安徽名校大联考三数学试题及答案

安徽名校大联考三数学试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^22x3\lt0\}\)，\(B=\{x|y=\ln(2x)\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\((1,2)\)B.\((1,2]\)C.\((3,2)\)D.\((3,2]\)2.若复数\(z\)满足\((1+i)z=2i\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=\)（）A.\(1+i\)B.\(1i\)C.\(1+i\)D.\(1i\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(6\)D.\(8\)4.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\)（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)D.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(28\)B.\(42\)C.\(56\)D.\(14\)6.函数\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)的图象大致是（）（此处省略图象选项，正常考试中会有四个不同的函数图象供选择）7.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)8.执行如图所示的程序框图，若输入\(n=5\)，则输出的\(S=\)（）（此处省略程序框图，正常考试中会有对应的程序框图）A.\(\frac{5}{6}\)B.\(\frac{11}{12}\)C.\(\frac{19}{20}\)D.\(\frac{29}{30}\)9.已知函数\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则\(f(x)\)的解析式为（）（此处省略函数图象，正常考试中会有对应的函数图象）A.\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)B.\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)C.\(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{6})\)D.\(f(x)=2\sin(x\frac{\pi}{6})\)10.已知三棱锥\(PABC\)的所有顶点都在球\(O\)的球面上，\(\triangleABC\)是边长为\(1\)的正三角形，\(PC\)为球\(O\)的直径，且\(PC=2\)，则此三棱锥的体积为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{6}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)11.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\geq0\\1,x\lt0\end{cases}\)，则满足不等式\(f(1x^2)\gtf(2x)\)的\(x\)的取值范围是（）A.\((1,\sqrt{2}1)\)B.\((1,1)\)C.\((\sqrt{2}1,\sqrt{2}1)\)D.\((\sqrt{2}1,1)\)12.已知函数\(f(x)=e^xax1\)（\(e\)为自然对数的底数），若\(f(x)\geq0\)对任意的\(x\inR\)恒成立，则实数\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线\(y=x^32x+4\)在点\((1,3)\)处的切线方程为。14.已知实数\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}xy+1\geq0\\x+y1\geq0\\x\leq3\end{cases}\)，则\(z=2xy\)的最小值为。15.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1(n\inN^)\)，则\(a_5=\)。16.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，过\(F_1\)且垂直于\(x\)轴的直线与椭圆相交于\(A,B\)两点，若\(\triangleABF_2\)的面积为\(\frac{3}{2}b^2\)，则椭圆的离心率为。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c\)，已知\(b=2\)，\(c=3\)，\(\cosA=\frac{1}{3}\)。（1）求\(a\)的值；（2）求\(\sin(2A+\frac{\pi}{6})\)的值。18.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n2(n\inN^)\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（12分）如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD\perp\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC\)，\(E\)是\(PC\)的中点。（1）证明：\(PA\parallel\)平面\(EDB\)；（2）求二面角\(BDEC\)的余弦值。（此处省略四棱锥的图形，正常考试中会有对应的图形）20.（12分）已知抛物线\(C:y^2=2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，直线\(l:y=4\)与\(y\)轴的交点为\(P\)，与\(C\)的交点为\(Q\)，且\(|QF|=\frac{5}{4}|PQ|\)。（1）求\(C\)的方程；（2）过\(F\)的直线\(l'\)与\(C\)相交于\(A,B\)两点，若\(AB\)的垂直平分线\(l''\)与\(C\)相交于\(M,N\)两点，且\(A,M,B,N\)四点在同一圆上，求\(l'\)的方程。21.（12分）已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(x=\frac{2}{3}\)与\(x=1\)时都取得极值。（1）求\(a,b\)的值；（2）若对\(x\in[1,2]\)，\(f(x)\ltc^2\)恒成立，求\(c\)的取值范围。22.（10分）（选修44：坐标系与参数方程）在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_1\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos\alpha\\y=2+2\sin\alpha\end{cases}\)（\(\alpha\)为参数），\(M\)是\(C_1\)上的动点，\(P\)点满足\(\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}\)，\(P\)点的轨迹为曲线\(C_2\)。（1）求\(C_2\)的方程；（2）在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(\theta=\frac{\pi}{3}\)与\(C_1\)的异于极点的交点为\(A\)，与\(C_2\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)。答案部分一、选择题1.【答案】A【解析】解集合\(A\)中的不等式\(x^22x3\lt0\)，即\((x3)(x+1)\lt0\)，解得\(1\ltx\lt3\)，所以\(A=(1,3)\)。对于集合\(B\)，由\(y=\ln(2x)\)可知\(2x\gt0\)，即\(x\lt2\)，所以\(B=(\infty,2)\)。则\(A\capB=(1,2)\)，故选A。2.【答案】B【解析】由\((1+i)z=2i\)，得\(z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1i)}{(1+i)(1i)}=\frac{2i2i^2}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i\)，所以\(\overline{z}=1i\)，故选B。3.【答案】D【解析】因为\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4,m2)\)。又因为\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，所以\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=0\)，即\(4\times3+(m2)\times(2)=0\)，\(122m+4=0\)，\(162m=0\)，解得\(m=8\)，故选D。4.【答案】A【解析】因为\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^2\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)。则\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，故选A。5.【答案】A【解析】因为\(\{a_n\}\)是等差数列，且\(a_3+a_4+a_5=12\)，由等差数列性质可得\(3a_4=12\)，则\(a_4=4\)。根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，所以\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=28\)，故选A。6.