2025新“希望杯”数学邀请赛必背考点考试题及答案

2025最新“希望杯”数学邀请赛必背考点考试题及答案一、数论部分考点1：整除性质与特征1.题目：若五位数\(32x5y\)能同时被\(2\)、\(3\)、\(5\)整除，求\(x+y\)的值。答案：因为该五位数能被\(2\)和\(5\)整除，所以其个位数字\(y=0\)。又因为该数能被\(3\)整除，那么这个数的各位数字之和是\(3\)的倍数，即\(3+2+x+5+0=10+x\)是\(3\)的倍数。当\(x=2\)时，\(10+2=12\)是\(3\)的倍数；当\(x=5\)时，\(10+5=15\)是\(3\)的倍数；当\(x=8\)时，\(10+8=18\)是\(3\)的倍数。当\(x=2\)，\(y=0\)时，\(x+y=2\)；当\(x=5\)，\(y=0\)时，\(x+y=5\)；当\(x=8\)，\(y=0\)时，\(x+y=8\)。考点2：质数与合数2.题目：已知\(p\)、\(q\)都是质数，且\(5p+7q=129\)，求\(p+q\)的值。答案：因为\(129\)是奇数，\(5p+7q=129\)，根据奇数+偶数=奇数。情况一：若\(p=2\)，则\(5\times2+7q=129\)，即\(10+7q=129\)，\(7q=119\)，解得\(q=17\)，\(p\)、\(q\)均为质数，此时\(p+q=2+17=19\)。情况二：若\(q=2\)，则\(5p+7\times2=129\)，即\(5p+14=129\)，\(5p=115\)，解得\(p=23\)，\(p\)、\(q\)均为质数，此时\(p+q=23+2=25\)。二、几何部分考点1：三角形面积3.题目：在三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(BC\)边上一点，\(BD:DC=2:3\)，\(E\)是\(AD\)中点，连接\(BE\)并延长交\(AC\)于\(F\)，已知三角形\(ABC\)面积为\(100\)，求三角形\(AEF\)的面积。答案：过\(D\)作\(DG\parallelBF\)交\(AC\)于\(G\)。因为\(BD:DC=2:3\)，根据平行线分线段成比例定理，\(FG:GC=BD:DC=2:3\)。又因为\(E\)是\(AD\)中点，且\(DG\parallelBF\)，所以\(AF=FG\)。设\(AF=FG=2x\)，则\(GC=3x\)，\(AC=AF+FG+GC=7x\)。\(S_{\triangleABD}=\frac{2}{2+3}S_{\triangleABC}=\frac{2}{5}\times100=40\)，\(S_{\triangleABE}=\frac{1}{2}S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}\times40=20\)。\(S_{\triangleABF}=\frac{AF}{AC}S_{\triangleABC}=\frac{2x}{7x}\times100=\frac{200}{7}\)。\(S_{\triangleAEF}=S_{\triangleABF}S_{\triangleABE}=\frac{200}{7}20=\frac{200140}{7}=\frac{60}{7}\)。考点2：长方体表面积与体积4.题目：一个长方体的长、宽、高分别是\(5\)厘米、\(4\)厘米、\(3\)厘米，如果用它锯成一个最大的正方体，体积要比原来减少百分之几？答案：长方体体积\(V_1=5\times4\times3=60\)立方厘米。能锯成的最大正方体棱长为\(3\)厘米，其体积\(V_2=3\times3\times3=27\)立方厘米。体积减少了\(6027=33\)立方厘米。减少的百分比为\(\frac{33}{60}\times100\%=55\%\)。三、应用题部分考点1：行程问题5.题目：甲、乙两人分别从\(A\)、\(B\)两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的速度的\(1.5\)倍，两人相遇后继续行进，甲到\(B\)地、乙到\(A\)地后立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点\(20\)千米，求\(A\)、\(B\)两地的距离。答案：设乙的速度为\(v\)，则甲的速度为\(1.5v\)，速度比\(v_{甲}:v_{乙}=3:2\)。第一次相遇时，时间相同，路程比等于速度比，两人行驶路程比\(s_{甲}:s_{乙}=3:2\)，把\(AB\)两地距离看作\(5\)份，第一次相遇地点离\(A\)地\(3\)份。从开始到第二次相遇，两人共走了\(3\)个全程，即\(15\)份，此时甲走了\(15\times\frac{3}{3+2}=9\)份，此时甲距离\(A\)地\(1\)份。两次相遇地点之间的距离是\(31=2\)份，已知两次相遇地点相距\(20\)千米，所以\(1\)份是\(10\)千米。\(A\)、\(B\)两地的距离是\(5\times10=50\)千米。考点2：工程问题6.题目：一项工程，甲单独做\(20\)天完成，乙单独做\(30\)天完成，现在两人合作，甲中途休息了\(3\)天，乙中途休息了若干天，一共用了\(16\)天完成，乙中途休息了几天？答案：甲的工作效率为\(\frac{1}{20}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{30}\)。甲工作了\(163=13\)天，甲完成的工作量为\(\frac{1}{20}\times13=\frac{13}{20}\)。那么乙完成的工作量为\(1\frac{13}{20}=\f