华北理工材料力学学习指导及习题答案

材料力学-学习指导及习题答案1-1图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx，即扭矩，其大小等于M。1-2如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120MPa，其方位角θ=20°,σ=pcosα=120×cos10°=118.2MPaτ=psinα=120×sin10°=20.8MPa1-3图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103N=200kN其力偶即为弯矩Mz=200×(50-33.33)×10-3=3.33kN·m1-4板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。解：第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。解：(a)FNAB=F,FNBC=0,FN，max=F(b)FNAB=F,FNBC=－F,FN，max=F(c)FNAB=－2kN,FN2BC=1kN,FNCD=3kN,FN，max=3kN(d)FNAB=1kN,FNBC=－1kN,FN，max=1kN2-2图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200kN与F2=100kN，AB段的直径d1=40mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。解：因BC与AB段的正应力相同，故2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。解：2－4（2-11）图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm，两杆的材料相同，屈服极限σs=320MPa，安全因数ns=2.0。试校核桁架的强度。解：由A点的平衡方程可求得1、2两杆的轴力分别为由此可见，桁架满足强度条件。2－5（2-14）图示桁架，承受载荷F作用。试计算该载荷的许用值[F]。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[σ]。由B点的平衡条件1杆轴力为最大，由其强度条件2－6（2-17）图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。解：由正应力强度条件由切应力强度条件由挤压强度条件故D：h：d=1.225：0.333：1F2=35.4kN，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力FB三力作用，根据三力平衡汇交定理知FB的方向如图（b）所示。由平衡条件由切应力强度条件由挤压强度条件故轴销B的直径3-1图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量E图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。试确定载荷F及其方位角θ之值。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为由A点的平衡条件(1)2+(2)2并开根，便得式(1)：式(2)得3-3(3-6)图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为δ,长为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。解：3-4(3-11)图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件钢丝绳伸长量由图（b）可以看出，C点铅垂位移为Δl/3，D点铅垂位移为2Δl/3，设各杆各截面的拉压刚度均为EA。因为3杆不变形，故A点水平位移(b)各杆轴力及伸长分别为A点的水平与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束)(a)(b)解：2根杆的轴力都为2根杆的伸长量都为则节点C的铅垂位移3-7(3-16)图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。解：各杆轴力及变形分别为梁BD作刚体平动，其上B、C、B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C。3-9(3-21)由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与A2。复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。解：设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2，则FN1+FN2=F(1)变形协调条件为杆、管伸长量相同，即联立求解方程(1)、(2)，得杆、管横截面上的正应力分别为 横截面面积均为A，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=110MPa。试确定各杆的横截面面积。解：设杆1所受压力为FN1，杆2所受拉力为FN2，则由梁BC的平衡条件得Z⃞s=0,Fn十Fxg=2F变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即联立求解方程(1)、(2)得因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力，故由杆1的压应力强度条件得3-11(3-25)图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[σ若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为FN1(压)、FN2(拉)、FN3(拉)，则由C点的平衡条件杆1、杆2的变形图如图(b)所示，变形协调条联立求解式(1)、(2)、(3)得由三杆的强度条件注意到条件A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2。