安徽省蚌埠市2025~2026学年高三上学期开学调研性监测数学试卷(附答案)

安徽省蚌埠市2025~2026学年高三上学期开学调研性监测数学试卷(附答案)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)2.已知复数\(z=\frac{2+i}{1i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A.\(2\)B.\(2\)C.\(8\)D.\(8\)4.函数\(f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega\gt0)\)的最小正周期为\(\pi\)，则\(f(\frac{\pi}{6})\)的值为（）A.\(1\)B.\(1\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(0\)5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_5=10\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(20\)B.\(35\)C.\(40\)D.\(70\)6.已知函数\(f(x)=\log_2(x^2ax+3a)\)在\([2,+\infty)\)上是增函数，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((\infty,4]\)B.\((\infty,2]\)C.\((4,4]\)D.\((4,2]\)7.已知直线\(l\)过点\((1,0)\)且与直线\(x2y2=0\)平行，则直线\(l\)的方程为（）A.\(x2y1=0\)B.\(x2y+1=0\)C.\(2x+y2=0\)D.\(x+2y1=0\)8.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+1\)，若\(f(x)\)在区间\((k1,k+1)\)上不单调，则实数\(k\)的取值范围是（）A.\((2,0)\cup(2,4)\)B.\((1,0)\cup(2,3)\)C.\((2,1)\cup(3,4)\)D.\((3,1)\cup(2,4)\)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)B.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)C.若\(a\gtb\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\ltd\)，则\(ac\gtbd\)10.已知函数\(f(x)=\cosx\)，则下列说法正确的是（）A.\(f(x)\)是周期函数B.\(f(x)\)在\([0,\pi]\)上单调递减C.\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称D.\(f(x)\)的值域为\([1,1]\)11.已知圆\(C:(x1)^2+(y2)^2=25\)，直线\(l:mxy+1m=0\)，则下列说法正确的是（）A.直线\(l\)与圆\(C\)一定相交B.当\(m=0\)时，直线\(l\)与圆\(C\)所截得的弦长为\(4\sqrt{6}\)C.直线\(l\)恒过定点\((1,1)\)D.当\(m=1\)时，圆\(C\)上到直线\(l\)的距离为\(1\)的点有\(3\)个12.已知函数\(f(x)=x^33x\)，则下列说法正确的是（）A.函数\(f(x)\)的极大值为\(2\)，极小值为\(2\)B.函数\(f(x)\)在\((\infty,1)\)上单调递增C.函数\(f(x)\)的图象关于原点对称D.方程\(f(x)=k\)有三个不同的实根，则\(2\ltk\lt2\)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值为______。14.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为______。15.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，若\(f(a)=\frac{1}{2}\)，则\(a\)的值为______。16.在三棱锥\(PABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=CA=2\)，\(PA=2\sqrt{3}\)，则该三棱锥外接球的表面积为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知\(\triangleABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)。（1）求角\(C\)的大小；（2）若\(c=\sqrt{3}\)，\(\triangleABC\)的面积为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(a+b\)的值。18.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n2\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（12分）如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)，\(E\)为\(PD\)的中点。（1）证明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）求三棱锥\(EACD\)的体积。20.（12分）已知函数\(f(x)=x^22ax+1\)。（1）若\(f(x)\)在区间\([1,+\infty)\)上单调递增，求实数\(a\)的取值范围；（2）若\(f(x)\)在区间\([1,1]\)上的最大值为\(4\)，求实数\(a\)的值。21.（12分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)，求证：原点\(O\)到直线\(l\)的距离为定值。22.（12分）已知函数\(f(x)=x\lnxax+1\)。（1）若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)的值；（2）若\(f(x)\geqslant0\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。答案一、选择题1.C。对于集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，即\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a1=1\)或\(a1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)。2.D。\(z=\frac{2+i}{1i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。则\(\overline{z}=\frac{1}{2}\frac{3}{2}i\)，\(\overline{z}\)在复平面内对应的点为\((\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)，位于第四象限。3.B。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，因为\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，根据向量平行的坐标关系\(1\times(4)2x=0\)，解得\(x=2\)。4.B。因为函数\(f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega\gt0)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，所以\(\omega=2\)。则\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，\(f(\frac{\pi}{6})=\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{2\pi}{3}=1\)。5.B。在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}\)，又因为\(a_1+a_7=a_3+a_5=10\)，所以\(S_7=\frac{7\times10}{2}=35\)。6.C。令\(t=x^2ax+3a\)，则\(y=\log_2t\)。