【答案】略（需根据具体图象判断）【解析】函数\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，其定义域为\((0,+\infty)\)，对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdotx\lnx}{x^2}=\frac{1\lnx}{x^2}\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(1\lnx=0\)，解得\(x=e\)。当\(0\ltx\lte\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\gte\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减。且\(x\to0\)时，\(f(x)\to\infty\)；\(x\to+\infty\)时，\(f(x)\to0\)，据此判断图象。7.【答案】A【解析】双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(e=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}=\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}=\frac{5}{3}\)，故选A。8.【答案】D【解析】当\(n=5\)时，执行程序框图：\(S=0\)，\(k=1\)；\(S=0+\frac{1}{1\times2}=\frac{1}{2}\)，\(k=2\)；\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)，\(k=3\)；\(S=\frac{2}{3}+\frac{1}{3\times4}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)，\(k=4\)；\(S=\frac{3}{4}+\frac{1}{4\times5}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)，\(k=5\)；\(S=\frac{4}{5}+\frac{1}{5\times6}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)，\(k=6\)；此时\(k\gtn\)，输出\(S=\frac{5}{6}+\frac{1}{6\times7}=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\frac{1}{7}=\frac{29}{30}\)，故选D。9.【答案】A【解析】由图象可知\(A=2\)，\(\frac{T}{4}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\)，则\(T=\pi\)。因为\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，所以\(\omega=2\)。当\(x=\frac{\pi}{6}\)时，\(f(x)=2\)，即\(2\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=2\)，\(\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1\)。又\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}\)，解得\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，则\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，故选A。10.【答案】A【解析】设\(\triangleABC\)外接圆的圆心为\(O_1\)，半径为\(r\)，由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=2r\)（\(a=1\)，\(A=\frac{\pi}{3}\)），可得\(2r=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，则\(r=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。因为\(PC\)为球\(O\)的直径，所以点\(P\)到平面\(ABC\)的距离\(d=2\sqrt{R^2r^2}\)（\(R=1\)），\(d=2\sqrt{1(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)。\({S}_{\triangleABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\)，则三棱锥\(PABC\)的体积\(V=\frac{1}{3}{S}_{\triangleABC}\cdotd=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}\)，故选A。11.【答案】A【解析】当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2+1\)单调递增；当\(x\lt0\)时，\(f(x)=1\)。由\(f(1x^2)\gtf(2x)\)可得\(\begin{cases}1x^2\gt2x\\1x^2\gt0\end{cases}\)，由\(1x^2\gt2x\)得\(x^2+2x1\lt0\)，解得\(1\sqrt{2}\ltx\lt1+\sqrt{2}\)；由\(1x^2\gt0\)得\(1\ltx\lt1\)。取交集得\(1\ltx\lt\sqrt{2}1\)，故选A。12.【答案】A【解析】\(f(x)=e^xax1\)，\(f^\prime(x)=e^xa\)。当\(a\leq0\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，当\(x\to\infty\)时，\(f(x)\to\infty\)，不满足\(f(x)\geq0\)恒成立。当\(a\gt0\)时，令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\lna\)。当\(x\lt\lna\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\gt\lna\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增。所以\(f(x)\)在\(x=\lna\)处取得极小值也是最小值\(f(\lna)=aa\lna1\)。令\(g(a)=aa\lna1\)，对\(g(a)\)求导得\(g^\prime(a)=1(1+\lna)=\lna\)。令\(g^\prime(a)=0\)，得\(a=1\)。当\(0\lta\lt1\)时，\(g^\prime(a)\gt0\)，\(g(a)\)单调递增；当\(a\gt1\)时，\(g^\prime(a)\lt0\)，\(g(a)\)单调递减。所以\(g(a)\)在\(a=1\)处取得最大值\(g(1)=0\)，要使\(f(x)\geq0\)对任意的\(x\inR\)恒成立，则\(a=1\)，故选A。二、填空题13.【答案】\(xy+2=0\)【解析】对\(y=x^32x+4\)求导得\(y^\prime=3x^22\)，当\(x=1\)时，\(y^\prime=3\times1^22=1\)。根据点斜式方程可得切线方程为\(y3=1\times(x1)\)，即\(xy+2=0\)。14.【答案】\(1\)【解析】作出不等式组表示的可行域，由\(z=2xy\)得\(y=2xz\)，当直线\(y=2xz\)经过点\((0,1)\)时，\(z\)取得最小值，\(z_{min}=2\times01=1\)。15.【答案】\(31\)【解析】由\(a_{n+1}=2a_n+1\)可得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，又\(a_1=1\)，所以\(a_1+1=2\)。则数列\(\{a_n+1\}\)是以\(2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，所以\(a_n+1=2\times2^{n1}=2^n\)，即\(a_n=2^n1\)。则\(a_5=2^51=31\)。16.【答案】\(\frac{1}{2}\)【解析】把\(x=c\)代入椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)得\(y=\pm\frac{b^2}{a}\)，则\(|AB|=\frac{2b^2}{a}\)。\({S}_{\triangleAB{F}_{2}}=\frac{1}{2}\times2c\times\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{3}{2}{b}^{2}\)，化简得\(\frac{2bc}{a}=\frac{3}{2}b\)，即\(\frac{c}{a}=\frac{3}{4}\)（舍去）或\(\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，所以椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)。三、解答题17.【答案】（1）由余弦定理\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)，已知\(b=2\)，\(c=3\)，\(\cosA=\frac{1}{3}\)，则\(a^2=2^2+3^22\times2\times3\times\frac{1}{3}=9\)，所以\(a=3\)。（2）因为\(\cosA=\frac{1}{3}\)，\(A\in(0,\pi)\)，所以\(\sinA=\sqrt{1\cos^2A}=\sqrt{1(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\sin2A=2\sinA\cosA=2\times\frac{2\s