2026天域全国名校协作体高三10月联考数学(含答案)

2026天域全国名校协作体高三10月联考数学(含答案)一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)答案：A解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.函数\(y=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x^23x+4}}\)的定义域为（）A.\((4,1)\)B.\((4,1)\)C.\((1,1)\)D.\((1,1]\)答案：C解析：要使函数有意义，则\(\begin{cases}x+1>0\\x^23x+4>0\end{cases}\)。由\(x+1>0\)得\(x>1\)；由\(x^23x+4>0\)，即\(x^2+3x4<0\)，\((x+4)(x1)<0\)，解得\(4<x<1\)。取交集得\(1<x<1\)，所以函数的定义域为\((1,1)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m\)等于（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(6\)D.\(8\)答案：D解析：因为\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4,m2)\)。又因为\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，根据向量垂直的性质，若\(\overrightarrow{c}\perp\overrightarrow{d}\)，则\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=0\)，所以\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=4\times3+(m2)\times(2)=0\)。即\(122m+4=0\)，\(162m=0\)，解得\(m=8\)。4.若\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+\cos^2\alpha\)的值为（）A.\(\frac{16}{5}\)B.\(\frac{16}{5}\)C.\(\frac{8}{5}\)D.\(\frac{8}{5}\)答案：A解析：\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，因为\(\tan\alpha=2\)，所以\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}=\frac{2+1}{21}=3\)。\(\cos^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{1}{\tan^2\alpha+1}\)，因为\(\tan\alpha=2\)，所以\(\cos^2\alpha=\frac{1}{2^2+1}=\frac{1}{5}\)。则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+\cos^2\alpha=3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}\)。5.已知函数\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则\(f(x)\)的解析式为（）[此处应插入函数图象，但无法实际插入，假设通过图象可知\(A=2\)，\(\frac{T}{4}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\)，\(f(\frac{\pi}{6})=2\)]A.\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)B.\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)C.\(f(x)=2\sin(4x+\frac{\pi}{6})\)D.\(f(x)=2\sin(4x\frac{\pi}{6})\)答案：A解析：由图象可知\(A=2\)。因为\(\frac{T}{4}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\)，所以\(T=\pi\)，又\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，则\(\omega=2\)。所以\(f(x)=2\sin(2x+\varphi)\)，因为\(f(\frac{\pi}{6})=2\)，即\(2\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=2\)，\(\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1\)。\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，又\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，则\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。6.已知\(a=\log_{0.2}0.3\)，\(b=\log_{2}0.3\)，则（）A.\(a+b<ab<0\)B.\(ab<a+b<0\)C.\(a+b<0<ab\)D.\(ab<0<a+b\)答案：B解析：因为\(a=\log_{0.2}0.3=\frac{\lg0.3}{\lg0.2}\)，\(b=\log_{2}0.3=\frac{\lg0.3}{\lg2}\)。\(a+b=\lg0.3(\frac{1}{\lg0.2}+\frac{1}{\lg2})=\lg0.3\times\frac{\lg2+\lg0.2}{\lg0.2\times\lg2}=\lg0.3\times\frac{\lg0.4}{\lg0.2\times\lg2}\)。\(ab=\frac{(\lg0.3)^2}{\lg0.2\times\lg2}\)。\(\lg0.2<0\)，\(\lg0.3<0\)，\(\lg0.4<0\)，\(\lg2>0\)。\(\frac{a+b}{ab}=\frac{\lg0.4}{\lg0.3}\)，因为\(y=\lgx\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(\lg0.4<\lg0.3<0\)，则\(0<\frac{\lg0.4}{\lg0.3}<1\)，即\(0<\frac{a+b}{ab}<1\)。