平行四边形培优训练题

平行四边形培优训练题平行四边形作为平面几何中的基本图形之一，其性质与判定是初中几何知识体系的重要组成部分。熟练掌握平行四边形的相关知识，不仅能夯实基础，更能为后续学习特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）以及更复杂的几何综合题打下坚实的逻辑思维基础。本套培优训练题旨在帮助同学们深化对平行四边形性质与判定的理解，提升几何推理能力与问题解决能力。一、知识回顾与要点梳理在进入培优训练之前，我们先来简要回顾一下平行四边形的核心知识：*定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。*性质：1.平行四边形的对边平行且相等。2.平行四边形的对角相等，邻角互补。3.平行四边形的对角线互相平分。4.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。*判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）。2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。这些基本知识点是解决一切平行四边形问题的基石。在培优阶段，我们更侧重于这些性质与判定的灵活运用，以及与其他几何知识的综合应用。二、精选培优训练题（一）性质应用与计算例题1：已知平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=20，BD=16，AB=11。求△OCD的周长。思路分析：首先，根据平行四边形的性质，对边相等，所以AB=CD=11。其次，平行四边形的对角线互相平分，这意味着点O是AC和BD的中点，因此OC=AC的一半，OD=BD的一半。将已知数值代入，即可求出△OCD各边的长度，进而求得周长。解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=11（平行四边形对边相等），OA=OC=AC/2，OB=OD=BD/2（平行四边形对角线互相平分）。∵AC=20，BD=16，∴OC=20/2=10，OD=16/2=8。∴△OCD的周长=OC+OD+CD=10+8+11=29。例题2：在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和5cm的两条线段，求平行四边形ABCD的周长。思路分析：首先，我们需要明确∠A的平分线与BC边相交，设交点为E。那么BE和EC的长度分别为4cm和5cm（但要注意，这里谁是4谁是5需要分情况讨论，因为题目没有明确说明）。由于AD∥BC，根据平行线的性质，∠DAE=∠AEB。又因为AE是∠A的平分线，所以∠BAE=∠DAE，从而得出∠BAE=∠AEB，即△ABE是等腰三角形，因此AB=BE。接下来，分两种情况：当BE=4cm时，AB=4cm，BC=BE+EC=9cm；当BE=5cm时，AB=5cm，BC=9cm。最后根据平行四边形周长公式（周长=2×(AB+BC)）计算即可。解答：设∠A的平分线交BC于点E。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）。∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。∴∠BAE=∠AEB。∴AB=BE（等角对等边）。情况一：若BE=4cm，EC=5cm，则AB=BE=4cm，BC=BE+EC=4+5=9cm。∴平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(4+9)=26cm。情况二：若BE=5cm，EC=4cm，则AB=BE=5cm，BC=BE+EC=5+4=9cm。∴平行四边形ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(5+9)=28cm。综上所述，平行四边形ABCD的周长为26cm或28cm。（二）判定与性质的综合运用例题3：已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE。若AF=CE，求证：四边形ABCD是平行四边形。思路分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，我们可以考虑平行四边形的几种判定方法。已知E、F分别是AB、CD的中点，所以AE=EB，CF=FD。若能证明AB∥CD且AB=CD，或者证明AD∥BC且AD=BC，或者证明对角线互相平分等，都可以判定。这里已知AF=CE，我们可以尝试证明△AFD≌△CEB，或者证明四边形AECF是平行四边形，进而得到AB∥CD。考虑到E、F是中点，若设AB=CD=2x，则AE=CF=x。如果能证明△AEF≌△CFE，或者直接证明AE平行且等于CF，那么四边形AECF是平行四边形，从而有AB∥CD。再结合AF=CE，尝试进一步证明AB=CD。解答：∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=AB/2，CF=CD/2。在四边形AECF中，AE和CF分别是AB和CD的一半。若我们能证明AE平行且等于CF，则四边形AECF是平行四边形。连接EF。（辅助线的添加是关键一步，有时能起到桥梁作用）在△AFD和△CEB中，目前已知条件似乎不足。