第27讲 实验：用单摆测重力加速度（复习讲义）（安徽专用）（教师版）

第27讲实验：用单摆测重力加速度目录01TOC\o"1-3"\h\u考情解码·命题预警 102体系构建·思维可视 203核心突破·靶向攻坚 3考点一教材原型实验 3知识点一实验原理与操作 3知识点二数据处理方法 4知识点三误差分析 考点二实验拓展与创新 1504真题溯源·考向感知 19考点要求考查形式2025年2024年2023年教材原型实验选择题实验题实验创新选择题实验题考情分析：1．高考实验题一般立足于教材而不拘泥于教材，不回避经典，常常在教材原型实验的基础上创设新情境，从实验目的、实验原理、实验器材、数据处理技巧等方面进行迁移拓展、创新。因此，要在掌握教材原型实验的基础上注意迁移创新能力的培养，善于用教材原型实验的原理、器材、方法和技巧等解决新问题。2．从命题思路上看，试题创新为根据实验原理，试题创新可从实验测量物理量所用的仪器改进或处理实验数据；也可改变实验方案进行创新。复习目标：目标一：知道利用单摆测量重力加速度的原理；目标二：掌握利用单摆测量重力加速度的方法；考点一教材原型实验知识点一实验原理与操作原理装置图操作要领1．做单摆将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂；2．测摆长用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝L＋eq\f(D,2)。3．测周期将单摆从平衡位置拉开一个角度(不超过5°)，然后释放小球，记下单摆做30次或50次全振动的总时间，算出平均每做一次全振动的时间，即为单摆的振动周期T。4．改变摆长，重做几次实验。注意事项1．小球选用质量大、体积小的钢球。2．选用1m左右难以伸缩且尽量轻的细线。3．悬点位置不能发生变化，悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。4．单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。5．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。知识点二数据处理方法数据处理方法一：公式法。根据公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)。将测得的几组周期T和摆长l分别代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中算出多组重力加速度g的值，再求出g的平均值，即为当地重力加速度的值。方法二：图像法。由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得l＝eq\f(g,4π2)T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴描点作图，作出的l­T2图像理论上是一条过原点的直线，如图所示，求出图像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝eq\f(l,T2)＝eq\f(Δl,ΔT2)。知识点三误差分析1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点固定，小球质量大、体积小，细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动等。2．本实验的偶然误差主要来自时间的测量和摆线长度的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计摆球的全振动次数；使用刻度尺测量摆线长度时，要多次测量取平均值以减小误差。3．利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理数据时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。得分速记1.为了减小空气阻力产生的误差应选密度大，体积小的钢球；2.测小球的周期时，为了减小测量误差应测20-30次全振动且从小球经过最低点时开始计时；3.摆线上端应固定即用夹子固定，不能缠绕在杆上，这样单摆在摆动过程中摆长会发生变化；4.单摆周期公式中摆长应为摆线长度加小球的半径，无论是加小球的直径或不加小球半径，图线的斜率不变即测量的重力加速度不变。考向1实验原理与操作例1某同学用如图所示装置测定当地重力加速度。(1)关于器材选择及测量时的一些实验操作，下列说法正确的是___________（多选）A．摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长些的B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的C．为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆角大一些(2)在某次实验中，测得单摆摆长为、单摆完成次全振动的时间为，则利用上述测量值可得重力加速度的表达式g=；(3)若某同学利用单摆测量重力加速度的大小，某次测得的值与真实值相比偏大，可能的原因是__________（填正确答案标号）。A．测摆长时记录的是摆线的长度B．开始计时时，秒表过早按下C．摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了D．实验中误将29次全振动计数为30次【答案】(1)AB；(2)；(3)D【详解】（1）AB．为减小实验误差，摆线尽量选择细些、伸缩性小些且适当长一些的，摆球尽量选择密度大的，即质量大些、体积小些的，故AB正确；C．应使摆角小于5°，才可看作理想单摆，故C错误。故选AB。（2）由题意得单摆的周期为根据单摆周期公式解得（3）A．根据单摆的周期公式推导出重力加速度的表达式，若将摆线的长误认为摆长，即摆长L的测量值偏小，则重力加速度的测量值偏小，故A错误；B．开始计时时，停表过早按下，导致周期的测量值大于真实值，重力加速度的测量值偏小，故B错误；C．摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了，即摆长L的测量值偏小，重力加速度的测量值偏小，故C错误；D．设单摆29次全振动的时间为t，则单摆的周期，若误计为30次，则，即周期的测量值小于真实值，重力加速度的测量值偏大，故D正确。故选D。【变式训练1】小红和小玉同学在实验室做“用单摆测量重力加速度大小”的实验。(1)现提供下列几个相同大小的小球，该实验应选择（）；A．实心钢球 B．空心钢球 C．实心铝球 D．空心铝球(2)甲图和乙图是两同学分别使用游标卡尺测量某小球直径的两次实验操作，其中正确的是（选填“甲”或“乙”）；某次使用游标卡尺测量小球直径的读数如图丙所示，其读数为mm；(3)小明规范安装好单摆，测得摆线的长度为，并测得单摆完成次全振动的时间为，则当地重力加速度值的表达式（结果用、、、表示）；【答案】(1)A；(2)乙11.3；(3)【详解】（1）为了减小空气阻力对实验的影响，小球应选取密度较大，所以选择实心钢球合适，故选A。（2）[1]根据游标卡尺的使用规则，被测物体应放置在游标卡尺的两个测量爪之间，故乙正确；[2]图丙游标卡尺的分度值为0.1mm，读数为d=11mm+3×0.1mm=11.3mm（3）由题意可知单摆的周期单摆的摆长根据单摆周期公式可知联立解得【变式训练2】某同学做“利用单摆测量重力加速度大小”实验时，用一磁性小球吸在金属摆球下，在磁性球下方放置磁传感器并通过数据采集器与计算机相连，如图1所示．(1)下列实验步骤中，正确的是（单选）A．摆线要选择细些的，有一定伸缩性的B．摆角应尽量大些，使单摆做近似的简谐运动C．应使摆球在同一竖直平面内摆动D．摆线上端应该缠绕在铁架台上固定的圆柱形横杆上(2)实验时，该同学用刻度尺测出摆线长L，测得磁感应强度B与时间t的关系如图2所示，则每次磁感应强度达峰值时，摆球位置在，图中可以读出单摆周期约为s；(3)多次改变摆线长度，并测得对应的T值．作出图如图3图所示，若该图像的斜率为k，则当地的重力加速度g=(4)考虑到摆线长度比实际摆长小，重力加速度g的测量值（选填“偏大”“偏小”“不受影响”），简要说明理由。【答案】(1)C；(2)最低点1.6/1.5/1.7；(3)；(4)不受影响见解析【详解】（1）A．摆线要选择细些的，伸缩性小些的，故A错误；B．为了使单摆做近似的简谐运动，摆角不能大于，故B错误；C．应使摆球在同一竖直平面内摆动，故C正确；D．为了保证摆动过程，摆长保持不变，摆线上端应用铁夹固定，故D错误。故选C。（2）[1]每次磁感应强度达峰值时，摆球位置在最低点；[2]一个周期内摆球两次经过最低点，由图2可知单摆周期约为（3）设摆球半径为，根据单摆周期公式可得整理可得可知图像的斜率为可得当地的重力加速度为（4）[1][2]考虑到摆线长度比实际摆长小，设实际摆长为，则有可得可知图像的斜率仍为，所以重力加速度g的测量值不受影响。考向2数据处理例2（2025·山东济宁·模拟预测）某同学尝试测量单摆周期和当地的重力加速度。（1）如图（a），用一个磁性小球制作一个单摆，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方，图中磁传感器的引出端A接数字采集器。（2）使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于（选填“最高点”、“最低点”）。