又\(ab<0\)，所以\(ab<a+b<0\)。7.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，则当\(x<0\)时，\(f(x)\)的解析式为（）A.\(f(x)=x(1+x)\)B.\(f(x)=x(1x)\)C.\(f(x)=x(1+x)\)D.\(f(x)=x(1x)\)答案：B解析：设\(x<0\)，则\(x>0\)。因为当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，所以\(f(x)=x(1x)\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=f(x)=x(1x)\)。8.已知函数\(f(x)=x^33x1\)，若对于区间\([3,2]\)上的任意\(x_1,x_2\)，都有\(|f(x_1)f(x_2)|\leqslantt\)，则实数\(t\)的最小值是（）A.\(20\)B.\(18\)C.\(3\)D.\(0\)答案：A解析：\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x\in(3,1)\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(1,1)\)时，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(1,2)\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增。\(f(3)=(3)^33\times(3)1=27+91=19\)，\(f(1)=(1)^33\times(1)1=1+31=1\)，\(f(1)=1^33\times11=3\)，\(f(2)=2^33\times21=861=1\)。所以\(f(x)_{\max}=1\)，\(f(x)_{\min}=19\)。则\(|f(x_1)f(x_2)|_{\max}=|1(19)|=20\)。因为对于区间\([3,2]\)上的任意\(x_1,x_2\)，都有\(|f(x_1)f(x_2)|\leqslantt\)，所以\(t\geqslant20\)，实数\(t\)的最小值是\(20\)。二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题中，正确的是（）A.若\(a>b\)，\(c>d\)，则\(ac>bd\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，则\(ac>bd\)C.若\(ac>bc\)，则\(a>b\)D.若\(\frac{a}{c^2}<\frac{b}{c^2}\)，则\(a<b\)答案：D解析：A.当\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=3\)，\(d=2\)时，\(ac=13=2\)，\(bd=0(2)=2\)，此时\(ac<bd\)，所以A错误。B.当\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=1\)，\(d=2\)时，\(ac=1\)，\(bd=0\)，此时\(ac<bd\)，所以B错误。C.当\(c<0\)时，若\(ac>bc\)，则\(a<b\)，所以C错误。D.因为\(\frac{a}{c^2}<\frac{b}{c^2}\)，\(c^2>0\)，两边同时乘以\(c^2\)，不等号方向不变，所以\(a<b\)，D正确。10.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，则（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称C.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{6},0)\)对称D.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上单调递增答案：AB解析：A.根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，对于\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，\(\omega=2\)，所以\(T=\pi\)，A正确。B.当\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(f(\frac{\pi}{12})=\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{2}=1\)，所以\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称，B正确。C.当\(x=\frac{\pi}{6}\)时，\(f(\frac{\pi}{6})=\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\neq0\)，所以\(f(x)\)的图象不关于点\((\frac{\pi}{6},0)\)对称，C错误。D.令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解得\(k\pi\frac{5\pi}{12}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{12},k\inZ\)，当\(k=0\)时，单调递增区间为\([\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)，\([0,\frac{\pi}{6}]\)不是其单调递增区间的子区间，D错误。11.已知函数\(f(x)=\frac{2^x1}{2^x+1}\)，则（）A.\(f(x)\)的图象关于原点对称B.\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称C.\(f(x)\)的值域为\((1,1)\)D.\(\forallx_1,x_2\inR\)，且\(x_1\neqx_2\)，\(\frac{f(x_1)f(x_2)}{x_1x_2}<0\)答案：AC解析：A.函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，\(f(x)=\frac{2^{x}1}{2^{x}+1}=\frac{12^x}{1+2^x}=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数，其图象关于原点对称，A正确。