例4】如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，第一次在8处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶,

两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次右拐15。，第二次左拐165。

B.第一次右拐15。，第二次左拐15°

C.第一次左拐15。，第二次左拐165。

D.第一次右拐165。，第二次左拐165。

【答案】B

【解析】如图，由选项可知，Z1=Z2=15。,

AB//CD,

故第一次右拐15。，第二次左拐15。，

故选：B.

【变式4-1】如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至8处言，行驶方向改为南偏东75。，若行驶到。

处仍按正东方向行驶，则他在C处的实际拐弯方向为（）

A.左拐75。B.左拐15。C.右拐15。D.右拐75。

【答案】B

【解析】由题意得,过点。作1〃力4,如图所示,

•••某人骑自行车自A沿正东方向前进，至6处后，行驶方向改为南偏东75。，

?.Zl=90°-75°=15°.

QCE〃AB,

Z2=Z1=15°.

・••若行驶到。处仍按正东方向行驶，则他在。处的实际拐弯方向为向左拐15。.

故选：B.

【变式4-2】如图，C岛在力岛的北偏东60。方向，在8岛的北偏西45。方向，则/力。？=

【答案】105。

【解析】过点C作

'.'CD//AE,BF〃AE,

CD//BF.

•：CD//AE,

，Z.DCA=Z.CAE=60°,

同理：4DCB=4CBF=45°.

Z.ACB=Z.ACD+乙BCD=105°,

故答案为：105。.

【变式4-3】如图，/力。8的一边0力是平面镜，乙4。〃=40。，点。是08上一点，一束光线从点C射出,

经过平面镜。4上的点。反射后沿射线。E射出，已知/力OE,要使反射光线力石〃。8,则/COE

的度数是度.

【答案】100

(解析】•:DE//OB,・•・ZADE=NAOB=40°,

又,,,NODC=^ADE,NODC=乙4DE=40°,

・•・Z.CDE=180°-NADE-ZODC=100°,

故答案为：100.

考点五：利用平行线的判定与性质的综合

【典例5】如图，在△力8C中，CE〃/IB,F、G是48、8c上的两点，Zl+Z2=180°.

(2)若々=110。，CE平分/4C。，求的度数.

【解析】(1)•：CE〃AB,

:.N2=N4,

'：Zl+Z2=180°,

/.Z1+Z.4-]80°,

AFG//AC；

(2)・.•Zl+Z2=180°,Zl=110°,

.*.D2=70*,

•••CE平分/4CO,

・•・Z2=ZECD=70°,

•；CE〃AB、

:.LU=4ECD=70。.

【变式5・1］如图，已知NI=N2,ZC=ZP.

⑴求证：BD//CE-,

(2)如果N0£C=U5。,求/C的度数.

【解析】(1)vZl=Z2,Z2=Z4,

・•・Zl=Z4,

BD//CE.

(2)BD//CE,

••・/ABD=ZC,

又：NC=ND,

^ABD=ND,

：.AC//DF,

，ZD£C+ZC=180°,

VZ£>EC=115°,

・•・ZC=180°-115o=65°.

［变式5-2】如图，已知△ABC,NC=90°,4CMEi/EFN=180。,NMEB=4FNB.

AENB

(1)判断£尸和〃。的位置关系，并说明理由；

(2)若EF平分4MEB,4FNB=54°,求/AME和4NFB的度数.

【解析】(1)EF上BC,理由如下：

£MEB=ZFNB,

ME//FN,

...ZMEF=AEFN,

NCME+NEFN=T80°,

ZCM£+ZMEF=180°,

:.AC//EF.

vzc=90%即/CJ.8C,

EFLBC.

（2）QMEHFN,

：.NMEB=ZFNB=54°,

EF平分4MEB,

NMEF=ZBEF=-々MEN=270,

2

-AC/7EF,

...£AME=NMEF=27。,

QME〃FN,

ZEFN=NMEF=27°,

•••EFIBC,

ZEFB=90°,

ZBFN=NEFB-4EFN=90°-27°=63°.

考点六：命题的判定

【典例6】下列语句中，是命题的有（）

①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等：③画线段48=1cm；④同角的余角相等；⑤

同位角相等.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的有4个，

故选C.

