华北水利大材料力学课件第7章 应力应变分析

第七章应力状态与应变状态分析材料力学第七章应力状态与应变状态分析

§7–1应力状态的概念§7–2平面应力状态分析——解析法§7–3平面应力状态分析——图解法§7–4

梁的主应力及其主应力迹线§7–5

三向应力状态研究——应力圆法§7–6

平面内的应变分析§7–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§7–8

复杂应力状态下的变形比能§7–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txyxyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy五、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。tzx六、原始单元体（已知单元体）：[例1]

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

应力状态与应变状态PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx七、主单元体、主平面、主应力：

主单元体(Principalbidy)：

各侧面上剪应力均为零的单元体。

主平面(PrincipalPlane)：

剪应力为零的截面。

主应力(PrincipalStress

）：

主平面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小，应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz

单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：

一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：

一个主应力为零的应力状态。应力状态与应变状态

三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz§7–2

平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxysyxyzxysxtxysyO规定：

截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态xysxtxysyOsytyxsxsataaxyOtn图2图1应力状态与应变状态xysxtxysyOsytyxsxsataaxyOtn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：二、极值应力应力状态与应变状态xysxtxysyO

在剪应力相对的象限内，且偏向于

x

及

y较大的一侧。应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

）（xysxtxysyO

主单元体[例2]

分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体

求极值应力应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx

破坏分析应力状态与应变状态低碳钢铸铁§7–3

平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2

），得：一、应力圆（

StressCircle）应力状态与应变状态xysxtxysyO此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）sytxyxsxsataaxyOtn

建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法

在坐标系内画出点A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。

以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系

面上的应力(

，

)

应力圆上一点(

，

)

面的法线应力圆的半径

两面夹角

两半径夹角2

；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3s3例3

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

1

2解法1——图解法：

主应力坐标系如图

AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐标系内画出点s3应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主应力及主平面如图

1

0

2AB解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°应力状态与应变状态xyO§7–4

梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：

主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态

1

3

1

3qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3应力状态与应变状态

3

1§7–5

三向应力状态研究——应力圆法应力状态与应变状态s2s1xyzs31、空间应力状态2、三向应力分析

弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b

整个单元体内的最大剪应力为：tmax应力状态与应变状态s2s1xyzs3[例4]

求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：

由单元体图知：yz面为主平面

建立应力坐标系如图，画应力圆和点

1,得:应力状态与应变状态5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax§7–6

平面内的应变分析xyO

一、叠加法求应变分析公式abcdaAOB剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）应力状态与应变状态

DD1EE1

应力状态与应变状态xyOabcdaAOBDD2EE2

DD3EE3

应力状态与应变状态xyOabcdaAOB应力状态与应变状态2、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系

建立应变坐标系如图

在坐标系内画出点

A(

x，

xy/2)

B(

y，-

yx/2)

AB与

a

轴的交点C便是圆心

以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。应力状态与应变状态eaga/2ABCeaga/2三、

方向上的应变与应变圆的对应关系

max

min2

0D(

，

/2)2n应力状态与应变状态

方向上的应变(

，

/2)

应变圆上一点(

，

/2)

方向线应变圆的半径

两方向间夹角

两半径夹角2

；且转向一致。ABC四、主应变数值及其方位应力状态与应变状态[例5]

已知一点在某一平面内的

1、

2、

3

方向上的线应变分别为

1、

2、

3，，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出

x，

y，

xy；然后再求主应变。应力状态与应变状态[例6]用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o

0

max应力状态与应变状态§7–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系应力状态与应变状态xyzsxxyz

x

y三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:应力状态与应变状态

xyzszsytxysx主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致应力状态与应变状态s1s3s2主应力与主应变方向一致。应力状态与应变状态五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:应力状态与应变状态s1s3s2a1a2a3[例7]已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处为平面应力状态应力状态与应变状态应力状态与应变状态e3342.-=×10-6[例8]

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，

=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。应力状态与应变状态pODxABy图apppxstsmL1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态psmsmxD图b用纵截面将容器截开，取长为L的一部分为研究对象，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求