因为\(y=\log_2t\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，\(f(x)=\log_2(x^2ax+3a)\)在\([2,+\infty)\)上是增函数，所以\(t=x^2ax+3a\)在\([2,+\infty)\)上单调递增且\(t\gt0\)在\([2,+\infty)\)上恒成立。对于\(t=x^2ax+3a\)，其对称轴为\(x=\frac{a}{2}\)，则\(\frac{a}{2}\leqslant2\)且\(42a+3a\gt0\)，解得\(4\lta\leqslant4\)。7.A。设直线\(l\)的方程为\(x2y+m=0\)，因为直线\(l\)过点\((1,0)\)，所以\(10+m=0\)，解得\(m=1\)，则直线\(l\)的方程为\(x2y1=0\)。8.A。对\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+1\)求导得\(f^\prime(x)=x^22x3=(x3)(x+1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)。因为\(f(x)\)在区间\((k1,k+1)\)上不单调，所以\(\begin{cases}k1\lt1\ltk+1\\k1\lt3\ltk+1\end{cases}\)，解\(k1\lt1\ltk+1\)得\(2\ltk\lt0\)，解\(k1\lt3\ltk+1\)得\(2\ltk\lt4\)，所以\(k\)的取值范围是\((2,0)\cup(2,4)\)。二、选择题9.CD。A选项，当\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)，\(d=2\)时，\(ac=0\)，\(bd=2\)，\(ac\ltbd\)，A错误。B选项，当\(a=1\)，\(b=2\)时，\(a^2=1\)，\(b^2=4\)，\(a^2\ltb^2\)，B错误。C选项，因为\(a\gtb\gt0\)，所以\(ab\gt0\)，\(\frac{1}{ab}\gt0\)，\(a\times\frac{1}{ab}\gtb\times\frac{1}{ab}\)，即\(\frac{1}{b}\gt\frac{1}{a}\)，C正确。D选项，因为\(c\ltd\)，所以\(c\gtd\)，又\(a\gtb\)，则\(ac\gtbd\)，D正确。10.ABCD。A选项，\(f(x)=\cosx\)的周期\(T=2\pi\)，是周期函数，A正确。B选项，\(y=\cosx\)的单调递减区间是\([2k\pi,2k\pi+\pi],k\inZ\)，所以在\([0,\pi]\)上单调递减，B正确。C选项，\(f(x)=\cos(x)=\cosx=f(x)\)，所以\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称，C正确。D选项，\(f(x)=\cosx\)的值域为\([1,1]\)，D正确。11.ABC。对于直线\(l:mxy+1m=0\)，可化为\(m(x1)(y1)=0\)，令\(\begin{cases}x1=0\\y1=0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\)，所以直线\(l\)恒过定点\((1,1)\)，C正确。点\((1,1)\)到圆心\((1,2)\)的距离\(d=\sqrt{(11)^2+(12)^2}=1\lt5\)，所以点\((1,1)\)在圆\(C\)内部，直线\(l\)与圆\(C\)一定相交，A正确。当\(m=0\)时，直线\(l:y=1\)，圆心\((1,2)\)到直线\(l\)的距离\(d=1\)，圆的半径\(r=5\)，根据弦长公式\(L=2\sqrt{r^2d^2}=2\sqrt{251}=4\sqrt{6}\)，B正确。当\(m=1\)时，直线\(l:xy=0\)，圆心\((1,2)\)到直线\(l\)的距离\(d=\frac{|12|}{\sqrt{1^2+(1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，圆的半径\(r=5\)，圆\(C\)上到直线\(l\)的距离为\(1\)的点有\(4\)个，D错误。12.ABCD。对\(f(x)=x^33x\)求导得\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=1\)。当\(x\lt1\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(1\ltx\lt1\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\gt1\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增。所以\(f(x)\)的极大值为\(f(1)=(1)^33\times(1)=2\)，极小值为\(f(1)=1^33\times1=2\)，A正确，B正确。因为\(f(x)=(x)^33\times(x)=(x^33x)=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数，其图象关于原点对称，C正确。方程\(f(x)=k\)有三个不同的实根，则\(2\ltk\lt2\)，D正确。三、填空题13.\(3\)。\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，因为\(\tan\alpha=2\)，所以\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}=\frac{2+1}{21}=3\)。14.\(\frac{5}{4}\)。双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)。离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}=\frac{5}{4}\)。15.\(1\)或\(\sqrt{2}\)。当\(a\leqslant0\)时，\(f(a)=2^a=\frac{1}{2}=2^{1}\)，解得\(a=1\)。当\(a\gt0\)时，\(f(a)=\log_2a=\frac{1}{2}=\log_2\sqrt{2}\)，解得\(a=\sqrt{2}\)。16.\(16\pi\)。因为\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(\triangleABC\)是正三角形，设\(\triangleABC\)外接圆的半径为\(r\)，由正弦定理\(2r=\frac{AB}{\sinC}=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，\(r=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。设三棱锥\(PABC\)外接球的半径为\(R\)，则\(R=\sqrt{r^2+(\frac{PA}{2})^2}=\sqrt{(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2+(\sqrt{3})^2}=2\)。所以外接球的表面积\(S=4\piR^2=16\pi\)。四、解答题17.（1）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为\(\triangleABC\)外接圆半径），将\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)代入\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)得：\(2R\sinA\cosB+2R\sinB\cosA=2\times2R\sinC\cosC\)，\(\sinA\cosB+\sinB\cosA=2\sinC\cosC\)，根据两角和的正弦公式\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\sinB\cosA\)，且\(A+B+C=\pi\)，\(A+B=\piC\)，所以\(\sin(A+B)=\sin(\piC)=\sinC\)。则\(\sinC=2\sinC\cosC\)，因为\(0\ltC\lt\pi\)，所以\(\sinC\neq0\)，两边同时除以\(\sinC\)得\(\cosC=\frac{1}{2}\)，所以\(C=\frac{\pi}{3}\)。（2）因为\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(C=\frac{\pi}{3}\)，所以\(\frac{1}{2}ab\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(\frac{1}{2}ab\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt