信号与系统课后习题与解答第三章

信号与系统课后习题与解答第三章引言第三章“连续时间系统的时域分析”是信号与系统课程的基石之一。它从时间域出发，深入探讨了线性时不变（LTI）系统的行为和特性，核心在于建立系统输入与输出之间的直接联系。本章的学习，不仅要求我们掌握诸如卷积积分、单位冲激响应、系统微分方程求解等基本工具，更重要的是理解这些工具背后蕴含的物理意义和系统思想。熟练掌握本章内容，将为后续的变换域分析（傅里叶变换、拉普拉斯变换等）打下坚实的基础。本文旨在结合课后习题，对第三章的重点和难点进行梳理与解答，力求在回顾知识点的同时，提升读者分析和解决实际问题的能力。我们将通过对典型例题的详细剖析，揭示解题思路，归纳方法技巧，希望能对同学们的学习有所助益。核心知识点回顾与解题思路点拨在进入具体习题解答之前，我们首先简要回顾本章的核心知识点，并对解题中常遇到的问题进行思路点拨：1.线性时不变系统（LTI系统）的特性：线性（叠加性和齐次性）和时不变性是分析的前提。判断一个系统是否为LTI系统，是后续应用相关分析方法的基础。解题时，需严格按照定义进行验证。2.单位冲激响应：LTI系统在单位冲激信号δ(t)激励下的零状态响应，记为h(t)。它是描述LTI系统时域特性的核心函数。理解h(t)的物理意义及其与系统结构、参数的关系至关重要。3.卷积积分：LTI系统的零状态响应等于输入信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积积分，即y(t)=x(t)*h(t)。卷积积分是本章的重中之重，其计算、性质及物理意义都需要深刻理解和熟练应用。计算卷积时，图解法有助于理解积分限的确定，而利用卷积的代数性质（交换律、分配律、结合律）和微分积分性质则能简化计算。4.系统微分方程的建立与求解：*经典解法：齐次解加特解。需要掌握特征方程、特征根的求解，以及根据输入信号形式假设特解。*零输入响应与零状态响应解法：将系统响应分解为零输入响应（由初始状态引起，输入为零）和零状态响应（由输入引起，初始状态为零）。零输入响应求解齐次方程，零状态响应利用卷积积分求解。这种分解方式物理概念清晰，在后续课程中也有广泛应用。5.初始条件的确定：无论是求解微分方程的经典解还是零输入/零状态响应，准确确定初始条件（特别是在t=0+时刻的初始值）至关重要。对于含有冲激或其导数的输入，需注意系统在t=0处可能发生的跳变，此时需利用微分方程两边奇异函数系数匹配的方法来确定初始条件的跳变。典型习题精解习题一：卷积积分的计算题目：已知信号x(t)=u(t)-u(t-2)，h(t)=e^{-t}u(t)，求y(t)=x(t)*h(t)。分析：本题考查基本的卷积积分计算。x(t)是一个矩形脉冲，h(t)是一个指数衰减信号。我们可以采用图解法辅助确定积分区间，并进行计算。解答：首先，写出x(t)和h(t)的表达式：x(t)=1,0≤t<2;0,其他。h(t)=e^{-t},t≥0;0,t<0。根据卷积定义：y(t)=∫_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t-τ)dτ。我们需要分析x(τ)和h(t-τ)的非零重叠区间。h(t-τ)=e^{-(t-τ)}u(t-τ)=e^{τ-t}u(τ≤t)。因此，h(t-τ)的非零区间是τ≤t，且τ≥0（因为h本身的非零区间）。x(τ)的非零区间是0≤τ<2。所以，x(τ)h(t-τ)的非零区间由τ的取值范围决定，需分情况讨论：1.当t<0时：x(τ)的非零区间在τ≥0，而h(t-τ)的非零区间在τ≤t<0，二者无重叠，故y(t)=0。2.当0≤t<2时：重叠区间为0≤τ≤t。y(t)=∫_{0}^{t}1*e^{-(t-τ)}dτ=e^{-t}∫_{0}^{t}e^{τ}dτ=e^{-t}[e^{τ}]_{0}^{t}=e^{-t}(e^{t}-1)=1-e^{-t}。3.