我们换个思路。假设AB∥CD，那么AE∥CF。若能证明AE=CF，则四边形AECF是平行四边形，从而AF∥CE，AF=CE（已知），这是可行的。但“假设AB∥CD”是我们要证明的一部分，不能直接假设。我们可以利用SSS来尝试证明△AEF≌△CFE吗？AF=CE（已知），EF是公共边。若能证明AE=CF，则△AEF≌△CFE（SSS），从而∠AEF=∠CFE，得到AE∥CF。要证明AE=CF，即要证明AB=CD。在△AFB和△CED中，AF=CE，BF=DE（若能证明BF=DE？似乎不易）。或者，我们可以设AB=a，CD=b，AE=a/2，CF=b/2。过F作FG∥AD交AB于G，则四边形AGFD是平行四边形，GF=AD，AG=FD=b/2。则EG=AE-AG=a/2-b/2=(a-b)/2。在△GEF中，用勾股定理？似乎复杂了。换一种更直接的方法：∵E、F分别是AB、CD的中点，∴当我们考虑证明AB=CD时，可以延长AF和BC交于点G。∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G。又∵DF=CF，∴△ADF≌△GCF（AAS）。∴AF=GF，AD=GC。∵AF=CE，∴GF=CE。∴四边形GECF中，GF=CE，若能证明GF∥CE，则四边形GECF是平行四边形，从而GE=CF，GC=EF。∵AF=GF，AE=EB，∴EF是△ABG的中位线。∴EF∥BG，EF=BG/2=(BC+CG)/2=(BC+AD)/2。∵AD=BC（平行四边形对边相等，若ABCD是平行四边形则成立，但这是我们要证的），哦，这里不能用。但EF∥BG，即EF∥BC，而GF=CE，若GF∥CE，则四边形GECF是平行四边形，从而EC=GF=AF（已知），且EC∥AF。此时，AE∥CF（因为E在AB上，F在CD上，若AB∥CD则成立），且AE=CF（因为AFCE是平行四边形，对边相等），所以AB=2AE=2CF=CD。∴AB=CD且AB∥CD（由AE∥CF可得），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。（注：此题证明方法多样，核心在于利用中点条件和已知的线段相等，通过构造全等三角形或中位线来转化条件，最终达到判定平行四边形的目的。）（三）动态与探究性问题例题4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，当t为何值时，四边形APQB的面积为19cm²？思路分析：首先，我们需要明确四边形APQB的面积如何表示。Rt△ABC的面积是固定的，为(AC×BC)/2=24cm²。四边形APQB的面积可以看作是△ABC的面积减去△PQC的面积。根据题意，AP=tcm，所以PC=AC-AP=(6-t)cm。CQ=2tcm。△PQC是直角三角形（∠C=90°），其面积为(PC×CQ)/2=(6-t)(2t)/2=(6-t)t。因此，四边形APQB的面积S=24-(6-t)t。令S=19，解方程即可求出t的值。注意t的取值范围是0<t<4。解答：由题意得：AP=tcm，CQ=2tcm。∵AC=6cm，∴PC=AC-AP=(6-t)cm。∵∠C=90°，∴S_△ABC=(AC×BC)/2=(6×8)/2=24cm²。S_△PQC=(PC×CQ)/2=[(6-t)×2t]/2=t(6-t)cm²。∴S_{四边形APQB}=S_△ABC-S_△PQC=24-t(6-t)。令S_{四边形APQB}=19，则：24-t(6-t)=19整理得：t²-6t+5=0解得：t₁=1，t₂=5。∵0<t<4，∴t=5不符合题意，舍去。∴t=1。答：当t为1秒时，四边形APQB的面积为19cm²。三、解题策略与思想方法总结通过以上例题的分析与解答，我们可以总结出解决平行四边形培优问题的一些常用策略和思想方法：1.回归定义与性质：无论题目多么复杂，其根源都在于平行四边形的定义和性质。解题时，首先要想到利用这些基本知识点。2.巧用判定定理：根据题设条件，灵活选择最恰当的判定定理，往往能使问题迎刃而解。3.转化思想：将平行四边形问题转化为三角形问题（如通过连结对角线），利用三角形全等、等腰三角形、直角三角形等知识解决。4.方程思想：在涉及边长、角度、面积等计算问题时，通过设未知数，根据几何关系列出方程求解，是一种非常有效的方法（如例题2、例题4）。5.分类讨论思想：当题目条件存在多种可能性时，要注意分类讨论，避免漏解（如例题2）。6.辅助线添加：恰当添加辅助线是解决几何问题的关键。在平行四边形中，常见的辅助线有：连结对角线、延长某些线段构造全等或中位线、过顶点作高等等。7.动态问题的处理：对于涉及动点的问题，要善于抓住运动过程中的不变量和变量之间的关系，将动态问题静态化处理（如例题4）。四、巩固练习1.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小3cm，若AB=5cm，求平行四边形ABCD的周长。2.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。（至少用两种不同方法证明）3.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，∠B=60°，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边CD上从C向D运动，P、Q的速度均为1cm/s