第38讲 带电粒子在电场中运动的综合问题（复习讲义）（湖南专用）（教师版）

第38讲带电粒子在电场中运动的综合问题目录TOC\o"1-4"\h\z\u01考情解码•命题预警 202体系构建•思维可视 303核心突破•靶向攻坚 4考点一带电粒子在力电等效场中的圆周运动 4知识点方法概述及应用 4考向1竖直电场中的等效场问题 4考向2水平电场中的等效场问题 7考点二用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 10知识点1力电综合问题的处理流程 10知识点2电场中的功能关系 11考向1用动力学和能量观点解决力电综合问题 11考向2用能量和动量观点解决力电综合问题 1404真题溯源•考向感知 17考点要求考察形式2025年2024年2023年力电等效场中的圆周运动选择题非选择题用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题选择题非选择题1.命题形式：选择题实验题计算题2.命题分析：湖南高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较少，今后的计算题中出现可能性较大。3.备考建议：本讲内容备考时候，强化训练用力力、能量、动量三大观点来处理带电粒子在电场中运动时的直线和曲线运动的问题。4.命题情境：此类题目多是将重力场中的模型，比如说板块、传送带、弹簧等模型放到匀强电场中予以命题。。复习目标：目标一：明确等效重力场中“等效最高点”和“等效最低点”的物理意义：等效最低点是粒子在复合场中自由运动时的稳定平衡位置（等效重力方向指向的位置），等效最高点是与等效最低点关于圆周运动圆心对称的位置，能在具体情境中快速定位这两个关键位置。目标二：会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。带电粒子在电场中运动的综合问题带电粒子在电场中运动的综合问题带电粒子在力电等效场中的圆周运动方法概述等效思维方法的应用方法应用重力和电场力合力视为等效重力二者合力对应加速度作为等效重力加速度运动规律迁移至等效重力场分析力学三大观点处理带电粒子在电场中运动力电综合问题的处理流程电场中的功能关系平衡状态：平衡条件非平衡状态：牛顿第二定律+运动学公式+功能关系(1)WAB＝qUAB(普遍适用)(2)W＝qExcosθ(适用于匀强电场)(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)(4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解)考点一带电粒子在力电等效场中的圆周运动知识点方法概述及应用1.“等效重力场”在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。2.“等效重力场”的理解3.带电小球在“等效重力场”中两种圆周运动图例。考向1竖直电场中的等效场问题例1（2025·湖南模拟）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（）A．小球从A到C的过程中电势能减少B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动C．可求出小球运动到B点时的加速度D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN【答案】C【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误；B．当场强满足时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误；C．根据动能定理可求出小球到B点时的速度vB，根据可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律可得小球的切向加速度，再根据矢量合成可得B点的加速度为故C正确；D．小球在D点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN方向的等量异种点电荷的电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN平行，而另一分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。故选C。【变式训练1】（2025·广东中山·高三期末）空间中有竖直向上的匀强电场，电场强度。绝缘圆形轨道竖直放置，O点是它的圆心、半径为R，A、C为圆轨道的最低点和最高点，B、D为与圆心O等高的两点，如图所示。在轨道A点放置一质量为m、带电量为+q的光滑小球。现给小球一初速度v0（v0≠0），重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．无论v0多大，小球不会脱离轨道B．只有，小球才不会脱离轨道C．v0越大，小球在A、C两点对轨道的压力差也越大D．若将小球无初速度从D点释放，小球一定会沿轨道经过C点【答案】D【解析】由题意可知小球所受电场力与重力的合力方向竖直向上，大小为若要使小球不脱离轨道，设其在A点所具有的的最小速度为vmin，根据牛顿第二定律有，解得所以只有当时，小球才不会脱离轨道，故AB错误；假设小球可以在轨道中做完整的圆周运动，在C点的速度大小为v1，根据动能定理有在A、C点小球所受轨道的支持力大小分别为F0和F1，根据牛顿第二定律有联立以上三式解得根据牛顿第三定律可知小球在A、C两点对轨道的压力差等于12mg，与v0的大小无关，故C错误；若将小球无初速度从D点释放，由于F向上，所以小球一定能沿DC轨道经过C点，故D正确考向2水平电场中的等效场问题例2（2025·湖南岳阳第一中学模拟）如图，空间中有一匀强电场，大小为，方向与水平方向成角，现有一光滑绝缘大圆环固定在竖直平面内，O点为环心，将质量为m、带电荷量为的小圆环套在大圆环的M点并同时给小圆环一个向右的水平初速度，小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，重力加速度为g，则小圆环（）A从M点到Q点动能减小B.