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为（用N和t表示）。（3）多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。分别取L和T的对数，利用计算机得到图线如图（b），读得图线与纵轴交点的纵坐标为c，由此得到该地重力加速度g=。【答案】最低点【详解】（2）当磁感应强度测量值最大时，小球离传感器最近，所以小球位于最低点每隔半个周期磁感应强度达到最大值一次，所以t时间内共经历个周期即，故得周期（3）由单摆周期公式得两边取对数整理得故得图象横轴截距为，斜率为又已知纵轴截距故得【变式训练1】（2025·安徽芜湖·二模）同学们想利用单摆测定芜湖本地的重力加速度。(1)王华同学在实验室里将一根不可伸长的细线的上端固定在铁架台横杆上，下端系一个小钢球，做成了单摆，如图甲所示。①用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为mm。②通过实验测得重力加速度，王华通过查找资料发现，芜湖的重力加速度为，实验值偏小，其原因可能是A．测量摆长时，将摆线长度误认为摆长B．摆球不在同一竖直平面内运动，而是做圆锥摆运动C．测出n次全振动时间为t，误作为次全振动时间进行计算(2)李蕾同学在家里找到了细线和铁锁，也制成了一个单摆悬挂于天花板上，如图丙所示。由于家里只有一把量程为20cm的刻度尺，不足以测量细线的长度。于是她通过调节合适的线长，让铁锁自然悬垂时，铁锁下端到地面间的距离小于刻度尺量程，并用刻度尺测量铁锁下端到地面的高度h，让铁锁做小幅度摆动，测得50次全振动所用时间t，改变线长，测量多组h与t的值。在坐标纸上描点连线作图，如图丁所示。根据图像，可求得当地重力加速度。（结果保留三位有效数字，取3.14）【答案】(1)21.25A；(2)9.86【详解】（1）[1]小球的直径为;[2]A．根据单摆周期公式解得测量摆长时，将摆线长度误认为摆长,使得摆长变小，测得的重力加速度偏小，故A正确；B．设做圆锥摆时摆线与竖直方向夹角为，故此时圆锥摆的周期为即此时测得的周期偏小，故测出的重力加速度偏大，故B错误。C．测出n次全振动时间为t，误作为（n＋1）次全振动时间进行计算，使周期值偏小，测得g值偏大，故C错误。故选A。（2）单摆的周期为令天花板到地面的高度为H，摆长为根据单摆的周期公式可得设图线斜率绝对值为k，可得【变式训练2】（2025·广东深圳·二模）(1)用单摆测量重力加速度，图甲所示的各项实验操作中合理的是_______A．采用如图a所示的悬挂方式B．如图b，在小球摆到最高点时开始计时C．如图c，用竖直放置的直尺和三角板测量球心到悬点间距离，作为摆长(2)采用如图乙所示的实验装置继续探究，取一根棉线从金属戒指中穿过，两端悬于细杆上。实验步骤如下：①用刻度尺测得两个悬点距离为x，两悬点间棉线总长为s②轻敲戒指使之在垂直于纸面的竖直平面内摆动，摆角小于5°③记录摆动30个周期的总时间，计算周期数值。多次测量，得到周期的平均值T④如图丙所示，选用游标卡尺的测量爪（选填“A”或“B”）测量戒指为径。十分度游标卡尺上的示数如图丁所示，那么该戒指的内径d＝mm⑤等效摆长L为A．

B．

C．⑥改变棉线长度，多次重复上述实验步骤⑦将数据绘制成T2—L图像，如图戊所示，请将图中数据点进行拟合（画在答题纸上）⑧经计算得到重力加速度的测量值为m/s2（π2取9.87，保留3位有效数字）【答案】(1)C(2)B16.0C9.86/9.87【详解】（1）A．为防止实验过程摆长发生变化，单摆上端应固定，故A错误;B．如图b，在小球摆到最低点时开始计时，故B错误;C．如图c，用竖直放置的直尺和三角板测量球心到悬点间距离，作为摆长，故C正确。故选C。（2）[1]如图丙所示，选用游标卡尺的测量爪B测量戒指内径。[2]十分度游标卡尺的精确度为0.1mm，该戒指的内径d=16mm+0×0.1mm=16.0mm[3]等效摆长故选C。[4]拟合图线如图所示[5]根据单摆周期公式变形得根据图像斜率可知解得考向3误差分析例3（2025·甘肃·模拟预测）在物理实验课上，物理兴趣小组的同学想利用单摆测量当地重力加速度，在测量好相关数据后，没有控制好小球的摆动，使得小球做的是圆锥摆运动。甲同学提出继续用悬点到球心的距离作为摆长，并利用单摆的周期公式来计算重力加速度；乙同学提出可以用悬点到球心的竖直高度作为摆长，并利用单摆的周期公式来计算重力加速度。下列说法正确的是（）A．甲同学正确，乙同学的方法会导致重力加速度测量值偏大B．甲同学正确，乙同学的方法会导致重力加速度测量值偏小C．乙同学正确，甲同学的方法会导致重力加速度测量值偏大D．乙同学正确，甲同学的方法会导致重力加速度测量值偏小【答案】C【详解】对圆锥摆进行受力分析，拉力的分力提供向心力，有而解得圆锥摆的周期所以用悬点到球心的竖直高度来计算重力加速度；甲同学用来计算，由于，则故C正确，ABD错误。