当t≥2时：重叠区间为0≤τ<2。y(t)=∫_{0}^{2}1*e^{-(t-τ)}dτ=e^{-t}∫_{0}^{2}e^{τ}dτ=e^{-t}[e^{τ}]_{0}^{2}=e^{-t}(e^{2}-1)=e^{-(t-2)}-e^{-t}。综上，卷积结果为：y(t)=0,t<0;y(t)=1-e^{-t},0≤t<2;y(t)=e^{-(t-2)}-e^{-t},t≥2。注释与拓展：本题也可利用卷积的定义式，将x(t)表示为u(t)-u(t-2)，然后利用h(t)与u(t)的卷积结果（即h(t)的积分），再结合卷积的时移性质，得到x(t)*h(t)=(u(t)*h(t))-(u(t-2)*h(t))=[∫_{0}^{t}e^{-τ}dτ]u(t)-[∫_{0}^{t-2}e^{-τ}dτ]u(t-2)，计算后结果一致。这种方法利用了已知结论和性质，更为快捷。习题二：利用卷积性质求响应题目：已知某LTI系统的单位冲激响应h(t)=δ'(t)+2δ(t)。当输入为x(t)时，系统的零状态响应为y_zs(t)=e^{-t}u(t)。若输入为x'(t)，求此时系统的零状态响应y'_zs(t)。分析：本题考查卷积积分的微分性质。即，如果y_zs(t)=x(t)*h(t)，则y_zs'(t)=x'(t)*h(t)=x(t)*h'(t)。解答：已知y_zs(t)=x(t)*h(t)=e^{-t}u(t)。现在输入变为x'(t)，则新的零状态响应y'_zs(t)=x'(t)*h(t)。根据卷积的微分性质：x'(t)*h(t)=[x(t)*h(t)]'=y_zs'(t)。因此，y'_zs(t)=d/dt[e^{-t}u(t)]。计算导数：d/dt[e^{-t}u(t)]=-e^{-t}u(t)+e^{-t}δ(t)。由于e^{-t}δ(t)=e^{0}δ(t)=δ(t)，所以：y'_zs(t)=-e^{-t}u(t)+δ(t)。注释与拓展：卷积的微分和积分性质是简化卷积计算的有力工具。本题直接应用了“x(t)的导数与h(t)卷积等于x(t)与h(t)卷积的导数”这一性质，避免了直接对x(t)求导（x(t)未知），非常巧妙。深刻理解并灵活运用卷积性质，能显著提高解题效率。习题三：系统微分方程求解与初始条件题目：已知某线性时不变系统的微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=x'(t)+3x(t)。(1)求系统的单位冲激响应h(t)。(2)若系统的初始状态为y(0-)=1,y'(0-)=0，输入x(t)=u(t)，求系统的全响应y(t)，并指出零输入响应y_zi(t)和零状态响应y_zs(t)。分析：(1)求单位冲激响应h(t)，即求解当x(t)=δ(t)，初始状态为零时的系统响应。可先求齐次解，再根据方程右端激励的形式（含δ'(t)和δ(t)）确定特解中奇异函数的形式，通过系数匹配法确定初始条件y(0+)和y'(0+)。(2)求全响应，可分别求零输入响应（初始状态不为零，x(t)=0）和零状态响应（初始状态为零，x(t)=u(t)），然后叠加。零状态响应可利用(1)求得的h(t)与x(t)卷积得到，或直接求解微分方程。解答：(1)求单位冲激响应h(t)：h(t)满足方程：h''(t)+3h'(t)+2h(t)=δ'(t)+3δ(t)，且h(0-)=0,h'(0-)=0。首先求齐次方程的特征方程：s²+3s+2=0，特征根s₁=-1,s₂=-2。因此齐次解形式为h_h(t)=(Ae^{-t}+Be^{-2t})u(t)。由于方程右端含有δ'(t)和δ(t)，h(t)及其导数可能在t=0处有跳变。对方程两边从0-到0+积分：∫_{0-}^{0+}[h''(t)+3h'(t)+2h(t)]dt=∫_{0-}^{0+}[δ'(t)+3δ(t)]dt。左边积分：[h'(0+)-h'(0-)]+3[h(0+)-h(0-)]+2∫_{0-}^{0+}h(t)dt。