在M点和N点的电势能相等C.从M点到Q点电场力做负功D.动能最大处的电势低于动能最小处的电势【答案】D【解析】小圆环带正电，从M点到Q点电场力做正功，C错误；B．作出等势面如图：沿电场线方向电势降低，则在M点的电势高于N点的电势，正电荷在电势高的地方电势能大，所以在M点的电势能大于N点的电势能，B错误；小圆环受到的电场力受力如图：则小圆环运动的等效最高点和等效最低点分别为A点和B点，在A点速度最小，在B点速度最大，则从M点到Q点动能先增大后减小，A错误；根据沿电场线方向电势降低，则在B点电势低于A点的电势，即动能最大处的电势低于动能最小处的电势，D正确。.【变式训练1】（．(2025.·河南部分重点高中高三大联考模拟预测）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q的带正电小球用长为L、不可伸长的绝缘细线悬于O点，将小球向左拉至与O点等高的A点，细线刚好伸直，已知电场强度大小，g为重力加速度大小，小球可视为质点，将小球由静止释放，则下列判断正确的是（）A.小球运动到B点的速度大小为B.小球第一次运动到O点正下方时的速度是小球运动过程中的最大速度C.小球运动过程中的最大速度为D.小球最终运动稳定时做往复运动，轨迹为半个圆周【答案】BD【详解】对小球受力分析，将电场力与重力合成为一个等效“重力”，如图所示由，解得可知其等效“重力场”的最低点为点C。如图所示依题意，小球由静止释放后做匀加速直线运动，第一次运动到O点正下方时的速度设为v，由动能定理，可得解得此时细线瞬间绷紧，致使沿细线方向的速度变为零，则垂直于细线方向的速度为之后，小球将以等效最低点C为中心做往复运动，设小球运动到C点的速度为，由动能定理可得解得可知小球第一次运动到O点正下方时的速度是小球运动过程中的最大速度，即故B正确；C错误；由对称性可知，小球运动到B点的速度大小与细线绷紧瞬间的速度大小相等，即，设小球往复运动过程中，运动到等效最低点左侧最高点时，细线与竖直方向夹角为，由动能定理可得解得由几何关系及对称性可知，小球最终运动稳定时做往复运动，轨迹为半个圆周。故A错误；D正确。【变式训练2】（2025·云南昆明·三模）匀强电场中，质量为m、带电量为q（q>0）且可视为质点的小球在长为L的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O在竖直平面内做圆周运动，M点和N点分别为圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为（g为重力加速度），此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M点时速度大小为且大于小球经过N点时的速度，不计空气阻力。若O点电势为零，下列说法正确的是（）A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角B．匀强电场的场强大小为C．M点的电势为D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL【答案】BC【详解】AB．因运动过程中小球速度最小值为，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受的合力为因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg与重力夹角为120°，根据可知匀强电场的场强大小为选项A错误，B正确；C．因MO两点的电势差为O点电势为零，M点的电势为选项C正确；D．小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q到等效最低点P的过程中，电场力做的功为选项D错误。故选BC。【变式训练3】（2025·广东清远·校考模拟预测）半圆轨道AB和水平直轨道BC组成，A、B连线竖直。半圆轨道的圆心为O、半径为R，空间有如图所示的匀强电场，场强大小为，方向与水平面夹角为θ=30°，重力加速度为g。在水平直轨道上距B点L处静止释放一质量为m、电量为q的带正电小滑块，下列说法正确的是（）A.无论L取何值，小滑块都能运动到A点B.小滑块在半圆轨道上运动时始终处于超重状态C.若，轨道对滑块的弹力最大值等于4mgD.若，轨道对滑块的弹力最大值等于3mg【答案】C【解析】假设小滑块刚好可以到达A点，则根据动能定理解得故A错误；对小滑块受力分析，如图合外力与水平方向夹角为，则小滑块运动到A点时小滑块减速运动，故在A点时小滑块处于失重状态，故B错误；合外力与水平方向夹角为，则OD与水平方向夹角为的D点为等效最低点，如图若，时，根据动能定理则此时，轨道对小滑块的支持力为解得，故C正确，D错误。考点二用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题知识点1力电综合问题的处理流程知识点2电场中的功能关系1．电场中的功能关系(1)若只有静电力做功电势能与________之和保持不变。(2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、________之和保持不变。(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体________的变化。(4)所有外力对物体所做的功等于物体________的变化。2．电场力做功的计算方法(1)WAB＝qUAB(普遍适用)(2)W＝qExcosθ(适用于匀强电场)(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)(4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解)考向1用动力学和能量观点解决力电综合问题例1.．.