故选C。【变式训练1】（2025·广东广州·三模）小李做“用单摆测量重力加速度”实验。(1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。如图乙所示，用游标卡尺测得小钢球的直径mm，测出摆线的长度，算出摆长L，再测出摆的周期T，得到一组数据，改变摆线的长度，再得到几组数据。(2)根据实验数据作出图像，发现图像是过坐标原点的倾斜直线，斜率为k，根据单摆周期公式，可以测得当地的重力加速度用k表示，利用图像法处理数据是为了减小填“偶然”或“系统”误差。(3)小李同学在实验中操作不当，使得摆球没有在一个竖直平面内摆动。她认为这种情况不会影响测量结果，所以他仍然利用所测得的运动周期根据单摆周期公式计算重力加速度。若将小球的实际运动看作是在水平面内的圆周运动，则小李同学计算出的重力加速度比真实值相比选择“偏大”“偏小”。【答案】(1)22.6；(2)偶然；(3)偏大【详解】（1）由图示游标卡尺可知，小钢球的直径（2）[1]根据单摆周期公式则图像的斜率解得[2]应用图像法处理实验数据可以较小偶然误差。（3）小球在水面内做圆周运动，设摆线与竖直方向夹角为，由牛顿第二定律得解得可知周期偏小，因为则重力加速度的测量值大于真实值。【变式训练2·变考法】（2025·天津北辰·三模）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度”的实验。(1)下列操作正确的是______；A．选用弹性较好的细线B．应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度C．尽可能让小球摆动的幅度大一些D．通过测量多个全振动的时间计算周期(2)经测量得到5组不同的摆长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。则当地重力加速度的表达式，图中图像不过原点的原因是以下：。A．计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径B．计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径【答案】(1)BD；(2)A【详解】（1）A．为了确保摆长一定，实验中应选用弹性差的细线，故A错误；B．为了精确测定摆长，减小误差，实验中应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度，故B正确；C．在摆角小于5°范围内单摆的运动才能够近似看为简谐运动，可知，实验中应尽可能让小球摆动的幅度小一些，故C错误；D．为了减小测量误差，实验中，应通过测量多个全振动的时间计算周期，故D正确。故选BD。（2）[1]摆长等于摆线长与摆球半径之和，则有变形得结合图像有解得[2]根据图像，图像与纵轴的截距为负值，结合上述可知，图中图像不过原点的原因是计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径。故选A。考点二实验拓展与创新知识点实验创新利用光电门和数据采集器代替测周期利用双线摆代替单摆利用“类单摆”代替单摆例（2025·安徽·模拟预测）如图甲所示，是用单摆测量重力加速度的实验装置。将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，做成一个单摆。利用手机的计时功能测出小球做简谐运动的周期。在测出5组不同摆长及对应周期的数据后，作出图像如图乙所示。(1)该图像的斜率为（重力加速度为）；(2)由此得出重力加速度的测量值为；（取3.14，计算结果保留3位有效数字）(3)在此实验中，若该同学测量的摆长是摆线的长度，而非悬点到小球球心之间的距离，这对重力加速度测量结果（填“有”或“无”）影响。【答案】(1)；(2)9.78；(3)无【详解】（1）根据单摆周期公式可得可知该图像的斜率为（2）根据解得重力加速度为（3）在此实验中，若该同学测量的摆长是摆线的长度，设小球的半径为，根据单摆周期公式可得可知图像的斜率仍为，故对重力加速度测量结果无影响。【变式训练1】（2025·湖北·模拟预测）某同学在实验室测量单摆的周期和当地的重力加速度大小。(1)将摆线上端固定于铁架台，下端系一小球，做成单摆，如图（a）所示。将小球由平衡位置拉开一个小角度静止释放，传感器连接的计算机屏幕显示的拉力F随时间t变化的关系如图（b）所示。现测得单摆摆长为L，则单摆的振动周期（用字母表示）；(2)观察图（b）变化的趋势，引起该情况最可能的原因是_________；A．传感器损坏B．小球摆动的振幅减小C．小球由单摆运动变为圆锥摆运动(3)改变单摆摆长L，重复实验，测得多组数据，得到振动周期的平方与单摆摆长L的关系图像，如图（c）所示。