【变式6-1］下列语句是命题的是（）

A.在线段48上取点CB.作直线48的垂线

C.垂线段最短吗？D.相等的角是对顶角

【答案】D

【解析】A、在线段上取点。不是命题，故A选项错误；

B、作宜线的垂线不是命题，故B选项错误；

C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题，故C选项错误；

D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确.

故选:D.

【变式6・2】下列语句不是命题的是（）

A.两条宣线相交只有一个交点B.大于直角的角是钝角

C.同旁内角互补D.作/彳08的平分线

【答案】D

【解析】A、两条直线相交有且只有一个交点，是命题，不符合题意；

B、大于直角的角是钝角，是命题，不符合题意：

C、同旁内角互补，是命题，不符合题意；

D、作/力。8的平分线，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意.

故选：D.

考点七：真假命题的判断

【典例7】下列命题中，是真命题的是（）

A.同角的余角互补B.同位角相等

C.两直线平行，内错角相等D.三角形的一个外角大于任何一个内角

【答案】C

【解析】A.同角的余角相等，不符合题意；

B,同位角不一定相等，不符合题意；

C.两直线平行，内错角相等，符合题意；

D.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意.

故透:C.

【变式7・1】下列命题;

①内错角相等;

②两个锐角的和是钝角;

③“，h,。是同一平面内的三条直线，若。〃力，bPc,则。户c；

④“，b,c是同一半囿内的三条直线，若alb,blc,则。尸。.

其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；

③*/），。是同一平面内的三条直线，若a/b,bPc,\）［\\aPct正确，是真命题，符合题意；

④“，h,。是同一平面内的三条直线，若。JL6,Z）lc,则〃"c,正确，是真命题，符合题意.

真命题有2个，故选：B.

【变式7-2】下列命题中，是假命题的是（）

A.同位角相等，两直线平行B.对顶角相等

C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等D.两点之间，线段最短

【答案】C

【解析】A、“同位角相等，两直线平行”是真命题，故不符合题意;

B、“对顶角相等“是真命题，故不符合题意；

C、“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是假命题，缺少平行条件，故符合题意；

D、“两点之间，线段最短”是真命题，故不符合题意.

故选C.

考点八：命题的改写

【典例8】把“同角的余角相等”改成“如果……，那么……”：.

【答案】如果两个角是同•个角的余角，那么这两个角相等.

【解析】“同角的余角相等“改写成，如果……那么……”：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等,

故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

【变式8-1］把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果……那么……”的形式.

【答案】如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角

【解析】“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”的条件是：一个角是锐角，结论是：这个锐角的补角大于

它的余角，

写成“如果……那么……”的形式为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角，

故答案为：如果一个角是锐角，那么这个锐角的补角大于它的余角.

【变式8-2］把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式：.

【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行

【解析】命题“平行于同一直线的两直线平行''可以改写为如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直

线平行.

故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.

考点九：命题的证明过程

【典例9】如图，点。在43上，直线DG交力/于点E.请从①0G〃/C,②力/平分/84C,③

=中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证.

已知：,求证：.〔只须填写序号）

证明：

【答案】①②，③，证明见解析.（答案不唯一）

【解析】已知①②，求证：③，

证明:,:DG〃AC、

，/DEA=/EAC,

•••力/平分/历IC,

・•・/DAE=/EAC,

:.^DAE=NDEA.

故答案为：①②；③.

【变式9-1】如图所示，在①DE〃BC；②/1=/2；③NB=NC三个条件中，任选两个作题设，另一个作

为结论，组成一个命题，并证明.

【解析】已知,DE〃BC,Z1=Z2.

求证：ZB=ZC.

证明：VDE/7BC,

・・・N1=NB,Z2=ZC.

又；N1=N2,

AZB=ZC.

【变式9-2】如图，直线4B和直线CO,直线BE和直线C厂都被直线8C所截.在下面三个条件中，请你选

择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①48"L8C,CD1BC；②BE"CF：

③N1=N2.

【解析】由①②得到③

已知：如图，4B1BC,CDIBC,BE//CF.

求正：Zl=Z2.

证明：VAB1BC,CQ18C,

:・<ABC=NDCB,

工Z.EBC=Z.FCB,

・•./ABC-4EBC=ZDCB-4FCB,

，Zl=Z2.