右边积分：[δ(0+)-δ(0-)]+3[u(0+)-u(0-)]。由于δ(t)在0点以外为零，δ(0+)=0,δ(0-)=0；u(0+)-u(0-)=1。故右边积分=0+3*1=3。考虑到h(t)是冲激响应，在t>0后应为常规函数（无冲激及其导数），故∫_{0-}^{0+}h(t)dt=0。因此左边积分=[h'(0+)-0]+3[h(0+)-0]+0=h'(0+)+3h(0+)=3。(a)为了得到另一个关于h(0+)和h'(0+)的方程，我们对原微分方程两边乘以积分因子并积分，或考虑方程两边δ'(t)项的系数匹配。原方程左边最高阶导数为h''(t)，右边为δ'(t)。因此，h''(t)中必须包含δ'(t)项以匹配右边。设h''(t)=δ'(t)+...(低阶奇异函数或常规函数)。对h''(t)从0-到0+积分一次，得到h'(0+)-h'(0-)=∫_{0-}^{0+}δ'(t)dt+...。而∫_{0-}^{0+}δ'(t)dt=δ(0+)-δ(0-)=0。所以h'(0+)-0=0+...，这似乎没有给出新信息。我们换一种方式，考虑方程两边δ(t)项的系数。原方程：h''(t)+3h'(t)+2h(t)=δ'(t)+3δ(t)。h''(t)会产生δ'(t)和δ(t)项（如果h'(t)在0处有跳变，则h''(t)会有δ(t)项）。h'(t)会产生δ(t)项（如果h(t)在0处有跳变）。设h(t)在t=0处连续，则h(0+)=h(0-)=0。h'(t)在t=0处可能有跳变，设跳变量为a，即h'(0+)=h'(0-)+a=a。h''(t)在t=0处将有aδ(t)项。同时，h''(t)本身有δ'(t)项（系数为1，以匹配右边的δ'(t)）。因此，h''(t)=δ'(t)+aδ(t)+...(t>0后的常规项)。h'(t)=∫h''(t)dt=δ(t)+au(t)+...。h(t)=∫h'(t)dt=u(t)+a(tu(t))+...。将h''(t)、h'(t)代入原方程左边，考察δ(t)项的系数：h''(t)中的δ(t)系数为a，3h'(t)中的δ(t)系数为3*1（因为h'(t)中有δ(t)项，系数为1），2h(t)中无δ(t)项。所以左边δ(t)项总系数为a+3*1。右边δ(t)项系数为3。因此，a+3=3→a=0。即h'(0+)=a=0。再代入(a)式：0+3h(0+)=3→h(0+)=1。现在得到了h(t)在t=0+的初始条件：h(0+)=1,h'(0+)=0。h(t)的齐次解为h_h(t)=(Ae^{-t}+Be^{-2t})u(t)。代入初始条件：h(0+)=A+B=1,h'(0+)=-A-2B=0。解得：A=2,B=-1。因此，系统的单位冲激响应为h(t)=(2e^{-t}-e^{-2t})u(t)。(2)求全响应：零输入响应y_zi(t)：由初始状态引起，满足齐次方程y''_zi(t)+3y'_zi(t)+2y_zi(t)=0，初始条件为y_zi(0-)=y(0-)=1,y'_zi(0-)=y'(0-)=0。由于输入x(t)=0，系统无外加激励，初始状态在t=0处不会跳变，故y_zi(0+)=y_zi(0-)=1,y'_zi(0+)=y'_zi(0-)=0。齐次解形式：y_zi(t)=Ce^{-t}+De^{-2t},t≥0。代入初始条件：C+D=1,-C-2D=0。解得：C=2,D=-1。因此，y_zi(t)=(2e^{-t}-e^{-2t})u(t)。零状态响应y_zs(t)：由输入x(t)=u(t)引起，初始状态为零。可利用卷积积分y_zs(t)=x(t)*h(t)=u(t)*(2e^{-t}-e^{-2t})u(t)。计算卷积：u(t)*e^{-at}u(t)=(1-e^{-at})u(t)/a(a>0)。因此，y_zs(t)=2*[(1-e^{-t})u(t)/1]-1*[(1-e^{-2t})u(t)/2]=[2(1