已知图像的斜率为k，则当地重力加速度大小（用字母k、表示）。【答案】(1)；(2)B；(3)【详解】（1）小球经过最低点时拉力最大，从最低点开始计时，一个周期内两次经过最低点，即周期（2）小球经过最高点时绳子拉力最小，由图（b）可知经过最高点的拉力逐渐变大，设在最高点时绳子与竖直方向的夹角为，则可知最高点时绳子与竖直方向的夹角变小，即小球摆动的振幅减小。故选B。（3）根据单摆周期公式可得可知图像斜率可得重力加速度【变式训练2】（2025·山东·模拟预测）某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小铁球从最低点移开一小段距离由静止释放，则小铁球的运动可等效为单摆模型。具体步骤如下：①用游标卡尺测量小球铁的直径；②用停表测量小铁球的运动周期；③更换不同的小铁球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制如图乙所示的图像，横纵轴截距分别为、。(1)测量小铁球运动周期时，开始计时的位置为图甲中的；（选填“A”、“O”或“”）(2)由图像可得当地的重力加速度。（用字母、、表示）(3)该同学查阅资料得知，单摆做简谐运动的周期是初始摆角很小时的近似值，实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响，与初始摆角的关系如图丙所示。若实验时该同学释放小铁球的位置离点较远，初始摆角接近，若只考虑初始摆角的影响，重力加速度的测量值会。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）【答案】(1)；(2)；(3)偏小【详解】（1）测量小铁球运动周期时，为了减小误差，从最低点开始计时，即从点开始计时。（2）由单摆周期公式可得变形可得由可知，解得（3）根据单摆周期公式有，解得，由题意得，故故填“偏小”。1．（2022·上海·高考真题）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：（1）摆线质量和摆球质量分别为m线和m球，摆线长为l，摆球直径为d，则；A．m线>>m球，l<<dB．m线>>m球，l>>dC．m线<<m球，l<<dD．m线<<m球，l>>d（2）小明在测量后作出的T2-l图线如图所示，则他测得的结果是g=m/s2。（保留2位小数）（3）为了减小误差，应从最高点还是最低点开始计时，请简述理由。【答案】D9.74最低点，在最低点加速度最小，速度变化慢，更容易判断，所以测得的时间误差较小【详解】（1）[1]为了减小实验册误差，该实验中要求摆线质量远小于摆球的质量，即m线<<m球；摆线长度要远大于摆球直径，即l>>d；故选D。（2）[2]由于可得根据T2-l图线可知解得g=9.74m/s2（3）[3]最低点，在最低点加速度最小，速度变化慢，更容易判断，所以测得的时间误差较小。2．（2025·海南·高考真题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度(1)用游标卡尺测得小球直径，刻度尺测得摆线长，则单摆摆长（保留四位有效数字）；(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为（），无初速度的释放小球，小球经过点（选填：“最高”或“最低”）时，开始计时，记录小球做了次全振动用时，则单摆周期，由此可得当地重力加速度（）。【答案】(1)；(2)最低【详解】（1）单摆的摆长为（2）[1]为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；[2]单摆周期[3]根据单摆周期公式可得代入数值得3．（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。（1）关于本实验，下列说法正确的是。（多选）A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直

B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度C．小钢球可以换成较轻的橡胶球

D．应无初速度、小摆角释放小钢球（2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径，记摆长。

（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。根据图线斜率可计算重力加速度（保留3位有效数字，取9.87）。（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将（填“偏大”“偏小”或“不变”）。【答案】