（2025·湖南怀化·三模）如图所示，ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角，一带正电小球经过等势面A上的点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面D上的点时速度恰好为零，已知小球质量为，带电量，ad间的距离为，重力加速度，，，则下列说法正确的是（）A．匀强电场强度大小为7.5N/CB．小球在a点的速度大小为1.5m/sC．A和B两等势面的电势差D．若小球从d点沿da方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线【答案】B【详解】A．根据小球的受力图，有解得选项A错误；B．小球在运动过程的加速度满足解得根据解得选项B正确；C．粒子在运动过程中，重力不做功，故解得选项C错误；D．若小球从点水平射入，小球受到的电场力方向水平向左，小球做加速直线运动，选项D错误。故选B。故选AC。【变式训练1】（2025·湖南省株洲市高三上学期一模）如图，空间存在匀强电场，质量为m、电荷量为q的小球沿图中实线先后通过同一竖直面平面内的P、Q两点，通过两点时速率相同，P、Q两点连线与竖直方向的夹角为θ，则在小球从P运动到Q的过程中（）A.小球到达实线中点时速率最小B.小球动量的变化率先减小后增大C.该电场的场强不应小于D.小球在P点的电势能大于在Q点的电势能【答案】AC【解析】【详解】A．题意可知，小球通过PQ两点时速率相同，即合力做功为0，则合力方向垂直于PQ连线，可知小球该过程做类斜抛运动，则PQ连线的中垂线与轨迹交点为类斜抛运动的最高点，所以小球到达实线中点时合力做负功最多，该点速率最小，故A正确；B．小球运动过程中只受电场力和重力，由于二者均为恒力，故其合力也为恒力，由动量定理推导式可得可知小球动量的变化率为电场力和重力的合力，故小球动量的变化率不变，故B错误；C．设电场力与PQ夹角为α如图由于电场力和重力合力垂直与PQ连线，故沿PQ方向有解得故电场的场强不应小于，故C正确；D．由于PQ过程电场力和重力做的总功为0，但由于该过程重力做正功，所以该过程电场力做负功，则小球电势能增加，即小球在P点的电势能小于在Q点的电势能，故D错误。【变式训练2】（2025·天津·一模）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中A点以初速度竖直向上抛出，经过最高点B后回到与A在同一水平线上的C点，已知：，，则（）A．小球所受的电场力为B．小球在最高点B的动能为C．小球从B到C的电势能减少量是从A到B的电势能减少量的3倍D．小球在C点的机械能比在A点多【答案】CD【详解】A．小球由静止释放，小球在重力与电场力作用下做匀加速直线运，由于运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°，则有故A错误；小球竖直方向做竖直上抛运动，小球从A运动到B过程有小球在水平方向做匀加速直线运动，则有小球在最高点B的动能解得故B错误；C．小球竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可知，小球从A到B的时间等于从B到C的时间，小球水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，根据相邻相等时间内的位移比例关系可知，水平方向上A到B的分位移与B到C的分位移之比为1:3，则电场力做正功的比值也为1:3，即小球从B到C的电势能减少量是从A到B的电势能减少量的3倍，故C正确；D．结合上述可知，小球从A到C水平方向的分位移电场力做正功为结合上述解得电场力做正功，电势能减小，则小球在C点的机械能比在A点多，故D正确。故选CD。考向2用能量和动量观点解决力电综合问题例2（2025·湖南长沙·一模）如图，固定在地面上的木板和半径为的圆弧槽刚好接触，圆弧槽凹侧和底面光滑，各物块与木板上表面间动摩擦因数均为。圆弧槽右侧通过不计质量的细杆与一压力传感器相连。从点向左，每隔放置一小物块，编号依次为1、2、3、4，质量均为，物块4与一劲度系数为的弹簧（处于原长）相连，物块4左侧木板表面光滑，弹簧左端连在木板左端。圆弧槽左侧空间有方向向左的匀强电场。一质量为、电荷量为的外表绝缘小物块从圆弧槽顶点处无初速度释放。已知当弹簧形变量为时，弹性势能为，重力加速度为。求：(1)带电小物块下滑过程压力传感器的最大示数；(2)若所有碰撞均为弹性碰撞，在的前提下，施加电场的强度多大时才能使弹簧的最大压缩量也为？(3)先将1、2、3号物块拿掉，若带电物块与4为完全非弹性碰撞，施加电场的强度多大才能使弹簧的最大压缩量也为？【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）如图所示设滑块与圆心连线从开始运动夹角时，速度为v，则对滑块受力分析，设受到支持力为，则由牛顿第三定律圆弧槽受到压力大小为，对圆弧槽受力分析，设压力传感器读数为F，则由上述可知当时，F取最大值为（2）设带电滑块从A端滑上木板时速度为，则设带电滑块与1号物块碰撞前速度，有由于，则，各物块质量相等，发生弹性碰撞后带电滑块便静止在1号物块处，1号滑块将与2号滑块碰撞，2号滑块将与3号滑块碰撞，3号滑块碰撞将与4号滑块碰撞。4号滑块被碰后速度设为，则要使弹簧的最大压缩量也为l，则联立解得代入和，解得（3）设带电物块与4号物块碰前速度为，碰后的速度大小为，则，各小物块经一系列完全非弹性碰撞后从4号球所在位置向左做简谐运动。平衡位置弹簧压缩量设为，则要使弹簧的最大压缩量也为l，则简谐运动的振幅为物块4被撞后整体速度为，由弹簧振子机械能守恒解得【变式训练1·变情境】（2025·湖北黄冈·二模）如图所示，平行金属极板M和N水平放置，两极板间距为d、长度为1.5d，极板连接恒压电源。