B.由A知\(f(x)\)是奇函数不是偶函数，图象不关于\(y\)轴对称，B错误。C.\(f(x)=\frac{2^x1}{2^x+1}=1\frac{2}{2^x+1}\)，因为\(2^x>0\)，所以\(2^x+1>1\)，\(0<\frac{1}{2^x+1}<1\)，\(0<\frac{2}{2^x+1}<2\)，\(2<\frac{2}{2^x+1}<0\)，\(1<1\frac{2}{2^x+1}<1\)，所以\(f(x)\)的值域为\((1,1)\)，C正确。D.\(f(x)=1\frac{2}{2^x+1}\)，因为\(y=2^x\)在\(R\)上单调递增，所以\(y=2^x+1\)在\(R\)上单调递增，\(y=\frac{1}{2^x+1}\)在\(R\)上单调递减，\(y=\frac{2}{2^x+1}\)在\(R\)上单调递增，\(f(x)=1\frac{2}{2^x+1}\)在\(R\)上单调递增，所以\(\forallx_1,x_2\inR\)，且\(x_1\neqx_2\)，\(\frac{f(x_1)f(x_2)}{x_1x_2}>0\)，D错误。12.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则（）A.\(\{a_n+1\}\)是等比数列B.\(a_n=2^n1\)C.\(a_n=2^{n1}+1\)D.\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2^{n+1}n2\)答案：ABD解析：A.由\(a_{n+1}=2a_n+1\)，得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，又\(a_1+1=2\)，所以\(\{a_n+1\}\)是以\(2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，A正确。B.由A知\(a_n+1=2\times2^{n1}=2^n\)，则\(a_n=2^n1\)，B正确，C错误。D.\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=(2^11)+(2^21)+\cdots+(2^n1)=(2^1+2^2+\cdots+2^n)n=\frac{2(12^n)}{12}n=2^{n+1}n2\)，D正确。三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数\(y=f(x)\)的图象过点\((2,\sqrt{2})\)，则\(f(9)=\)______。答案：\(3\)解析：设幂函数\(f(x)=x^{\alpha}\)，因为图象过点\((2,\sqrt{2})\)，所以\(2^{\alpha}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)，则\(\alpha=\frac{1}{2}\)，所以\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，那么\(f(9)=9^{\frac{1}{2}}=3\)。14.在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(a=3\)，\(b=2\)，\(\cos(A+B)=\frac{1}{3}\)，则\(c=\)______。答案：\(\sqrt{17}\)解析：因为\(A+B+C=\pi\)，所以\(\cosC=\cos(A+B)=\frac{1}{3}\)。根据余弦定理\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)，已知\(a=3\)，\(b=2\)，则\(c^2=3^2+2^22\times3\times2\times(\frac{1}{3})=9+4+4=17\)，所以\(c=\sqrt{17}\)。15.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\\log_2x,x>0\end{cases}\)，则\(f(f(\frac{1}{4}))=\)______。答案：\(\frac{1}{4}\)解析：因为\(\frac{1}{4}>0\)，所以\(f(\frac{1}{4})=\log_2\frac{1}{4}=\log_22^{2}=2\)。又因为\(2\leqslant0\)，所以\(f(f(\frac{1}{4}))=f(2)=2^{2}=\frac{1}{4}\)。16.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，曲线\(y=f(x)\)在点\(x=1\)处的切线为\(l:3xy+1=0\)，若\(x=\frac{2}{3}\)时，\(y=f(x)\)有极值，则\(a=\)______，\(b=\)______，\(c=\)______。答案：\(2\)；\(4\)；\(5\)解析：\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)。因为曲线\(y=f(x)\)在点\(x=1\)处的切线为\(l:3xy+1=0\)，即\(y=3x+1\)，所以\(f(1)=3\times1+1=4\)，\(f^\prime(1)=3\)。又\(x=\frac{2}{3}\)时，\(y=f(x)\)有极值，所以\(f^\prime(\frac{2}{3})=0\)。可得\(\begin{cases}f(1)=1+a+b+c=4\\f^\prime(1)=3+2a+b=3\\f^\prime(\frac{2}{3})=3\times(\frac{2}{3})^2+2a\times\frac{2}{3}+b=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}a+b+c=3\\2a+b=0\\\frac{4}{3}+\frac{4a}{3}+b=0\end{cases}\)。由\(2a+b=0\)得\(b=2a\)，代入\(\frac{4}{3}+\frac{4a}{3}+b=0\)得\(\frac{4}{3}+\frac{4a}{3}2a=0\)，\(4+4a6a=0\)，\(42a=0\)，解得\(a=2\)。则\(b=2a=4\)，代入\(a+b+c=3\)得\(24+c=3\)，解得\(c=5\)。四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，\(C=\{x|x^2mx+2=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，\(A