3-12(3-30)图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40°,试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为αls=12.5×10-6℃-1与αlc=16×10-6℃-1。解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为FN，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即铆钉剪切面上的切应力3-13(3-32)图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、E与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l+解：静力平衡条件为变形协调条件为联立求解式(1)、(2)、(3)得杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件若将杆3的设计长度l变为l+Δ,要使许用载荷最大，只有三杆的应力都达到[σ]，此时变形协调条件为4-1(4-3)图示空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩T=1kN•m。试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及A点处(ρA=15mm）的扭转切应力。4-2(4-10)实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，许用切应力[τ]=80MPa，d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。由空心轴的切应力强度条件(1)试求轴内的最大扭矩；(2)若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。解：(1)轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将轮1与轮3的位置对调，则最大扭矩变为最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。4-4(4-21)图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。解：(a)由对称性可看出，MA=MB，再由平衡可看出MA=MB=M(b)显然MA=MB，变形协调条件为解得(c)(d)由静力平衡方程得联立求解式(1)、(2)得4-5(4-25)图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m，套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa。试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。解：设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2，则联立求解式(1)、(2)，得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为4-6(4-28)将截面尺寸分别为φ100mm×90mm与φ90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：去掉扭力矩M0后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T，设施加M0后内管扭转角为φ0。去掉M0后，内管带动外管回退扭转角φ1（此即外管扭转角剩下的扭转角(φ0-φ1)即为内管扭转角，变形协调条件为扭转切应力分别为4-7(4-29)图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为δ=10mm，轴所承受的扭力矩为M=5.0kN·m，螺栓的许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。解：设每个螺栓承受的剪力为FS，则由切应力强度条件由挤压强度条件故螺栓的直径1(5－1)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。解：B正确。平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q(x)的方向决定。截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同，参考下图。当Ox坐标取向相反，向右时，相应(b)，A是正确的。但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时，均为正，反之，为负。2(5－2)、对于承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的。解：A是错误的。梁截面上的弯矩的正负号，与梁的坐标系无关，该梁上的弯矩为正，因此A是错误的。弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y轴的正向。q(x)向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、C、D都是正确的。3(5－3)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|FQ|max和|M|max。（本题和下题内力图中，内力大小只标注相应的系数。）解：4(5－4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|max。解：5(5－5)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A端弯矩M(0)=0，试确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图。解：6(5－6)、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力)。解：7(5－7)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知E端弯矩为零。请：（1）在Ox坐标中写出弯矩的表达式；（2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。解：8(5-10)在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。解：用坐标分别为x与x+dx的横截面，从梁中切取一微段，如图(b)。平衡方程为9(5-11)对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系。解：(a)用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图(c)。平衡方程为(b)用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图(d)。平衡方程为10(5-18)直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。已知材料的弹性模量为E。解：11(5-23)图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2)如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；解：(1)欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数取极大值，为此令(2)欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令12(5-24)图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E=200GPa，a=1m。13(5-32)图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，Me=70kN·m，许用拉应力]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。试校核梁的强度。惯性矩弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。在C左截面，其最大拉、压应力分别为在C右截面，其故UJ14(5-35)图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。已知载荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板的许用应力[σ]=7MPa，胶缝的由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力可见，该梁满足强度条件。15(5-41)图示简支梁，承受偏斜的集中载荷F作用，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知F=10kN，l=1m，b=90mm，h=180mm。解：16(5-42)图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。(2)17(5-45)一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[σc]=4[σt]。试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。解：又因y1+y2=400mm，故y1=80mm，y2=320mm。将截面对形心轴z取静矩，得18(5-54)图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。试证明：当e≤d/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=d/8的圆形区域。解：19(5-55)图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定F的许用值。已知许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。解：故F的许用值为4.85kN。7-1(7-1b)已知应力状态如图所示（应力单位为pa试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。解：x与JY截面的应力分别为：MPa7-2(7-2b)已知应力状态如图所示（应力单位为试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。解：与截面的应力分别为：7-3(7-2d)已知应力状态如图所示（应力单位为试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。解：如图，得：指定截面的正应力a=40-10cos6500=35Ia切应力t=-10sin50p=-8.6Ia7-4(7-7)已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为pa试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。解：由图，根据比例尺，可以得到：7-5(7-10c)已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应解：对于图示应力状态，g,=0是主应力状态，其它两个主应力由、a,=0、TY=T确定。在o-t平面内，由坐标(σ,t)与(o,-t)分别确定A和8点，以A8为直径画圆与轴相交于和。再以及为直径作圆，即得三向应力圆。由上面的作图可知，主应力为,7-6(7-12)已知应力状态如图所示（应力单位为pa试求主应力的大小。解：x与y截面的应力分别为：a,=20MIa；在截面上没有切应力，所以是主应力之一。:=4.7Mpa；7-7(7-13)已知构件表面某点处的正应变，e,=-300x10"，切应变Y=200x10"，试求该表面处方位的正应变Eis与最大应变w及其所在方位。解：=414x10-5得：%=7.37"7-8(7-20)图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用，试计算线段AB的正应变。设截面尺寸b和h与材料的弹性常数E和μ均为已知。解AB的正应变为7-9(7-21)在构件表面某点O处，沿，45"与方位，粘贴三个应变片，测得该三方位的正应变分别为g.=450x10的，与ew.=100x10"，该表面处于平面应力状态，试求该点处的应力，与。已知材料的弹性模量，泊松比解：显然并令，于是得切应变：=-150x10-"7-10(7-6)图示受力板件，试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零。证明：若在尖点A处沿自由边界取三角形单元体如图所示，设单元体x、JY面上的应力分量为、TY和O,、n，自由边界上的应力分量为，则有代表A点应力状态的应力圆缩为I-t坐标的原点，所以A点为零应力状态。7-11(7-15)构件表面某点o处，沿与135"方位粘贴四个应变片，并测ES=100x10"，试判断上述测试结果是否可靠。得：又得：根据实验数据计算得到的两个Yw结果不一致，所以，上述测量结果不可靠。1、(8-4)试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力，弹性常数E和μ均为已知。（a）棱柱体轴向受压；（b）棱柱体在刚性方模中轴向受压。解：对于图（a）中的情况，应力状态如图（c）对于图（b）中的情况，应力状态如图（d）所以，， 2、(8-6)图示钢质拐轴，承受集中载荷F作用。试根据第三强度理论确定轴AB的直径。已知载荷F=1kN，许用应力[σ]=160Mpa。解：扭矩了=1000x0.14=140N.弯矩M=1000x0.15=150N.m得：所以， 3、(8-10)图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮Ⅰ上，作用有径向力、切向力；在齿轮Ⅱ上，作用有切向力、径向力民=1.82KN。若许用应力[σ]=100Mpa，试根据第四强度理论确定轴径。解：计算简图如图所示，作、、图。从图中可以看出，危险截面为B截面。其内力分量为：由第四强度理论得： 4、8-4圆截面轴的危险面上受有弯矩My、扭矩Mx和轴力FNx作用，关于危险点的应力状态有下列四种。试判断哪一种是正确的。请选择正确答案。（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面）答：B 5、（8-13)图示圆截面钢杆，承受载荷，与扭力矩作用。试根据第三强度理论校核杆的强度。已知载荷N扭力矩M。=1.2KN-m，许用解：弯矩满足强度条件。 6、(8-25)图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚δ=10mm的圆筒，圆筒内的压力p=1Mpa，两端的轴向压力F=300kN，材料的泊松比μ=0.25，许用拉应力[σt]=30Mpa。试校核圆筒部分的强度。解：由第二强度理论：满足强度条件。 7、(8-27)图薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力矩M作用，由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成方位的正应变分别为Ee和E4S。试求内压p与扭力矩M之值。筒的内径为D、解很显然， 试校核油管的强度。解由第三强度理论，a,3=a-a=82.5pa<[o]=100MIa满足强度条件。 9、(8-11)图示圆截面杆，直径为d，承受轴向力F与扭矩M作用，杆用塑性材料制成，许用应力为[σ]。试画出危险点处微体的应力状态图，并根据第四强度理论建立杆的强度条件。解：危险点的应力状态如图所示。,由第四强度理论，，可以得到杆的强度条件： 10、(8-17)图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷作用。已知圆环轴线的半径为R，截面的直径为d，材料的许用应力为[ol，试根据第三强度理论确定的许用值。解：危险截面在A或B截面A截面B：==F·R,由第三强度理论可见，危险截面为A截面。,得：即F的许用值为： 11、(8-16)图示等截面刚架，承受载荷与作用，且F'=2F。试根据第三强度理论确定的许用值。已知许用应力为[oj，截面为正方形，边长为a，且。解：危险截面在A截面或C、D截面，C截面与D截面的应力状态一样。C截面：由第三强度理论，A截面：Ta=0由第三强度理论，得：比较两个结果，可得： 12、(8-25)球形薄壁容器，其内径为，壁厚为，承受压强为p之内压。试证明壁内任一点处的主应力为，e,so。证明：取球坐标or8y，对于球闭各点，以球心为原点。由于结构和受力均对称于球心，故球壁各点的应力状态相同。且由于球壁很薄。对于球壁上的任一点，取通过该点的直径平面（如图由平衡条件对于球壁内的任一点，因此，球壁内的任一点的应力状态为：证毕。 9-1(9-8)图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为EI，且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷F又为何值？解：(1)此时，CD杆是压杆。时，CD杆失稳。(2)F的方向改为向内时，AC、CB、BD、DB杆均为压杆。其受到的压力均为时，压杆失稳。9-2(9-22)图示桁架，在节点C承受载荷F=100kN作用。二杆均为圆截面，材料为低碳钢Q275，许用压应力[σ]=180Mpa，试确定二杆的杆径。解：取结点C分析。AC杆是拉杆，得：BC杆是压杆，得：考虑到压杆失稳，得：AC杆的直径为：BC杆的直径为：9-3(9-12)图示活塞杆，用硅钢制成，其直径d=40mm，外伸部分的最大长度l=1m，弹性模量E=210Gpa，=100。试确定活塞杆的临界载荷。解：看成是一端固定、一端自由。此时i=2用大柔度杆临界应力公式计算。9-4(9-7)试确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。解：由于右段可水平移动而不能转动，所以右端有力偶M,。