半径为d的光滑固定圆弧轨道ABC竖直放置，圆弧轨道关于竖直直径OB对称，轨道左侧A点与N极板右端相接触，小球Q静止在B点。现有一质量为m、带电量的绝缘小球，从M板左端附近的P点以一定初速度水平射入，小球刚好无碰撞的从A点沿切线方向进入圆弧轨道并与Q碰撞后粘在一起，之后的运动恰不脱离轨道。假设小球可视为质点，不计极板边缘效应和空气阻力，重力加速度大小为g，。(1)求小球水平射入时初速度的大小；(2)求小球Q的质量；(3)运动过程中圆弧轨道受到的最大压力的大小。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设小球在极板间运动的加速度为a，时间为t，在竖直方向上，根据牛顿第二定律有解得根据位移时间公式有解得在水平方向上有解得（2）P运动到N板右侧沿电场线方向的速度

则根据几何关系有解得设小球在A点时的速度为，则有设小球B点时的速度为，小球由A运动到，根据机械能守恒定律解得P、Q发生完全非弹性碰撞，设碰后二者的共同速度为v，根据动量守恒定律之后的运动二者恰好不脱离轨道解得（3）①碰前小球P通过B点时轨道对两小球的支持力，根据牛顿第二定律有解得②碰后P、Q经过B点时轨道对小球的支持力，根据牛顿第二定律有解得由牛顿第三定律，两小球碰后通过B点时对轨道的压力最大为【变式训练2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图所示，在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘轻杆，轻杆一端可绕点自由转动，另一端系一质量为、电荷量为的带电小球，小球从与点等高的点静止释放，经过点正下方点，恰能摆到点，与竖直方向夹角。将不带电质量为的绝缘小球从距离点竖直高度的某处，以一定初速度择机水平抛出，使得球在点处速度垂直于方向与小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞过程小球带电量保持不变。已知重力加速度大小为，求：(1)匀强电场的电场强度大小；(2)、两球相撞后，球首次经过点时受到杆的拉力大小。【答案】(1)(2)【详解】（1）对小球b由A点到D点的过程，根据动能定理得解得（2）小球a水平抛出到D点的过程做平抛运动，设a到达D点时竖直分速度大小为，根据运动学公式，在竖直方向上有由几何关系可得a到达D点时速度大小为解得设a、b两球发生弹性碰撞后的瞬间瞬间速度大小分别为、，以碰撞前小球a的速度方向为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得，解得设两球相撞后b球首次经过B点时的速度大小为，根据动能定理得在B点，对b由牛顿第二定律得解得1．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（）A．最低点的位置B．速率达到最大值时的位置C．最后停留位置x的区间是D．若在最低点能返回，则初始电势能【答案】BD【详解】A．全过程，根据动能定理解得故A错误；B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有解得故B正确；C．小球甲最后停留时，满足解得位置x的区间故C错误；D．若在最低点能返回，即在最低点满足结合动能定理又联立可得故D正确。故选BD。2．（2022·全国·高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中Р点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р点。则射出后，（）A．小球的动能最小时，其电势能最大B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量【答案】BD【详解】A．如图所示故等效重力的方向与水平成。当时速度最小为，由于此时存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是最大，故A错误；BD．水平方向上在竖直方向上由于，得如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知则重力做功等于小球电势能的增加量，故BD正确；C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C错误；故选BD。3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：（1）电场强度E的大小。（2）小球在A、B两点的速度大小。【答案】（1）；（2），【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为（2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得A到B过程根据动能定理得联立解得4．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m的小滑块A和B，其电荷量分别为和。A右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间存在水平向右场强大小为E的匀强电场。A、B与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为。时，A以初速度向右运动，B处于静止状态。在时刻，A到达位置S，速度为，此时弹簧未与B相碰；在时刻，A的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为；在细杆与B碰前的瞬间，A的速度为，此时。时间内A的图像如图（b）所示，为图线中速度的最小值，、、均为未知量。运动过程中，A、B处在同一直线上，A、B的电荷量始终保持不变，它