由①©得到②

已如：如图，ABA.BC,CD1DC,Zl=Z2.

求证：BE//CF.

证明：VAB1BC,CD1.BC,

乙4BC=NDCB,

又•：Zl=Z2,

:./ABC-A=/DCB-/2,

・•・AEBC=ZFCB,

・•・BE//CF.

》过关检测

一、选择题

1.如图，直线。，〃被直线C所截，Ra//h.若Nl=50。，则N2=()

C.50°D.55°

【答案】C

【解析】,：a//h,Zl=50°,

AZ3=Z1=5O°,

:.Z2=Z3=50°,

故选C.

2.下列语句是命题的是()

A.在线段44」：取点。B.作直线44的垂线

C.垂线段最短吗？D.相等的角是对顶角

【答案】D

【解析】A、在线段48上取点C不是命题，故A选项错误;

B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误；

C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题，故C选项错误；

D、相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确.

故选:D.

3,下列图形中，由48〃8能得到N1=N2的是（）

【答案】B

【解析】A.由48〃。。可得/1+/2=180。，故A选项错误;

・•・Zl=Z3,

丁/2=/3,

，Zl=Z2.

故B选项正确;

C.由力8〃8可得/4/。=/月。。，故C选项错误;

D.由43〃CO不能得到，N1=N2,故D选项错误.

故选：B

4.如图,点。在点A的正东方向上，点B在点A的北偏东62。方向上，点8在点C的北偏东34。方向上，则

C.34°D.38°

【答案】A

【解析】如图所示,

tB

E

依题意，/ABD=/FAB=62°,NCBD=ZECB=34°,

.*.AABC=ZABD-NCBD=62°-34。=28。，

故选：A.

5.如图，//是/8/C的角平分线，DF//AC,若力b=60。，则N1的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.45°

【答案】C

【解析】VZ5DF=60°,DF//AC,

，BDF=NBAC=60。,ZX=Z.FAC.

•・•"•是/四C的角平分线，

・•・ZFAC=-ZBAC=30°,

2

，Z1=Z/^C=3O°,

故选:C.

6.下列命题，其中真命题有（）

①相等的两个角是对顶角；

②同旁内角互补；

③垂线段最短：

④过一点有且只有一条直线与这条直线平行；

⑤在同一平面内，mb,c是直线，且bA,则

⑥在同一平面内，a,b,。是直线，旦aHb,die,则〃J_c.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】①相等的两个角是对顶角，是假命题；

②同旁内角互补，是假命题；

③垂线段最短，是真命题；

④过一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题；

⑤在同一平面内，a,力，c是直线，旦a//b,bPc,则。尸c,是真命题；

⑥在同一平面内，a，b,。是直线，且。〃力，bA.c,则〃_Lc,是真命题.

所以真命题的③⑤⑥，共3个，

故选：C.

7.如图，直线。〃6,点4在直线。上，ABLBC,若Nl=42。，则N2的度数为（）

【答案】C

【解析】如图,

VAB±BC,

Z.乙18c=90°

・••/1+/3=90。

Z1=42°,

/.Z3=90o-42°=48°,

:.Z2=Z3=48°,

故选：C.

8.如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（）

B.三角形的面积大

C.梯形的面积大D.三个图形的面积相等

【答案】D

【解析】设该组平行线间的距离为人

平行四边形的面积=5。，

三角形的面积=,xl06=5万，

梯形的面积=；x（3+7）6=56,

・••三个图形的面枳相等，

故选:D.

9.如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若Nl=68。，则N2的度数是（）

【答案】C

:.Z3=Z1=68°,

・•・Z2=90°-Z3=90°-68°=22°.

故选C.

10.卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点。照射到抛物线上的光线〃、OC

等反射以后沿着与P。平行的方向射出，已知NO4?=25。，OAlOCt那么NOCO的度数是（）

【答案】A

【解析】•:AB"PQ,

，^AOP=ZBAO=25°,

,:OALOC,

：.ZPOC=90°-25°=65°,

•/OQ//CD,

・•・£OCD=NPOC=65。,

故选：A.

二、填空题

11.如图，AD//BC,/C平分NB=70。,则乙IC8=度.

【答案】55

【解析】VAD//BC,

N048+N