取杆的左段为隔离体，得它的通解为：得：y'=0=KA-0得：A=0所以，当x=i时，即：(n=1,2,3…)得最小值所以，该细长压杆的相当长度，临界载荷为9-5(9-2)图示刚杆弹簧系统，试求其临界载荷。图中的k为弹簧常量。解：设弹簧伸长为,则，那么支反力为：。各力对弹簧所在截面取矩，则：9-6(9-13)图示结构，由横梁AC与立柱BD组成，试问当载荷集度q=20N/mm与q=40N/mm时，截面B的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量E=200GPa，比例极限OP=200MPa。解：截面几何性质：No20b工字钢oo圆截面立柱长a=2rm结构为一次静不定，由变形协调条件（1）当g=20rrn时9-7(9-15)图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l=300mm，截面宽度b=20mm，高度h=12mm，弹性模量E=200Gpa，=50，=0，中柔度杆的临界应力公式为：试计算它们的临界载荷，并进行比较。解从计算结果看出，第三种支持方式的临界载荷最大。9-8(9-5)图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E=200Gpa。试用欧拉公式计算其临界荷载。（1）圆形截面，d=30mm，l=1.2m2）矩形截面，h=2b=50mm，l=1.2m；（3）No14工字钢，l=1.9m。解：(1)(2)(3)9-9(9-17)图示连杆，用硅钢制成，试确定其临界载荷。中柔度杆的临界应力公式为在式—z平面内，长度因数；在x-y平面内，长度因数。解：A=30x1ox2+30)x5=75(rnrn2考虑x-y平面失稳考虑x-z平面失稳采用中柔度杆的临界应力公式计算9-10(9-19)试检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量F=12，丝杠内径d=52rrn，丝杠总长i=50ornrn，衬套高度A=100rnrn，稳定安全因数解：看成是一端固定、一端自由。用中柔度杆的临界应力公式计算。所以，千斤顶丝杠不会失稳。1(12—1)在梁的图示截面上，弯矩M=10kN·m。试计算最大弯曲正应力。已知截面的惯性矩Iy=Iz=4.75×106mm4，Iyz=2.78×106mm4。解：2(12－3)图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，试校核梁的强度。已知F1=5kN，F2=30kN，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。解：在固定端截面上梁强度不满足要求。3(12－8)图示用钢板加固的木梁，承受载荷F=10kN作用，钢与木的弹性模量分别为Es=200GPa与Ew=10GPa。试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面C的挠度。解：I=177.1x10"m*;⃞=5.667k-m由上册附录E知13－1（11—1）图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试计算梁的应变能及所加载荷的相应位移。题13－l(a)图解：题13－l(a)利用对称性梁的应变能：题13－l(b)图题13－l(b)解：梁的应变能：13－2（11—2）图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为δ,长度为l，左、右端的截面宽度分别为b1与b2，材料的弹性模量为E。题13－2图解：注意1）该题为变截面，各截面横截面上正应力不同。（2）各截面上正应力不同，故不能用，只能用计算。13－3（11—3）图示等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为,其中c为已知常数。试计算外力所作之功。解：注意：该题为材料非线性（1）对轴向拉压，仍适用；（2）不适用；（3）仍适用。解法二：13－4（11—4）图示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，“为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。题13－4图解13－5（11—5）图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、拉压刚度为EA，材料的泊松比为μ。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为解：用功（位移）互等定理关键:(1)找出状态Ⅱ,使状态Ⅱ的外力在（状态Ⅰ)所求的位移上做功；(2)状态Ⅱ的外力作用下状态Ⅰ)外力作用点、(状态Ⅰ)外力相应位移容易求出。用功的互等定理,13－6（11—6）图示纤维增强复合材料，轴1沿纤维方向，轴2垂直于纤维方向。当正应力σl单独作用时（图a材料沿1和2方向的正应变分别为式中，E1与μ12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比。当σ2单独作用时（图b上述二方向的正应变则分别为式中，E1与μ21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比。试证明：即上述四个弹性常数中，只有三个是独立的。解：设垂直于纤维方向边长为b，纤维方向边长为a，厚度为t，用功互等定理13－7（11—7）试用卡氏第二定理解题13－1。题13－l(a)图解：由13－l(a)知梁的应变能：题13－l(b)图解：题13－l(b)梁的应变能：13－8（11—8）图示桁架，在节点B承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算该节点的铅垂位移ΔB。各杆各截面的拉压刚度均为EA。题13－8图解：13－9（11—9）图示刚架，承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算截面C的转角。设弯曲刚度EI为常数。题13－9图解：由于截面没有转角相应的外力偶，故需虚加一个力偶m。注意（1）用卡氏第二定理时，在求某点位移（转角）时，则在求位移点沿求位移方向（转角）必须有一相应的集中力（集中力偶）。若实际结构不存在相应的力（力偶则需虚加相应力（力偶）。在对相应力（力偶）求偏导后，令虚加力（力偶）为零。（2）卡氏第二定理可有二种形式（以弯曲为例）、求A点（3）当求下梁A点的位移时，必须先把A点外力记为求A点位移，最后，FA用F表示。若直接用与C点F方向位移代数和。求出的物理意义为A点F方向位移13－10（11—11）图示等截面杆，承受轴向均布载荷q及集中载荷F作用。试用卡氏第二定理计算杆端截面A的轴向位移。设拉压刚度EA为常数。题13－11图解：1（13－3）图示圆截面钢杆，直径d=20mm，杆长l=2m，弹性模量E=210GPa，一重量为P=500N的冲击物，沿杆轴自高度h=100mm处自由下落。试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计。（1）冲击物直接落在杆的突缘上（图a（2）突缘上放有弹簧，其弹簧常量k=200N解：2（13－5）图示等截面刚架，一重量为P=300N的物体，自高度h＝50mm处自由下落。试计算截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。材料的弹性模量E=200GPa，刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计。题13－5图M图M0图解：3（13－6）图示悬臂梁，一重量为P的物体，以速度v沿水平方向冲击悬臂梁端部的截面A。试求该截面的最大水平位移与梁内的最大弯曲正应力。材料的弹性模量为E，梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。解：4（13－7）图示两根正方形截面简支架，一重量为P=600N的物体，自高度h=20mm处自由下落。试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力；（1）二梁间无间隙；（2）二梁间的间隙δ=2mm。已知二梁的跨度l=1m，根截面的边宽a=30mm，弹性模量E=200GPa。梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。解1）一次静不定问题。设两梁相互作用为R，由变形协调条件：（2）设上梁冲击点变形到最低点时动载荷为Pd，两梁相互作用为Rd，由变形协调条件：冲击物位能改变为上梁的变形能为下梁的变形能为由能量守恒1(14－1)试判断图示各结构的静不定次数。解a）4次静不定问题（3次内力静不定，1次外力静不定）。（b）3次静不定问题（2次内力静不定，1次外力静不定）。（c）1次静不定问题（1次内力静不定）。（d）1次静不定问题（1次内力静不定）。2(13—2)图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数。试求支反力，并画弯矩图。解a）1次静不定问题。相当系统如上右图。相当系统M图单位载荷结构3(14－3)图示圆弧形小曲率杆，弯曲剧度EI为常数。试求支反力。对于题（b并计算截面A的水平位移。解a）1次静不定问题。相当系统M图单位载荷结构相当系统单位载荷结构"(8)=-Rsin8解b）1次静不定问题。计算截面A的水平位移略。4(14－4)图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA。试求杆BC的轴力。解：1次静不定问题。相当结构单位载荷结构5(14－5)图示小曲率圆环，承受载荷F作用。试求截面A与C的弯矩以及截面A与B的相对线位移。设弯曲刚度EI为常数。题14－5图解1）求截面A与C的弯矩由对称性取相当系统如图求θA单位载荷结构相当系统求ΔAB单位载荷结构（2）求截面A与B的相对线位移14－6）图示结构，承受载荷F作用。试计算杆BC的轴力及节点B的铅垂位移。(a)题14－6图解a）取相当系统如图相当系统M图N图单位载荷结构M0图N0图（b）解略7(14－7)试画图示刚架的弯矩图。设弯曲刚度EI为常数。(a)(b)题14－7图（a）提示：由对称性取相当系统如图，解略（b）提示：由反对称性取相当系统如图，解略题14－7（a）相当系统题14－7（b）相当系统8(14－8)试画图示各刚架的弯矩图，并计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移。设弯曲刚度EI为常数。(a)(b)(c)(d)题14－8图（a）提示：由对称性取相当系统如图，解略（b）提示：由对称性取相当系统如图，解略（c）提示：由反对称性取相当系统如图，解略（d）提示：由反对称性取相当系统如图，解略题14－8（a）相当系统题14－8（b）相当系统题14－8（c）相当系统题14－8（d）相当系统9(14－9)图示刚架，承受载荷F＝80kN作用，已知铰链A允许传递的剪力［FS］=40kN，l=0.5m。试求尺寸a的允许取值范围。设弯曲刚度EI为常数。解：由反对称性取相当系统如图。题14－9图相当系统相当系统M图单位载荷结构M0图10(14－11)图示桁架，承受载荷F=80kN作用，各杆各截面的拉压刚度均为EA。试求杆BC的角位移。题14－11图相当系统单位载荷结构解：由反对称性知：NDC=0，取相当系统如图，解法二：参见题11—17（a）解。11(14－12)图示结构（均为小曲率圆杆弯曲刚度EI为常数。试计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移。题14－12（a）受力分析解：由对称性，受力分析如图题14－12图12(3－13)图示两端固定杆，如果温度升高T，试计算杆内的最大正应力。材料的弹性模量为E，线膨胀系数为“l，截面宽度不变。题14－13图解：由对称性，受力分析如图1(11－1)图示循环应力，试求其平均应力、应力幅值与应力比。解：2(11－2)图示旋转轴，同时承受横向载荷F与轴向拉力Fx作用，试求危险截面边缘任一点处的最大正应力、最小正应力、平均应力、应力幅与应力比；已知轴径d＝10mm，轴长l=100mm，载荷Fy=500N，Fx=2kN。解：3(11－3)图示疲劳试样，由钢制成，强度极限σb=600MPa，试验时承受对称循环的轴向载荷作用，试确定试样夹持部位圆角处的有效应力集中因数。试样表面经磨削加工。解:查表得:计算:计算:4(11－5)图示钢轴，承受对称循环的弯曲应力作用。钢轴分别由合金钢和碳钢制成，前者的强度极限σb=1200MPa，后者的强度极限σ’b=700MPa，它们都是